I NUMERI REALI SONO ASTRATTI

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1 I NUMERI REALI SONO ASTRATTI L idea di numero, che ci sembra così evidente, è il punto d arrivo di un lunghissimo lavoro di astrazione D. Guedj Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale N. Bourbaki 1

2 Il concetto di numero reale Un problema rimasto aperto per più di 2300 anni: già presente nella cultura matematica degli antichi Greci, troverà una soluzione soddisfacente solo in epoca moderna, dopo lo sviluppo dei metodi del Calcolo infinitesimale 2

3 I matematici dell antica Grecia avevano raggiunto livelli di conoscenze notevolmente avanzati sia per quanto riguarda la Geometria sia per quanto riguarda la teoria dei numeri: numeri razionali (positivi) struttura algebrica struttura di ordine loro compatibilità 3

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5 Scuola Pitagorica (500/400 a.c.) Scoperta dell esistenza di grandezze incommensurabili (Ippaso di Metaponto) Dimostrazione dell irrazionalità di 2 Supponiamo per assurdo che esistano due numeri interi p e q, primi fra loro, tali che 2 = p q ovvero 2q2 = p 2 Ne segue che p è pari. Quindi p = 2k per qualche intero k. Sostituendo e semplificando si ottiene q 2 = 2k 2 da cui si deduce che anche q è pari, in contraddizione con il fatto che p e q erano stati presi coprimi. 5

6 Quant è grave la falla? Irrazionalità di n per ogni n N che non sia un quadrato perfetto Irrazionalità del numero e di Nepero: Eulero (1737) Irrazionalità di π: Lambert (1761) Irrazionalità di π 2 : Legendre (1794) 6

7 Come rimediare? Estendere l insieme dei numeri razionali in modo da ottenere un nuovo concetto di numero abbastanza potente da poter essere utilizzato per misurare tutte le quantità rilevanti della geometria e della fisica, mantenendo al contempo le proprietà formali (struttura algebrica, struttura di ordine, loro compatibilità). 7

8 Soluzioni ingenue Completamento algebrico Esistenza di numeri non algebrici Liouville (1844): trascendenza di α = 0, Hermite (1873): trascendenza di e Lindemann (1882): trascendenza di π 8

9 Completamento geometrico sposta il problema Allineamenti decimali infiniti non periodici Come definire somma e prodotto? 9

10 Lo sviluppo dell analisi matematica CAUCHY, DEDEKIND, CANTOR 10

11 Soluzioni costruttive metodo delle successioni fondamentali metodo delle sezioni metodo delle classi separate e contigue 11

12 Cauchy ( ) [Méray, Cantor]: costruzione dei numeri reali col metodo delle successioni fondamentali Una successione {x n } di numeri razionali si dice fondamentale se r > 0 N > 0 tale che n, m N x n x m < r Due successioni fondamentali {x n }, {u n } si dicono equivalenti se r > 0 N > 0 tale che n N x n u n < r Definizione Dicesi numero reale ogni classe di equivalenza di successioni fondamentali in Q. Struttura algebrica Struttura di ordine 12

13 Dedekind ( ): costruzione dei numeri reali col metodo delle sezioni Una coppia ordinata (A, B) di sottoinsiemi non vuoti di Q costituisce una sezione se (1) A B = Q (2) per ogni a A e ogni b B, a < b (3) se c Q tale che a c b per ogni a A e ogni b B, allora c B Definizione Dicesi numero reale ogni sezione di Q. Struttura algebrica Struttura di ordine 13

14 Cantor ( ): costruzione dei numeri reali col metodo delle classi separate e contigue Due sottoinsiemi A, B non vuoti di Q costituiscono una coppia di classi separate e contigue se (1) per ogni a A e ogni b B, a < b (2) r > 0 a A e b B tali che b a < r Definizione Dicesi numero reale ogni coppia di classi separate e contigue in Q. Struttura algebrica Struttura di ordine 14

15 Le geometrie non euclidee 15

16 L impostazione assiomatica Peano ( ) Sistema di assiomi per i numeri naturali Hilbert ( ) I numeri reali sono un insieme R contenente N e sul quale sono definite una struttura algebrica di campo (addizione e moltiplicazione), una struttura di ordine (compatibili) e un assioma di completezza (o di continuità). Qual è la forma più appropriata per esprimere l assioma di completezza? Trasformare in assiomi una delle definizioni precedenti 16

17 Assioma (Cauchy) Ogni successione fondamentale in R ammette limite Assioma (Dedekind) Per ogni sezione (A, B) in R esiste c R tale che a c b per ogni a A e ogni b B Assioma (Cantor) Per ogni coppia di classi separate e contingue A, B di R esiste c R tale che a c b per ogni a A e ogni b B (elemento separatore) Purtroppo, questi assiomi, così formulati, non sono equivalenti 17

18 Un esempio di natura geometrica: la retta di Veronese ( ) 18

19 a b A B Ordinamento, Confronto tra segmenti (congruenza) Re-interpretazione della nozione di classi contigue: se per ogni segmento I esistono b B e a A tali che il segmento ab è più corto di I Gli assiomi di Cauchy e Cantor valgono L assioma di Dedekind no A e B non sono classi contigue, ma sono sezioni 19

20 Principio di Eudosso-Archimede Per ogni coppia di numeri reali a, b tali che 0 < a < b esiste un numero naturale n tale che na > b Assioma delle sezioni = 1) Assioma delle successioni fondamentali 2) Assioma delle classi separate e contigue 3) Principio di Eudosso-Archimede Assioma delle successioni fondamentali + Principio di Eudosso-Archimede = Assioma delle sezioni Assioma delle classi separate e contigue + Principio di Eudosso-Archimede = Assioma delle sezioni 20

21 Principio di esistenza del sup Siano A R non vuoto, e m R. Dico che m è una limitazione superiore per A se a A si ha a m. Dico che A è superiormente limitato se l insieme M formato da tutte le limitazioni superiori di A è non vuoto. Assioma. Qualunque sia A R non vuoto e superiormente limitato, esiste m M tale che m m, m M. m si dice l estremo superiore di A e si scrive m = sup A Il Principio di esistenza del sup è equivalente all assioma delle sezioni 21

22 Unicità di R Ogni campo totalmente ordinato, archimedeo, continuo, è isomorfo a R. continuo = privo di primo e ultimo elemento, denso, privo di lacune 22

23 R è più grande di Q. Ma quanto? 23

24 CARDINALITÀ Il concetto di infinito nell antichità Infinito attuale: i paradossi di Zenone di Elea Infinito potenziale: lo sviluppo dell Analisi Matematica (Cauchy, Weierstrass) 24

25 Distinguere il finito dall infinito Definizione A è infinito se esiste una corrispondenza biunivoca A B dove B è sottoinsieme proprio di A. Esempi N {numeri quadrati} N {numeri pari} Definizione A è finito se non è infinito 25

26 Se A è finito, n N : A {1, 2,..., n} Definizione n = numero cardinale = A Proprietà 1. Se esiste una funzione iniettiva A B allora A B. Proprietà 2. Se esiste una corrispondenza biunivoca A B allora A = B. Il numero cardinale si può pensare come un indice della numerosità. Esso caratterizza tutta una classe di insiemi. 26

27 Riassumendo, sappiamo confrontare insiemi finiti, e inoltre sappiamo riconoscere il finito e l infinito. Ma......come distinguere gli insiemi infiniti?...è possibile definire la cardinalità di insiemi infiniti, in modo da conservare le Proprietà 1 e 2?...esistono infiniti diversi? 27

28 Distinguere tra infinito e infinito Indichiamo ℵ 0 = N (cardinalità del numerabile). È chiaro che ℵ 0 > n n N....esistono cardinalità > ℵ 0? Esiste una funzione f : N Q iniettiva. Quindi, ℵ 0 Q 28

29 Teorema Esiste una corrispondenza biunivoca tra N e N 2 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)... (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)... (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)... (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) Corollario Esiste una funzione f : Q N iniettiva. Quindi, ℵ 0 Q Conclusione: ℵ 0 = Q 29

30 Esiste una funzione f : N R iniettiva. Quindi, ℵ 0 R Teorema Non esistono corrispondenze biunivoche tra N e R. Quindi, R > ℵ 0 Procedimento diagonale di Cantor a 1 = 0, a 11 a 12 a a 2 = 0, a 21 a 22 a a 3 = 0, a 31 a 32 a b = 0, b 1 b 2 b 3... con b 1 a 11, b 2 a 22, b 3 a 33 e così via. Indichiamo R = ℵ 1 > ℵ 0 (cardinalità del continuo) 30

31 ...esiste A tale che ℵ 1 < A? Esiste una funzione f : R R 2 iniettiva. Quindi, ℵ 1 R 2 Teorema Esiste una corrispondenza biunivoca tra R e R 2. Quindi R = R 2. α (0, 1) α = 0, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6... x = 0, a 1 a 3 a 5... y = 0, a 2 a 4 a 6... α (x, y) viceversa... Regola generale per costruire, per ogni dato B, A tale che A > B: A =insieme delle parti di B 31

32 ...esiste A tale che ℵ 0 < A < ℵ 1? Hilbert (1900): ipotesi del continuo Gödel (1940), Cohen (1963): indecidibile all interno del sistema di assiomi di Zermelo- Fraenkel (quello che permette di fondare assiomaticamente la teoria degli insiemi e quindi tutta la matematica senza incorrere in contraddizioni). 32

33 E. AGAZZI, D. PELLEGRINO, Le geometrie non euclidee, Mondadori 1978 C.B. BOYER, Storia della matematica, Mondadori 1968 U. BARBUTI, Lezioni di Analisi Matematica I, ETS 1975 PIsa N. BOURBAKI, Éléments de Mathématiques, livre III, Topologie Générale Chapitres 5-8, Hermann Paris 1963 N. BOURBAKI, Elementi di storia della matematica, Feltrinelli

34 R. CONTI, Lezioni di Analisi Matematica, Volume primo, CEDAM 1978 F. ENRIQUES, Questioni riguardanti le matematiche elementari, Parte prima, Articolo sesto, Zanichelli 1983 (ristampa) G. GEYMONAT, Lezioni di Analisi Matematica I, Levrotto & Bella, Torino 1981 I. NIVEN, Numeri razionali e numeri irrazionali, Zanichelli 1965 G. PRODI, Analisi matematica, Boringhieri