1 Soluzione degli esercizi del capitolo 4

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1 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio degli esercizi del capitolo 4 Esercizio 4. (pag. 47) Sia X =,,3,4} e sia R la relazione su X così definita: R = (,),(,),(,),(,),(,4),(3,3),(4,)}. Si dica, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:. R è riflessiva;. R è simmetrica; 3. R è antisimmetrica; 4. R è transitiva; 5. R è un applicazione da X a X.. R non è riflessiva poichè manca la coppia (4,4);. R è simmetrica: infatti (,) R e (,) R ; (,4) R e (4,) R ; 3. R non è antisimmetrica perchè, ad esempio, (,) e (,) R ; 4. R non è transitiva perchè, ad esempio, (4,) e (,4) R ma (4,4) R ; 5. R non è un applicazione da X a X poichè, ad esempio, sia (,) sia (,) appartengono a R. Esercizio 4. (pag. 47) Sia X =,,3,4,5} e sia R la relazione su X così definita: R = (,),(,),(,),(,4),(3,3),(4,),(4,4),(5,),(5,5)}. Si dica, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:. R è riflessiva;. R è simmetrica; 3. R è antisimmetrica; 4. R è transitiva; 5. R è un applicazione da X a X.. R è riflessiva: infatti (,),(,),(3,3),(4,4),(5,5) R ; Copyright The McGraw-Hill Companies srl

2 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio. R non è simmetrica: infatti (,) R e (,) R ; 3. R non è antisimmetrica: infatti sia (,4) che (4,) stanno in R ; 4. R non è transitiva: infatti (4,),(,) R ma (4,) R. 5. R non è un applicazione da X a X poichè, come nell esercizio precedente, ci sono coppie distinte che hanno la prima componente uguale, ad esempio (,) e (,). Esercizio 4.3 (pag. 47) Sia X =,,3,4} e sia R 3 la relazione su X così definita: R 3 = (,),(,),(,3),(,4),(,),(,3),(,4),(3,3),(4,3),(4,4)}. Si dica, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:. R 3 è riflessiva;. R 3 è simmetrica; 3. R 3 è antisimmetrica; 4. R 3 è transitiva; 5. R 3 è un applicazione da X a X.. R 3 è riflessiva in quanto (,),(,),(3,3),(4,4) R 3 ;. R 3 non è simmetrica in quanto, ad esempio, (,) R 3 e (,) R 3 ; 3. R 3 è antisimmetrica infatti (,),(,3),(,4),(,3),(,4),(4,3)} R 3 e nessuno degli elementi (, ),(3, ),(4, ),(3, ),(4, ),(3, 4) appartiene ad R 3 ; 4. R 3 è transitiva, come si verifica, con procedimento analogo a quello utilizzato nel successivo esercizio 4.8 pag 49, verificando che i,j,k,,3,4} sono soddisfatte le disuguaglianze r ik r ki r ij. Come in 4.8 non è necessario verificare tutte le 4 3 disuguaglianze, ma solo quelle in cui i j, j k, i k, quindi solo 4! disuguaglianze. Osservazione: invece della verifica diretta, si può utilizzare il seguente metodo equivalente. Indichiamo con T = (r ij ) la matrice di incidenza associata alla relazione R 3 (cfr successivo paragrafo 4.) e definiamo il seguente prodotto booleano T T = (p ij ) ove p ij = se k,,3,4} tale che r ik r kj = e p ij = 0 se k,,3,4} si ha r ik r kj = 0. Copyright The McGraw-Hill Companies srl

3 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio Sarà verificata la proprietà transitiva solo se nella matrice T T = (p ij ) si ha p ij r ij. Nel nostro caso: = Si vede che T e T T sono uguali, quindi la condizione p ij r ij è verificata e si può concludere che R 3 è transitiva. 5. R 3 non è un applicazione da X a X in quanto, ad esempio (,) e (,) appartengono entrambi a R 3. Esercizio 4.4 (pag.5) Nell insieme N N, si consideri la relazione ρ così definita: (a,b)ρ(c,d) a + d = b + c e si mostri che è una relazione di equivalenza.. Mostriamo che ρ è riflessiva, cioè che (a,b) N N si ha (a,b)ρ(a,b). Questo è vero, in quanto a + b = b + a per la commutatività della somma in N.. ρ è simmetrica: cioè (a, b)ρ(c, d) (c, d)ρ(a, b). Infatti: (a,b)ρ(c,d) a + d = b + c c + b = d + a (c,d)ρ(a,b). 3. ρ è transitiva: cioè da (a,b)ρ(c,d) e (c,d)ρ(e,f) segue (a,b)ρ(e,f). Infatti a + d = b + c per ipotesi a + d + c + f = b + c + d + e. c + f = d + e Per la proprietà commutativa della somma e per le proprietà di cancellazione valide in N, in quanto sottoinsieme di Z, si ottiene a + f = b + e e quindi (a,b)ρ(e,f). Esercizio 4.5 (pag. 57) Dire se sono risolubili le seguenti congruenze e, in caso affermativo, determinarne le soluzioni:. 3x 8(mod 4).. 5x (mod 0). 3. 3x (mod 5) x 8(mod 7).. 3 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

4 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio. Poichè MCD (3,4) = è un divisore di 8, la congruenza 3x 8 (mod 4) è risolubile. Una soluzione è x = 4, quindi la soluzione generale è: x = 4 + 4k, k Z.. Poichè MCD (5,0) = 5 non è un divisore di, la congruenza non ha soluzioni intere (infatti non esiste alcun x Z tale che 5x 0k = ). 3. Poichè MCD ( 3,5) = è un divisore di, la congruenza è risolubile. Una soluzione particolare è x =, quindi le soluzioni sono x = + 5k, k Z. 4. Ancora MCD (50,7) = è un divisore di 8, quindi la congruenza è risolubile. Una soluzione è x = e quindi le soluzioni sono x = + 7h, h Z. Esercizio 4.6 (pag.59) Dire se i seguenti sistemi di congruenze lineari ammettono soluzioni e, in caso affermativo, determinarle:. x (mod 4) 3x (mod 5). 3. x (mod 5) 3x (mod 0) x 3(mod 4) 5x 4(mod 3) 6x (mod 7) 4. x 5(mod 3) x (mod 9) [.] Per il Teorema cinese del resto, il sistema è risolubile. Per trovare le soluzioni si può seguire il procedimento costruttivo indicato dalla dimostrazione del teorema stesso, oppure, trattandosi di sole due equazioni, si può procedere direttamente. a) Procediamo direttamente determinando le soluzioni comuni alle due congruenze. La prima ha come soluzione particolare x = (ad esempio) e quindi la soluzione generale è x = + 4k, k Z; la seconda ha soluzione generale x = 4 + 5h, h Z (a partire da una soluzione particolare x = 4). Le soluzioni comuni si otterranno determinando le soluzioni dell equazione diofantea in h e k: + 4k = 4 + 5h ovvero le soluzioni dell equazione 3 = 4k 5h. Si ricava h = 3 + 4t e k = 3 + 5t da cui si ottiene x (mod 0). b) Seguiamo ora il metodo utilizzato nella dimostrazione del teorema. Per prima cosa sostituiamo al sistema dato un sistema equivalente, che soddisfi le ipotesi del teorema, in particolare moltiplichiamo la seconda equazione per ottenendo: 4 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

5 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio x (mod 4) x 4(mod 5) Osserviamo che: N = 5 4, N = 5, N = 4. Il sistema ausiliario è quindi 5y (mod 4) 4y (mod 5). Soluzioni particolari del sistema sono y = e y = 4. Le soluzioni saranno quindi c = (mod 0) ovvero c (mod 0). [.] Il sistema non soddisfa le condizioni del Teorema cinese del resto poiché MCD (0,5) = 5. Essendo la condizione solo sufficiente per l esistenza di soluzioni, procediamo direttamente verificando se ciascuna congruenza ammette soluzione e poi cercando le eventuali soluzioni comuni. Ciascuna delle due equazioni ammette soluzioni poiché sia MCD (, 5) = è un divisore di, sia MCD (3,0) = è un divisore di. Le soluzioni della prima equazione sono x 3(mod 5) e quelle della seconda equazione sono x 4(mod 0) e quindi sono incompatibili. Si conclude che, in questo caso, il sistema non è risolubile. [3.] Poiché 4, 3, 7 sono coprimi a due a due si puó applicare il teorema cinese del resto, pur di sostituire al sistema dato uno equivalente che soddisfi le ipotesi. A questo scopo moltiplichiamo la seconda congruenza per e la terza per 6 e otteniamo il sistema equivalente: x 3(mod 4) x (mod 3) x 6(mod 7) o, meglio, x (mod 4) x (mod 3) x (mod 7). Osserviamo che: N = = 84, N =, N = 8, N 3 = e quindi il sistema ausiliario è: y (mod 4) 8y (mod 3) y (mod 7) Soluzioni particolari del sistema sono y =, y = e y 3 = 3. Le soluzioni saranno quindi c = ( ) 3 (mod 84). [4.] Il sistema non soddisfa le ipotesi del Teorema cinese del resto. Verifichiamo quindi direttamente se entrambe le congruenze hanno soluzione e se ne esistono di comuni. Poiché MCD (, 3) = e MCD (, 9) = certamente le congruenze hanno soluzione. Avremo x = + 3k per la prima congruenza e x = + 9h per la seconda, con h,k Z. Quindi le soluzioni comuni saranno x = +9h, con h Z cioé x (mod 9) (poiché + 9h = + 3(3h)). Esercizio Copyright The McGraw-Hill Companies srl

6 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio Disegnare il diagramma di Hasse dell insieme Y = y N y 30} rispetto alla relazione definita (come nell esempio 4.4) cioè a b a b. L insieme Y è l insieme dei divisori di 30 cioè Y =,,3,5,6,0,5,30}. Il diagramma di Hasse richiesto è analogo a quello disegnato in figura 4. (vedi testo pag. 6), ove si operino le seguenti sostituzioni:, a}, b} 3, c} 5, a,b} 6, b,c} 5, a,c} 0, a,b,c} 30. Esercizio 4.8 Disegnare il diagramma di Hasse di (P(X), ), dove la relazione d ordine è l inclusione insiemistica e X = a,b}. P(X) =, a}, b},x} Il diagramma è: a} Esercizio 4.9 (pag. 64) Considerate le applicazioni φ e φ dell esempio 4.8 e precisamente: φ e φ applicazioni da Z Z con φ (x) = x 3 e φ (x) = x+, ) determinare φ ( ), φ (3), φ ( ), φ (4). ) Determinare φ X b} (7), φ ( 8), φ (), φ ( 3), φ (9). 3) Per ciascuno degli elementi dell insieme A = 0,,,6,7,8, 4, 5}, dire se ammettono preimmagine (sia attraverso la φ che la φ ) e in caso affermativo, determinarle. ) φ ( ) = 8, φ (3) = 7, φ ( ) =, φ (4) = 9. ) φ (7) = 3, φ ( 8) =, φ () = 0, φ ( 3) =, φ (9) = 4. 3) φ (0) = 0,φ () = ; φ () = 0 mentre φ (0) non esiste;, 6 e 4 non hanno controimmagine né per φ, né per φ ; 8 non ha preimmagine per φ in quanto numero pari, mentre φ (8) = ; 5 non ha preimmagine per φ in quanto non è il cubo di nessun numero intero, mentre φ ( 5) = 3. Esercizio 4.0 (pag. 64) Si consideri l applicazione f : Z Z Z Z definita da: f(a,b) = (a b,3b). Si dica se le seguenti affermazioni sono vere oppure false: 6 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

7 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio. f è iniettiva.. f è suriettiva. 3. f(3,4) = (,8). 4. f (,0) = (,0).. (VERO) f è iniettiva: infatti f(a,b) = f(c,d) (a b,3b) = (c d,3d) (a,b) = (c,d).. (FALSO) f non è suriettiva: infatti, ad esempio, l elemento (,) non ha controimmagine, in quanto non esiste alcuna coppia (x,y) Z Z tale che f(x,y) = (x y,3y) = (,). 3. (FALSO): infatti f(3, 4) = (, ). 4. (VERO): infatti f(,0) = (,0). Esercizio 4. (pag. 68) Sia f : A B un applicazione. Provare che f ammette inversa sinistra se e solo se f è iniettiva, ammette inversa destra se e solo se f è suriettiva.. Per ipotesi l applicazione f ammetta una inversa sinistra, cioè esista una applicazione g : B A tale che g f = I A, cioè tale che a A sia g(f(a)) = a. Mostriamo che l applicazione f è iniettiva. Siano a,a A tali che f(a ) = f(a ). Allora g(f(a )) = g(f(a )) e quindi (g f)(a ) = (g f)(a ) I A (a ) = I A (a ) da cui segue che a = a e quindi risulta che f è iniettiva. Viceversa sia f iniettiva; allora b B esiste al più un a A tale che f(a) = b. Costruiamo una applicazione g : B A a, se b f(a) ed a è una sua preimmagine in modo tale che g(b) = ā A (scelto arbitrariamente) se b / f(a). Si ha quindi che (g f)(a) = g(f(a)) = g(b) = a, per ogni a A cioè g f = I A. 7 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

8 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio. Per ipotesi l applicazione f ammetta una inversa destra, cioè esista una applicazione g : B A tale che f g = I B, cioè b B sia f(g(b)) = b. Mostriamo che l applicazione f è suriettiva. Per ogni b B si ha b = I(b) = (f g)(b) = f(g(b)) e quindi g(b) A è preimmagine di b per f. Viceversa sia f suriettiva: allora b B, a A tale che f(a) = b. Posto g(b) = a si ha: (f g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b, da cui segue che f g = I B. Esercizio 4. (pag. 68) Data l applicazione f : Z Z Z Z definita ponendo: f(a, b) = (a + b, 3b), dire se f è iniettiva e/o suriettiva. f è iniettiva. Infatti: f(a,b) = f(c,d) (a + b,3b) = (c + d,3d) b = d e a = c (a,b) = (c,d). f non è suriettiva poiché, ad esempio, l elemento (,) non ha controimmagine (non esiste alcun (x,y) Z Z tale che f(x,y) = (x + y,3y) = (,)). Esercizio 4.3 (pag. 68) Date le applicazioni f e g : Z Z Z Z definite ponendo: f(a,b) = (a + b, b) e g(c,d) = ( c,3d), determinare le funzioni composte f g e g f. Per ciascuna di esse dire se è iniettiva e/o suriettiva.. (f g)(a,b) = f(g(a,b)) = f( a,3b) = ( a + 6b, 3b), (g f)(a,b) = g(f(a,b)) = g(a + b, b) = ( a b, 3b).. f g e g f sono entrambe iniettive, nessuna delle due è suriettiva: ad esempio (,) non ha controimmagine. Esercizio 4.4 (pag. 68) Si consideri l applicazione h : Q Q Q Q, definita ponendo h(x,y) = (x + y, x + y) :. verificare che h è iniettiva;. determinare la funzione inversa sinistra; 3. dire se l applicazione h è anche suriettiva.. h è iniettiva, infatti: h(a,b) = h(c,d) (a+b, a+b) = (c+d, c+d) a + b = c + d a + b = c + d a = c a + b = c + d 3b = 3d b = d. Si conclude che (a, b) = (c, d). 8 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

9 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio. La funzione inversa sinistra esiste poiché l applicazione è iniettiva. Per determinarla utilizziamo la definizione cioè cerchiamo una funzione g : Q Q Q Q tale che g h = i, cioè tale che (g h)(x,y) = g(x + y, x + y) = (x,y), (x,y) Q Q. Possiamo procedere cercando dapprima l inversa g tra le applicazioni da Q Q Q Q, del tipo g(x,y) = (ax + by,cx + dy), quindi provando a determinare a,b,c,d Q tali che: a(x + y) + b( x + y) = x c(x + y) + d( x + y) = y e quindi a b =, a + b = 0 c d = 0, c + d =. ax + ay bx + by = x cx + cy dx + dy = y Si ottengono quindi le soluzioni: a = 3, b = 3, c = d =, da cui si 3 conclude che l inversa cercata è l applicazione g tale che g(x,y) = ( 3 x 3 y, 3 x + y), (x,y) Q Q L applicazione h è suriettiva. Infatti, (a,b) Q Q (x,y) Q Q tale che h(x,y) = (x + y, x + y) = (a,b). x + y = a Risolviamo il sistema x + y = b Sommando membro a membro otteniamo le soluzioni: x = a b 3 y = a + b 3 Quindi la controimmagine cercata è ( a b, a + b 3 3 ). Esercizio 4.5 (pag. 68) Date le applicazioni f : Z Q, g : Q + R, definite da: f(n) = n +, g(q) = q per ogni n Z e per ogni q Q +, si determini la funzione composta f g e si dica se è iniettiva e/o suriettiva. Si osserva che si può definire la relazione composta f g che non è una applicazione da Q + a Q, poiché esiste qualche elemento di Q + che non ha immagine in Q. Infatti ad esempio Q, g ( ) ( ) =, ma non esiste f in quanto / Z. Si conclude che f g non puó essere né iniettiva né suriettiva. 9 Copyright The McGraw-Hill Companies srl

10 "Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio Esercizio 4.6 (variante del precedente) Date le applicazioni f : Z Q, g : Q + R, definite da: f(n) = n +, g(q) = q per ogni n Z e per ogni q Q +, si determini la funzione composta g f e si dica se è iniettiva e/o suriettiva. ( ) Per ogni n Z si ha che f(n) = n + n e quindi g + n = +. g f non è iniettiva: ad esempio e hanno la stessa immagine. Infatti (g f) () = = (g f) ( ) g f non è suriettiva: ad esempio 0 R ma non ha controimmagine in Z. n Infatti non esiste alcun n Z tale che (g f) (n) = + = 0. 0 Copyright The McGraw-Hill Companies srl