Matematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali

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1 Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali 1, 2, 3,.... Su N sono definite due operazioni : e + che soddisfano le seguenti proprietá formali : a, b, c N a b = b a a + b = b + a commutatività (a b) c = a (b c) (a + b) + c = a + (b + c) associatività 1 a = a elemento neutro a (b + c) = a b + a c distributività del prodotto rispetto alla somma É inoltre definita una relazione a, b, c N d ordine ( ) compatibile con le operazioni, tale cioé che a b a + c b + c a c b c Rispetto a questa relazione d ordine, ogni sottoinsieme non vuoto S di N ha elemento minimo. L elemento minimo di N stesso é 1 (si dice che N é un insieme ben ordinato Ricordiamo la definizione Definizione 1. Se S é un insieme ordinato (cioé dotato di una relazione d ordine ) diciamo che S ha minimo se S contiene un elemento m tale che m x, x S. Scriveremo che m é il minimo di S, m = min S. Analogamente S ha massimo se S contiene un elemento M tale che x M, x S. Scriveremo che M é il massimo di S, M = max S. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... é l insieme dei numeri interi. N Z. Nel passaggio da N a Z sono preservate le proprietá formali citate per N. Si aggiungono le seguenti 0 + a = a a Z elemento neutro per l addizione a Z!( a) Z : a + ( a) = 0 esistenza del contrario La compatibilitá della relazione d ordine con la moltiplicazione assume la forma : a b a c b c c > 0 a c b c c < 0 1

2 Conseguenza di queste proprietá, sono la regola dei segni + + = + + = + = = + e il fatto che a 0 = 0, a Z (infatti ab = a(b + 0) = ab + a0 a0 = 0). La sottrazione a b viene definita come a + ( b). Al contrario di N, Z non é un insieme ben ordinato. Come N é peró un insieme discreto (ogni elemento ha un successore nell ordinamento e non vi sono altri elementi tra lui e il suo successore). Q = {..., 34, 34, 1, 2, 25, 25,... é l insieme dei numeri razionali. Q Z. Tutte le relazioni formali valide in Z rimangono valide. Q é ordinato in modo compatibile rispetto alle operazioni. Ció che realizza l estensione da Z a Q é la richiesta che ogni a 0 abbia un inverso (unico!) moltiplicativo a 1 = 1 a tale che a a 1 = 1. 0 non puó avere inverso, altrimenti, per definizione = 1 ma (2 0) 0 1 = = 1 mentre 2 (0 0 1 ) = 2 1 = 2 violando l associativitá del prodotto (e il fatto che a 0 = 0, necessaria conseguenza della distributivitá). Al contrario di Z, Q non é discreto : tra due elementi qualunque di Q, esiste sempre almeno un elemento di Q distinto da entrambi : tra x e y con x < y c é, per esempio, x+y 2. Si dice che Q é un campo ordinato per riassumere tutte le proprietá formali che elenchiamo a + b = b + a, a b = b a (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c)!0 : a + 0 = a,!1 : a 1 = a a! ( a) : a + ( a) = 0, a 0! a 1 = 1 a : a a 1 = 1 a (b + c) = a b + a c a b a + c b + c a b a c b c c > 0 a c b c c < 0 Conseguenza della compatibilitá tra ordinamento e moltiplicazione é il fatto che per ogni elemento x si ha x 2 0. Sia ora S un insieme ordinato (S, ) e A un suo sottinsieme non vuoto. Definizione α S si dice maggiorante di A (o confine superiore di A) se α x, x A. β S si dice minorante di A (o confine inferiore di A) se β x, x A. 2

3 Esempio : In Q, l insieme N é privo di maggioranti mentre tutti i razionali minori o uguali a 1 sono minoranti di N. Sempre in Q, l intervallo ( 7, 3] ha per maggioranti tutti i razionali maggiori o uguali a 3 e per minoranti tutti quelli minori o uguali a -7. Definizione Chiamiamo estremo superiore di A, se esiste, il minimo dei maggioranti di A, e lo indichiamo con sup A. Analogamente, chiamiamo estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dei minoranti di A, e lo indichiamo con inf A. Osservazione Se A ha massimo, allora sup A = max A. Analogamente, se A ha minimo, allora inf A = min A. Puó accadere che A non abbia massimo ma possegga l estremo superiore. Per esempio, sia A l insieme dei razionali strettamente minori di 5. sup A = 5, ma A non ha massimo (tra i suoi elementi non ce n é alcuno piú grande di tutti!). In generale non é garantita neppure l esistenza dell estremo superiore (e di quello inferiore). Per esempio il sottoinsieme N di Q é privo di maggioranti e quindi di estremo superiore!. Un esempio di tipo diverso é dato dall insieme A = { x Q : x 0 e x 2 2 Q A non ha massimo (essenzialmente perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2) e l insieme dei maggioranti di A, cioé { B = y Q : y 0 e y 2 2 non ha minimo, sempre perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2. Dunque, in Q non esiste alcun elemento sup A. Definizione Se A é privo di maggioranti (minoranti) diremo che A é illimitato superiormente (illimitato inferiormente) e scriveremo sup A = + (inf A = ). Nell esempio precedente, sup N = +, inf N = min N = 1. Se A possiede un maggiorante (minorante) diremo che é limitato superiormente (limitato inferiormente). Se A possiede un maggiorante e un minorante, diremo che A é limitato. Osservazione Se A é finito (cioé contiene solo un numero finito di elementi) ed ordinato, allora possiede sia il massimo che il minimo. Abbiamo visto che in Q ci sono insiemi limitati privi di estremo superiore in Q ( per esempio : A = {x Q : x 0, x 2 2). Inoltre in Q non tutti i numeri posseggono le radici quadrate, cubiche, etc. Ció rende Q insufficiente per le esigenze sia dell Analisi che della Geometria. Si introducono quindi i numeri reali R. Il modello a cui facciamo riferimento é quello degli allineamenti decimali illimitati : ±a, a 1 a 2 a 3 dove a N mentre a 1, a 2, sono cifre comprese tra 0 e 9. Esempio : 318, ,

4 Tra questi allineamenti é definita una relazione d ordine tale che α = a, a 1 a 2 a 3 < β = b, b 1 b 2 b 3 se 1) a < b o 2) a = b e a 1 < b 1 o n + 1)a = b, a 1 = b 1,, a n = b n, e a n+1 < b n+1 eccetera (cioé α < β se la prima cifra di α diversa dalla corrispondente cifra di β é minore di essa) cosí 2, < 2, Chiamiamo 0 l allineamento 0, 000 e definiamo l ordinamento per gli allineamenti a, a 1 a 2 a 3 in maniera simmetrica a quanto fatto per quelli del tipo +a, a 1 a 2 a 3. Cosí 2, < 1, < 1, < 0 < 1, 1002 < 1, 1100 Conveniamo di identificare allineamenti finiti e allineamenti periodici di periodo 9 Esempio 2, 35 2, , 2 0, e di sostituire,qualora dovessero comparire, gli allineamenti periodici di periodo 9 con i corrispondenti allineamenti finiti. Chiamiamo numeri reali tali allineamenti decimali e indichiamo con R il loro insieme. Gli allineamenti finiti sono interpretabili come numeri razionali : a, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 = a + a a a a a Si vede anzi che ogni numero razionale puó essere rappresentato come allineamento decimale finito o periodico e viceversa che ogni allineamento finito o periodico é associato ad un numero razionale. Q puó quindi essere visto come un sottoinsieme di R (allineamenti finiti o periodici). Q é denso in R : é facile vedere che tra due allineamenti arbitrari (i.e. tra due arbitrari elementi di R) ci sono sempre allineamenti finiti (o periodici!) e quindi tra due reali c é sempre un razionale (in realtá infiniti) Esempio : Tra α = 2, e β = 2, c é, per esempio il razionale 2, o anche il razionale 2, = 2, Teorema Ogni sottoinsieme non vuoto di R possiede estremo superiore ed estremo inferiore (eventualmente uguali a + o ). 4

5 Definizione Se x R, x = { x se x 0 x se x < 0 (volgarmente x é il numero senza segno!) Dato il numero reale x rappresentato dall allineamento decimale a, a 1 a 2 chiamiamo troncamento di x a livello n il numero razionale x n = a, a 1 a 2 a n. La differenza tra x e il suo troncamento di ordine n é in valore assoluto minore o uguale a n Mediante l esistenza dell estremo superiore per ogni sottoinsieme non vuoto di R e grazie ai troncamenti, possiamo definire le operazioni in R. Addizione Se 0 x,y R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti. Costruiamo l insieme X + Y = {x n + y m, n, m e definiamo x + y = sup(x + Y ) Con semplici aggiustamenti tecnici questa definizione si puó estendere anche ai reali negativi. Moltiplicazione Se 0 x,y R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti. Costruiamo l insieme XY = {x n y m, n, m e definiamo xy = sup(xy ) Questa definizione si estende a tutti i numeri reali mediante la regola dei segni. Con queste operazioni R diventa un campo ordinato con la proprietà dell estremo superiore e in conseguenza di ció, in R ogni numero maggiore o uguale a 0 ha radice n 2 Infatti: sia α > 0, costruiamo n esima A = {a R a 0 : a n α si dimostra che (sup A) n = α dunque, sup A é la radice n-esima di α. Dato α > 0 in R e p q Q α p 1 q = (α q ) p Possiamo ora definire per α > 0, α 1 e β R il numero reale α β. Se α > 1 sia A = {α p q, p q Q : p q β allora Se 0 < α < 1, allora α β = sup A α β = inf A 5

6 FATTI Se A ha minimo, inf A = min A Se A ha massimo, sup A = max A Se sup A <, allora ɛ > 0 x ɛ A tale che sup A ɛ < x ɛ (x ɛ potrebbe essere proprio sup A qualora quest ultimo fosse elemento di A e quindi il massimo di A). Se sup A <, ma sup A A, allora ɛ > 0 esistono infiniti elementi di A maggiori di sup A ɛ. Se inf A >, allora ɛ > 0 x ɛ A tale che inf A + ɛ > x ɛ. Se inf A >, ma inf A A, allora ɛ > 0 esistono infiniti elementi di A minori di inf A + ɛ. 6