SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
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- Donato Toscano
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1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
2 Prendiamo due numeri : 8 e 13. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONE del primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Ora il numero 8 è divisibile per: Esaminiamo il numero 13. Esso è divisibile solamente per: 1, 2, 4, 8. 1, 13. Quindi, 8 ammette come divisori 1, se stesso e altri divisori (2, 4). Mentre 13 ammette come divisori solamente 1 e se stesso. I numeri come il 13 si chiamano NUMERI PRIMI ASSOLUTI o più semplicemente NUMERI PRIMI. Possiamo affermare che un NUMERO PRIMO è un numero DIVISIBILE solamente per 1 e per SE STESSO. Si chiamano COMPOSTI, invece, i numeri che hanno, oltre all'uno e a se stessi, ALTRI DIVISORI. Quindi: NUMERO DIVISORI 8 1, 2, 4, 8 NUMERO COMPOSTO 13 1, 13 NUMERO PRIMO Facciamo degli altri esempi: NUMERO DIVISORI 11 1, 11 NUMERO PRIMO 105 1, 3, 5, 7, 21, 35, 105 NUMERO COMPOSTO 28 1, 2, 4, 7, 14, 28 NUMERO COMPOSTO 7 1, 7 NUMERO PRIMO Il numero 1 non viene considerato nè un numero primo (in quanto ammette un solo divisore, se stesso), nè un numero composto. I NUMERI PARI, ad eccezione del numero 2, sono sempre dei NUMERI COMPOSTI perché ammettono come divisori, sempre, oltre a se stessi e all'unità anche il 2. NUMERO DIVISORI 4 1, 2, 4 6 1, 2, 3, 6 8 1, 2, 4, , 2, 5, , 2, 3, 4, 6, 12
3 Quindi i NUMERI PRIMI sono sicuramente NUMERI DISPARI. Non è vero, invece, il contrario: cioè inumeri DISPARI non è detto che siano NUMERI PRIMI, quindi possono essere sia NUMERI PRIMI che NUMERI COMPOSTI. NUMERO DIVISORI 3 1, 3 NUMERO PRIMO 5 1, 5 NUMERO PRIMO 7 1, 7 NUMERO PRIMO 9 1, 3, 9 NUMERO COMPOSTO 11 1, 11 NUMERO PRIMO 13 1, 13 NUMERO PRIMO 15 1, 3, 5, 15 NUMERO COMPOSTO Quindi, ricapitolando: 1 non è nè NUMERO PRIMO nè NUMERO COMPOSTO NUMERI PARI (eccetto il 2) sono sempre NUMERI COMPOSTI NUMERI DISPARI possono essere NUMERI PRIMI o NUMERI COMPOSTI I NUMERI PRIMI sono in numero ILLIMITATO infatti, se prendiamo un numero primo ne possiamo trovare sempre uno maggiore. Come sappiamo un NUMERO si dice COMPOSTO quando ha qualche altro divisore oltre all'unita' e a SE STESSO. Sappiamo anche che i NUMERI PARI sono senz'altro dei NUMERI COMPOSTI, mentre i numeri dispari possono essere sia composti che primi. Scegliamo, quindi, un numero pari, ad esempio: 30. Esso è senz'altro un numero composto e ammette, come divisore, il 2. Dividiamo allora per 2 e avremo: 30 : 2 = 15. Di conseguenza possiamo scrivere: 15 x 2 = 30. Anche 15 è un numero composto. Esso ha come più piccolo divisore il numero 3. Quindi possiamo scrivere: 15 : 3 = 5. E di conseguenza possiamo dire che: 3 x 5 = 15. Quindi attraverso una serie di sostituzioni possiamo dire che: 30 = 2 x 15 = 2 x 3 x 5. Ricapitolando: 30 = 2 x 3 x 5. Come possiamo notare abbiamo scritto il numero 30 come il prodotto di più numeri e questi numeri (2, 3, 5) sono tutti NUMERI PRIMI. Questa operazione prende il nome di SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI.
4 Quindi noi abbiamo scomposto 30 in fattori primi. Prendiamo un altro NUMERO COMPOSTO, ad esempio: 105. Il numero 105 non è divisibile per 2, trattandosi di un numero dispari. E' divisibile per tre dato che la somma delle sue cifre è 6, cioè un numero divisibile per 3. Quindi possiamo scrivere: 105 : 3 = 35. Ovvero: 105 = 3 x 35. Il numero 35 è ancora un numero composto che, poiché termina con la cifra 5, è divisibile per 5. Quindi: 35 : 5 = 7. Ovvero: 35 = 5 x 7. Quindi possiamo dire che: 105 = 3 x 5 x 7. Possiamo allora affermare che ogni NUMERO COMPOSTO è uguale al PRODOTTO di più NUMERI PRIMI. Vediamo come si effettua, in pratica, la SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI. Prendiamo il numero 60 e proviamo a scomporlo in fattori primi. Per fare questo dobbiamo tracciare una LINEA VERTICALE. A sinistra di questa linea scriviamo il numero da scomporre, nel nostro caso60. Ora cerchiamo il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui esso è divisibile. Essendo il numero da scomporre 60, cioè un numero pari, esso è senz'altro divisibile per 2. Scriviamo questo fattore primo alla destra della linea verticale. Così:
5 Ora dividiamo 60 per 2 e scriviamo il risultato della divisione (cioè il quoto) sotto il numero 60. Così: Cerchiamo ora il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui è divisibile 30: anche in questo caso ci troviamo di fronte ad un numero pari che sarà, quindi, divisibile per 2. Scriviamo il 2 a destra del numero 30. Ora dividiamo 30 per 2 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 30. Così: 15 è un numero dispari, quindi non è certamente divisibile per 2. Esso invece è divisibile per 3, dato che la somma delle sue cifre (1+5) dà come risultato 6 che è un numero divisibile per 3. Scriviamo il 3 a destra del numero 15. Ora dividiamo 15 per 3 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 15.
6 Il numero 5 è un numero primo, divisibile solo per se stesso e per l'unità. Dividiamo allora il numero 5 per se stesso. Il risultato della divisione è 1. La nostra scomposizione del numero 60 in fattori primi è terminata. Il NUMERO DA SCOMPORRE (nel nostro caso 60) può essere scritto come il PRODOTTO di tutti i FATTORI PRIMI scritti a sinistra della linea verticale. Così: Ma sappiamo che Per cui sostituendo, avremo: 60 = 2 2 x 3 x = 2 x 2 x 3 x 5. 2 x 2 = 2 2. Più in generale possiamo dire che per SCOMPORRE un numero in FATTORI PRIMI, lo si DIVIDE per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, poi si DIVIDE il QUOTO ottenuto per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, e così via fino ad ottenere come quoto 1. Il numero dato è uguale al PRODOTTO di TUTTI I NUMERI PRIMI usati come DIVISORI.
7 Vediamo qualche altro esempio. Scomponiamo il numero 325. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 325 = 5 x 5 x 13. Ovvero: 325 = 5 2 x 13. Ora scomponiamo il numero 168. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7. Ovvero: 168 = 2 3 x 3 x 7. Quando scriviamo un numero come prodotto di più numeri primi si parla di FATTORIZZAZIONE in NUMERI PRIMI. In alcuni casi è possibile abbreviare la scomposizione in fattori primi.
8 Vedremo, di seguito, come è possibile abbreviare, in alcuni casi, la SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI. Le regole che vedremo di seguito si fondano sui criteri di divisibilità di un numero. 1 REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3,... ZERI Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con tre zeri DIVISIBILE PER Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER Poiché sappiamo che: 10 = 2 x 5; 100 = 2 2 x 5 2 ; = 2 3 x 5 3 ; ecc.. quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 10, 100, 1.000, ecc.., il PRIMO DIVISORE del numero sarà rispettivamente: 2 x 5; 2 2 x 5 2 ; 2 3 x 5 3. Per cui scriveremo: = 2 x 5 x 3 3 x 5. ovvero: = 2 x 5 2 x 3 3. Oppure Per cui scriveremo: = 2 3 x 5 2 x REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO.
9 216 Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre DIVISIBILE PER 4 Poiché sappiamo che: 4 = 2 2 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 4, possiamo considerare come suo divisore 2 2. Per cui scriveremo: 216 = 2 3 x 3 3. Oppure: Per cui scriveremo: = 2 4 x 5 2 x 3. 3 REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 9se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Numero Somma delle cifre = divisibile per DIVISIBILE PER 9 Poiché sappiamo che: 9 = 3 2 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 9, possiamo considerare come suo divisore 3 2. Per cui scriveremo: = 2 5 x 3 4 x 5 2.
10 CRITERI DI DIVISIBILITÀ Un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONEdel primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Cioè: In questo caso possiamo dire che a è DIVISIBILE per b. 25 : 5 = 5 con resto 0 25 è DIVISIBILE per 5 18 : 3 = 6 con resto 0 18 è DIVISIBILE per 3 70 : 4 = 17 con resto 2 70 NON è DIVISIBILE per 4 Per sapere se un numero è divisibile per un altro non è sempre necessario eseguire la divisione. Infatti, esistono delle REGOLE che ci permettono di stabilire facilmente se un NUMERO E' DIVISIBILE per UN ALTRO. Queste regole prendono il nome di CRITERI DI DIVISIBILITA'. Vediamo, di seguito, quali sono questi criteri. 1. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 2. Un numero è DIVISIBILE per 2 se la sua ULTIMA CIFRA A DESTRA è 2 o una CIFRA PARI. 42 Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari.lo zero è una cifra pari DIVISIBILE PER 2 93 Ultima cifra a destra è dispari NON DIVISIBILE PER 2
11 2. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 3. Un numero è DIVISIBILE per 3 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 3. Numero Somma delle cifre = 9 9 divisibile per 3 27 DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = non divisibile per NON DIVISIBILE PER 3 3. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 4. Un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO. 212 Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra 00 DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra non divisibile per NON DIVISIBILE PER 4 4. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 5. Un numero è DIVISIBILE per 5 se l'ultima CIFRA A DESTRA è 5 o ZERO. 35 Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è zero DIVISIBILE PER 5 88 Ultima cifra a destra non è 5 nè 0 NON DIVISIBILE PER 5
12 5. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 6. Un numero è DIVISIBILE per 6 se è DIVISIBILE CONTEMPORANEAMENTE per 2 e per Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 9. DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 18. DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 3. DIVISIBILE PER 3 88 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 DIVISIBILE PER 6 DIVISIBILE PER 6 DIVISIBILE PER 6 NON DIVISIBILE PER = 16. NON DIVISIBILE PER 3 6. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 9. Un numero è DIVISIBILE per 9 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Numero Somma delle cifre = divisibile per DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = non divisibile per NON DIVISIBILE PER 9 7. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 10, 100, 1.000, ecc... Un numero è DIVISIBILE per 10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3,... ZERI Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con tre zeri DIVISIBILE PER Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER
13 8. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 11. Un numero è DIVISIBILE per 11 se la DIFFERENZA tra la SOMMA delle CIFRE di posto DISPARI e la SOMMA delle SUE CIFRE di posto PARI è uguale a ZERO, o 11 o MULTIPLO di 11. Numero Cifre di posto dispari Cifre di posto pari Somma cifre di posto dispari (a) Somma cifre di posto pari (b) 385 3, = = ,1,2 7, = = = , = = ,9,7,9 2,1, = = = 22 (a) - (b) DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11
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