Insiemi uguali? biiezione : A B bambino i libro i bambino ii libro ii bambino iii libro iii bambino iv libro iv

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1 Insiemi uguali? Vogliamo occuparci del confronto di insiemi, in particolare di insiemi infiniti. Prima di potere parlare di confronto di insiemi è necessario però fare alcune precisazioni a riguardo della parola uguale che in passato ha dato luogo alla nascita di alcuni paradossi. Paradosso: dal greco para (contro) e doxa (opinione). Indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l esperienza comune o con i principi elementari della logica, ma che sottoposta a rigorosa critica risulta valida. Si possono avere molti esempi di paradossi, non necessariamente legati alla matematica. Uno dei più famosi è forse quello di Zenone di Achille e la Tartaruga, in base al quale Achille non riesce a raggiungere la tartaruga. Ritornando alla parola uguale, questa è stata usata in matematica con significati differenti. Dicendo uguale si può intendere rispetto alla forma, alla dimensione, al numero di parti che lo compongono... Basta pensare al concetto di congruente (uguale per forma) ed equivalente (uguale per estensione) della geometria Euclidea. Quindi bisogna capire cosa si intende per insiemi uguali. Primo significato (Aristotele - Grecia, IV secolo a.c.): la parte non è mai uguale-identica al tutto che la contiene, appunto, come parte, e che ha perciò qualche elemento che nella parte non sta. Secondo significato (Cantor - Germania, ): la parte può essere uguale per numero al tutto che la contiene. Vogliamo ora capire il concetto di uguale per numero, cioè equipotente, già precedentemente intuito da Galileo (Italia, ), ma solo successivamente formalizzato da Cantor. E chiaro che un insieme A formato da quattro bambini e un insieme B formato da quattro libri non sono uguali, ma hanno la stessa cardinalità cioè lo stesso numero di elementi, cioè sono equipotenti. Senza necessariamente usare il numero 4, possiamo dire che gli insiemi A e B sono equipotenti perché esiste una corrispondenza biunuvoca tra A e B, cioè una relazione che ad ogni bambino di A associa uno ed un solo libro di B e tale che ad ogni libro di B è associato uno ed un solo bambino di A. biiezione : A B bambino i libro i bambino ii libro ii bambino iii libro iii bambino iv libro iv Generalizzando il concetto, possiamo definire il concetto di equipotenti, cioè uguali per numero, nel seguente modo: Definizione. Due insiemi A e B sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunuvoca tra A e B, cioè una relazione che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B e tale che ad ogni elemento di B è associato uno ed un solo elemento di A. Ricordiamo che una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B è: una funzione di A in B: ad ogni elemento di A è associato uno e un solo elemento di B, iniettiva: elementi distinti di A sono in relazione con elementi distinti di B. suriettiva: ogni elemento di B è in relazione con qualche elemento di A 1

2 2 INSIEMI UGUALI? Definizione. Diciamo che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità e scriviamo che #A = #B se A e B sono equipotenti. Esercizio 1. Dati gli insiemi A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3}, defininire, se possibile una funzione f di A in B che sia: Iniettiva. Suriettiva. Biiettiva. Ripetere l esercizio con una funzione g di B in A. Esercizio 2. Dati gli insiemi A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,4}, defininire, se possibile una funzione f di A in B che sia: Nè iniettiva nè suriettiva. Iniettiva, ma non suriettiva. Suriettiva, ma non iniettiva. Biiettiva. Notiamo che la definizione di equipotente non utilizza il concetto di numero e quindi non presenta alcuna difficoltà per gli insiemi infiniti. Torniamo agli insiemi finiti. Per comodità di notazione indichiamo con n l insieme dei numeri naturali da 1 e n: n = {m N 1 m n} Per esempio 5 = {1,2,3,4,5}. Possiamo ora dare una prima definizione di insieme finito: Definizione. Diciamo che un insieme A è finito se esite un numero naturale n per cui possiamo definire una corrispondenza biunivoca tra A e n, cioè se esite un numero naturale n tale che A è equipotente a n. In tale caso diciamo anche che A ha n elementi, o che A ha cardinalità n. Scriviamo anche che #A = n. Questa definizione di insieme finito va presa come definizione provvisoria. Infatti richiede già la conoscenza di numero (finito). E facile osservare che può esistere una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi n e m se e solo se n = m. Esercizio 3. Se n m come può al massimo essere una funzione di n in m? (È necessario distinguere i due casi n < m o n > m ) È quindi evidente che il concetto di equipotente e di cardinalità di un insieme generalizza l idea che abbiamo intuitivamente nel caso finito di uguali per numero tra insiemi e di numero di elementi di un insieme. Vediamo alcune applicazioni del concetto di equipotente nel caso infinito. E facile dimostrare che: L insieme dei punti di una retta è equipotente all insieme R dei numeri reali. Basta infatti fissare sulla retta un punto (origine) e un secondo punto utilizzato come unità di misura. Di conseguneza viene definita la biiezione che associa a ogni punto della retta la sua distanza con segno dall origine. In maniera del tutto analoga, con un po di attenzione nella scelta dell unità di misura: Altrettanto: L insieme dei punti di un segmento è equipotente a un qualsiasi intervallo [a,b] di numeri reali. L insieme dei punti del piano è equipotente all insieme delle coppie ordinate R R = {(x,y) x,y R } In realtà lavorando con la geometria analitica identifichiamo completamente i due precedenti insiemi. Tale identificazione ha permesso di semplificare notevolmente e quindi risolvere molti problemi della geometria. (Fermat - Francia, 1600 e Descartes - Francia, 1600). Vediamo qualche altro esempio che affronta alcuni paradossi dell infinito. L insieme dei numeri pari è equipotente all insieme dei numeri naturali.

3 INSIEMI UGUALI? 3 Consideriamo infatti l insieme dei numeri naturali e l insieme dei numeri pari: N = {0,1,2,3,... } P = {2n n N} = {0,2,4,6,... } E chiaro che gli insiemi N e P non sono uguali identici, per esempio 3 N, ma 3 P. Anzi, P è un sottoinsieme proprio di N. Gli insiemi N e P sono però equipotenti. E possibile infatti definire la seguente funzione biiettiva: f : N P, f(n) = 2n In maniera del tutto analoga si può dimostrare che N è equipotente per esempio al suo sottoinsieme formato dai multipli di un suo qualsiasi numero. Esercizio 4. Dimostra per esempio che N è equipotente all insieme dei numeri dispari e che N è equipotente all insieme dei multipli (naturali) di 5. Ancora, N è equipotente all insieme formato dalle potenze di un suo numero. Per esempio N è equipotente al suo sottoinsieme A formato dalle potenze del numero 7, infatti si può definire la corrispondenza biunivoca: f : N A, f(n) = 7 n Possiamo allora dire che #N = #P = #A. Da questi esempi è chiaro il concetto di uguale per numero introdotto da Cantor: P è un sottoinsieme proprio di N (è una sua parte), ma è uguale per numero a N. Da questa osservazione Cantor ha ricavato la seguente definizione di insieme infinito: Definizione. Diciamo che un insieme A è infinito se A è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Da questa definizione Cantor ha quindi ricavato la definizione di insieme finito: Definizione. Diciamo che un insieme A è finito se A non può essere equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Possiamo facilmente verificare che tutti gli intervalli reali sono tra loro equipotenti. Per esempio l intervallo [0,2] è equipotente a [0,1] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,1] [0,2], f(x) = 2x In generale ogni intervallo [0,a], con a > 0 è equipotente a [0,1] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,1] [0,a], f(x) = a x Analogamente l intervallo [3, 4] è equipotente a [0, 1] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,1] [3,4], f(x) = x+3 Esercizio 5. Componendo quanto appena osservato, dimostrare che l intervallo [3, 5] è equipotente a [11,18]. Vediamo alcune situazioni geometriche. I punti di un segmento sono tanti quanti i punti di un qualsiasi altro segmento piccolo a piacere. Possiamo dimostrare facilemente quest ultimo fatto anche geometricamente, senza ricorrere alla corrispondenza tra segmenti e intervalli numerici. Consideriamo infatti due segmenti AB e CD di lunghezza differente. Posizioniamo i due segmenti paralleli tra loro come in figura, e sia P il punto di intersezione delle rette AC e BD. La biiezione tra CD e AB è data dalle proiezioni di centro P da un segmento all altro:

4 4 INSIEMI UGUALI? A ogni punto Q di CD corrisponde in maniera biunivoca il punto Q su AB dato dall intersezione tra la retta PQ e il segmento AB. Viene così definita una corrispondenza biunivoca tra i punti di AB e i punti CD. Se i segmenti AB e CD fossero stati di uguale lunghezza non si poteva trovare il punto P, ma la situazione era banalmente risolvibile con una proiezione parallela (in sostanza in tale caso AB e CD possono essere sovrapposti). Con una costruzione simile si vede che: I punti di una semiretta sono tanti quanti i punti di un qualsiasi segmento semiaperto. Sia s la semiretta di origine S e AB il segmento semiaperto, con A compreso e B escluso. Basta fare coincidere A con S e posizionare AB perpendicolare a s. Sia quindi P un punto distante dal prolungamento di s quanto B, come in figura. La bieizione è definita proiettando da P su s i punti di AB. Con una costruzione simile si può dimostrare che I punti di una retta sono tanti quanti i punti di un qualsiasi segmento, estremi esclusi. Si tratta in questo caso posizionare il segmento AB perpendicolarmente alla retta r e di scegliere due punti P1 e P2 alla stessa distanza da r rispettivamente di B ed A come in figura. La bieizione è definita proiettando da P1 su r i punti di AB sopra al punto H di intersezione tra AB e r, e da P2 i punti di AB sotto H. Da questo fatto, e sfruttando l equipotenza tra la retta e R e l equipotenza tra un segmento privo di estremi e l intervallo ]a, b[ corrispondente, segue anche che: L insieme R dei numeri reali è equipotente a un qualsiasi intervallo ]a,b[ di R. Notiamo che è facile vedere, per altra via, per esempio che l insieme I = ] π 2, π 2[ è equipotente a R. Infatti esiste la funzione biiettiva tg(x) da I = ] π 2, π 2[ in R. Esercizio 6. Sfruttando la funzione tangente, far vedere che l intervallo ]0, 1[ è equipotente a R.

5 INSIEMI UGUALI? 5 Vediamo una situazione un po più complicata. I punti di un quadrato sono tanti quanti i punti di un suo lato. Per dimostrare questo fatto facciamo coincidere due lati del quadrato con gli assi cartesiani e quindi un vertice del quadrato con l origine. A ogni punto del quadrato possiamo quindi far corispondere in maniera biunivoca le sue coordinate (x,y), dove x e y sono due numeri reali compresi tra 0 e 1. E quindi chiaro che l insieme dei punti del quadrato è equipotente all insieme A = {(x,y) x,y R, 0 x 1 e 0 y 1} Analogamente ai punti di un lato, per esempio quello appoggiato sull asse delle x, corrispondono alle coppie (x,0) con x numero reale compreso tra 0 e 1, e sono quindi in corrispondenza biunivoca con l insieme [0,1]. I numeri x e y, compresi tra 0 e 1, possono essere scritti nella forma x = 0,a 1 a 2 a 3... y = 0,b 1 b 2 b 3... dove le cifre a i e b i sono infinite (eventualmente tutte nulle da un certo punto in poi se x o y sono decimali finiti. Notiamo che 0,9 = 1). Possiamo quindi definire la funzione f : A [0,1] (x,y) t = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3... Notiamo che tale corrispondenza è biunivoca, infatti ad ogni numero c [0,1], c = 0,c 1 c 2 c 3... corrisponde un unica coppia (x,y) A dove x = 0,c 1 c 3 c 5... e y = 0,c 2 c 4 c 6... Quindi A e [0,1] sono equipotenti e di conseguenza i punti di un quadrato sono tanti quanti quelli di un suo lato. Ingrandendo il quadrato a piacimento, possiamo concludere (intuire) che: I punti del piano sono tanti quanti i punti di una retta. In maniera del tutto analoga si può dimostrare che: I punti di un cubo sono tanti quanti quelli di un suo spigolo e quindi ottenere che: I punti dello spazio sono tanti quanti i punti di una retta. Unendo tutti questi risultati possiamo dire che: I punti dello spazio sono tanti quanti i punti di un segmento piccolo a piacere. Abbiamo quindi visto che, dal punto di vista geometrico, L insieme dei punti dello spazio, di un piano, di una retta, di un segmento, di un quadrato, di un cubo,... sono tutti equipotenti. Analogamente, dal punto di vista algebrico, L insieme R dei numeri reali, l insieme R R delle coppie di numeri reali, l insieme R 3 delle terne di numeri reali, un qualsiasi intervallo [a, b] R,... sono tutti equipotenti In realtà c è al momento un piccolo problema con gli estremi del segmento o dell intervallo, che sistemeremo più avanti, ma possiamo intuire che rispetto a un insieme infinito i due punti o i due numeri in più (gli estremi) non potranno fare la differenza.