Analisi Matematica 1+2

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1 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna Savona Tel Fax Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali a prova - 0 Marzo pag. 2 2 a prova - 24 Marzo pag. 4 3 a prova - 2 Aprile pag. 6 4 a prova - 28 Aprile pag. 7 5 a prova - 2 Maggio pag. 8 6 a prova - 26 Maggio pag. 9 7 a prova - 2 Giugno pag. PlainTex - DviPdf.2 op - 6 Maggio 2002 OP

2 2 Analisi Matematica +2 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 0 Marzo ( a prova parziale) h Si consideri la disequazione x + x a a) Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a = 2. Intanto deve essere x ; inoltre si ha x + x 2 x + x x x 0 Studiando il segno del numeratore e del denominatore si ha da cui la frazione risulta negativa per x < o x 3 3 x 0 x 3, x > 0 x > b) Determinare α e β reali tali che x + x = α + β x Si ha x + x = x + 2 = x x x + 2 x = + 2 x da cui α = e β = 2. (Si poteva anche eseguire la divisione dei due polinomi ed ottenere un quoziente di ed un resto di 2, da cui x + = (x ) + 2 e dividendo per x entrambi i membri, si ottiene il risultato voluto). c) Disegnare il grafico di x+ x. Dal precedente risultato, essendo x + x = + 2 x il grafico richiesto si ottiene semplicemente dal grafico di x traslato a destra di (e moltiplicato per 2, ovvero mutando la scale delle ordinate) e quindi traslato in alto di.

3 Analisi Matematica +2 3 d) Risolvere la disequazione al variare di a nei reali. Sempre con x, si ha x + x a x + ( + a) + ( a)x a 0 0 x x Studiando il segno del numeratore e del denominatore si ha ( + a) + ( a)x 0 (a )x a + e x > 0 x > x a+ a, se a > x a+ a, se a < x R, se a = Dall esame dei tre casi (a <, a =, a > ) si conclude (si osservi che, se a > si ha a+ a >, mentre se a < si ha a+ a < ) x < x a+ a, se a > < x a+ a, se a < x <, se a = Si possono ottenere gli stessi risultati confrontando il grafico della funzione, con la retta orizzontale y = a, al variare di a nei reali. e) Trovare gli a reali, se ne esistono, tali che x + a, x R, x x Dalla soluzione del punto precedente si deduce che non esistono a R per i quali la disequazione si sempre soddisfatta, per x. Anche utilizzando il grafico, si nota che la funzione non è itata superiormente.

4 4 Analisi Matematica +2 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 24 Marzo (2 a prova parziale) h Sia A = x 2 + x + } : x R a) Determinare i maggioranti di A e sup A. M è un maggiorante di A se e solo se x 2 + x + M x R ovvero, poiché x 2 + x + è sempre positivo, se e solo se Mx 2 + Mx + M 0 x R Affinché ciò risulti vero deve essere il primo coefficiente positivo ed il discriminante minore o uguale a zero (si noti che per M = 0 si ottiene 0 che risulta falso), ovvero M > 0 4M 3M 2 0 che fornisce M 4 3. Pertanto i maggioranti di A sono M(A) = M R : M 4 3 } e sup A = min M(A) = 4 3. b) Determinare i minoranti di A e inf A. Per quanto riguarda i minoranti, m è un minorante di A se e solo se x 2 + x + m x R ovvero, come sopra, poiché x 2 + x + è sempre positivo, se e solo se mx 2 + mx + m 0 x R Affinché ciò risulti vero deve essere m = 0 (per il quale l equazione diventa 0, banalmente vera) oppure il primo coefficiente negativo ed il discriminante minore o uguale a zero, ovvero che fornisce m < 0. Pertanto i minoranti di A sono m < 0 4m 3m 2 0 m(a) = m R : m 0 } e inf A = max m(a) = 0

5 Analisi Matematica +2 5 c) Stabilire se esistono max A e min A e calcolarli. Per stabilire se sup A = 4 3 è anche massimo di A si deve verificare se 4 3 A e questo avviene se e solo se x R : x 2 + x + = 4 3. Risolvendo tale equazione si ottiene x = 2 da cui max A = 4 3. Per stabilire se inf A = 0 è anche minimo di A si deve verificare se 0 A e questo avviene se e solo se x R : x 2 + x + = 0. Poiché tale equazione non ha soluzioni reali si ha che non esiste min A. d) Provare che è vera la seguente affermazione la funzione x n e strettamente crescente su (0, + ) per ogni n N Bisogna provare che, per ogni n naturale Intanto, per n = si ha che è banalmente vera. Supponiamo ora che e proviamo che Si ha, se 0 < x < y, (ricordando l ipotesi) 0 < x < y x n < y n 0 < x < y x < y 0 < x < y x n < y n 0 < x < y x n+ < y n+ x n+ = x n x < y n x < y n y = y n+ che è la tesi, e quindi il risultato è provato per induzione.

6 6 Analisi Matematica +2 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 2 Aprile (3 a prova parziale) h Si consideri la funzione f(x) = ax42 (x + b) 42 x c arctan x 2 a) Calcolare, per a >, b > 0 e c > 0, x + f(x). Raccogliendo x 42 al numeratore si ha ax 42 (x + b) 42 x 42 [a ( + b x x + x c arctan x 2 = )42 ] x + x c arctan x 2 Poiché a >, la quantità al numeratore in parentesi quadra tende ad a, mentre arctan x 2 tende a π/2; pertanto ax 42 (x + b) 42 x 42 c [a ( + b x x + x c arctan x 2 = )42 ] +, se c < 42 2( a ) x + arctan x 2 = π, se c = 42 0, se c > 42 b) Calcolare, per a =, b > 0 e c > 0, x + f(x). Essendo (x + b) 42 = 42 ) k=0 b k x 42 k = x bx k=2 ( 42 k x 42 (x + b) 42 42bx 4 42 k=2 x + x c arctan x 2 = x + ( 42 k ) b k x 42 k, si ha ( 42 k x c arctan x 2 ) b k 42 k x Il numeratore tende all infinito di ordine 4 (la sommatoria contiene potenze di x tutte inferiori a 4); il denominatore invece tende sempre all infinito di ordine c (mentre arctan x 2 tende a π/2); pertanto ax 42 (x + b) 42 42bx 4, se c < 4 x + x c arctan x 2 = x + x c arctan x 2 = 84 b π, se c = 4 0, se c > 4 (In altro modo, si poteva anche procedere come al punto a) e scomporre ( + b x )42 utilizzando la relazione z 42 = ( z)( + z + z z 40 + z 4 ). c) Calcolare, per b > 0, x 0 + f(x). Si ha ax 42 (x + b) 42 x 0 + x c arctan x 2 ax 42 (x + b) 42 x 2 = x 0 + x c+2 arctan x 2 Poiché il numeratore tende a b 42 < 0, ricordando che x 0 + arctan x =, si ha 2 ax 42 (x + b) 42, se c > 2 x 0 + x c arctan x 2 = b 42, se c = 2 0, se c < 2 x 2 d) Calcolare, per a > e b = 0, x 0 + f(x). Pertanto Essendo b = 0, si ha ax 42 (x + b) 42 x 0 + x c arctan x 2 = x 0 + (a )x 42 x c arctan x 2 = (a )x 2 x 2 x 0 + x c arctan x 2 x 0 + (a )x 42 x c arctan x 2 = +, se c > 2 a, se c = 2 0, se c < 2

7 Analisi Matematica +2 7 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 28 Aprile (4 a prova parziale) h Si consideri la successione definita da an+ = sin(a n ) a 0 = a a) Per a = 3, verificare che a n (0, π). Utilizzando il principio di induzione, si ha intanto a 0 = 3 (0, π). Supponendo quindi a n (0, π) risulta e con ciò si conclude quanto voluto. b) Per a = 3, provare che a n è decrescente. a n+ = sin(a n ) (0, ] (0, π) Si è già visto che, per ogni n, si ha a n (0, π), per cui (utilizzando la relazione sin x x ) ovvero la tesi. c) Calcolare, per a = 3, il n + a n. a n+ = sin(a n ) < a n Essendo a n decrescente esisterà sicuramente il a n e tale ite sarà necessariamente un numero reale α, in quanto a n è itata in (0, π). Passando al ite nella relazione a n+ = sin(a n ) si ottiene α = sin(α) ovvero α = 0. d) Per a = 4, studiare il comportamento di a n. Essendo a = sin(a 0 ) = sin(4) (0, ] è possibile ripetere tutte le considerazioni sopra fatte ed ottenere che, per n la successione è decrescente e tende a zero.

8 8 Analisi Matematica +2 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 2 Maggio (5 a prova parziale) h Si consideri la funzione a) Calcolare f (x) ed f (x). f(x) = (x 2 + ) arctan(x) 2x f risulta derivabile due volte su R in quanto composta di funzioni derivabili due volte. Si ha b) Disegnare il grafico di f. f (x) = 2x arctan(x) + (x 2 + ) x 2 2 = 2x arctan(x) + f (x) = 2 arctan(x) + 2x x 2 + 2x x 2 + La derivata è definita su R; inoltre f (0) =, x f (x) = + = x + f (x) (si noti che la funzione è pari in quanto f ( x) = f (x)). La crescenza di f si ottiene dallo studio della positività di f (x) = 2 arctan(x) + che risulta positiva per x > 0 in quanto somma di funzioni positive (e analogamente negativa per x < 0); pertanto f è crescente per x > 0. Osserviamo quindi che vi sarà un solo zero per x > 0 (x = a) e poiché f (0) = < 0 e f () = 2 arctan() = π 2 > 0, tale zero è localizzato tra 0 e. c) Disegnare il grafico di f. Si osservi che f risulta dispari in quanto f( x) = f(x). Inoltre f(0) = 0, x f(x) = e x + f(x) = +. Inoltre f() = 2 arctan() 2 = π 2 2 < 0 mentre f(2) = 5 arctan(2) 4 > 5 arctan( 3) 4 = 5π 3 4 > 0 per cui lo zero positivo è compreso tra e 2. Dal grafico della derivata prima visto al punto precedente si deduce che f è decrescente per a < x < a ed è crescente per x < a e x > a. Poiché la derivata seconda risultava positiva per x > 0, f sarà convessa per x > 0 (e concava per x < 0). d) Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 di f centrato in x 0 = 0. Si ha P 2 (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 2 = x e) Scrivere il resto di Peano ed il resto di Lagrange relativi al polinomio di Taylor di ordine 2 di f centrato in x 0 = 0. Il resto di Peano è Il resto di Lagrange è x 3 ω(x), con x 0 ω(x) = 0 f (c) x 3 2x 3 = 3! 3( + c 2 ) 2, c < x

9 Analisi Matematica +2 9 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 26 Maggio (6 a prova parziale) h Si consideri la funzione a) Determinare il dominio di f. f(x) = x 0 e t2 et (t ) t + 2 dt La funzione integranda risulta definita e continua (e quindi integrabile) per t ( 2, 0) (0, ) (, + ). Inoltre e t2 t 2 et (t ) = di ordine /2 t + 2 in quanto l infinito è causato dal fattore a denominatore t + 2; t 0 (si ricordi che e t è infinitesimo in zero di ordine ); analo- a causa del fattore a denominatore e t gamente Infine t 0 + t e t 2 et (t ) = di ordine /3 t + 2 e t 2 et (t ) = + di ordine /3 t + 2 e t 2 et (t ) = + di ordine t + 2 a causa del t a denominatore. Ne segue che la funzione integranda è integrabile (anche in senso improprio) in [ 2, ) (, + ). Essendo l integrale tra 0 e x dovrà pertanto essere x [ 2, ). b) Studiare la derivabilità di f. Dal teorema fondamentale, essendo la funzione integranda continua per t ( 2, 0) (0, ) (, + ) risulta (si ricordi che f è definita in [ 2, )) f (x) = e x2 ex (x ) x + 2, x ( 2, 0) (0, ) Per x = 2 e x = 0 si è già visto che il ite di f (x) (per x 2 e x 0) è a seconda dei casi + o per cui f non è derivabile in tali punti. c) Disegnare il grafico di f. Utilizzando quanto determinato ai punti precedenti, osservato che f (x) > 0 per x (0, ) x f(x) = +, e sempre ricordando che f non è derivabile in -2 ed in 0 (grafico con tangente verticale) il grafico di f risulta:

10 0 Analisi Matematica +2 d) Disegnare il grafico di g(x) = x 0 e t2 et (t ) t + 2 dt Essendo g(x) = f( x ) il grafico di g sarà uguale a quello di f per gli x [0, ) ed il simmetrico rispetto all asse y per gli x (, 0]. e) Calcolare la derivata di h(x) = x 2 +2 x 3 e t 2 et (t ) t + 2 dt Si osservi che, per quanto visto al punto a), (f è integrabile in [ 2, ) (, + )) essendo il secondo estremo x >, la funzione h risulta definita per x 3 > ovvero per x >. Poiché l integranda è continua per t > e gli estremi di integrazione sono derivabili, si ha, per x (, + ) h (x) = 2xe (x2 +2) 2 e x 2 +2 (x 2 ) x x 2 e x 6 e x 3 (x 3 ) x 3 + 2

11 Analisi Matematica +2 ANALISI MATEMATICA +2 (Sv) - 2 Giugno (7 a prova parziale) h Si consideri il problema di Cauchy y (x) = e (y (x)) 4 y(x 0 ) = y 0 a) Studiare esistenza ed unicità della soluzione del problema dato. Dal teorema di esistenza ed unicità per equazioni differenziali a variabili separabili (y (x) = f(x)g(y(x)) essendo in questo caso f(x) = e g(y) = e y4, con f C 0 (R) e g C (R), si avrà una ed una sola soluzione per ogni x 0 R ed y 0 R. b) Determinare le soluzioni costanti dell equazione e precisare i dati iniziali in corrispondenza dei quali si hanno soluzioni costanti. Dovrà essere y(x) = c e quindi 0 = e c 4 c = y 0 da cui la sola soluzione costante è la soluzione nulla y(x) = c = 0, per y 0 = 0. c) Disegnare il grafico della soluzione relativa al dato iniziale x 0 = 0 ed y 0 =. Essendo y 0 = si può supporre y(x) 0 in un intorno di 0. Separando quindi le variabili ed integrando tra 0 ed x si ottiene ovvero y (x) e (y (x)) 4 = y (x) e s4 x 0 ds = x Studiamo ora la funzione integrale a primo membro h(y) = y Poiché l integranda è definita e continua per s 0 e y (t) e (y (t)) 4 dt = ds e s 4. x 0 dt s 0 = di ordine 4 e s4 l integrale è divergente per y 0; ne segue che, essendo il primo estremo di integrazione positivo, la funzione è definita per y > 0. Inoltre s + e s4 = da cui l integrale è divergente anche per y +. Si ha infine h() = 0 e h (y) = essendo l integranda continua per y > 0, e tale derivata risulta e y 4 sempre negativa. (Si osservi pure che h (y) = 4y 3 e y 4 > 0 per ogni y > 0, per cui la funzione risulterà convessa; si noti (e y 4 ) 2 infine che, poiché y + h (y) = il grafico della funzione tenderà a diventare parallelo alla bisettrice del secondo e quarto quadrante)

12 2 Analisi Matematica +2 Il grafico della funzione h, risulterà quindi il seguente (a sinistra); essendo h(y(x)) = x il grafico della soluzione del problema di Cauchy sarà quello dell inversa di h, come riportato nel grafico a destra. d) Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy dato al variare dei dati iniziali x 0, y 0 R. Essendo l equazione data un equazione differenziale autonoma, se y(x) è soluzione, anche y(x + a) è soluzione per ogni a R. Pertanto tutte le traslate (in orizzontale) della soluzione trovata sono ancora soluzioni, per y > 0. Per quanto riguarda le soluzioni per y < 0, ripetendo i calcoli fatti al punto c), ad esempio con x 0 = 0 e y 0 =, si ha y (x) ds e s4 = x e con considerazioni analoghe si ottengono le seguenti curve (Si noti che, se y(x) è soluzione dell equazione differenziale, tale è pure y( x), ovvero i grafici complessivi delle soluzioni sono simmetrici rispetto all origine).