Crittografia Aritmetica modulare

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1 Crittografia Aritmetica modulare Ottavio G. Rizzo Università di Milano Progetto lauree scientifiche p.1/16

2 Massimo comun divisore Definizione. Dati a, b N, il massimo comun divisore di a ed b è MCD(a,b) = max{n N : n a, n b} Progetto lauree scientifiche p.2/16

3 Massimo comun divisore Definizione. Dati a, b N, il massimo comun divisore di a ed b è MCD(a,b) = max{n N : n a, n b} Ad esempio: MCD(6,34) = 2; infatti 6 = 2 3, 34 = Progetto lauree scientifiche p.2/16

4 Massimo comun divisore Definizione. Dati a, b N, il massimo comun divisore di a ed b è MCD(a,b) = max{n N : n a, n b} Ad esempio: MCD(6,34) = 2; infatti 6 = 2 3, 34 = Domanda 1. MCD(247, 221) =? Il MCD non si calcola fattorizzando! Progetto lauree scientifiche p.2/16

5 Algoritmo di Euclide mod 221 = mod 26 = mod 13 = 0 Progetto lauree scientifiche p.3/16

6 Algoritmo di Euclide mod 221 = mod 26 = mod 13 = 0 Quindi MCD(247, 221) = 13 Progetto lauree scientifiche p.3/16

7 Algoritmo di Euclide 2 Un altro esempio: mod 15 = mod 7 = mod 1 = 0 Progetto lauree scientifiche p.4/16

8 Algoritmo di Euclide 2 Un altro esempio: mod 15 = mod 7 = mod 1 = 0 Quindi MCD(247,15) = 1 Progetto lauree scientifiche p.4/16

9 Algoritmo di Euclide 2 Un altro esempio: mod 15 = mod 7 = 1 7 mod 1 = 0 Quindi MCD(247,15) = 1 Esercizio 2. Calcolate MCD(247, 91) e MCD(247, 100). Progetto lauree scientifiche p.4/16

10 Teorema di Bezout Teorema 3. Siano a,b N. Allora esistono x, y Z tali che MCD(a,b) = xa + yb Viceversa, se d = xa + yb, allora MCD(a,b) d. Progetto lauree scientifiche p.5/16

11 Teorema di Bezout Teorema 4. Siano a,b N. Allora esistono x, y Z tali che MCD(a,b) = xa + yb Viceversa, se d = xa + yb, allora MCD(a,b) d. Corollario 4. Se a, b N, allora MCD(a,b) = min{n = xa + yb : n > 0, a,b Z} Progetto lauree scientifiche p.5/16

12 Algoritmo esteso di Euclide mod 221 = mod 26 = mod 13 = 0 Progetto lauree scientifiche p.6/16

13 Algoritmo esteso di Euclide mod 221 = = mod 26 = mod 13 = 0 Progetto lauree scientifiche p.6/16

14 Algoritmo esteso di Euclide mod 221 = = mod 26 = = mod 13 = 0 Progetto lauree scientifiche p.6/16

15 Algoritmo esteso di Euclide mod 221 = = mod 26 = = = 221 8( ) = mod 13 = 0 Cioè 13 = Progetto lauree scientifiche p.6/16

16 Algoritmo esteso di Euclide 2 Altro esempio mod 15 = mod 7 = mod 1 = 0 Progetto lauree scientifiche p.7/16

17 Algoritmo esteso di Euclide 2 Altro esempio mod 15 = 7 7 = mod 7 = mod 1 = 0 Progetto lauree scientifiche p.7/16

18 Algoritmo esteso di Euclide 2 Altro esempio mod 15 = 7 7 = mod 7 = 1 1 = mod 1 = 0 Progetto lauree scientifiche p.7/16

19 Algoritmo esteso di Euclide 2 Altro esempio mod 15 = 7 7 = mod 7 = 1 1 = = 15 2( ) = mod 1 = 0 Cioè 1 = Progetto lauree scientifiche p.7/16

20 Algoritmo esteso di Euclide 3 Esercizio 5. Calcolate x, y Z tali che MCD(247,91) = 247x + 91y. Idem per MCD(247,100) = 247x + 100y. Progetto lauree scientifiche p.8/16

21 Algoritmo esteso di Euclide 3 Esercizio 5. Calcolate x, y Z tali che MCD(247,91) = 247x + 91y. Idem per MCD(247,100) = 247x + 100y. La funzione bezout di gp calcola direttemente questi valori: bezout(247,91) dà [3, -8, 13], cioè = 13 Progetto lauree scientifiche p.8/16

22 Algoritmo esteso di Euclide 4 Proposizione 6. Dati gli interi positivi a, n, esiste b tale che ab 1 mod n (l inverso di a mod n) se e solo se MCD(a,n) = 1. In tal caso, se ax + ny = 1 con x, y interi opportuni, allora possiamo prendere b = x. Progetto lauree scientifiche p.9/16

23 Algoritmo esteso di Euclide 4 Proposizione 6. Dati gli interi positivi a, n, esiste b tale che ab 1 mod n (l inverso di a mod n) se e solo se MCD(a,n) = 1. In tal caso, se ax + ny = 1 con x, y interi opportuni, allora possiamo prendere b = x. Dimostrazione. Supponiamo che esista tale b, allora ab 1 mod n significa che esiste y Z tale che yn = ab 1, cioè ab yn = 1 > 0. Ma MCD(a,n) è il più piccolo tale intero positivo, per cui vale 1. Progetto lauree scientifiche p.9/16

24 Algoritmo esteso di Euclide 4 Proposizione 6. Dati gli interi positivi a, n, esiste b tale che ab 1 mod n (l inverso di a mod n) se e solo se MCD(a,n) = 1. In tal caso, se ax + ny = 1 con x, y interi opportuni, allora possiamo prendere b = x. Dimostrazione. Supponiamo che esista tale b, allora ab 1 mod n significa che esiste y Z tale che yn = ab 1, cioè ab yn = 1 > 0. Ma MCD(a,n) è il più piccolo tale intero positivo, per cui vale 1. Viceversa, se a ed n sono relativamente primi, esistono x, y Z tali che ax + ny = 1, quindi ax = 1 ny 1 mod n. Progetto lauree scientifiche p.9/16

25 L anello Z n Chiamiamo Z n l insieme delle classi di resto modulo n, e denotiamo la classe di resto di a mod n come ā. Ad esempio, se n = 5, scriviamo 3 per la classe di resto di 3 mod 5. Abbiamo così: = 0, oppure 2 3 = = 1. Progetto lauree scientifiche p.10/16

26 L anello Z n 2 Z n è un anello, cioè è dotato di operazioni di somma e di prodotto che soddisfano, per ogni scelta di a,b,c Associatività (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Elementi neutri Esistono due elementi 0 ed 1 tali che a + 0 = a + 0 = a e a 1 = 1 a = a Opposto Per ogni a esiste a tale che a + ( a) = ( a) + a = 0 Distributività a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc Commutatività a + b = b + a, ab = ba L esempio classico di anello è Z. Progetto lauree scientifiche p.11/16

27 L anello Z n 3 In un anello non vale in genere la proprietà Inverso Per ogni a, esiste a 1 tale che a a 1 = a 1 a = 1. Progetto lauree scientifiche p.12/16

28 L anello Z n 3 In un anello non vale in genere la proprietà Inverso Per ogni a, esiste a 1 tale che a a 1 = a 1 a = 1. Ad esempio, in Z 6 non esiste l inverso di 2: x : x : Progetto lauree scientifiche p.12/16

29 L anello Z n 3 In un anello non vale in genere la proprietà Inverso Per ogni a, esiste a 1 tale che a a 1 = a 1 a = 1. Ad esempio, in Z 6 non esiste l inverso di 2: x : x : Se vale l esistenza di un inverso, diciamo di avere un campo. Progetto lauree scientifiche p.12/16

30 Esistenza dell inverso Grazie alla proposizione 6, abbiamo: Teorema 7. Dato a Z n, esiste l inverso di a se e solo se MCD(a,n) = 1 Progetto lauree scientifiche p.13/16

31 Esistenza dell inverso Grazie alla proposizione 6, abbiamo: Teorema 7. Dato a Z n, esiste l inverso di a se e solo se MCD(a,n) = 1 Sia φ(n) il numero di interi compresi fra 1 ed n, relativamente primi ad n. Scriviamo Z n per indicare l insieme degli elementi invertibili di Z n. Allora Z n ha φ(n) elementi. Progetto lauree scientifiche p.13/16

32 La funzione φ di Eulero Teorema 8. La funzione φ soddisfa le seguenti proprietà: 1. Se p è primo, φ(p) = p 1; inoltre φ(p e ) = p e 1 (p 1), per ogni e N 2. Se MCD(m,n) = 1, allora φ(mn) = φ(m)φ(n) Progetto lauree scientifiche p.14/16

33 La funzione φ di Eulero Teorema 8. La funzione φ soddisfa le seguenti proprietà: 1. Se p è primo, φ(p) = p 1; inoltre φ(p e ) = p e 1 (p 1), per ogni e N 2. Se MCD(m,n) = 1, allora φ(mn) = φ(m)φ(n) Possiamo quindi calcolare facilmente la φ di un numero, di cui conosciamo la fattorizzazione: φ(120) = φ( ) = φ(2 3 )φ(3)φ(5) = = 32 In particolare, Z 120 ha 32 elementi. Progetto lauree scientifiche p.14/16

34 La funzione φ e l inverso Proposizione 9. Se a Z n, allora aφ(n) = 1 Progetto lauree scientifiche p.15/16

35 La funzione φ e l inverso Proposizione 10. Se a Z n, allora aφ(n) = 1 Corollario 10. Se a Z n, allora a 1 = a φ(n) 1 Progetto lauree scientifiche p.15/16

36 La funzione φ e l inverso Proposizione 10. Se a Z n, allora aφ(n) = 1 Corollario 10. Se a Z n, allora a 1 = a φ(n) 1 Ad esempio, se a 37 mod 120, allora a 1 = a 32 1 = 13. Progetto lauree scientifiche p.15/16

37 Funzione φ e la fattorizzazione Teorema 11. Sia n = pq con p e q numeri primi. Allora conoscere φ(n) è equivalente a conoscere p e q. Progetto lauree scientifiche p.16/16

38 Funzione φ e la fattorizzazione Teorema 11. Sia n = pq con p e q numeri primi. Allora conoscere φ(n) è equivalente a conoscere p e q. Dimostrazione. Abbiamo φ(n) = φ(p)φ(q) = (p 1)(q 1) = n (p + q) + 1 Quindi è chiaro che noti p e q abbiamo φ(n). Progetto lauree scientifiche p.16/16

39 Funzione φ e la fattorizzazione Teorema 11. Sia n = pq con p e q numeri primi. Allora conoscere φ(n) è equivalente a conoscere p e q. Dimostrazione. Abbiamo φ(n) = φ(p)φ(q) = (p 1)(q 1) = n (p + q) + 1 Quindi è chiaro che noti p e q abbiamo φ(n). Viceversa, se conosciamo φ(n) ed n, conosciamo p + q = n + 1 φ(n); chiamiamo m questa quantità. Progetto lauree scientifiche p.16/16

40 Funzione φ e la fattorizzazione Teorema 11. Sia n = pq con p e q numeri primi. Allora conoscere φ(n) è equivalente a conoscere p e q. Dimostrazione. Abbiamo φ(n) = φ(p)φ(q) = (p 1)(q 1) = n (p + q) + 1 Quindi è chiaro che noti p e q abbiamo φ(n). Viceversa, se conosciamo φ(n) ed n, conosciamo p + q = n + 1 φ(n); chiamiamo m questa quantità. Allora n = pq = p(p m) = p 2 mp, cioè p è radice dell equazione p 2 mp n. Progetto lauree scientifiche p.16/16