SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
|
|
|
- Donato Toscano
- 9 anni fa
- Просмотров:
Транскрипт
1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
2 Prendiamo due numeri : 8 e 13. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONE del primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Ora il numero 8 è divisibile per: Esaminiamo il numero 13. Esso è divisibile solamente per: 1, 2, 4, 8. 1, 13. Quindi, 8 ammette come divisori 1, se stesso e altri divisori (2, 4). Mentre 13 ammette come divisori solamente 1 e se stesso. I numeri come il 13 si chiamano NUMERI PRIMI ASSOLUTI o più semplicemente NUMERI PRIMI. Possiamo affermare che un NUMERO PRIMO è un numero DIVISIBILE solamente per 1 e per SE STESSO. Si chiamano COMPOSTI, invece, i numeri che hanno, oltre all'uno e a se stessi, ALTRI DIVISORI. Quindi: NUMERO DIVISORI 8 1, 2, 4, 8 NUMERO COMPOSTO 13 1, 13 NUMERO PRIMO Facciamo degli altri esempi: NUMERO DIVISORI 11 1, 11 NUMERO PRIMO 105 1, 3, 5, 7, 21, 35, 105 NUMERO COMPOSTO 28 1, 2, 4, 7, 14, 28 NUMERO COMPOSTO 7 1, 7 NUMERO PRIMO Il numero 1 non viene considerato nè un numero primo (in quanto ammette un solo divisore, se stesso), nè un numero composto. I NUMERI PARI, ad eccezione del numero 2, sono sempre dei NUMERI COMPOSTI perché ammettono come divisori, sempre, oltre a se stessi e all'unità anche il 2. NUMERO DIVISORI 4 1, 2, 4 6 1, 2, 3, 6 8 1, 2, 4, , 2, 5, , 2, 3, 4, 6, 12
3 Quindi i NUMERI PRIMI sono sicuramente NUMERI DISPARI. Non è vero, invece, il contrario: cioè inumeri DISPARI non è detto che siano NUMERI PRIMI, quindi possono essere sia NUMERI PRIMI che NUMERI COMPOSTI. NUMERO DIVISORI 3 1, 3 NUMERO PRIMO 5 1, 5 NUMERO PRIMO 7 1, 7 NUMERO PRIMO 9 1, 3, 9 NUMERO COMPOSTO 11 1, 11 NUMERO PRIMO 13 1, 13 NUMERO PRIMO 15 1, 3, 5, 15 NUMERO COMPOSTO Quindi, ricapitolando: 1 non è nè NUMERO PRIMO nè NUMERO COMPOSTO NUMERI PARI (eccetto il 2) sono sempre NUMERI COMPOSTI NUMERI DISPARI possono essere NUMERI PRIMI o NUMERI COMPOSTI I NUMERI PRIMI sono in numero ILLIMITATO infatti, se prendiamo un numero primo ne possiamo trovare sempre uno maggiore. Come sappiamo un NUMERO si dice COMPOSTO quando ha qualche altro divisore oltre all'unita' e a SE STESSO. Sappiamo anche che i NUMERI PARI sono senz'altro dei NUMERI COMPOSTI, mentre i numeri dispari possono essere sia composti che primi. Scegliamo, quindi, un numero pari, ad esempio: 30. Esso è senz'altro un numero composto e ammette, come divisore, il 2. Dividiamo allora per 2 e avremo: 30 : 2 = 15. Di conseguenza possiamo scrivere: 15 x 2 = 30. Anche 15 è un numero composto. Esso ha come più piccolo divisore il numero 3. Quindi possiamo scrivere: 15 : 3 = 5. E di conseguenza possiamo dire che: 3 x 5 = 15. Quindi attraverso una serie di sostituzioni possiamo dire che: 30 = 2 x 15 = 2 x 3 x 5. Ricapitolando: 30 = 2 x 3 x 5. Come possiamo notare abbiamo scritto il numero 30 come il prodotto di più numeri e questi numeri (2, 3, 5) sono tutti NUMERI PRIMI. Questa operazione prende il nome di SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI.
4 Quindi noi abbiamo scomposto 30 in fattori primi. Prendiamo un altro NUMERO COMPOSTO, ad esempio: 105. Il numero 105 non è divisibile per 2, trattandosi di un numero dispari. E' divisibile per tre dato che la somma delle sue cifre è 6, cioè un numero divisibile per 3. Quindi possiamo scrivere: 105 : 3 = 35. Ovvero: 105 = 3 x 35. Il numero 35 è ancora un numero composto che, poiché termina con la cifra 5, è divisibile per 5. Quindi: 35 : 5 = 7. Ovvero: 35 = 5 x 7. Quindi possiamo dire che: 105 = 3 x 5 x 7. Possiamo allora affermare che ogni NUMERO COMPOSTO è uguale al PRODOTTO di più NUMERI PRIMI. Vediamo come si effettua, in pratica, la SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI. Prendiamo il numero 60 e proviamo a scomporlo in fattori primi. Per fare questo dobbiamo tracciare una LINEA VERTICALE. A sinistra di questa linea scriviamo il numero da scomporre, nel nostro caso60. Ora cerchiamo il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui esso è divisibile. Essendo il numero da scomporre 60, cioè un numero pari, esso è senz'altro divisibile per 2. Scriviamo questo fattore primo alla destra della linea verticale. Così:
5 Ora dividiamo 60 per 2 e scriviamo il risultato della divisione (cioè il quoto) sotto il numero 60. Così: Cerchiamo ora il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui è divisibile 30: anche in questo caso ci troviamo di fronte ad un numero pari che sarà, quindi, divisibile per 2. Scriviamo il 2 a destra del numero 30. Ora dividiamo 30 per 2 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 30. Così: 15 è un numero dispari, quindi non è certamente divisibile per 2. Esso invece è divisibile per 3, dato che la somma delle sue cifre (1+5) dà come risultato 6 che è un numero divisibile per 3. Scriviamo il 3 a destra del numero 15. Ora dividiamo 15 per 3 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 15.
6 Il numero 5 è un numero primo, divisibile solo per se stesso e per l'unità. Dividiamo allora il numero 5 per se stesso. Il risultato della divisione è 1. La nostra scomposizione del numero 60 in fattori primi è terminata. Il NUMERO DA SCOMPORRE (nel nostro caso 60) può essere scritto come il PRODOTTO di tutti i FATTORI PRIMI scritti a sinistra della linea verticale. Così: Ma sappiamo che Per cui sostituendo, avremo: 60 = 2 2 x 3 x = 2 x 2 x 3 x 5. 2 x 2 = 2 2. Più in generale possiamo dire che per SCOMPORRE un numero in FATTORI PRIMI, lo si DIVIDE per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, poi si DIVIDE il QUOTO ottenuto per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, e così via fino ad ottenere come quoto 1. Il numero dato è uguale al PRODOTTO di TUTTI I NUMERI PRIMI usati come DIVISORI.
7 Vediamo qualche altro esempio. Scomponiamo il numero 325. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 325 = 5 x 5 x 13. Ovvero: 325 = 5 2 x 13. Ora scomponiamo il numero 168. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7. Ovvero: 168 = 2 3 x 3 x 7. Quando scriviamo un numero come prodotto di più numeri primi si parla di FATTORIZZAZIONE in NUMERI PRIMI. In alcuni casi è possibile abbreviare la scomposizione in fattori primi.
8 Vedremo, di seguito, come è possibile abbreviare, in alcuni casi, la SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI. Le regole che vedremo di seguito si fondano sui criteri di divisibilità di un numero. 1 REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3,... ZERI Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con tre zeri DIVISIBILE PER Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER Poiché sappiamo che: 10 = 2 x 5; 100 = 2 2 x 5 2 ; = 2 3 x 5 3 ; ecc.. quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 10, 100, 1.000, ecc.., il PRIMO DIVISORE del numero sarà rispettivamente: 2 x 5; 2 2 x 5 2 ; 2 3 x 5 3. Per cui scriveremo: = 2 x 5 x 3 3 x 5. ovvero: = 2 x 5 2 x 3 3. Oppure Per cui scriveremo: = 2 3 x 5 2 x REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO.
9 216 Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre DIVISIBILE PER 4 Poiché sappiamo che: 4 = 2 2 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 4, possiamo considerare come suo divisore 2 2. Per cui scriveremo: 216 = 2 3 x 3 3. Oppure: Per cui scriveremo: = 2 4 x 5 2 x 3. 3 REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 9se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Numero Somma delle cifre = divisibile per DIVISIBILE PER 9 Poiché sappiamo che: 9 = 3 2 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 9, possiamo considerare come suo divisore 3 2. Per cui scriveremo: = 2 5 x 3 4 x 5 2.
10 CRITERI DI DIVISIBILITÀ Un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONEdel primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Cioè: In questo caso possiamo dire che a è DIVISIBILE per b. 25 : 5 = 5 con resto 0 25 è DIVISIBILE per 5 18 : 3 = 6 con resto 0 18 è DIVISIBILE per 3 70 : 4 = 17 con resto 2 70 NON è DIVISIBILE per 4 Per sapere se un numero è divisibile per un altro non è sempre necessario eseguire la divisione. Infatti, esistono delle REGOLE che ci permettono di stabilire facilmente se un NUMERO E' DIVISIBILE per UN ALTRO. Queste regole prendono il nome di CRITERI DI DIVISIBILITA'. Vediamo, di seguito, quali sono questi criteri. 1. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 2. Un numero è DIVISIBILE per 2 se la sua ULTIMA CIFRA A DESTRA è 2 o una CIFRA PARI. 42 Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari.lo zero è una cifra pari DIVISIBILE PER 2 93 Ultima cifra a destra è dispari NON DIVISIBILE PER 2
11 2. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 3. Un numero è DIVISIBILE per 3 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 3. Numero Somma delle cifre = 9 9 divisibile per 3 27 DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = non divisibile per NON DIVISIBILE PER 3 3. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 4. Un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO. 212 Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra divisibile per DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra 00 DIVISIBILE PER Ultime due cifre a destra non divisibile per NON DIVISIBILE PER 4 4. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 5. Un numero è DIVISIBILE per 5 se l'ultima CIFRA A DESTRA è 5 o ZERO. 35 Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è zero DIVISIBILE PER 5 88 Ultima cifra a destra non è 5 nè 0 NON DIVISIBILE PER 5
12 5. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 6. Un numero è DIVISIBILE per 6 se è DIVISIBILE CONTEMPORANEAMENTE per 2 e per Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 9. DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 18. DIVISIBILE PER Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER = 3. DIVISIBILE PER 3 88 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 DIVISIBILE PER 6 DIVISIBILE PER 6 DIVISIBILE PER 6 NON DIVISIBILE PER = 16. NON DIVISIBILE PER 3 6. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 9. Un numero è DIVISIBILE per 9 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Numero Somma delle cifre = divisibile per DIVISIBILE PER = divisibile per DIVISIBILE PER = non divisibile per NON DIVISIBILE PER 9 7. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 10, 100, 1.000, ecc... Un numero è DIVISIBILE per 10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3,... ZERI Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con uno zero DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con due zeri DIVISIBILE PER Termina con tre zeri DIVISIBILE PER Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER
13 8. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 11. Un numero è DIVISIBILE per 11 se la DIFFERENZA tra la SOMMA delle CIFRE di posto DISPARI e la SOMMA delle SUE CIFRE di posto PARI è uguale a ZERO, o 11 o MULTIPLO di 11. Numero Cifre di posto dispari Cifre di posto pari Somma cifre di posto dispari (a) Somma cifre di posto pari (b) 385 3, = = ,1,2 7, = = = , = = ,9,7,9 2,1, = = = 22 (a) - (b) DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11 DIVISIBILE PER 11
1 Multipli di un numero
Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. I multipli del numero 4 costituiscono
24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6
1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità
Multipli e sottomultipli. Divisibilità LA TEORIA Se la divisione fra due numeri naturali è propria (cioè il resto è uguale a 0) i due numeri si dicono divisibili. Per esempio, nella divisione 8 : diciamo
Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N.
MULTIPLI E DIVISORI Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N. Poiché N = 0,1,2,3...7...95,..104.. Zero è multiplo di
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI. Conoscenze
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI Conoscenze 1. Completa: a) Dati due numeri naturali a e b, con b diverso da zero, si dice che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè ha resto 0 b) In
Divisibilità: definizioni e criteri
cbnd Antonio Guermani Scheda n 1 Nome Data Divisibilità: definizioni e criteri Il numero 69 7 è divisibile per 3 se al posto Ha un solo divisore Tra i multipli di 58 i due più grandi nessun numero naturale
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI. Conoscenze
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI Conoscenze 1. Completa: a) Dati due numeri naturali a e b, con b diverso da..., si dice che a è divisibile per b se... b) In N la divisione è possibile solo se... 2. Sostituisci
c) ogni numero ha infiniti multipli
Multipli e divisori Def: Si dice MULTIPLO di un numero naturale ogni numero che si ottiene moltiplicando tale numero per qualsiasi numero naturale. Es: è un multiplo di perché. Osservazioni: Es: b) ogni
DIVISORI E MULTIPLI DI UN NUMERO
DIVISORI E MULTIPLI DI UN NUMERO CONSIDERIAMO LA DIVISIONE 15 : 5 SICCOME IL RESTO E ZERO DICIAMO: 15 E DIVISIBILE PER (cioè lo possiamo dividere per ) E DIVISORE DI 15 (cioe divide 15) MA PROPRIO PER
Hai imparato che la divisione non è un operazione interna nell insieme dei numeri naturali, per esempio possiamo avere:
DIVISORI E LA DIVISIBILITA Hai imparato che la divisione non è un operazione interna nell insieme dei numeri naturali, per esempio possiamo avere: 36: 3 = 12 divisione eseguibile in N 27: 2 divisione non
Divisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 o con 5. Esempi: 380, 125, 465 sono divisibili per non è divisibile per 5
Multipli e divisori Def: Si dice multiplo di un numero naturale ogni numero che si ottiene moltiplicando tale numero per qualsiasi numero naturale. 14 è un multiplo di 7 perché 7 2 = 14. Si dice che 14
INSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.
INSIEME N L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. N = {0;1;2;3... Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la moltiplicazione
x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati
Informatica (Sistemi di elaborazione delle informazioni)
Informatica (Sistemi di elaborazione delle informazioni) Corso di laurea in Scienze dell'educazione Lezione 6 Conversioni di base (parte 2) Mario Alviano Divisione intera Dividendo 2374 16 16 148 7 7 64
Ancora sui criteri di divisibilità di Marco Bono
Ancora sui criteri di divisibilità di Talvolta può essere utile conoscere i divisori di un numero senza effettuare le divisioni, anche se la diffusione delle calcolatrici elettroniche, sotto varie forme,
Le quattro operazioni fondamentali
1. ADDIZIONE Le quattro operazioni fondamentali Def: Si dice ADDIZIONE l operazione con la quale si calcola la somma; i numeri da addizionare si dicono ADDENDI e il risultato si dice SOMMA o TOTALE. Proprietà:
LEZIONE 1. del 10 ottobre 2011
LEZIONE 1 del 10 ottobre 2011 CAPITOLO 1: Numeri naturali N e numeri interi Z I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, Questi hanno un ordine. Di ogni numero naturale, escluso lo 0, esistono il precedente
per un altro; le più importanti sono quelle di seguito elencate.
2 Abilità di calcolo I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici. Prima di cimentarti con i test proposti,
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni
Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero
La divisione di numeri naturali: esercizi svolti
La divisione di numeri naturali: esercizi svolti Come abbiamo fatto per la sottrazione, ci chiediamo adesso se, effettuata una operazione di moltiplicazione, sia possibile definire (trovare) una operazione
m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
MAPPA MULTIPLI E DIVISORI
MAPPA MULTIPLI E DIVISORI 1 MULTIPLI E DIVISORI divisibilità definizione di multiplo criteri di divisibilità definizione di divisore numeri primi e numeri composti scomposizione in fattori primi calcolo
METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016
METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 4 2016 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π
Criteri di divisibilità
Criteri di divisibilità Criterio di divisibilità per 9. Supponiamo, ad esempio, di voler dividere 2365 palline a 9 persone. Sappiamo che per stabilire se un numero è divisibile per 9 occorre sommare tutte
Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.
Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz
Moltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori
Addizione Sottrazione Potenze Moltiplicazione Divisione Multipli e divisori LE QUATTRO OPERAZIONI Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini
PROPORZIONI 6 : 3 10 : 5 8 : 4 42 : 21...
LE PROPORZIONI I rapporti 6 : 3 10 : 5 8 : 4 42 : 21... sono tutti uguali, a due. Una serie di rapporti uguali costituiscono una catena di rapporti 6: 3 = 10 : 5 = 8 : 4 = 42 : 21 =... L'uguaglianza tra
L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche
n L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche [p. 23] n Le potenze [p. 27] n Espressioni [p. 30] n Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm [p. 34] L insieme dei numeri naturali e le
Insiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi
Capitolo 1 Insiemistica Prerequisiti Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Obiettivi Sapere utilizzare opportunamente le diverse rappresentazioni insiemistiche Sapere
Liceo scientifico Pascal Manerbio Esercizi di matematica per le vacanze estive
Di alcuni esercizi non verranno riportati i risultati perché renderebbero inutile lo svolgimento degli stessi. Gli esercizi seguenti risulteranno utili se i calcoli saranno eseguiti mentalmente applicando
La scomposizione in fattori primi
La scomposizione in fattori primi In matematica la fattorizzazione è la riduzione in fattori: fattorizzare un numero n significa trovare un insieme di numeri {a0, a1, a2, a3 } tali che il loro prodotto
TEORIA DEI NUMERI. Progetto Giochi matematici. Mail:
TEORIA DEI NUMERI Progetto Giochi matematici Referente: prof. Antonio Fanelli Mail: [email protected] TEORIA DEI NUMERI Parte della Matematica che studia i numeri naturali ed interi e le relative proprietà.
4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
La divisione di numeri naturali: esercizi svolti
La divisione di numeri naturali: esercizi svolti Come abbiamo fatto per la sottrazione, ci chiediamo adesso se, effettuata una operazione di moltiplicazione, sia possibile definire (trovare) una operazione
Le quattro operazioni fondamentali
SINTESI Unità 3 Le quattro operazioni fondamentali Addizione Si dice somma di due numeri naturali il numero che si ottiene contando di seguito al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del
Multipli Divisori. { } =.
Multipli Divisori. 1) I multipli di un numero. ( Teoria 31 31; Esercizi 117 120) M n = es. M 7 = = Definisci per elencazione i seguenti insiemi: M 4 = ; M 6 = ; = Alcune situazioni particolari: a) Definisci
1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI
Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale.5 Divisione tra due polinomi..5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Introduzione Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 47:4. Si tratta di trovare
Soluzioni della verifica scritta 1 B Scientifico 24/01/2009
Soluzioni della verifica scritta 1 B Scientifico 4/01/009 Esercizio 1. Il polinomio x +x 4 5 xy + y non èordinatoné rispetto a x nè rispetto a y. E completo rispetto a y ma non rispetto a x. Nonè omogeneo.
LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA
LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π 2 3 11
Scomposizione in fattori di un polinomio. Prof. Walter Pugliese
Scomposizione in fattori di un polinomio Prof. Walter Pugliese La scomposizione in fattori dei polinomi Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado
Preparazione Olimpiadi della Matematica
Preparazione Olimpiadi della Matematica Marco Vita Liceo Scientifico G. Galilei Ancona 18 novembre 2015 ( Liceo Scientifico G. Galilei Ancona) Preparazione Olimpiadi della Matematica 18 novembre 2015 1
1. La funzione f(x) deve avere uno zero in corrispondenza di x=3
PROBLEMA 1: Il porta scarpe da viaggio Un artigiano vuole realizzare contenitori da viaggio per scarpe e ipotizza contenitori con una base piana e un'altezza variabile sagomata che si adatti alla forma
Parte Seconda. Prova di selezione culturale
Parte Seconda Prova di selezione culturale TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi:
= < < < < < Matematica 1
NUMERI NATURALI N I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... L insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera. Si ha cioè: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,.... L insieme dei naturali privato
Scomposizione in fattori
Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA 1 Introduzione Scomposizione in fattori La scomposizione in fattori dei polinomi assume un importanza speciale quando si
Insiemi numerici. Alcune definizioni. La retta dei numeri
Insiemi numerici Q Z N 0 1 1 1 4 4 N = 0,1,,,4, = insieme dei numeri naturali Z = insieme dei numeri interi (formato dall unione dei numeri naturali e dei numeri interi negativi) Q = insieme dei numeri
La divisione senza resto
La divisione senza resto Una maestra ha 12 cioccolatini che distribuisce ai suoi alunni. Se ogni alunno riceve 3 cioccolatini, quanti sono gli alunni? Dividiamo i cioccolatini in gruppi di 3. Lo schema
Le equazioni lineari
Perchè bisogna saper risolvere delle equazioni? Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi! Le equazioni lineari Un problema è una proposizione che richiede di determinare i valori di alcune
Soluzioni verifica scritta 1A Scientifico 20/01/2009
Soluzioni verifica scritta 1A Scientifico 0/01/009 Esercizio 1 68 = 3 + ; = 11 + 0 MCD68 ; ) = ultimo resto 0) 68 68 mcm68 ; ) = = =68 11 = 68 10 + 1) = 680 + 68 = 748 MCD68; ) Esercizio Possiamo considerare
35 è congruo a 11 modulo 12
ARITMETICA MODULARE Scegliamo un numero m che chiameremo MODULO Identifichiamo ogni altro numero con il suo resto nella divisione per m Tutti i numeri col medesimo resto si trovano insieme nella classe
1 L estrazione di radice
1 L estrazione di radice Consideriamo la potenza 3 2 = 9 di cui conosciamo: Esponente 3 2 = 9 Valore della potenza Base L operazione di radice quadrata consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato
Esercizi svolti di aritmetica
1 Liceo Carducci Volterra - Classi 1A, 1B Scientifico - Francesco Daddi - 15 gennaio 29 Esercizi svolti di aritmetica Esercizio 1. Dimostrare che il quadrato di un numero intero che finisce per 25 finisce
ESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n
Il calcolatore ad orologio di Gauss ESERCITAZIONE N.8 18 novembre L aritmetica dell orologio di Gauss Operazioni e calcoli in Z n 1, 1, -11, sono tra loro equivalenti ( modulo 12 ) Rosalba Barattero Sono
L insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese
L insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, Sono chiamati così perché sono stati i primi numeri che abbiamo conosciuto,
Piccolo teorema di Fermat
Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod
Le quattro operazioni fondamentali
Le quattro operazioni fondamentali ADDIZIONE Def: Si dice ADDIZIONE l operazione con la quale si calcola la somma; i numeri da addizionare si dicono ADDENDI e il risultato si dice SOMMA o TOTALE. Proprietà:
Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? Al posto dei puntini inserisci è divisibile per oppure è divisore di
ESERCIZI Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b? Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? Quando un numero si dice primo? Al posto dei puntini inserisci
Richiami di aritmetica (1)
Richiami di aritmetica (1) Operazioni fondamentali e loro proprietà Elevamento a potenza e proprietà potenze Espressioni aritmetiche Scomposizione: M.C.D. e m.c.m Materia: Matematica Autore: Mario De Leo
Frazioni e numeri decimali
Frazioni e numeri decimali Sappiamo che uno stesso numero razionale può essere rappresentato sia sotto forma di frazione (in infiniti modi tra loro equivalenti) che sotto forma di numero decimale. Precisiamo
posso assicurare che le mie sono ancora maggiori
PROF. SSA G. CAFAGNA CLASSI: 1 B, 1 G, 1 I, 1 M, 1 N Non preoccuparti delle difficoltà che incontri in matematica, ti posso assicurare che le mie sono ancora maggiori (Albert Einstein) ADDIZIONE I due
Capitolo 2 Svolgimento degli esercizi proposti
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl Capitolo Svolgimento degli esercizi proposti 1. Vi sono solo termini contenenti potenze di x, e tutti hanno coefficiente numerico uguale a 1, perciò raccogliamo
La costruzione dei numeri naturali nodi, attività, materiali DIVISIBILITÀ MULTIPLI E DIVISORI. Margherita D Onofrio Roma 26 ottobre 2016
La costruzione dei numeri naturali nodi, attività, materiali DIVISIBILITÀ MULTIPLI E DIVISORI Margherita D Onofrio Roma 26 ottobre 2016 La divisibilità è un tema che contribuisce alla «sensibilità numerica»,
DIVISIBILITÀ E FATTORIZZAZIONE. MULTIPLI E DIVISORI.
MULTIPLI E DIVISORI DIVISIBILITÀ E FATTORIZZAZIONE MCD e mcm per ripassare Multipli di un numero sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando il numero dato per la serie dei numeri naturali I multipli
MATEMATICA LEZIONE 9 POTENZE DI NUMERI RELATIVI. (Prof. Daniele Baldissin)
MATEMATICA LEZIONE 9 ARGOMENTI POTENZE DI NUMERI RELATIVI (Prof. Daniele Baldissin) 1) Definizione di potenza di un numero relativo 2) Le proprietà delle potenze (un ripasso) Prendiamo un numero relativo
M 5 M 10 = {.. } Definisci per estensione i seguenti insiemi e rappresenta con il diagramma di Venn:
Multipli Divisori. 1) I multipli di un numero. (Teoria 31 31; Esercizi 117 120) Mn = {x N x sia un multiplo di n} es. M7 = {x N x sia un multiplo di 7} = {.. } Definisci per elencazione i seguenti insiemi:
1.2 MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI
Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale. Monomi e operazioni con i monomi. MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI... L insieme dei monomi D ora in poi quando scriveremo un espressione letterale in
Il Sistema di numerazione decimale
Il Sistema di numerazione decimale Il NUMERO è un oggetto astratto, rappresentato da un simbolo (o cifra) ed è usato per contare e misurare. I numeri usati per contare, 0,1,2,3,4,5,. sono detti NUMERI
Operatori di confronto:
Operatori di confronto: confrontano tra loro due numeri e come risultato danno come risposta o operatore si legge esempio risposta = uguale a diverso da > maggiore di < minore di maggiore o uguale a minore
I criteri di divisibilita: magie della aritmetica modulare. Silvana Rinauro
I criteri di divisibilita: magie della aritmetica modulare Silvana Rinauro Si vuole risolvere il seguente problema: se oggi è mercoledì, quale giorno della settimana sarà fra 100 giorni? Per rispondere
Insiemi numerici. Teoria in sintesi NUMERI NATURALI
Insiemi numerici Teoria in sintesi NUMERI NATURALI Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il contare gli elementi di un dato insieme. I numeri con cui si conta 0,,,. sono i numeri
M.C.D. e m.c.m. Conoscenze
M.C.D. e m.c.m. Conoscenze 1. Segna con una crocetta le affermazioni esatte: Il M.C.D. tra due numeri a e b è: a. il più piccolo multiplo comune tra i numeri a e b b. il più grande multiplo comune tra
CORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA CALCOLO LETTERALE Dr. Erasmo Modica [email protected] MONOMI In una formula si dicono variabili le lettere alle quali può
Le quattro operazioni fondamentali
Le quattro operazioni fondamentali ADDIZIONE Def: Si dice ADDIZIONE l operazione con la quale si calcola la somma; i numeri da addizionare si dicono ADDENDI e il risultato si dice SOMMA o TOTALE. Proprietà:
1. (A1) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? 2. (A1) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
M ============= (A) Aritmetica ===================== rappresentazione dei numeri algebra dei numeri proprietà delle operazioni. (A) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? e. 2 + 2 2 2 + = 2 2 + =
1. Esistono numeri della forma , ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti?
1 Congruenze 1. Esistono numeri della forma 200620062006...2006, ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti? No, in quanto tutti questi numeri sono congrui
1 La frazione come numero razionale assoluto
1 La frazione come numero razionale assoluto DEFINIZIONE. La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice. Consideriamo le frazioni e determiniamo i corrispondenti valori
LEZIONE DI MATEMATICA SISTEMI DI NUMERAZIONE. (Prof. Daniele Baldissin)
LEZIONE DI MATEMATICA SISTEMI DI NUMERAZIONE (Prof. Daniele Baldissin) L'uomo usa normalmente il sistema di numerazione decimale, probabilmente perché ha dieci dita. Il sistema decimale è collegato direttamente
I NUMERI NATURALI E RELATIVI
Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE B. PASCAL PRE - CORSO DI MATEMATICA I NUMERI NATURALI E RELATIVI DOCENTI: PROF.SSA DAMIANI PROF.SSA DE FEO PROF.
CONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
4 + 7 = 11. Possiamo quindi dire che:
Consideriamo due numeri naturali, per esempio 4 e 7. Contando successivamente, dopo le unità del primo, le unità del secondo si esegue l operazione aritmetica detta addizione, il cui simbolo è + ; 4 +
3. SCOMPOSIZIONI E FRAZIONI
MATEMATICA C3 ALGEBRA 3. SCOMPOSIZIONI E FRAZIONI Cobalt3, Wicker Composition http://www.flickr.com/photos/cobalt/3945539/ SCOMPOSIZIONI SCOMPOSIZIONE IN FATTORI. Cosa significa scomporre in fattori Scomporre
nota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
Dott. Dallavalle Riccardo UNITA DIATTICA nr. 5 Gli argomenti di oggi:
Gli argomenti di oggi: Le operazioni matematiche con i numeri INTERI RELATIVI Come facciamo a fare la ADDIZIONE con i numeri interi relativi? Consideriamo un esempio: (+5) + (+7) =? Come potrei fare? Prova
Definizione. Siano a, b Z. Si dice che a divide b se esiste un intero c Z tale che. b = ac.
0. Numeri interi. Sia Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} l insieme dei numeri interi e sia N = {1, 2, 3,...} il sottoinsieme dei numeri interi positivi. Sappiamo bene come addizionare, sottrarre e moltiplicare
Le tecniche di calcolo mentale rapido usano alcune proprietà delle operazioni. Le principali proprietà utilizzate sono: 3 + 2 = 2 + 3 3 2 = 2 3
Calcolo mentale rapido Proprietà delle operazioni Le tecniche di calcolo mentale rapido usano alcune proprietà delle operazioni. Le principali proprietà utilizzate sono: Proprietà commutativa dell addizione
COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)
COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 2017 da parte degli studenti
Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Palermo Classe III D EQUAZIONI POLINOMIALI Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini
Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini Teorema (della divisione con resto tra due polinomi in una variabile). Dati due polinomi A x e B x, con B x 0, esistono sempre, e sono unici,
www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2 grado 1
www.matematicamente.it Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di grado 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Equazioni di secondo grado, equazioni frazionarie,
Scomposizione in fattori
Scomposizione in fattori 13 Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto di polinomi e monomi che moltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Si
623 = , 413 = , 210 = , 203 =
Elementi di Algebra e Logica 2008. 3. Aritmetica dei numeri interi. 1. Determinare tutti i numeri primi 100 p 120. Sol. :) :) :) 2. (i) Dimostrare che se n 2 non è primo, allora esiste un primo p che divide