Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

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1 Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+) log(1 + ) + (1 + ) 1 + e quindi f (0) =. Così l equazione della retta tangente richiesta è y = f (0)( 0) + f(0) = Calcolare il polinomio di Taylor di ordine e centro 0 di R. Dato che e / = 1 + (/) + (/)! allora f() = e / log(1 + ) = = () () Così il polinomio richiesta è: f() = e / log(1 + ). + o( ) e log(1 + ) = () () (1 + (/) + (/)! + (/)() + o( ) = + o( ). T () =. + o( ), ) ) + o( ) (() () + o( ) 1

2 3. Individuare dove la funzione f() = 4 e 3 è strettamente crescente. R. Osserviamo che f() = g() dove g() = (4 )e 3 La derivata di g() è g () = e 3 + (4 )3e 3 = e 3 ( ) = e 3 (11 3), mentre il suo segno è ( ) (11/3) (+ ). Ora notiamo che g() = f() quando l argomento del valor assoluto 4 è negativo ossia per > 4. Quindi il segno di f () è ( ) (11/3) (4) (+ ). Così la funzione f è strettamente crescente in (, 11/3] e in [4, + ). Tra gli intervalli proposti l unico che va bene è [ 1, 0] (, 11/3]. 4. Determinare il ite R. Ricordiamo che in log( + sin(1/)). a = e log(a) = 1 + (log a) + o() log(1 + ) = + o(). Inoltre dato che sin(1/) tende a 0 per 0 + (la funzione seno è itata) si ha sin(1/) = ( sin(1/)) = o().

3 Quindi log( + sin(1/)) (1 + (log ) + o()) (1 + (log 3) + o()) = 0 + log((1 + (log ) + o()) + o()) = 0 + (log log 3) + o() (log ) + o() = log log 3 log 5. Determinare il ite n + (n + 1)! + n (n + sin n)n!. R. Dividiamo numeratore e denominatore per (n + 1)! = (n + 1)n!, allora, ricordando che n! è più veloce di n si ha n + (n + 1)! + n (n + sin n)n! = n ( n /(n + 1)!) n/(n + 1) + (sin n)/(n + 1) = Determinare il ite sin(1/) + 3 sin(). 4 log 4 log( + 1) R. Dividiamo numeratore e denominatore per 4, allora, dato che si ha + sin(1/) = sin(y)/y = 1 e sin()/ = 0 y sin(1/) + 3 sin() + 4 log 4 log( + 1) 3 + sin(1/) + sin()/ = + log(/( + 1)) = 4 log. 3

4 7. Calcolare la derivata sinistra in 0 della funzione f() = sin( 3) 3. R. In 0, = e 3 = 3 e quindi f() = sin( 3) 3 = ( 4 + o()) 3 = ( 4 3) + o() = o() = (4 + 3)( ) + o() = ( 4 3) + o(). Abbiamo così evidenziato la parte lineare dello sviluppo in 0 dunque f (0) = 4 3. di f() e 8. Determinare il numero di minimi locali di { f() = se Z + 1 se Z nell intervallo (, ). R. La funzione ha due minimi assoluti nei punti e (le intersezioni con l asse ) e un massimo relativo in 0 dove vale. Se modifichiamo tale funzione nei punti interi dell intervallo (, ) con i valori + 1 si determinano un nuovo minimo locale in 0 e due nuovi massimi locali in 1 e 1 (provare a fare un grafico). Quindi i minimi locali della funzione f nell intervallo (, ) sono 3: 0, e. 9. Determinare l intervallo più grande in cui la funzione f() = log + 4

5 è convessa. R. Il dominio di questa funzione è D = (0, + ). Inoltre { log + se 1 f() = log + se 0 < 1 La funzione è derivabile in D \ {1} e { 1 f () = = se > 1 1 = + se 0 < < 1 Quindi il segno di f () è (0) (1) () (+ ). Il punto = 1 è un punto angoloso. Ora calcoliamo derivata seconda { f = +4 se > 1 () = = +4 se 0 < < Quindi il segno di f () è (0) (1) (4) (+ ). A questo punto si può fare un grafico e concludere che (nonostante il punto angoloso = 1) la funzione è convessa nell intervallo (0, 4]. 10. Calcolare l asintoto a della funzione f() = R. Conviene ragionare separatamente sulle funzioni Per la g() g() = e h() = + 6. m = g() = =

6 e q = g() m = ( ) ( ) = ovvero y = + 1. Per la f() e q = m = = = = ( + 6) + 6 = = 1. 6 = 3 ovvero y = + 3. L asintoto della f() è la somma dei due asintoti: y = ( + 1) + ( + 3) = Data la funzione f() = 3 sin dire se nell intervallo ( 1, 1) ci sono punti angolosi, massimi, minimi (locali o assoluti) e punti stazionari (punti con derivata nulla). R. Sull intervallo [0, 1) la funzione f() = 3 sin è strettamente crescente (prodotto di funzioni strettamente crescenti e positive) e dato che la funzione è dispari, ossia f( ) = f(), lo stesso accade nell intervallo ( 1, 0]. Quindi la funzione non ammette nessun massimo o minimo (l intervallo (-1,1) è aperto). Inoltre la funzione è derivabile in tutto l intervallo ( 1, 1) (non ci sono quindi punti angolosi): la presenza del valore assoluto ci induce a controllare la derivabilità in 0 (dove si annulla l argomento), ma utilizzando la definizione di derivata otteniamo che f (0) = 0 f() f(0) 0 ossia 0 è un punto stazionario. = 0 3 sin 6 = 0 sin = 0,

7 1. Dire per quali valori di α R l equazione ammette soluzioni > 0. sin = 1 + α R. Determinare le soluzioni della suddetta equazione significa confrontare i grafici per > 0 delle funzioni continue sin e 1 + α. La funzione sin() ha un andamento oscillatorio assumendo valori tra 1 e 1. La funzione 1 + α è il ramo decrescente di un iperbole con asintoto verticale in = 0 e asintoto orizzontale y = α. Per α 1, dato che > 0 e sin α sin > sin dunque l iperbole sta sempre sopra il seno e non lo interseca mai. Per α < 1 c e sempre almeno un intersezione. Questo si può intuire disegnando i grafici delle due funzioni e si può dimostrare rigorosamente sfruttando il Teorema dei Valori Intermedi. In particolare per 1 α < 1 le intersezioni sono infinite perché l iperbole tende all asintoto rimanendo definitivamente nella striscia orizzontale tra 1 e 1 dove il seno oscilla assumendo infinite volte i valori dell intervallo [ 1, 1]. Per α < 1 le intersezioni sono solo un numero finito perché l iperbole attraversa la striscia orizzontale tra 1 e 1 intersecando il seno e poi la lascia per tendere all asintoto y = α < Dare un esempio di successione {a n } che ammette una sottosuccessione strettamente decrescente con ite 3 e una sottosuccessione positivamente divergente. R. Esistono infinite successioni che hanno questa proprietà. Determiniamone una (semplice). Una successione strettamente decrescente è 1/n. In questo caso il ite tende a 0. Per trovare una successione che tende a 3 basta aggiungere 3 a 1/n ossia 3 + 1/n. Una successione positivamente divergente è n. Ora per costruire la successione voluta possiamo combinare le successioni che abbiamo ottenuto: { n per n pari a n = /n per n dispari 7