TEORIA DEI NUMERI. Progetto Giochi matematici. Mail:
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- Silvio Pappalardo
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1 TEORIA DEI NUMERI Progetto Giochi matematici Referente: prof. Antonio Fanelli Mail:
2 TEORIA DEI NUMERI Parte della Matematica che studia i numeri naturali ed interi e le relative proprietà.
3 TEORIA DEI NUMERI Divisione euclidea Multipli e divisori Criteri di divisibilità Numeri primi Teorema fondamentale dell Aritmetica Scomposizioni particolari in fattori primi Crivello di Eratostene MCD e mcm Numeri primi tra loro Numero di divisori Qual è la cifra delle unità di..?
4 DIVISIONE EUCLIDEA (CON RESTO) Dati due numeri naturali a e b, con b 0, esiste un unica coppia di numeri naturali q (detto quoziente) er(detto resto), tali che a=bq+r con 0 r<b a ( 0) : b = q con resto r a = b q + r 0 r < b b Esempio: La divisione 32:9 fornisceq=3 er=5. Infatti 32=9 3+5
5 MULTIPLI E DIVISORI Dati due numeri naturaliaeb, conb 0, sea=bq, cioè se la divisione a:b ha resto nullo, allora si dice che a è multiplo di b oppure che b è un divisore dia. Esempio: 8 è un divisore di 56 (e quindi 56 è un multiplo di 8) poiché 56=8 7
6 CRITERI DI DIVISIBILITÀ Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è un multiplo di due o zero. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono 00 o un multiplo di 4. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5. Un numero è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra a somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11.
7 CRITERI DI DIVISIBILITÀ (ESEMPI) 392 è multiplo di 7; infatti =35 che è multiplo di è multiplo di 11; infatti (7+7)-(1+2)=11 che è multiplo di 11.
8 NUMERI PRIMI Un numero naturale n, maggiore di 1, si dice primo se ha come divisori solamente 1 en. In altre parole un numero primo ha esattamente due divisori. N.B.: 1 non è un numero primo!
9 NUMERI PRIMI
10 TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Ogni numero naturale n, maggiore di 1, è rappresentabile in modo unico (a meno di riordinamenti dei fattori) come prodotto di numeri primi. Raggruppando sotto forma di potenza i fattori primi uguali, allora la fattorizzazione, unica, avrà la forma n e 1 e = p p... p k e k
11 SCOMPOSIZIONI PARTICOLARI IN FATTORI PRIMI 2014= = =
12 CRIVELLO DI ERATOSTENE Come verificare se un numero naturale n è primo? Bisognerebbe verificare che non è divisibile per ogni numero primo minore din. In realtà basta fermarsi prima, cioè basta verificare che n non è divisibile per ogni numero primoptale chep n. Esempio: Vorrei verificare se 313 è un numero primo. Poiché 17< 313<18, basta verificare se è divisibile per 2,3,5,7,11,13,17. In effetti è primo.
13 MCD e mcm Si definisce massimo comun divisore (MCD) tra due (o più) numeri naturali (non nulli) il più grande numero naturale tra i divisori comuni dei numeri considerati. Si definisce minimo comune multiplo (mcm) tra due (o più) numeri naturali (non nulli) il più piccolo numero naturale tra i multipli comuni dei numeri considerati. Proprietà importante nel caso si considerino due numeri MCD ( a, b) mcm( a, b) = a b
14 NUMERI PRIMI TRA LORO Due numeri naturali si dico primi tra loro (oppure coprimi) quando il loro MCD è uguale a 1. Esempi: 8 e 7 sono primi tra loro poiché MCD(8,7)=1 9 e 8 sono primi tra loro poiché MCD(9,8)=1 N.B.: se due numeri sono primi tra loro, non è detto che almeno uno di loro sia un numero primo!
15 NUMERO DI DIVISORI Sia n un numero naturale, maggiore di 1, e sia d(n) il numero dei sui divisori. Sensi scompone come allora d n e 1 e = p p... ( n) ( e + ) ( e + 1)... ( e 1) = k + p k e k Esempi: se n=84= , allora d(84)=3 2 2=12 se n=432= , allora d(432)=5 4=20
16 QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI..? Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delle unità di ? La risposta sarà uguale alla cifra delle unità del prodotto 3 7, quindi la risposta sarà 1.
17 QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI..? Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delle unità di 3 122? Sappiamo che 3 0 =1, 3 1 =3, 3 2 =9, 3 3 =27, 3 4 =81, 3 5 =..3, 3 6 =..9, 3 7 = 7, 3 8 = 1, 3 9 =.3, e così via. Ogni quattro potenze di 3 la cifra delle unità si ripete con la stessa periodicità, cioè 1,3,9,7. In particolare se divido per 4 l esponente, se ho resto 0 la cifra delle unità sarà 1, se ho resto 1 la cifra delle unità sarà 3, se ho resto 2 la cifra delle unità sarà 9, se ho resto 3 la cifra delle unità sarà 7. Poiché il resto della divisione tra 122 e 4 è 2, allora la cifra delle unità di è 9.
18 QUESITI PRESI DAI GIOCHI D ARCHIMEDE DEGLI ANNI SCORSI
19 1) ARCH. Biennio 2012
20 2) ARCH. Biennio 2013
21 3) ARCH. Biennio 2014
22 4) ARCH. Biennio 2011
23 5) ARCH. Biennio 2014
24 6) ARCH. Biennio e Triennio 2011
25 7) ARCH. Biennio e Triennio 2013
26 8) ARCH. Biennio e Triennio 2014
27 9) ARCH. Biennio e Triennio 2012
28 10) ARCH. Biennio e Triennio 2012
29 11) ARCH. Biennio e Triennio 2013
30 12) ARCH. Biennio e Triennio 2011
31 13) ARCH. Triennio 2012
32 14) ARCH. Triennio 2011
33 15) ARCH. Triennio 2013
Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N.
MULTIPLI E DIVISORI Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N. Poiché N = 0,1,2,3...7...95,..104.. Zero è multiplo di
24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
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