19 LIMITI FONDAMENTALI - II

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1 19 LIMITI FONDAMENTALI - II 3. Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni logaritmiche è: log1 + = 1. La dimostrazione di questo ite si ha subito dal ite Esempio. Si calcoli Scriviamo per cui pongo y = cos 1 Allora il ite diventa Esempio. Calcoliamo 1/ 1 + = e. logcos 2. logcos = log1 + cos 1, logcos cos 1 = log1 + y = 1. y 0 y cos 1 2 = 1 2. cos 1/2. Il ite è nella forma 1 +. Per ricondurlo ad una forma nota, riscriviamo la funzione in base e cos 1/2 = e logcos /2. Dato che e y è continua e il ite vale e 1/2. Nota. Abbiamo usato l uguaglianza logcos 2 = 1 2, f g = e g log f, che si usa spesso per trattare le forme esponenziali quando la base è una funzione. Esempio. Per calcolare sin sin sin 61

2 scriviamo la funzione come Con il cambio di variabili si ha quindi e il ite vale e 1. Esempio. Si calcoli sin sin sin log e. sin 1 = y, log sin sin 1 y 0 sin sin sin log log1 + y y = 1, sin sin = sin 1 sin = sin sin sin = = 1, 4 log log. + Dalle proprietà dei logaritmi 4 log log + Se poniamo y = 4/ 4 abbiamo + 4 log = + 4 log y = 4log1 = 4. y 0 + y 4. Il ite che permette di trattare iti al finito in cui è presente un esponenziale è e 1 = 1. Questo ite si ottiene subito dal precedente, scrivendo e 1 = y, = log1 + y, per cui Esempio. Se a > 0 allora e 1 y = y 0 log1 + y = 1. a 1 = log a. 62

3 Infatti, basta scrivere a = e log a, e usare la sostituzione y = log a. Esempio. Si calcoli sinπ4 sin4 π 1. Dato che il ite fondamentale per il seno è in 0, dobbiamo riportarci in 0 notando che sin y = siny π. Si ha quindi sinπ4 sin4 π 1 = sinπ4 π sin4 π 1 = sinπ4 1 sin4 π 1 Dal ite fondamentale, posto y = π4 1 abbiamo e posto y = 4 π 1 Abbiamo quindi sinπ4 1 sin y π4 = 1 y 0 y Usiamo adesso il ite fondamentale 4 π 1 sin4 π 1 = y 0 = 1 y sin y = 1 sinπ4 sin4 π 1 = π4 1 4 π 1. per ottenere a 1 e log a 1 = = log a sinπ4 sin4 π 1 = π4 1 4 π 1 = π log 4 1 log 4 π = 1. Esempio. Si calcoli sin 2. Scrivendo = e 2 log1+3 abbiamo e 2 log1+3 1 sin 2 = 2 log log1 + 3 sin log log1 + 3 = 2 = =

4 CONFRONTI TRA FUNZIONI Quando si ha una somma di più funzioni di cui si vuole calcolare il ite in un punto 0 la strategia è di individuare la funzione dominante e isolarla da quelle trascurabili. Esempio. Abbiamo visto che per calcolare , si nota che sia al numeratore che al denominatore l andamento dominante è quello di 4 per cui lo si isola: = In questo passaggio abbiamo usato il fatto che 3, 2 2, e 5 sono trascurabili rispetto a 4, ovvero divise per 4 tendono a 0 sono infinitesime. Se invece si vuole calcolare , i termini dominanti sono quelli in e le potenze di ordine superiore sono trascurabili rispetto a sempre nel senso che divise per tendono a 0, ottenendo = = 5. Introduciamo ora una notazione i simboli di Landau per esprimere questo concetto di confronto tra comportamenti di funzioni, che generalizza quella usata per il confronto di successioni.. Definizione Diciamo che g è un o piccolo di f per 0 se si ha In tal caso si scrive g = of per 0. g 0 f = 0. Questo concetto verrà usato nel seguente modo: se g = of allora h è un altra funzione f + g f = 0 h 0 h ovvero g si può trascurare. Per convincersene, basta scrivere f + g f 1 + g f =. 0 h 0 h 64

5 Operazioni sugli o piccolo 1 of + of = of ovvero: se sommiamo due funzioni trascurabili rispetto a f otteniamo ancora una funzione trascurabile rispetto a f 2 oof = of se una funzione è trascurabile rispetto ad una funzione trascurabile rispetto ad f, è trascurabile rispetto ad f 3 g of = ofg se moltiplico una funzione trascurabile rispetto ad f per g ottengo una funzione trascurabile rispetto a f g 4 of + of = of, 5 se c 0 allora ocf = of ecc. Per dimostrare queste regole di calcolo basta pensare al loro significato: per esempio la prima significa che se abbiamo due funzioni g 1 e g 2 tali che allora si ha g 1 0 f = g 2 0 f = 0 g 1 + g 2 = 0 0 f e questo vale per il teorema sul ite della somma. Nota: a g = o1 equivale a g infinitesima; b in analogia con la notazione per le successioni, a volte scriveremo g << f invece di g = of e a volte leggeremo f è molto più grande di g per 0. Esempio. Dai iti fondamentali otteniamo per 0: sin = + o; cos = o 2 ; ecc. Esempio. Abbiamo e = o; log1 + = + o, logcos = log o 2 = o 2 + o o 2 = o 2. Qui abbiamo usato che o o 2 = o = o 2 per le regole 4 e 5, e che per la regola 1. o 2 + o 2 = o 2 65

6 Confronti tra infiniti I iti all infinito calcolati per le successioni ci danno un certo numero di confronti per + : 1 << log << β << a per ogni a > 1 e β > 0. Per dimostrare queste relazioni basta ricondursi agli analoghi iti per successione tramite la funzione parte intera. Le stesse relazioni si possono scrivere Esempio. Per calcolare notiamo che e β = oa, log = o β. 2 + log + sin log + 4 sin 2 1 << log << 2 4 << << log, quindi einando le funzioni trascurabili il ite è + per esempio perchè log << 2 << 2. Esempi. 2 log = + 1 log = 0 per provarlo basta porre y = 1/; + 2 = 1 per provarlo basta scrivere = e log ; =. Per provarlo basta calcolare + e log 1 e log 1 = + + log log = log =. + 66

7 20 ANDAMENTI ASINTOTICI Al finito: sia f : a, b R a, b R. 1. Se esiste il ite a+ f = L allora diremo che f è estendibile con continuità da destra in a: la funzione è continua a destra in a. { g = f a, b L = a Analogamente si definisce l estendibilità da sinistra in b Esempi. a f = sin è estendibile con continuità sia da destra che da sinistra in 0, ovvero la funzione { sin g = R \ {0} 1 se = 0 è continua in 0. b f = Se esiste il ite è estendibile con continuità da destra in 0, ma non da sinistra. f = ± a+ allora diremo che la retta verticale = a è un asintoto verticale per f analogamente in b Esempi. a f = 1, o f = log, ha = 0 come asintoto verticale e f + 2 per 0; b f = 1 ha = 0 come asintoto verticale ma non ne esiste il ite in 0; c f = 1 1 ha = 0 come asintoto verticale, ma solo il ite sinistro è Se f : a, b b, c R ed esistono i iti f f, b b+ entrambi in R, allora si dice che b è un punto di salto o punto di discontinuità per f. Notiamo che in questo caso f è estendibile con continuità in b sia da destra che da sinistra. Esempi. a f = sign ha = 0 come punto di salto; b f = [] ha = 0 come punto di salto; c f = arctan1/ ha = 0 come punto di salto. 67

8 All infinito: f : a, + R le stesse considerazioni valgono se f :, b R. Diciamo che f e g sono asintotiche per + se si ha f g = 0. + Esempi. a log 3 + sin è asintotica a 3 log per + ma per esempio e 3 +sin non è asintotica a e 3 ; sin e b + è asintotica a per + notare che questa funzione oscilla sempre di piu quando + ; c + arctan è asintotica a + π/2 per + e a π/2 per +. Il caso in cui g è una costante o una funzione affine è particolarmente semplice, e merita una notazione separata. Definizione Diremo che la retta y = L è asintoto orizzontale per f per + se f è asintotica alla costante L, o, semplicemente f = L. + Definizione Sia m 0; diremo che la retta y = m + q è asintoto obliquo per f per + se f è asintotica alla funzione g = m + q. In questo caso abbiamo f m q = o1, da cui dividendo per m = f q + 1 f o1 = + o1, mentre q = f m = o1. Dunque si ha la seguente ricetta per il calcolo di asintoti orizzontali/obliqui: 1 si calcola il ite di f. Se esiste finito = L questo da l asintoto orizzontale; 2 se il ite è ±, allora si calcola il ite di f/. Se questo è infinito o non esiste, allora non c e asintoto. Se è finito il suo valore m ci da il coefficiente angolare dell asintoto; 3 si calcola il ite di f m. Se questo è finito allora il suo valore q da il termine noto dell asintoto Esempio. Se f è un quoziente di polinomi con il numeratore di un grado più alto del denominatore, l asintoto obliquo si calcola subito facendo la divisione di polinomi: 2 3 = = = = o1 per ± e quindi y = + 3 è asintoto obliquo per 2 3 sia a+ che a. 68

9 Esempio. Sia f = log Il ite a + è +, quindi non c e asintoto orizzontale. Calcoliamo il ite log Dunque m = log 7 e f + log 7 + log = + q = quindi l asintoto obliquo è log 7. = log 7 + o1 = = log 7. + f log 7 = log = 0. Esempio. Sia f = log Notiamo che per + Allora e f = q = m = log = 1 + o1 = + o. f + = + o = 1, + f = log Quindi l asintoto obliquo è y = log1 + 3 = log log1 + 3 = = o1 Esempio. Sia f = + log. Questa funzione evidentemente non ammette asintoti a +, anche se il calcolo da : m = In questo caso pero q = +. f + = log = 1. 69