Limiti di funzioni di due variabili

Transcript

1 Limiti di funzioni di due variabili Definizione 1 Sia f : A R 2 R e x 0 = (x 0, y 0 ) punto di accumulazione di A. Diciamo che se e solo se Diciamo che se e solo se f(x) = f(x, y) = L x x 0 (x,y) (x 0,y 0 ) ε > 0 δ > 0 : x U δ (x 0 ) \ {x 0 } f(x) L < ε. f(x) = f(x, y) = + (o ) x x 0 (x,y) (x 0,y 0 ) K > 0 δ > 0 : x U δ (x 0 ) \ {x 0 } f(x) > K (o f(x) < K). Esercizio. Dimostrare con la definizione di ite che f(x, y) = 1 x + y = +. Dobbiamo mostrare che l insieme delle soluzioni della disequazione: contiene intorni sferici di (x 0, y 0 ) = (0, 0), cioè che f(x, y) > K, con K > 0 (1) (x, y) U δk (0, 0) 1 x + y > K, (con raggio δ K dipendente eventualmente da K). Risolvendo la (1) si trova la striscia S = {(x, y) : 1 K x < y < 1 K x} (deitata dalle parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante y = ± 1 K x). Posto δ K = 1 2K, si ha che U δ K S K > 0. 1

2 1 K δ K = 1 1 2K K Esercizio. Calcolare i seguenti iti: sin(xy) a. sin x sin y ; ln(1 + x 2 + y 2 ) b. sin( x 2 + y 2 ) ; c. x 2 2xy + y 2 e x y ; 1 x 2 + 3xy + 2y 2 d. (x,y) ( 2,1) x 2 xy 6y 2. a. Si tratta di una forma di indecisione t 0 sin t t = 1, possiamo riscrivere così la funzione: [ 0 0]. Ricordando il ite notevole sin(xy) sin x sin y = sin(xy) x y = 1, quando (x, y) (0, 0). xy sin x sin y [ b. Ancora una forma di indecisione 0 0]. Ricordando la relazione di asintotico ln(1 + t) t + o(t) per t 0, si ottiene: ln(1 + x2 + y 2 ) sin( x 2 + y 2 ) = x2 + y 2 x 2 + y 2 = (x2 + y 2 ) 1 2 = 0. 2

3 c. Ancora la forma di indecisione intorno di t = 0, per ottenere: [ 0 0]. Ricordiamo che e t 1 t in un (x y)2 x y = (x y) = 0. d. Sostituendo le coordinate del [ punto ( 2, 1) nella funzione si ottiene nuovamente la forma di indecisione 0 0] : entrambi i polinomi a numeratore e a denominatore contengono un fattore che si annulla in quel punto. Infatti, osserviamo che: x 2 + 3xy + 2y 2 = x 2 + 2xy + xy + 2y 2 = (x + y)(x + 2y), e analogamente, essendo y = 3y + 2y e 6y 2 = ( 3y)(2y): x 2 xy 6y 2 = (x 3y)(x + 2y). Perciò: (x + y)(x + 2y) (x 3y)(x + 2y) = (x + y) (x,y) ( 2,1) (x 3y) = 1 5. Coordinate polari inr 2 Dovendo calcolare un ite: f(x, y), (x,y) (x 0,y 0 ) spesso può essere utile il cambio di coordinate: { x = x0 + ρ cos θ y = y 0 + ρ sin θ con ρ R + θ [0, 2π) dove (x(ρ, θ), y(ρ, θ)) (x 0, y 0 ) ρ 0 e θ [0, 2π). In questo modo ci si riconduce al calcolo del ite: f(x(ρ, θ), y(ρ, θ)) = f(ρ, θ). ρ 0,θ [0,2π) ρ 0,θ [0,2π) Esercizio. Calcolare i seguenti iti, utilizzando le coordinate polari (centrate in un opportuno polo (x 0, y 0 )). ln(1 + x 2 + y 2 ) a. sin( x 2 + y 2 ) ; 3

4 (y 1) 2 sin(πx) b. (x,y) (2,1) (x 2) 2 + (y 1) 2 ; sin(x 2 y) c. x 2 + y 2 ; d. ln[1 + 2 sin(x 2 + y 2 )] 2 4(x 2 + y 2. ) a. In coordinate polari centrate nell origine si ottiene: ln(1 + ρ2 ) sin ρ = ρ2 ρ = 0, con ρ 0, θ. b. Centrando le coordinate polari in (x 0, y 0 ) = (2, 1), si deve calcolare: (ρ sin θ)2 sin(2π + πρ cos θ) (ρ cos θ) 2 (ρ sin θ) 2 = (sin 2 θ sin(πρ cos θ)) = (π sin 2 θ cos θρ) = 0. L ultimo ite va a 0 indipendentemente dal valore di θ, perché dato dal prodotto di una quantità - π sin 2 θ cos θ, dipendente da θ - che si mantiene itata al variare di θ, e di una quantità - ρ - infinitesima al tendere di ρ a 0. c. Passando in coordinate polari rispetto all origine si ha: sin(ρ3 sin 2 θ cos θ) ρ 2 = (ρ sin 2 θ cos θ) = 0, anche in questo caso il ite non dipende dall angolo θ, per le stesse ragioni date al punto precedente. d. Con le coordinate polari centrate in (0, 0) si ottiene: 2 ln[1 + (2 sin ρ2 )] 4ρ 2 = 2 2 sin ρ2 4ρ 2 = 1, indipendentemente da θ. Teorema 1 (Unicità del ite) Se esiste il ite x x0 f(x) = L, allora è unico. conseguenza (non esistenza del ite): se lungo due cammini diversi r 1 (t) e r 2 (s) - entrambi passanti per x 0 in corrispondenza rispettivamente di t = t 0 4

5 e s = s 0 - si ottengono valori diversi del ite x x0 f(x), allora tale ite non esiste: f(r 1 (t)) = L 1 t t 0 con r 1 (t) x 0 se t t 0, f(r 2 (s)) = L 2 s s 0 con r 2 (s) x 0 se s s 0 e L 1 L 2, allora f non ammette ite per x x 0. Esercizio. Dimostrare che non esiste x 2 + y 2. x Cerchiamo due cammini che arrivino a (0, 0), lungo cui f(x, y) sia sempre definita (cioè i cammini non devono uscire dal dominio di f) e tenda a due iti diversi. primo cammino: asse x (y = 0). Restringo f a tale retta e faccio muovere il punto sulla retta (x, 0) verso l origine, mandando x 0: x2 f(x, 0) = x 0 x = x = 0. secondo cammino: ne cerco uno lungo cui il ite non sia nullo. Poiché la direzione critica è quella dell asse y (x = 0, esterno al dominio della funzione), provo a giungere nell origine con direzione tangente a tale asse; per esempio, scegliendo la parabola x = y 2, ottengo y 0 f(y2, y) = y4 + y 2 y 2 = (y 2 + 1) = 1 0. Questo risultato dà la tesi richiesta. Esercizio. a. Calcolare x 2 y x 4 + y 2 lungo tutte le rette passanti per l origine. b. Dimostrare che tale ite non esiste. 5

6 a. Restringo la funzione alle rette per l origine (x, y = mx) e mando il punto sulla retta verso l origine, facendo tendere x 0: f(x, mx) = mx x 0 x 2 + m 2 = { 0 m 2 = 0 se m 0 0 x 2 = 0 = 0 se m = 0. Pertanto la funzione ha ite uguale a 0 lungo tutte le rette. b. Il risultato ottenuto al punto precedente non basta però a garantire l esistenza del ite della funzione nell origine: infatti, si può dimostrare che tale ite non esiste, ad esempio muovendosi verso (0, 0) lungo la parabola di equazione y = x 2 : f(x, x 0 x2 ) = x2 x 2 x 4 + x 4 = nota. Ci si potrebbe domandare: Ma perché dovrei tentare proprio con una parabola? E perché quella lì e non un altra? Un motivo potrebbe venire dall osservare che, scegliendo proprio il cammino di equazione y = x 2, si fa in modo che a numeratore e denominatore appaiano monomi dello stesso grado, che semplificandosi danno una costante, non nulla, come risultato del ite. Il che, in altre parole, significa che a occhio si intuisce o si sospetta che la parabola porterà ad avere un ite diverso da quello ottenuto lungo le rette. Oppure, se proprio si brancola nel buio, passare alle coordinate polari può essere di aiuto. Vediamo in questo caso quali informazioni si possano carpire, con questo secondo metodo: ρ cos f(ρ, 2 θ sin θ θ) = ρ 0 ρ 0 ρ 2 cos 4 θ + sin 2 θ = 0 sin 2 θ, il che ci dice che lungo tutte le direzioni individuate da valori della coordinata angolare tali che sin θ 0 il ite è zero; mentre la direzione critica, lungo cui avventurarsi nella ricerca di un eventuale cammino che dia un ite diverso da zero è quella per cui sin θ si annulla. Quindi è ragionevole provare ad avvicinarsi all origine lungo cammini non rettilinei, ma che giungono in (0, 0) lungo quella direzione, cioè lungo curve la cui tangente nell origine sia l asse delle x (che corrisponde agli angoli con seno nullo). Continuità Definizione 2 Sia f : A R 2 R, x 0 A. Diciamo che f è continua in x 0 se x x 0 f(x) = f(x 0 ). 6

7 Esercizio. Sia f :R 2 R la funzione, definita a tratti da: f(x, y) = Stabilire dove è continua. { (x+y) 2 x 2 +y 2 se (x, y, ) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) In ogni punto del piano diverso dall origine la funzione, in quanto composizione di funzioni continue (rapporto di polinomi con il denominatore sempre non nullo), è continua. Per quanto riguarda la continuità nell origine, va verificata con la definizione: la funzione è continua se vale l uguaglianza f(x, y) = f(0, 0) = 0. Calcoliamo il ite: (x + y) 2 x 2 + y 2 = ρ2 (cos 2 θ + sin 2 θ) ρ 2 = g(θ), il valore del ite dipende dall angolo e varia al variare di esso; per esempio g(0) = 1 e g( π 4 ) = 2, perciò non esiste il ite di f nell origine (in particolare non può essere uguale a f(0, 0)). La funzione è continua inr 2 \ {(0, 0)}. Esercizio. Stabilire se la funzione f(x, y) = { x sin y x 2 +y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) è continua nell origine. Deve valere, perché f sia continua in (0, 0), l uguaglianza Calcolo: f(x, y) = f(0, 0) = 0. x sin y ρ cos θ sin(ρ sin θ) = x 2 + y 2 ρ sin(ρ sin θ) = (ρ cos θ) sin θ ρ sin θ = 1 (ρ cos θ sin θ) = 0, θ. 7

8 Quindi f è continua nell origine. Esercizio. Per le seguenti funzioni ( ) 1 f 1 (x, y, ) = arctan x 2 + y 2 e f 2 (x, y) = arctan e y x, stabilire: a. insieme di definizione; b. insieme di continuità; c. la funzione può essere estesa con continuità sui punti di frontiera dell insieme dove è continua? - f 1 è definita sur 2 \ {(0, 0)} e ivi continua. Nell origine potrà essere estesa con continuità attribuendole il valore del suo ite per (x, y) (0, 0), qualora esso esista: f 1 (x, y) = arctan( 1 ρ 2 ) = π 2 θ. Poiché il ite esiste, si può estendere con continuità la funzione anche nell origine, definendo la funzione estesa: f 1 (x, y) = { f1 (x, y) se (x, y) (0, 0) π 2 se (x, y) = (0, 0) - f 2 è definita per x 0, cioè sur 2 \{(0, y) : y R}, dove è anche continua. Sia (0, y 0 ) un punto di frontiera dell insieme di definizione della funzione, allora: (x,y) (0,y0 ) arctan e y x = { arctan(± ) = ± π 2 se y 0 > 0, x 0 ± arctan( ) = π 2 se y 0 < 0, x 0 ± Infine: arctan e y x = arctan e tan θ = g(θ). Quindi f 2 non ammette ite in alcun punto dell asse delle ordinate: non vi può essere estesa con continuità. 8

9 Derivate parziali Definizione 3 Sia f : A R 2 R, (x 0, y 0 ) A. Le derivate parziali di f nel punto (x 0, y 0 ) sono definite da: f x (x 0, y 0 ) = x f(x, y) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) (x,y)=(x 0,y 0 ) = h 0 h f y (x 0, y 0 ) = y f(x, y) f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) (x,y)=(x 0,y 0 ) = h 0 h (qualora tali iti esistano finiti). Definizione 4 f si dice derivabile in (x 0, y 0 ) se ammette in quel punto entrambe le derivate parziali. Esercizio.Calcolare le derivate parziali di f(x, y) = xe x2 y in tutti i punti in cui esistono. Deriviamo rispetto a x, con le note regole di derivazione, trattando y come una costante: f x (x, y) = y(e x2 + 2x 2 e x2 ), (x, y) domf = {(x, y) : y 0} Analogamente procediamo per la derivata rispetto a y: f xex2 (x, y) = y 2, (x, y) domf \ {(x, 0)}. y Per i punti dell asse delle ascisse, verifichiamo la derivabilità di f con la definizione: f(x, h) f(x, 0) f(x, 0) = y h 0 h xe x2 h = h 0 h { 0 se x = 0 = se x 0 Dunque f y esiste in {(0, 0)} domf \ {(x, 0)}. 9

10 Esercizio. Calcolare le derivate parziali nell origine di f(x, y) = 5 y 3 sin 2 x. Se si calcolano le derivate con le regole di derivazione e si cerca di valutarle nell origine, si ottengono delle forme di indecisione. Usiamo allora la definizione: e f(h, 0) f(0, 0) f x (0, 0) = = h 0 h f(0, h) f(0, 0) f y (0, 0) = = h 0 h 5 0 sin 2 h = 0 = 0, h 5 h3 0 = 0 = 0. h 10