MONOMI. Donatella Candelo 13/11/2004 1

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Gianmarco Pagani
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1 Donatella Candelo 1/11/00 1 MONOMI Un monomio è una qualunque espressione algebrica intera data dal prodotto di fattori qualsiasi, numerici o letterali. Praticamente in ogni monomio si può distinguere una parte numerica detta anche coefficiente e una parte letterale. Vediamo subito degli esempi: i. b ii. -5ab iii. 5a b 5 Nell esempio i. il monomio ha per coefficiente il numero relativo +1 e per parte letterale la lettera b; in ii. Il monomio considerato ha per coefficiente il numero -5 e per parte letterale il prodotto ab ; nel terzo esempio il monomio ha per coefficiente 5 e per parte letterale il prodotto a b 5. In sintesi un monomio è un'espressione algebrica letterale di soli fattori. Osservazioni Quando in un monomio compare la sola parte letterale vuol dire che è sottinteso il coefficiente +1 (es. b ). È opportuno inoltre, quando si scrive un dato monomio disporre in ordine alfabetico le lettere della sua parte letterale. Si dice grado di un monomio rispetto ad una sua lettera l esponente col quale questa lettera figura nel monomio. Si dice grado assoluto di un monomio la somma degli esponenti che costituiscono la sua parte letterale. Facendo riferimento all esempio i., il monomio risulta essere di primo grado rispetto alla sola lettera b e chiaramente tale sarà anche il grado assoluto; relativamente all es. ii. Il monomio è di primo grado rispetto alla lettera a e di secondo grado rispetto alla lettera b, il grado assoluto è. Sai dirmi tu, il grado relativo e assoluto del monomio dell esempio iii..

2 Donatella Candelo 1/11/00 MONOMIO NORMALE Un monomio si dice normale se compare un solo coefficiente numerico e le lettere diverse compaiono una sola volta. Esempio: +5a c 6 Monomio normale Monomio non normale 6b cd b (-)bdac Il monomio non normale è possibile ridurlo a forma normale e per farlo si procede nel seguente modo: si effettua il prodotto dei coefficienti e si scrive il risultato, si scrive ogni lettera diversa una sola volta mettendo come esponente di ciascuna lettera la somma degli esponenti della lettera 6(-)ab ++1 c 1+1 d +1 = -1ab 6 c d 5 normale MONOMIO FRATTO O FRAZIONARIO Un monomio lo diremo fratto o frazionario se almeno una lettera figura a denominatore, esempio: 5 a b c che ha per coefficiente +5, per parte letterale a b e che ha senso soltanto per c 0 c Ti ricordo che ciò viene dal fatto che un numero fratto 0 a cosa è uguale? : 0 =? Altro esempio: -7x y z ab che ha per coefficiente il numero -7/, per parte letterale x y z e che ha ab senso per a 0 e per b 0. MONOMI IDENTICI Due o più monomi (interi o fratti) sono identici se hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale, esempio: a b, a b, 6 a b 6 9 cioè un monomio è identico solo a se stesso. MONOMI OPPOSTI

3 Donatella Candelo 1/11/00 Due monomi (interi o fratti) sono opposti se hanno stessa parte letterale e coefficienti opposti; praticamente due monomi opposti differiscono per il segno, esempio: -pr e pr. MONOMI SIMILI Due o più monomi (interi o fratti) sono simili se hanno la stessa parte letterale, esempio: -8 a bc, 5 a bc,,7 a bc. 7 ADDIZIONE ALGEBRICA DI MONOMI SIMILI La somma algebrica fra due o più monomi è possibile solo se i monomi sono simili. La somma algebrica fra due o più monomi è un monomio simile agli addendi ed avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. Esempio: a b -5 a b + 8 a b = ( ) a b = 7 a b. RIDUZIONE DEI TERMINI SIMILI In un operazione di addizione algebrica tra monomi non tutti simili si deve eseguire, quando è possibile l operazione di riduzione dei termini simili che consiste nell associare i monomi simili e calcolare la loro somma algebrica. Esempio: 5ab c + c -ab + ab + 6ab -8c = (5 + 6)ab +(-1 + 8)c + ab = 8ab -7c + ab MOLTIPLICAZIONE DI DUE O PIU MONOMI Il prodotto di due o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Esempio: (+a)(+) = (+)(+)a = 6a (+ab )(-a c)(-bc ) = (+)(-)(-1)aa b bcc = 1a b c.

4 Donatella Candelo 1/11/00 (+a b /5)(-b/c )(-5c /ab ) = (/5)(-)(-5)a a -1 b bb - c - c = 6ab 0 c -1 =6a/c con a 0, b 0 e c 0, per la condizione di esistenza dei monomi fratti. MONOMIO RECIPROCO (O INVERSO) DI UN MONOMIO DATO Il reciproco o inverso di un monomio dato diverso da zero è quel monomio che moltiplicato per il monomio dato dà come risultato 1. Esempio: Il reciproco del monomio a con a 0 è: 1/a; il reciproco del monomio a b (con a 0, b 0) è: 1/a b; il reciproco del monomio mx /5 (m 0, x 0) è: 5/mx ; il reciproco del monomio -7a/x y (a 0 per l esistenza del reciproco e x 0, y 0 per l esistenza del monomio) è: -x y/7a. Praticamente basta invertire numeratore con denominatore!!!!! DIVISIONE DI DUE MONOMI Il quoziente di due monomi si ottiene moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore. Esempio: divisore dividendo a b : 6ab = a b c = ac c c c 6ab b con a 0, b 0 e c 0, Reciproco del divisore 5a 5 b c : 5a bc = 5a 5 b c x y = 5a b x x y x y x y 5a bc con a 0, b 0, c 0, x 0 e y 0. Si può osservare che talvolta (primo esempio) il quoziente tra due monomi è un monomio fratto e talvolta (secondo esempio) un monomio intero. In quest ultimo caso si dirà che il quoziente è esatto e che i due monomi della divisione sono il primo divisibile per il secondo.

5 Donatella Candelo 1/11/00 5 POTENZA La potenza di un monomio si ottiene effettuando la stessa potenza, sia del coefficiente che di ciascuna lettera della parte letterale. Esempio: (-a bc ) = (-) (a ) (b) (c ) = 16 a 1 b c 8. MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più monomi interi è quel monomio di grado più alto per il quale sono divisibili tutti i monomi dati; detto in altre parole ( anche più semplici) è quel monomio avente per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti e la parte letterale formata dalle sole lettere comuni, prese una sola volta e con l esponente minore. Es. M.C.D. di 5a b c,10ab, 5a b c, 15ab c MCD = ±5ab Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi interi è quel monomio di grado più basso che risulta divisibile per tutti i monomi dati cioè è quel monomio avente per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti e la parte letterale formata dalle lettere comuni e non comuni, prese una sola volta e con l esponente maggiore. Es. m.c.m. (stessi monomi di sopra) mcm = ± 10a b c Nel caso di monomi interi a coefficienti frazionari, ferma restando la regola per la determinazione della parte letterale del M.C.D. ( o del m.c.m.), per il coefficiente sarà bene assumere quella frazione che ha per numeratore il M.C.D. ( o del m.c.m.) di tutti i numeratori e per denominatore il M.C.D. ( o del m.c.m.) di tutti i denominatori. Il segno del coefficiente del M.C.D. e del m.c.m. potrà indifferentemente essere o quello positivo o quello negativo. Calcolare MCD e mcm dei seguenti monomi interi: 15 x y 1 z, xy 8 75, y 16 z

6 Donatella Candelo 1/11/00 6 MCD = ± y 55 mcm = x 16 y z

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