1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi

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1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi Prima di affrontare gli esercizi su estremo superiore ed inferiore, ricordiamo alcune definizioni ed alcuni teoremi che ci verranno utili. Definizione. Sia E un sottoinsieme di R. Definiamo M(E), l insieme dei maggioranti di E, come segue: M(E) = {y R : y x, x E. Definiamo N (E), l insieme dei minoranti di E, come segue: N (E) = {y R : y x, x E. Osserviamo che affermare che M(E) è equivalente a dire che esiste M in R tale che M sia più grande di tutti gli elementi di E, il che è equivalente a dire che E è limitato superiormente. Analogamente, N (E) se e solo se esiste N in R tale che N sia più piccolo di tutti gli elementi di E, ovvero se e solo se E è limitato inferiormente. Definizione. Sia E un sottoinsieme di R: un numero reale x appartentente sia ad E che a M(E) si dice massimo di E (e viene indicato da max(e)); un numero reale x appartenente sia ad E che a N (E) si dice minimo di E (e viene indicato da min(e)). Teorema 3. Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente: allora esiste il minimo di M(E). Sia E un sottoinsieme di R limitato inferiormente: allora esiste il massimo di N (E). Definizione 4. Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente. Definiamo l estremo superiore di E come il minimo di M(E): sup(e) = min M(E). Analogamente, se E è un sottoinsieme di R limitato inferiormente, definiamo l estremo inferiore di E come il massimo di N (E): inf(e) = max N (E). Se E non è limitato superiormente (vale a dire, se M(E) è vuoto), definiamo sup(e) = +. Se E non è limitato inferiormente (vale a dire, se N (E) è vuoto), definiamo inf(e) =.

2 Teorema 5. Siano E ed F due sottoinsiemi di R con E F. Allora si ha inf(f ) inf(e) sup(e) sup(f ). Inoltre, sup(e F ) = max(sup(e), sup(f )), inf(e F ) = min(inf(e), inf(f )). Il Teorema è particolarmente utile nel caso in cui gli elementi di E si possano suddividere in vari gruppi; se, ad esempio, { ( nπ ) E = n sin, n N, essendo sin ( ) ( nπ = 0 se n è pari, ed essendo sin nπ ) = ( ) k se n = k è dispari, possiamo scrivere con { ( nπ E = n sin E = E = E E E 3, ), n N, n pari = {0, {, k N, k pari k e { E 3 =, k N, k dispari, k e calcolare estremo superiore ed inferiore di E i (con i =,, 3); successivamente, si tratterà di incollare i risultati usando il Teorema., Già, ma come calcolare estremo superiore ed inferiore di E ed E 3 (per E il calcolo dovrebbe essere facile...)? Ci viene in soccorso il seguente teorema. Teorema 6. Sia E = {a n, n N, l insieme dei valori assunti da una successione a n di numeri reali. Se la successione a n è monotona crescente, ovvero se a n+ a n per ogni n in N, si ha inf(e) = min(e) = a, sup(e) = lim n + a n. Analogamente, se a n è monotona decrescente, ovvero se a n+ a n per ogni n in N, si ha sup(e) = max(e) = a, inf(e) = lim n + a n.

3 Osservazione 7. Se la successione che definisce l insieme non è tutta monotona, ma lo è solo da un certo punto in poi (ad esempio: si ha a n+ a n solo se n n 0 ) il procedimento corretto da seguire sfrutta il Teorema ed il Teorema 3. Se, infatti, possiamo scrivere con E = {a n, n N, E = E E, E = {a, a,..., a n0, E = {a n0, a n0 +,... = {a n, n n 0. Siccome E ha un numero finito di elementi, sarà facile calcolarne il massimo (il numero più grande in E ) ed il minimo (il numero più piccolo in E ); per il Teorema 3, inoltre, inf(e ) = a n0, sup(e ) = lim n + a n. A questo punto, grazie al Teorema, avremo inf(e) = min(min(e ), a n0 ), sup(e) = max(max(e ), lim n + a n), con ovvie modificazioni nel caso in cui a n sia monotona descrescente a partire da un certo indice n 0 in poi. Osservazione 8. Un errore molto comune che si commette affrontando esercizi sul calcolo dell estremo superiore ed inferiore di insiemi definiti tramite successioni consiste nel confondere l insieme dei valori della successione con l insieme dei numeri naturali. Quando si scrive E = {a n, n N, si intende dire che E è l immagine di N tramite la successione a: se ad esempio a n =, allora n E = {a n, n N = {,, 3, 4,... ; se a n = ( + n) n, allora E = {a n, n N = {, ( ) 3, ( ) 3 4, 3 ( ) 4 5, Svolgere l esercizio consiste nel calcolare l estremo inferiore e superiore di questi valori: l indice n è solo un parametro che non va preso in considerazione ai fini del calcolo. 3

4 4 Dai teoremi precedenti appare chiaro che uno dei concetti fondamentali per il calcolo di estremo superiore ed inferiore di insiemi definiti tramite successioni è la monotonia della successione. Come si fa a dimostrare che una successione è monotona (o lo è a partire da un certo punto in poi)? I metodi sono, essenzialmente, due: Metodo. Si usa la definizione di monotonia; vale a dire si cercano i valori di n per i quali è soddisfatta la relazione a n+ a n. In altre parole, si risolve una disequazione tra numeri reali. Metodo. Se la successione è del tipo a n = f(n), ovvero i valori della successione sono ottenuti come i valori assunti su N da una funzione reale di variabile reale f(x), allora si può studiare la monotonia della successione studiando il segno della derivata prima di f(x). Di nuovo, si tratta di risolvere una disequazione tra numeri reali. Quale dei due scegliere? In alcuni casi può convenire il primo metodo, in altri il secondo. In generale, se il calcolo della derivata prima della funzione f è semplice, conviene il secondo; se è complicato, probabilmente (ma non necessariamente...) l esercizio è stato pensato per essere svolto usando il primo metodo. In ogni caso la monotonia va dimostrata: non basta (ed è anzi un errore) calcolare alcuni dei valori della successione, osservare che sono ordinati e dedurne che la successione è monotona. Bando alle ciance, e passiamo alla pratica. Esercizio. Dato l insieme { n 3 E = n + n + 5, n N, calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano rispettivamente massimo e minimo. Svolgimento. Siccome gli elementi dell insieme sono gli elementi della successione a n = f(n), con f(x) = x 3, studiamo la monotonia x +x+5 della successione studiando il segno della derivata prima di f(x). Si ha f (x) = x 6x (x + x + 5). Dal momento che il denominatore di f (x) è sempre positivo e non si annulla mai, si ha f (x) 0 x 6x x Essendo 3 0 negativo, ed interessandoci solo i valori maggiori di per x (dato che i numeri naturali partono da ), abbiamo che f(x) è

5 monotona crescente per x 3 + 0, e monotona decrescente per x > Dal momento che 0 4.5, abbiamo che a n = f(n) è crescente per n 7, decrescente per n 8. In altre parole, a a... a 7, a 8 a 9... a n... A questo punto, memori del Teorema 6 (e della successiva Osservazione 7), spezziamo l insieme E nell unione disgiunta di due insiemi: E = E E, con Per il Teorema 6 abbiamo e E = {a n, n 7, E = {a n, n 8. inf (E ) = min (E ) = a = 4, sup (E ) = max (E ) = a 7 = 7, sup (E ) = max (E ) = a 8 = 7, inf (E ) = lim n + a n = 0. Grazie al Teorema 5, possiamo concludere l esercizio: e inf (E) = min (E) = min( 4, 0) = 4, sup (E) = max (E) = max( 7, 7 ) = 7. Esercizio. Dato l insieme { ( ) n E = n 3n + 3, n N, calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano rispettivamente massimo e minimo. Svolgimento. Innanzitutto, ed a causa del termine ( ) n, la successione che definisce l insieme può essere spezzata in due parti a seconda del valore (pari o dispari) di n. Otteniamo così: { E = E E = n 3n + 3, n pari { n 3n + 3, n dispari 5. A questo punto grazie al Teorema 5 è sufficiente calcolare estremo superiore ed inferiore di E ed E per poi incollare i risultati. Partiamo da E e studiamo la monotonia della successione a n = n 3n + 3.

6 6 Inizialmente studiamo la monotonia di tale successione su tutti i naturali. Dovremo però ricordarci che i risultati vanno letti solo per valori pari di n. Per la motonia, o risolviamo la disequazione a n+ a n (n + ) 3(n + ) + 3 n 3n + 3, oppure, dato che a n = f(n) con f(x) =, studiamo la disequazione x 3x+3 f x 3 (x) 0 (x 3x + 3) 0. È evidente che la seconda disequazione è ben più facile della prima (per poter risolvere la prima serve studiare anche il segno del denominatore), per cui scegliamo il secondo metodo. Si ha, essendo il denominatore positivo e sempre differente da zero, f (x) 0 3 x 0 x 3. Pertanto, la funzione è crescente in (, 3) e decrescente in ( 3, + ). Siccome a n coincide con f(n) solo per n pari, e siccome tutti i numeri pari cadono nell intervallo ( 3, + ), abbiamo f(n) f(n + ) per ogni n pari, e quindi a n a n+ per ogni n pari. Pertanto sup (E ) = max (E ) = a =, inf (E ) = lim n + a n = 0. Passiamo ora ad E, e studiamo la monotonia della successione b n = n 3n + 3. Essendo evidentemente b n = a n, la successione b n sarà monotona crescente dove a n era decrescente e viceversa. Avremo quindi che b n è monotona decrescente per n 3, monotona crescente per n 3. Dal momento che di valori interi minori di 3 c è solo n =, abbiamo da una parte il valore b =, e dall altra i valori b 3 b 5... (ricordiamoci che vanno considerati solo i valori dispari di n). A questo punto è necessario spezzare ulteriormente i valori di E, lasciando da una parte il valore isolato b e mettendo dall altra tutti i valori di b n con n dispari maggiore di 3. Per questo secondo insieme (che battezziamo E 3 ), abbiamo inf (E 3 ) = min (E 3 ) = b 3 = 3, sup (E 3) = lim n + b n = 0. Pertanto, grazie ancora al Teorema 5, abbiamo inf (E ) = min (E ) = min (b, inf (E 3 )) =,

7 e sup (E ) = max(b, sup (E 3 )) = 0. A questo punto possiamo concludere l esercizio: si ha sup (E) = max(sup (E ), sup (E )) = max(, 0) =, e inf (E) = min(inf (E ), inf (E )) = min(0, ) =. Dal momento che entrambi i valori sono assunti (uno per n =, l altro per n = ), e sono rispettivamente massimo e minimo di E. Esercizio 3. Data la successione n 3 a n = 4n + 4 exp( (n 5) ) se n è pari, se n è dispari, calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano rispettivamente massimo e minimo. Svolgimento. Come nell esercizio precedente, consideriamo prima i valori di a n per n pari, e successivamente i valori di a n con n dispari. Sempre allo scopo di applicare il Teorema 6, studiamo la monotonia della successione b n = n 3. Se associamo a b 4n+4 n la funzione f(x) = x 3, 4x+4 calcolando f (x) si ha f (x) = (x + ), che è positiva per ogni x. Ne consegue che la successione b n è monotona crescente, e quindi che (grazie al Teorema 6) inf{a n, n pari = a =, sup{a n, n pari = lim n + a n = 4. Per quanto riguarda i valori della successione per n dispari, studiamo la monotonia della successione c n = exp( (n 5) ). Senza bisogno di fare derivate, osserviamo che siccome (n 5) è monotona crescente per n 5 e decrescente successivamente, la monotonia della funzione esponenziale implica che c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7... c n... Pertanto, il massimo della successione c n è c 5 =, mentre l estremo inferiore è il più piccolo tra c = exp( 6) ed il limite a più infinito di c n (che vale 0), vale a dire 0. Pertanto, l estremo inferiore di a n per n dispari è 0 (che non è un minimo), mentre l estremo superiore è (che è un massimo). Mettendo insieme i risultati ottenuti per n pari e per n dispari si trova che il minimo di a n è, mentre il massimo è. 7

8 8 A questo punto, passo la mano Esercizio 4. Dati gli insiemi A = ( {( ) n 7 n { ) arc tg(n), n N, ( ) n + 3n 3 B = log, n N, n + C = {( cos(nπ))n + n, n N, { ( ) { 5n + 7 D = ( ) n cos, n N n n +, n N, { n E = {exp( n), n N n, n N, F = { n 8n +, n N { n, n N, G = { arc tg(n 4n + 5), n N { n 6n + 0, n N, { H = p, p primo, calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano rispettivamente massimo e minimo.