Massimo e minimo limite di successioni

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1 Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione, R ammette massimo (+ ) e minimo ( ). Definizione 1.2. Una successione di numeri reali (a n ) n N si dice regolare se ammette limite, finito o meno, ovvero se esiste lim n a n R, ovvero se è convergente o divergente a + o. Si ricorda che ogni successione (di numeri reali) limitata ha una sottosuccessione convergente, e che ogni successione superiormente/inferiormente illimitata ha una sottosuccessione divergente a + /. Dunque ogni successione di numeri reali ha almeno una sottosuccessione regolare. Definizione 1.3. Un sottinsieme non vuoto B di R si dice superiormente saturo se, preso un qualunque b B, ogni suo maggiorante appartiene ancora a B, cioè b B, x R, x > b x B, si dice inferiormente saturo se se, preso un qualunque b B, ogni suo minorante appartiene ancora a B, cioè b B, x R, x < b x B. Allo scopo di caratterizzare gli insiemi superiormente saturi, sia β = inf B. Si hanno due casi: o β = o β R. 1

2 Nel caso β =, B è inferiormente illimitato e quindi ogni x R non è una limitazione inferiore per B, cioè per ogni x R esiste b B tale che b < x. Essendo B superioremnte saturo, si ha che x B. Quindi B = R. Nel caso β R, si ha che β b per ogni b B e quindi B [β, + ). Per la seconda proprietà caratterisitca dell estremo inferiore si ha che per ogni x > β esiste b B tale che b < x. Essendo B superioremnte saturo, x B, quindi (β, + ) B. Segue allora che (β, + ) B [β, + ). Da quanto sopra, si ha che gli insiemi superiormente saturi sono dei seguenti tipi: R, (β, + ), [β, + ). Similmente, gli insiemi inferiormente saturi sono dei seguenti tipi: R, (, β), (, β]. 2 Massimo e minimo limite di successioni Sia (a n ) n N una successione di numeri reali. Definizione 2.1. Un numero reale M si dice maggiorante definitivo di (a n ) n N se esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Indichiamo con M l insieme dei maggioranti definitivi di (a n ) n N. Osservazione 2.2. Valgono le seguenti proprietà: i) Se M è un maggiorante di (a n ) n N, allora è un maggiorante definitivo, mentre non vale il viceversa, ma se una successione (a n ) n N ammette un maggiorante definitivo, allora ammette un maggiorante. Infatti se M è un maggiorante definitivo, esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Allora M = max{m, a 1,..., a ν 1 } è un maggiorante di (a n ) n N. ii) La successione (a n ) n N è superiormente limitata se e solo se M. La successione (a n ) n N è superiormente illimitata se e solo se M =. iii) Se M, allora M è superiormente saturo. Infatti se M M, M è un maggiorante definitivo di (a n ) n N, quindi ogni x > M è pure un maggiorante definitivo di (a n ) n N. Dunque o M = (L, + ) o M = [L, + ) o M = R. Ad esempio, se a n = 1, M = (0, + ), se a n n = 1, M = [0, + ), se n a n = n, M = R. iv) M = R lim a n =. Segue dalla definizione. 2

3 Definizione 2.3. Data una successione di numeri reali (a n ) n N si definisce massimo limite di (a n ) n N inf M, se M, lim sup a n = +, se M =. Si usano equivalentemente le seguenti notazioni lim sup a n = max lim a n = lim a n = lim a n. Da quanto visto, si ha la seguente casistica +, M = a n superiormente illimitata, lim sup a n =, lim a n =, L R, a n superiormente limitata e non divergente a. Analogamente si definisce il minimo limite Definizione 2.4. Un numero reale M si dice minorante definitivo di (a n ) n N se esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Indichiamo con N l insieme dei minoranti definitivi di (a n ) n N. Osservazione 2.5. Valgono le seguenti proprietà: i) Se m è un minorante di (a n ) n N, allora è un minorante definitivo, mentre non vale il viceversa, ma se una successione (a n ) n N ammette un minorante definitivo, allora ammette un minorante. Infatti se m un minorante definitivo, esiste ν N tale che m a n per ogni n ν. Allora m = min{m, a 1,..., a ν 1 } è un minorante di (a n ) n N. ii) La successione (a n ) n N è inferiormente limitata se e solo se N. La successione (a n ) n N è inferiormente illimitata se e solo se N =. iii) Se N, allora N è superiormente saturo. Dunque o N = (, l) o N = (, l] o N = R. iv) N = R lim a n = +. 3

4 Definizione 2.6. Data una successione di numeri reali (a n ) n N si definisce minimo limite di (a n ) n N sup N, se N, lim inf a n =, se N =. Si usano equivalentemente le seguenti notazioni lim inf a n = min lim a n = lim a n = lim a n. Da quanto visto, si ha la seguente casistica, N = a n inferiormente illimitata, lim inf a n = +, lim a n = +, l R, a n inferiormente limitata e non divergente a +. Esempio 2.7. Sia a n = ( 1) n : lim sup a n = 1, lim inf a n = 1. Sia a n = ( 1) n n: lim sup a n = +, lim inf a n =. Sia a n = ( 1)n n : lim sup a n = lim inf a n = 0. Le nozioni di massimo e minimo limite sono utili in vari contesti perchè si possono sempre considerare, anche quando non esiste il limite della successione. Proposizione 2.8. lim inf a n lim sup a n. Dimostrazione. La tesi segue banalmente se M = o se N =. Supponiamo allora M, N. Per ogni a N esiste ν 1 N tale che a a n per ogni n ν 1 e per ogni b M esiste ν 2 N tale che b a n per ogni n ν 2. Dunque per n ν = max{ν 1, ν 2 } si ha a a n b. Quindi a b per ogni a N e per ogni b M, da cui sup N inf M. Vedremo tre caratterizzazioni del massimo limite e del minimo limite. La prima di esse è fornita dalla seguente proposizione. Proposizione 2.9. lim sup a n = inf sup n N k n a k, lim inf a n = sup inf a k. k n n N 4

5 Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite, l altra è analoga. Se a n è superiormente illimitata l uguaglianza è verificata perchè entrambi i suoi membri sono uguali a +. Altrimenti, sia Λ n = sup k n a k. Per ogni n N, Λ n è un maggiorante definitivo della successione e quindi {Λ n } n N M. Segue allora che inf n N sup k n a k = inf n N Λ n inf M = lim sup a n. Viceversa, se α M esiste ν N tale che α a k per ogni k ν. quindi α Λ ν inf n N Λ n = inf n N sup k n a k. Dunque per ogni α M, α inf n N sup k n a k, da cui lim sup a n = inf α M α inf n N sup k n a k. Osservazione La successione Λ n è decrescente, quindi esiste lim Λ n = inf Λ n = lim sup a n. n N Similmente, posto λ n = inf k n a k, la successione λ n è crescente, quindi esiste lim λ n = sup λ n = lim inf a n. n N Vediamo ora una seconda caratterizzazione del massimo limite e del minimo limite, valida però solo quando essi sono numeri reali. Proposizione Il numero reale L è il massimo limite di (a n ) n N se e solo se valgono le due proprietà seguenti: a) ɛ > 0, ν N tale che a n < L + ɛ, n ν, b) ɛ > 0, a n > L ɛ, per infiniti indici n. Il numero reale l è il minimo limite di (a n ) n N se e solo se valgono le due proprietà seguenti: a ) ɛ > 0, ν N tale che a n > l ɛ, n ν, b ) ɛ > 0, a n < l ɛ, per infiniti indici n. Le proprietà a) e b) sono dette le proprietà caratteristiche del massimo limite; le proprietà a ) e b ) sono dette le proprietà caratteristiche del minimo limite. Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite. La proprietà a) si esprime equivalentemente dicendo che ogni L > L è un maggiorante definitivo, ovvero che (L, + ) M. 5

6 La proprietà b) si esprime equivalentemente dicendo che ogni L < L non è un maggiorante definitivo, ovvero che (, L) M =. In definitiva, le proprietà a) e b) sono equivalenti a (L, + ) M [L, + ), cioè M = (L, + ) o M = [L, + ), ovvero L = inf M = lim sup a n. Teorema La successione (a n ) n N ha limite λ R se e solo se lim sup a n = lim inf a n = λ Dimostrazione. Supponiamo che esista lim a n = λ. Si hanno tre casi: a) λ = +, b) λ =, c) λ R. a) La succcessione diverge a +, quindi lim inf a n = +. Poichè lim sup a n lim inf a n, si ha che lim sup a n = + quindi massimo limite, minimo limite e limite coincidono. b) La succcessione diverge a, quindi lim sup a n =. Poichè lim inf a n lim sup a n, si ha che lim inf a n = quindi massimo limite, minimo limite e limite coincidono. c) Per ogni ɛ > 0 esiste ν N tale che λ ɛ < a n < λ + ɛ. Allora λ soddisfa le proprietà caratteristiche sia del massimo limite che del minimo limite, quindi lim sup a n = lim inf a n = λ. Viceversa, supponiamo ora che lim sup a n = lim inf a n = λ. Distinguiamo i tre casi: a) λ = +, b) λ =, c) λ R. a) Dato che lim inf a n = +, la successione a n diverge a +. b) Dato che lim sup a n =, la successione a n diverge a. c) Dalle proprietà a) del massimo limite e a ) del minimo limite segue che la successione converge a λ. Sia X R l insieme dei valori limite di tutte le sottosuccessioni regolari di (a n ) n N. Per quanto osservato nel paragrafo 1, X è non vuoto. Inoltre se la successione (a n ) n N è regolare e lim a n = λ, allora X = {λ}. Vediamo la terza caratterizzazione del massimo limite e del minimo limite. Proposizione L insieme X dei valori limite delle sottosuccessioni di (a n ) n N ammette massimo e minimo e si ha max X = lim sup a n, min X = lim inf a n. 6

7 Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite. Distinguiamo tre casi: a) lim sup a n = +, b) lim sup a n =, c) lim sup a n R. a) In tal caso a n è superiormente illimitata e quindi ha una sottosuccessione divergente a +. Dunque + X ed allora max X = +. b) In tal caso a n diverge a meno infinito. Dunque X = { } e min X =. c) Sia lim sup a n = L R. Dalle proprietà caratteristiche a) e b) si ha che per ogni ɛ > 0 esistono infiniti indici per cui L ɛ < a n < L + ɛ. Per ɛ = 1, esiste n 1 tale che L 1 < a n < L + 1, per ɛ = 1, esiste n 2 2 > n 1 tale che L 1 < a 2 n < L + 1, 2... per ɛ = 1, esiste n k k > n k 1 tale che L 1 < a k n < L + 1, k La sottosuccessione a nk di a n converge a L per il teorema dei due carabinieri, quindi L X. Per ogni L tale che L > L esiste ɛ > 0 tale che L < L + ɛ < L. Per la proprietà caratteristica a) del massimo limite, esiste ν N tale che a n < L+ɛ per ogni n ν. Quindi ogni sottosuccessine regolare di a n tende a un limite l L + ɛ < L. Allora L X, da cui segue che L è il massimo di X. Da questa proposizione derivano i termini massimo limite e minimo limite. dato che il massimo limite e il minimo limite sono rispettivamente il massimo e il minimo dei valori limite delle sottosuccessioni di (a n ) n N. Proposizione Sia (a n ) n N una successione tale che a n > 0 per ogni n N. Si ha lim inf a n+1 a n lim inf n an lim sup n an lim sup a n+1 a n. Dimostrazione. La disuguaglianza centrale è nota. Proviamo la disuguaglianza lim sup n a a n lim sup n+1 a n ; la dimostrazione della disuguaglianza lim inf n+1 a n a lim inf n a n è del tutto analoga. a Sia α = lim sup n+1 a n. Se α = +, la tesi è ovvia, sia dunque α R. Per ogni β > α, dalla proprietà caratterisica a) del massimo limite, esiste ν N tale che a n+1 a n < β per ogni n ν. Si ha che a ν+1 < βa ν, a ν+2 < β 2 a ν,..., a ν+k < β k a ν per ogni k N. Operando il cambio di variabili n = ν+k, si ha a n < β n ν a ν per ogni n ν, ovvero a n < β n aν per ogni n ν. β ν Quindi si ha n a n < β n a ν n β ν per ogni n ν. Quindi lim sup n a n lim sup β n a ν n β ν = lim β n a ν n β ν = β. Dunque lim sup n a n β per ogni β > α, e perciò lim sup n a n α. 7