PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE

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1 Liceo Scientifico Gullace PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Aritmetica

2 Lezione 1 DIVISIBILITÀ, PRIMI E FATTORIZZAZIONE Definizioni DIVISIBILITÀ': dati due interi a e b, diciamo che a b ("a divide b") se b è multiplo di a, cioè se esiste un intero k tale che b=ka Se un intero positivo n>1 non ha nessun divisore positivo diverso da 1 e da n è un NUMERO PRIMO Proprietà Ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in modo unico come prodotto di numeri primi Se i fattori primi di un numero n hanno tutti esponente pari, allora n è un quadrato perfetto Un intero a (diverso da zero) divide un intero b ogni primo della fattorizzazione di a compare in quella di b con esponente uguale o maggiore esempio: 8= 7 168= 3 3 7= Dati tre interi a, b, c (con a 0) tali che a b e a c, se sommiamo due multipli di a otteniamo ancora un multiplo di a, quindi possiamo affermare che a (b+c) In generale: m (ka)+n (ha)=(mk+nh) a [1] Criteri di divisibilità Divisibilità per : un numero è multiplo di se e solo se la sua ultima cifra è pari. Divisibilità per 3: un numero è multiplo di 3 se e solo se la somma delle sue cifre è multipla di 3. Divisibilità per 5: un numero è multiplo di 5 se e solo se l'ultima sua cifra è 5 oppure 0. Divisibilità per 11: un numero è multiplo di 11 se e solo se la somma delle sue cifre a segni alterni è multipla di 11. Osservazioni Dato n = a b, esattamente uno tra a e b è minore di n Dimostrazione: per assurdo supponiamo che a sia il più piccolo tra i due divisori e che per assurdo siano entrambi strettamente maggiori di n aa bb nn + 1 nn + 1 = nn nn > nn

3 abbiamo ottenuto un assurdo, allora almeno uno tra a, b deve essere strettamente minore di n (non considero il caso di uguaglianza, caso di n quadrato perfetto, in cui a=b= n) da cui b > n bb = nn aa > nn nn = nn Allora, per verificare se un qualsiasi numero n è primo, non è necessario controllare la divisibilità per tutti i numeri primi compresi tra 1 e n perché se n non è divisibile per nessuno dei numeri primi non più grandi di n, allora non lo sarà neanche per quelli più grandi e quindi n è primo. Somma, prodotto e numero di divisori di n αα Prendiamo un numero nn = pp 1 αα 1 pp αα pp kk kk, il generico divisore di n è nella forma mm = ββ pp1 1 ββ pp ββ pp kk kk, con 0 β1 α1,, 0 βk αk Il numero di divisori di n, che chiameremo d(n), è dato dalle possibili dalle combinazioni 1 di tutti i possibili valori di β d(n)=(α1+1) (αk+1) Se d(n) è dispari, vuol dire che tutti i fattori (αi+1) devono essere dispari e di conseguenza tutti gli αi devono essere pari, quindi n è un quadrato perfetto Tutti i divisori di n possono essere accoppiati in modo tale che il loro prodotto sia n, quindi ottengo dd(nn) coppie con prodotto n. Fare il prodotto di tutti i divisori è equivalente a fare il prodotto tra tutti i dd(nn) prodotti di tutte le coppie. Poiché il prodotto della singola coppia è proprio pari a n, il prodotto tra tutti i divisori è uguale a ππ = nn dd(nn) Non ci sono problemi nel caso in cui d(n) sia dispari Somma di tutti i divisori (σ) σσ = pp 0 1 pp 0 pp 0 kk + pp 0 1 pp 0 pp 1 kk pp 0 αα 1 pp αα pp kk αα kk pp 1 1 pp 0 pp 0 αα kk pp 1 αα 1 pp αα pp kk kk Posso metter in evidenza p1: σσ = pp 0 1 (pp 0 pp 0 kk + pp 0 pp 1 αα kk pp αα pp kk αα kk )+... +pp 1 1 ( pp 0 pp 0 αα kk pp αα pp kk kk ) = (pp 0 αα pp 1 1 ) (pp 0 pp 0 kk + pp 0 pp 1 αα kk pp αα pp kk kk ) Faccio la stessa cosa anche con gli altri pi e ottengo: σσ = (pp 0 αα pp 1 1 ) (pp 0 αα + + pp ) (pp 0 αα kk + + pp kk kk ) = = pp 1 αα pp 1 1 pp αα +1 1 pp 1 pp kk αα kk +1 1 pp kk 1 1 Le combinazioni fanno parte del calcolo combinatorio, altro argomento del corso. 1 + aa + aa aa qq = aa(qq+1) 1, per verificarne la validità basta dimostrare che (aa 1)(1 + aa + aa aa qq ) = aa (qq+1) 1 è verificata. aa 1 3

4 DIVISIONE EUCLIDEA, MDC, mcm Dati due interi positivi a, b, possiamo effettuare la DIVISIONE EUCLIDEA (o divisione con resto) tra a e b ottenendo un quoziente q e un resto r in modo che a = q b + r con 0 r < b in particolare, se r=0 allora a=q b, ovvero b a. Il mcm (minimo comune multiplo) tra due numeri a, b (entrambi non nulli) è il più piccolo intero positivo c multiplo sia di a che di b. Il MCD (massimo comun divisore) tra due numeri a, b (non entrambi nulli) è il più grande intero d positivo che divide sia a che b Proprietà: Per qualsiasi intero a, MCD(a,1)=1 Per qualsiasi a>0 intero, MCD(a,0)=a (infatti ogni intero non nullo divide 0) Per qualsiasi a>0 intero, MCD (a,a)=a Non è definito MCD(0,0) in quanto qualsiasi numero intero (non nullo) divide 0 e quindi non può esistere un divisore che sia massimo Se d divide sia a che b allora divide MCD(a,b) Due numeri interi a, b sono COPRIMI tra loro se MCD(a,b)=1 A volte calcolare il MCD ricorrendo alla fattorizzazione risulta piuttosto complicato, perciò introduciamo un metodo molto più rapido: l'algoritmo DI EUCLIDE Esempio: calcolare MCD(139,357) 139 = = = Passo 1) scrivere la divisione di 139 per 357, ottenendo quoziente 3 e resto 168 Passo ) effettuare nuovamente la divisione con resto tra 357 e 168, ottenendo quoziente e resto Passo 3) continuo a ripetere la divisione fino ad ottenere resto 0 Passo 4) Il MCD è l'ultimo resto diverso da 0, in questo caso è 1 4

5 Come funziona l'algoritmo? (importante!) L'algoritmo effettua ripetutamente la divisione con resto. Prendiamo due interi positivi a e b, con a>b. Dalla precedente proprietà [1] possiamo affermare che se d a e d b allora d (a-b), inoltre se d b e d (a-b) allora d (b+(a-b))=a. Di conseguenza i divisori comuni tra a e b sono gli stessi divisori comuni di a-b e b. In particolare anche il MCD sarà lo stesso: MCD(a,b)=MCD(a-b,b) Non esiste un algoritmo rapido per calcolare il mcm. Il prodotto tra MCD(a,b) e mcm(a,b) è pari al prodotto tra a e b. Allora mcm(a, b) = a b MCD(a,b) Problemi Fattorizzare n=33456 Siano n= e m= Quanti sono i divisori di m che non dividono n? Quattro interi positivi a1<a<a3<a4 sono tali che, dati due qualunque di essi il loro MCD è maggiore di 1 e MCD(a1, a, a3, a4)=1. Qual è il minimo valore che può assumere a4? A) 10 B) 1 C) 15 D) 0 E) 105 Quanti sono i divisori di 44000? Quanto vale la somma dei divisori di 18000? Quanto vale il prodotto dei divisori di 376? E di 34? Calcolare MCD(110,105) Calcolare mcm(110,105) 5