Esercizi sulle Disequazioni

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1 Esercizi sulle Disequazioni Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:.).).).) ).) ) ).).7) 8.8).) Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni tratte dal secondo parziale del ):.).).) 8

2 .) 8.).).7).8).) Esercizio Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni.).) ) ).) ).).).)

3 Soluzioni Al fine di risolvere le disequazione sarà spesso utile trasformarle in altre ad esse equivalenti. Queste trasformazioni possono essere effettuate utilizzando i due principi di equivalenza le disequazioni che ricordiamo: I Principio: sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa quantità si ottiene un altra disequazione equivalente alla data. II Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione una stessa quantità positiva si ottiene un altra disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione una stessa quantità negativa si ottiene un altra disequazione equivalente alla data se si cambia il verso della disuguaglianza. Esercizio.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo in binomio e avremo studieremo la disequazione nella forma ) ) ) ). e.) Consideriamo la disequazione.

4 .) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) studieremo la disequazione nella forma ) )..) Consideriamo la disequazione ) e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore:,,, e e

5 ). Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. Denominatore: ). Scomponiamo il secondo fattore,,, ). Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) ) nessun valore di nessun valore di nessun valore di Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto non sarà mai negativo questa disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI..) Consideriamo la disequazione ) ) e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore.,,,

6 ). Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente.,,, ). Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) ) ogni valore di ogni valore di ogni valore di Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto sarà sempre positivo questa disequazione E SEMPRE VERIFICATA..) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) studieremo la disequazione nella forma. ) )

7 7 nessun valore di.7) Consideriamo la disequazione 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) 8 8 ) studieremo la disequazione nella forma ) )..8) Consideriamo la disequazione e / /

8 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio al denominatore. Denominatore:.,,8,,. Studieremo allora la disequazione nella forma..) Consideriamo la disequazione e

9 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi al numeratore e al denominatore Numeratore: ),, Abbiamo che. Quando il trinomio di secondo grado è sempre positivo se il coefficiente di è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di è negativo. Nel nostro caso il trinomio è e il coefficiente di è che è positivo, il trinomio è positivo ogni valore di e di conseguenza ) sarà negativo ogni valore di. Denominatore: Studieremo allora la disequazione nella forma ). ). ) ) nessun valore di ogni valore di Esercizio.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

10 ) ) ) ) studieremo la disequazione nella forma. nessun valore di.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) studieremo la disequazione nella forma ma siccome non può essere positivo questa disequazione non ammette soluzione..) Consideriamo la disequazione

11 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore: 8, 8), 8, 8 ) ). Denominatore:,,, 8 ) 8). Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) 8) e 8...) Consideriamo la disequazione

12 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore:,,, 8 ) 8). Denominatore: 8, 8), 8, 8 ) ). Studieremo allora la disequazione nella forma ) 8). ) ) ) Consideriamo la disequazione

13 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio del numeratore e analizziamo quello al denominatore. Numeratore:,,, 8 ) 8). Denominatore:. In questo caso il denominatore è sempre positivo ché non si annulla mai e qualunque valore si sostituisca troviamo sempre un numero positivo. In generale, un polinomio del tipo a, con a positivo è sempre positivo. Studieremo allora la disequazione nella forma ) 8) ogni valore di...) Consideriamo la disequazione e 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

14 . ) 8 8) ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 7,,,,,, )) )) studieremo la disequazione nella forma )) )). ) ) ) ).7) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) e

15 ) 8 8 ) studieremo la disequazione nella forma ). nessun valore di.8) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: e /

16 ,,. Abbiamo che. Quando il trinomio di secondo grado è sempre positivi se il coefficiente di è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di è negativo. Nel nostro caso il coefficiente di è che è positivo, il trinomio è positivo ogni valore di. Quindi studieremo la disequazione nella forma e avremo nessun valore di.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) 8 ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: ),,,

17 7,,87, e avremo ) e studieremo la disequazione nella forma. nessun valore di Esercizio.) Consideriamo il seguente sistema e

18 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione.. la soluzione della prima disequazione è. la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può scrivere nella forma equivalente la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. ) ). ) ) 8

19 ) ) ) ). Studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo la soluzione della prima disequazione è e. la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può scrivere nella forma equivalente e la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. )

20 . la soluzione della prima disequazione è. ) ) ). Studiamo la disequazione nella forma ). la soluzione della seconda disequazione è e Il sistema si può scrivere nella forma equivalente e la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema

21 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione... Scomponiamo il trinomio, ),, ) ). Studieremo la disequazione nella forma ) ). la soluzione della prima disequazione è e.. ) ) studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può scrivere nella forma equivalente

22 e la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione.. ) ) la soluzione della prima disequazione è. la soluzione della seconda disequazione è. e

23 la soluzione della terza disequazione è Il sistema si può scrivere nella forma equivalente / / la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione... Scomponiamo il trinomio,,, ) ). Studieremo la disequazione nella forma ) ).

24 la soluzione della prima disequazione è e. Scomponiamo il trinomio, ),, ) ). Studieremo la disequazione nella forma ) ). la soluzione della seconda disequazione è.. ) ) studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo

25 la soluzione della terza disequazione è e Il sistema si può scrivere nella forma equivalente e e Poiché nessun intervallo soddisfa tutte e tre le disequazioni contemporaneamente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONE.