Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

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1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione non ha soluzione per x < 7 ; II) se x 7,siha x 7 x 7 x 4x 9 x 9 4, e poiché 9 4 < 7 la disequazione non ha soluzione per x 7 In conclusione la disequazione non ha soluzioni b) Il membro a sinistra è definito per ogni x Si deve quindi risolvere x 5 > x + per x Poiché x 5 se x 5 x 5 x + se x 5 x se x < 5 e x + x se x <, si distinguono tre intervalli,, ),, 5 ) e [ 5, + ) si ricordi che x ), e si risolve: 0, McGraw-Hill

2 Svolgimento degli esercizi del Capitolo I) x < : la disuguaglianza diventa 5 x > x, ovvero x < 6, quindi x, 6), ), ); II) < x < 5 : la disuguaglianza diventa 5 x > x +, ovvero x < 4, quindi x ), ) 4, 5, 4 ) ; III) x 5 : la disuguaglianza diventa x 5 > x +, ovvero x > 6, quindi x 6, + ) [ 5, + ) 6, + ) In conclusione, x R è soluzione se e solo se x, ), 4 ) 6, + ) c) Poiché x se x x x se x < x se x e x x se x >, si distinguono tre casi: I) x : la disuguaglianza diventa x + x, ovvero x 5, cioè x [5, + ), ] ; II) < x < : la disuguaglianza diventa x + x, ovvero x 7, cioè x [ 7, + ), ) ; III) x : la disuguaglianza diventa x + x, ovvero x, cioè x, ] [, + ) Perciò la disuguaglianza non ammette soluzioni reali d) Si ha x x x se x x x x x x se x <, quindi x se x { } e x x se x x x se x x se x < e x < x se x < e x x se x < e x > x se x x se x < x se < x < x se x Si distinguono quattro casi: I) x : la disuguaglianza diventa x <, ovvero x <, cioè x [, + ), ) [, ); II) x < : la disuguaglianza diventa x <, ovvero x > 0, cioè x [, ) 0, + ) [, ) ; Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

3 Svolgimento degli esercizi del Capitolo III) < x < : la disuguaglianza diventa x <, ovvero x <, cioè x, ), ), ) ; IV) x : la disuguaglianza diventa x <, ovvero x > 0, cioè x, ] 0, + ) 0, ] In conclusione, x R è soluzione se e solo se x 0, ) e) I valori x ±4ex sono esclusi perché le divisioni per zero non sono ammesse Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per 4 x ) x), si ottiene 4 x 4 x x 44 x ) se x)4 x ) > 0 x 44 x ) se x)4 x ) < 0 Studiando il segno come in figura, si ottiene x)4 x ) > 0 x 4, ) 4, + ) Perciò si distinguono quattro casi: I) x [0, ) 4, + ): la disuguaglianza diventa x 6 4x, ovvero x 4, quindi x [0, ) ] 4, 4 ; II) x 4, 0): la disuguaglianza diventa x 6 + 4x, ovvero 5x 4, quindi x [ 4 5, 0) ; III) x, 4): la disuguaglianza diventa x 6 4x, ovvero x 4, quindi in questo caso non ci sono soluzioni; IV) x < 4: la disuguaglianza diventa x 6 + 4x, ovvero 5x 4, quindi x, 4) In conclusione, x R è soluzione se e solo se x, 4) [ 4 5, ) ] 4, 4 a) Sia A : {x R :4< x 9} Si ha x 9 se e solo se x, ovvero x, e x > 4 se e solo se x >, ovvero x < oppure x > Perciò A è l unione di due intervalli: A [, ), ] L insieme dei maggioranti di A è {x R : x } [, + ), il cui minimo è; quindi A è limitato superiormente e sup A Poiché A, è anche il massimo di A: max A Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

4 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 L insieme dei minoranti di A è {x R : x }, ], il cui massimo è ; quindi A è limitato superiormente e inf A Poiché A, è anche il minimo di A: min A Essendo limitato superiormente e inferiormente, A è limitato b) Sia B : {x R :4 x < 9} Ragionando come nell esercizio precedente si trova che B, ] [, ), che l insieme dei maggioranti di B è[, + ) e che l insieme dei minoranti di B è, ] Perciò A è limitato, sup B e inf B Poiché ± B, B non ammette massimo né minimo c) Sia C : { n+ : n N}, ovvero C {, 4, 5, 6, 7,} Poiché n+ per n N e C, l insieme dei maggioranti di C è [, + ), C è limitato superiormente e sup C max C Inoltre n+ > 0 per n N, quindi ogni numero reale non positivo è minorante di C Viceversa, un numero positivo non è minorante di C: per ogni y > 0 esiste n N tale che n+ < y basta prendere n N tale che n + > y ) Perciò l insieme dei minoranti di C è, 0], C è limitato inferiormente e quindi limitato), inf C 0e C non ammette minimo essendo inf C 0 C) d) Sia D : {p : p Z}, ovvero D {0,, 4, 9, 6, 5,} D non ha maggioranti: per ogni y R esiste p Z tale che p > y per esempio, si potrebbe scegliere p max{, y + }) Perciò D non è limitato superiormente e non ammette estremo superiore né massimo Chiaramente D contiene solo elementi non negativi e poiché 0 D l insieme dei minoranti è, 0] Perciò D è limitato inferiormente e inf D min D 0 e) Sia E : {p : p Z}, ovvero E {0, ±, ±8, ±7, ±64,} Ragionando come nell esercizio precedente si trova che E non ammette maggioranti né minoranti, non è limitato superiormente né inferiormente e non ammette estremo superiore/inferiore né massimo/minimo f) Sia F : { ) n n+ : n N} Poiché )n sen èparie ) n sen è dispari, si trova che: I) se n è pari, ) n n+ + n+ n n+ ovvero 0,, 4 5, 6 7, 8 9,); II) se n è dispari, ) n n+ n+ n+ n+ ovvero, 5 4, 7 6, 9 8, 0,) Allora F {, 5 4, 7 6, 9 8, 0,,0,, 4 5, 6 7, 8 9,}, dove gli elementi sono elencati in ordine crescente : < 5 4 < 7 6 < 9 8 < 0 <<0 < < 4 5 < 6 7 < 8 9 < Chiaramente ogni y è maggiorante di F: ) n n+ n+ < per n N D altra parte, se y < allora y non è maggiorante di F: basta prendere un numero pari n tale che n+ > y, ovvero n+ < y, ovvero n + > y si noti che y > 0 poiché y < ) Perciò l insieme dei maggioranti è[, + ), F è limitato superiormente e sup F Poiché F, F non ammette massimo Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

5 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 Analogamente si verifica che l insieme dei minoranti di F è, ] Perciò F è limitato inferiormente e quindi limitato), inf F, e, poiché F, min F 4 a) 6 64 è l unico numero reale non negativo x tale che x 6 64; poiché 6 64, 6 64 b) Si ha ) 6 64, quindi che 6 )6 6 ) Poiché 6 64 si veda a)), si conclude 5 c) Si ha ) 5, quindi 5 )5 5 Per definizione 5 5 Poiché 5, ragionando come in a) si ottiene che 5 Perciò 5 ) 5 d) Si ha Poiché 0 000, ragionando come in c) si conclude che Un altro modo per vederlo è osservare che ) 0) Poiché ab 0, si ha ab ab a b Poiché a 0e b 0, per la proprietà delle potenze si ha che ab a b a b Non si può scrivere ab a b poiché a e b potrebbero essere negative e in tal caso a e b non sarebbero definite per esempio, 6 ) ), ma e non sono definite) 6 a) Per la proprietà delle potenze 9 5x ) 5x 0x 4 Per la proprietà 7 delle potenze 0x 4 > se e solo se 0x 4 >, ovvero se e solo se x > b) Per le proprietà e 4 delle potenze ) x 4 4 ) x ) x x Per la proprietà 7 delle potenze x ] [ ) se e solo se x, ovvero se e solo se x, cioè x,, + c) x / è definito per x 0 Se x 0, per la proprietà 8 delle potenze < x / se e solo se < x 04 d) x 5 è definito per ogni x R e a 5 < b 5 se e solo se a < b Perciò 5 < x 5 5 se e solo se < x e) x 0 è definito per ogni x R Si consideri prima il caso x 0: per la proprietà 7 delle potenze < x 0 se e solo se /0 < x /0 Se invece x < 0, si utilizza che x) 0 x 0, ovvero x < 0 verifica la disuguaglianza se e solo se x > 0 lo fa: come nel caso precedente, < x) 0 se e solo se < x, ovvero se e solo se x < Perciò x R è soluzione se x [, ), ] Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

6 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 6 7 Ricordiamo che a, b, x, y R +, a, b ) log a xy log a x + log a y infatti a log a xy) xy a log a x a log a y a log a x+log a y ; ) log a x log a x infatti a log a x x x a log a x) a log a x ; 4) log a x y log a x log a y segue applicando ) e ): log a x y log a x + log a y log a x log a y; 5) log a x α α log a x α R infatti a log a xα x α a log a x) α a α log a x ; 6) log a x log x a log x a infatti a log a x x a x log a x log x a log a x e alog a x x a ) log a x x log a x log a x; 7) log a x log b x/ log b a infatti b log b x x a log a x b log a) log a x ) b b log b a) log a x ; log 8) x > y > 0 a x > log a y se a > log a x < log a y se 0 < a < infatti x > y a log a x > a log a y e quindi la 8) segue dalle proprietà delle potenze; 9) a R +, a log a 0, log a a, log a a infatti a 0, a a e a /a; x 0 log 0) per ogni a > 0, a, risulta a x log x x, y : xy > 0 log a xy log a x + log a y 8 infatti log a x log a x e adesso è possibile applicare la 5) in quanto x > 0; analogamente per la seconda, osservando che xy > 0 e quindi xy xy x y a) x log 7 se e solo se x 7, ovvero x In modo equivalente, si può utilizzare la proprietà 5 dei logaritmi: log 7 log ) log b) x log 4 se e solo se x 4, ovvero x In modo equivalente: log 4 log ) log c) x log 5 se e solo se ) x ) /, 5 ovvero x In modo equivalente: log 5 5 log 5 5) Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

7 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 7 9 d) x log se e solo se 0 x , ovvero x 6 In modo equivalente: log log ) 6 e) x log se e solo se 0 x , ovvero x 5 In modo equivalente: log log ) 5 f) Per le proprietà e 5 dei logaritmi, log log 5 5 log 5 65 log 5 5 a) log 4 x)è definito se 4 x > 0, ovvero se x < 4 Osservando che log ) log, per la proprietà 8 dei logaritmi log 4 x) < se e solo se x < 4e4 x <, ovvero se e solo se < x < 4 b) x è definito per ogni x R Per la proprietà dei logaritmi e per la proprietà 8 delle potenze, x < log se e solo se x < log, ovvero se e solo se x < + log c) log x ) è definito se x 0e x > 0, ovvero se x e x < Sia quindi x < Allora log x ) < log log 8se e solo se x < 8, ovvero se e solo se x > 7 Tale disuguaglianza è verificata per ogni x [, ) d) log 5 x ) è definito se x 0e x > 0, ovvero se x 0 e x > 4 Ma allora deve essere x, che non è verificato da alcun x R Perciò la disuguaglianza non ha soluzioni reali e) log 4 x + ) e log 4 x ) sono definiti se x > ex >, ovvero se x > Sia x+ quindi x > Per la proprietà dei logaritmi log 4 x + ) log 4 x ) log 4 x, x+ quindi log 4 x > 0 log x+ x+ 4 se e solo se x > Poiché x >, x > see solo se x + > x, ovvero se x > 5 Tale disuguaglianza vale per ogni x >, quindi ogni x > è soluzione 0 f) log 4 x+ x x + x è definito se x e x+ x > 0: > 0 {x + > 0ex > 0} oppure {x + < 0ex < 0} x, + ), ) Sia quindi x > oppure x < Ragionando come nell esercizio precedente, x+ x+ log 4 x > 0 se e solo se x > Se x > tale disuguaglianza diventa x + > x, ovvero x > 5, che è verificata per ogni x > Se invece x <,la disuguaglianza diventa x + < x, ovvero x < 5 In conclusione x R è soluzione se e solo se x < 5 oppure x > a) Sia x > 0 Allora 5 4 log 5 x 5 log 5 x 5 log 5 x ) x) x Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

8 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 8 b) Sia x > 0 Allora c) Sia x R Allora d) Sia x R \{0} Allora log 0 0x log 0 e) Siano x >, a > 0, a Allora log 9 x ) 9 log9 x 9 log 9 x 9 log 9 x x ) log 5x log 5x 5x log a x log a x ) 0x ) log log 0 x + log 0 x log a loga x ) log a x ) ) x x log a x + ) a) Si ha x 4 x x x ) Osservando che x 0 se e solo se x, si conclude che x x ) 0 se e solo se 0 x si veda la figura) b) x 6x 5 > 0 se e solo se x 6x 5 0, ovvero se x ± 6 c) Si ha x) x +x 5) x)x+4) > 0 Poiché { x x + x 5) x)x + 4) > 0 x + x 5) x)x + 4) x + 5)x ) x)x + 4), si studia il segno dei singoli fattori come in figura: Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

9 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 9 Ricordando che x si conclude che x R è soluzione se e solo se x 5, ), ), ) d) Si ha x x 4 x 4)x + ) 0 x + x 5 x + 5)x ) 0 Si escludono x 5 ex per i quali il denominatore si annulla) Si studia il segno dei singoli fattori come in figura: Perciò x R è soluzione se e solo se x 5, ], 4] e) x x + è definito per ogni x R Dati a, b R, a b se e solo se a b Perciò x x x + se e solo se x x x +, ovvero x, cioè x o x f) x 9x + 4 è definito se x 9x + 4 x )x 7) 0, ovvero se x o x 7 Dati a R e b 0, a < b se e solo se a < 0 oppure a 0ea b Perciò, se x ox 7, x 8 < x 9x + 4 se g) I) x < 8, oppure II) x 8) x 6x + 64 < x 9x + 4, ovvero 50 < 7x, cioè x > 50 7 Poiché 50 7 < 8, si conclude che x R è soluzione se e solo se x, ] [7, + ) x x + è definito se x x + x ) 0, ovvero per ogni x R Inoltre x x + x, quindi x x + > x + 4 x > x + 4 Poiché x se x x x se x < x + 4 se x 4 e x + 4 x 4 se x < 4, si distinguono tre casi: I) x < 4: la disuguaglianza diventa x > x 4), ovvero x > 5, cioè x, 5 ), 4), 4); Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

10 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 0 II) 4 x < : la disuguaglianza diventa x > x + 4), ovvero >, cioè x [ 4, ) III) x : la disuguaglianza diventa x > x + 4), ovvero x >, cioè x, + ) [, + ) [, + ) In conclusione, x R è soluzione se e solo se x, 4) [ 4, ) [, + ) R h) I membri della disuguaglianza sono definiti se x 5, 4 Vorremmo moltiplicare entrambi i membri per 5x )4 x), ma si devono distinguere due casi: i) I) 5x )4 x) > 0, ovvero x 5, 4) : la disuguaglianza diventa x4 x) 5x ), ovvero x x 6 0, cioè x )] [, 9 ) )) + 9, + 5, 4) [ ) ) + 9, 4 ; II) 5x )4 x) < 0, ovvero x, 5) 4, + ): la disuguaglianza diventa x4 x) 5x ), ovvero x x 6 0, cioè x [ ) )] ) [ 9, + 9, 5) 4, + ) ) 9, 5) Perciò x R è soluzione se e solo se x [ 9 ), 5) [ + 9 ), 4 ) x + 6x + 8è definito se x +6x+8 x+)x+4) 0, ovvero se x, 4] [, + ) Se a R e b 0, a > b se e solo se a 0ea > b Perciò, dato x, 4] [, + ), si ha 5 x > x + 6x + 8 { 5 x 0 5 x) > x + 6x + 8 La prima disuguaglianza è risolta per x 5 mentre per la seconda disuguaglianza si ottiene x 0x + 5 > x + 6x + 8 x, 7 6) In conclusione, x R è soluzione se e solo se x, 4] [, + ) ), 5] ) [, 7 6, 4], 7 6) j) Si ha { ) ) x x x x se x oppure x + + x x altrimenti, quindi si distinguono due casi: ) ) I) se x oppure x + si deve risolvere x x < x +, ovvero ) x x 4 x 4)x ) + ) < 0, cioè x, 4) Poiché, ) e +, ), la disuguaglianza è verificata ) + x < 4; se Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

11 Svolgimento degli esercizi del Capitolo ) ) II) se invece < x < +, la disuguaglianza diventa x + x+ < x+, ovvero x + x x )x+) > 0, ) cioè x, ), + ) Come sopra si conclude che < x < + In conclusione, x R è soluzione se e solo se x, 4) k) La disuguaglianza è definita per x, Si osservi che x )x+) > 0 se e solo se x < oppure x > Perciò, moltiplicando entrambi i membri per x )x + ) si distinguono due casi: I) se x < ox >, la disequazione diventa 4x ) < x)x + ), ovvero x + x 0 < 0, che è verificata per x 5, ); quindi x, ), + )) 5, ) 5, ), ); II) se < x <, la disequazione diventa 4x ) > x)x + ), ovvero x + x 0 > 0, che non ammette soluzioni nell intervallo, ) In conclusione, x R è soluzione se e solo se x 5, ), ) l) La disuguaglianza è definita se l argomento del logaritmo è positivo: ) ) x 7x + > 0 x < 7 5, ) oppure x > , 5) Poiché log 0 0, per le proprietà del logaritmo la disuguaglianza diventa x 7x + <, che è risolta per < x < 5 Perciò x R è soluzione se e solo se x )), 7 5 ) ) 7 + 5, 5 m) La disuguaglianza è definita per ogni x R Per le proprietà delle potenze e osservando che 4, la disuguaglianza diventa x + 5x <, con soluzioni x ) )) + 5, 5 Moltiplicando per il coniugato del denominatore si veda l Esempio ), si ottiene i 4 i 4) i ) i i ) i ) 4 + 5i, quindi la parte reale è 4/ e la parte immaginaria è 5/ Calcoliamo prima il quoziente come nell Esercizio : + i i + i) i ) i ) i ) 4 7i 5 Quindi il suo complesso coniugato è 4+7i)/5, con parte reale 4/5 e parte immaginaria 7/5 Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

12 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 a) Si ha Quindi 4 4i 4 4 4i 4 i) 4 i 4 i )! 4 cos ϕ + i sin ϕ) tg ϕ e sin ϕ<0, ovvero ϕ π/4 + kπ, k Z Pertanto 4 4i 4 e π/4+kπ)i per k Z b) Si ha + i, quindi + i + i! cos ϕ + i sin ϕ) tg ϕ e sin ϕ>0, quindi ϕ arg + i ) π/6 + kπ, k Z Procedendo allo stesso modo si ottiene + i, arg + i) π 4 + kπ Quindi, per le proprietà di modulo e argomento, + i) + i) ) e π/6+π/4+kπ)i 4 e 5π/+kπ)i, k Z c) Procedendo come in a) si ottiene +i, arg +i) 4 π+kπ, i, arg i ) π +kπ Quindi, per le proprietà di modulo e argomento, + i i e π/4+π/+kπ)i e π/+kπ)i 5 a) Segue dalla ) che Poiché i ± i) 4i i i ± i 4i i i ± 6i i 6i 6e i π/+kπ) 6i 6e i π/4+kπ) ± i), le due soluzioni sono e + + ) i i + + ) i i ) ) + i + i) ) ) i + i) Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

13 Svolgimento degli esercizi del Capitolo b) Si ha 9 9 e iπ+kπ) Perciò, per il Teorema 8, z C è soluzione se e solo se z 9 5 e arg z π 5 + 5kπ, k 0,,,4 Si trovano quindi le 5 soluzioni distinte e 5 πi, e 5 πi,, e 7 5 πi, e 9 5 πi c) Posto w z, z è soluzione di w +6w 0, ovvero z ± L equazione z ha soluzioni z ±, mentre z ) + ha soluzioni z ±i + 6 a) L equazione z 5 5 ) ha 5 soluzioni distinte che si ricavano come nell Esercizio 5b) dalle relazioni z 5 5 e 5 arg z π + kπ k Z): z e 5 πi, z e 5 πi, z, z 4 e 7 5 πi, z 5 e 9 5 πi La scomposizione complessa di z 5 + è quindi z e 5 πi) z e 5 πi) z + ) z e 7 5 πi) z e 9 5 πi) Il polinomio ha coefficienti reali, quindi anche il complesso coniugato di una radice non reale è una radice Si noti che infatti z 5 e 5 πi) è il complesso coniugato di z e z 4 e ) 5 πi è il complesso coniugato di z Per ottenere la scomposizione reale si determinano i prodotti z z )z z 5 )ez z )z z 4 ): z z )z z 5 ) z e 5 πi )z e 5 πi ) z 4z cos 5 π) + 4, z z )z z 4 ) z e 5 )z πi e ) 5 πi z 4z cos 5 π) + 4 z z e 5 πi + e ) 5 πi + 4 z z e 5 πi + e ) 5 πi + 4 In conclusione z 5 + z + ) z 4z cos 5 π) + 4 ) z 4z cos 5 π) + 4 ) b) Osservando che l espressione è un polinomio di secondo grado in z, si ottiene z 4 + 0z + 8 ) ) z + 5z + 4 z + 4 ) z + ) z + i)z i)z + i)z i) Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

14 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 7 a) Sia b) Sia Se n, allora P n : n k k k k nn + ) + ), quindi P è vera Se P,,P n sono vere, allora n+ k k quindi P n+ è vera Se n, allora n k + n + ) k nn + ) + n + poiché P n è vera) n + ) + n ) n + )n + ) n + )n + ) + ), P n : k n k k n n + ) 4 k + ), 4 quindi P è vera Se P,,P n sono vere, allora n+ k k quindi P n+ è vera n k + n + ) k n n + ) + n + ) poiché P n è vera) 4 n + ) n + 4n + 4) 4 n + ) n + ), 4 c) Sia Se n, allora P n : n k k k k nn + )n + ) 6 + ) + ), 6 Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill

15 Svolgimento degli esercizi del Capitolo 5 quindi P è vera Se P,,P n sono vere, allora n+ k k quindi P n+ è vera n k + n + ) k nn + )n + ) + n + ) poiché P n è vera) 6 n + ) nn + ) + 6n + 6) 6 n + ) n n + ) + 7n + 6) n + )n + ), 6 6 d) Sia P n : n < 0 n Se n, allora < 0, quindi P è vera Se P,,P n sono vere, allora quindi P n+ è vera n + n + n n < n + 0 n poiché P n è vera) n < 0 n+ poiché n+ n < 0 per ogni n ), e) Per ogni a 0, ) fissato, sia P n : a) n < Se n, allora poiché in particolare a > ) a) < + a quindi P è vera Se P,,P n sono vere, allora + an a <, a) n+ a) n a) < a + na poiché P n è vera) a) + n + )a) + n + )a + na + na n + )a + n + )a + na < + n + )a + na + na + n + )a, dove nell ultima disuguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che + na > 0 per ogni n poiché a > 0) Perciò P n+ è vera Analisi matematica, a ed, MacGraw-Hill, 0 0, McGraw-Hill