Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 2 novembre Congruenze aritmetiche.

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1 Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 2 novembre 2011 Congruenze aritmetiche. Ricordiamo la teoria delle congruenze aritmetiche. La nozione di divisore (e simmetricamente quella di multiplo si estende facilmente dall insieme N dei numeri naturali all insieme Z dei numeri interi relativi: dati gli interi relativi a,b Z si dice che a è divisore di b (o che b è multiplo di a e si scrive a b, se esiste un intero relativo c Z tale che ac=b. Fissato un intero relativo m (detto modulo, e dati i numeri interi relativi a,b, diremo che a è congruo b modulo m (e scriveremo a b (mod m se m(a-b. In questo modo definiamo nell insieme Z degli interi relativi una relazione, detta appunto congruenza modulo m, che è una relazione di equivalenza (come si dimostra facilmente. Poiché è facile verificare che la congruenza modulo m coincide con la congruenza modulo m, possiamo limitarci a studiare il caso di m 0. Poiché inoltre sono banali i casi m=0 (la congruenza modulo 0 non è altro che la relazione di eguaglianza ed m=1 (nella congruenza modulo 1 tutti gli interi sono congrui fra loro ci limiteremo a studiare il caso m>1. Per ogni a Z si può costruire la classe di equivalenza rappresentata da a (detta classe di congruenza modulo m rappresentata da a: [a] m = { x Z / x a (mod m } = { x Z / x-a=km, con k Z } = { x Z / x=a+km, con k Z } (se non vi è possibilità di equivoco sul modulo m, useremo semplicemente il simbolo [a] Per la teoria generale delle relazioni di equivalenza, dati a,b Z si ha [a]=[b] a b (mod m, e inoltre le classi di congruenza modulo m formano una partizione dell insieme Z. Teorema. Fissato il modulo m>1, le classi di congruenza modulo m distinte sono tutte e sole le seguenti: [0], [1],, [m-1] (* Le classi (* sono distinte: se per assurdo fosse [a]=[b] con 0 b<a<n, si avrebbe a b (mod m, dunque 0<a-b<m sarebbe un multiplo di m (contraddizione. Per ogni a Z la classe di congruenza [a] coincide con una delle classi (*: infatti se a>0 allora, dividendo a per m con quoziente q e resto r si ha a=mq+r, a-r=mq, a r (mod m, [a]=[r], con r compreso fra i valori 0,1,,m-1; se invece a<0 allora, dividendo (-a per m con quoziente q e resto r si ha -a=mq+r, a-(m-r=m(-q-1, a m-r (mod m, [a]=[m-r], con m-r compreso fra 1,,m-1 (se r>0 oppure (se r=0 con [a]=[m]=[0]. Poiché 0,1,,m-1 sono i possibili resti delle divisioni per m, le classi di congruenza modulo m sono anche dette classi resto modulo m, e il loro insieme è indicato con Z m : per il Teorema precedente si ha Z m = { [0], [1],, [m-1] }, e la cardinalità di Z m è uguale al modulo m. Nella dimostrazione del Teorema, per ogni intero relativo a Z si è costruito un (unico intero t compreso fra i valori 0,1,,m-1 tale che [a]=[t] (o equivalentemente tale che a t (mod m: tale t è detto riduzione modulo m dell intero a ed è indicato con amodm. Se in particolare a è un numero naturale, un algoritmo per il calcolo della sua riduzione modulo m è indicato nella dimostrazione del Teorema: basta dividere a per m e considerare il resto r=amodm (algoritmo, come sappiamo, di complessità quadratica.

2 Compatibilità della congruenza con somma e prodotto di interi. Fissato il modulo intero m>1, e comunque dati gli interi relativi a,b,c,d, da: a b (mod m, c d (mod m seguono sempre: a+c b+d (mod m (compatibilità della congruenza rispetto alla somma ac bd (mod m (compatibilità della congruenza rispetto al prodotto Infatti da m(a-b, m(c-d si ha che esistono interi relativi h,k tali che a-b=hm, c-d=km da cui: (a+c-(b+d=(h-km ac-bd=a(c-d+d(a-b=(ak+dhm e si hanno le tesi m(a+c-(b+d, mac-bd. In particolare, comunque fissato un intero relativo y, da a b (mod m seguono sempre: a+y b+y (mod m ay by (mod m (basta ricordare che per la proprietà riflessiva si ha y y (mod m Congruenze di primo grado ad una incognita. Fissato il modulo m>1 e i numeri interi relativi a,b, poniamoci il problema di trovare (se esistono tutti e soli gli interi relativi x tali che ax b (mod m. Diremo anche che tali valori x sono le soluzioni della congruenza ax b (mod m di primo grado nell incognita x. Sostituendo eventualmente a con amodm (la sua riduzione modulo m otteniamo una congruenza equivalente (per la compatibilità della congruenza rispetto alla somma e al prodotto, dunque possiamo ricondurci sempre al caso in cui a 0 (ed anche a<m. Per evitare casi banali supporremo anche a>0 (se a=0 ovviamente la congruenza ha per soluzione ogni intero relativo se b 0 (mod m, o in caso contrario non ha soluzioni. Vediamo quando una soluzione della congruenza di primo grado esiste: Teorema. Fissato il modulo m>1 e i numeri interi relativi a,b, con a>0, e posto d=mcd(a,m: esiste una soluzione x della congruenza ax b (mod m d é divisore di b. ( : Se ax b (mod m, si ha ax-b=km, con k Z, da cui, essendo da, dm, ovviamente db. ( : Se db, posto dt=b, con t Z, e posto d=mcd(a,m=az+mw, con z,w Z, si ottiene b=dt=azt+mwt, da cui azt b (mod m, e basta porre x=zt per ottenere una soluzione della congruenza. Osservazione. Dal punto di vista algoritmico, per verificare se esiste una soluzione della congruenza ax b (mod m basta usare l algoritmo Euclideo delle divisioni successive per calcolare d=mcd(a,m, e poi eseguire una divisione per verificare se db (complessità totale di ordine cubico. La dimostrazione precedente fornisce anche un algoritmo per il calcolo di una soluzione x (se essa esiste cioè se db: basta moltiplicare t (ottenuto dividendo b per d per z (coefficiente di a nella espressione del mcd(a,m come combinazione lineare di a,m, calcolato con l algoritmo Euclideo esteso: anche la complessità dell algoritmo per il calcolo di una soluzione della congruenza è dunque di ordine cubico. La soluzione (se esiste della congruenza ax b (mod m non è unica, ma è possibile determinare tutte le soluzioni, conoscendone una:

3 Teorema. Fissato il modulo m>1 e i numeri interi relativi a,b, con a>0, e posto d=mcd(a,m: se esiste una soluzione x 0 della congruenza ax b (mod m, tutte e sole le soluzioni sono i numeri interi relativi x 1 tali che x 1 x 0 (mod m/d (ossia i numeri della classe di congruenza [x 0 ] m/d rappresentata da x 0 modulo m/d. Sia x 1 una soluzione della congruenza. Allora ax 1 b (mod m, ax 0 b (mod m, da cui per transitività ax 1 ax 0 (mod m, ax 1 -ax 0 =mk con k intero relativo, e dunque (a/d(x 1 -x 0 =(m/dk. Ma per una proprietà già dimostrata, i numeri a/d, m/d sono coprimi (essendo d=mcd(a,m. Per una proprietà dei numeri coprimi essendo (m/d(a/d(x 1 -x 0 si ha (m/d(x 1 -x 0 ottenendo infine la tesi x 1 x 0 (mod m/d. Viceversa sia x 1 un intero relativo tale che x 1 x 0 (mod m/d. Allora x 1 -x 0 =km/d, con k intero relativo, ax 1 -ax 0 =k(a/dm, ax 1 ax 0 (mod m. Ma per ipotesi ax 0 b (mod m, e per transitività anche ax 1 b (mod m, dunque anche x 1 è soluzione della congruenza. Dai risultati precedenti segue che, fissato il modulo m>1 e i numeri interi relativi a,b, con a>0, posto d=mcd(a,m, e fissata una soluzione x=x 0 della congruenza ax b (mod m, poiché tutte le soluzioni della stessa congruenza sono gli elementi della classe di congruenza modulo m/d rappresentata da x 0, la riduzione modulo m/d di x 0 è anch essa una soluzione ed è l unica con valore compreso fra 0,1,,(m/d-1: tale soluzione è detta soluzione canonica della congruenza. Esempio: Risolviamo la congruenza 36x 10 (mod 14. Con l algoritmo Euclideo, operando n=4 divisioni, otteniamo che d=mcd(36,14=2, che è divisore di b=14. Per calcolare i coefficienti interi z, w tali che 2=36z+14w, si costruiscono le successioni s i, t i (con i=0,1,2,3,4,5 di cui si è parlato nell Algoritmo Euclideo esteso, e si trovano alla fine i valori: z=s 4 =2, w= -t 4 = -5. Una soluzione x della congruenza è data allora da x=tz=10 (dove t=b/d=5. Tutte le soluzioni sono i numeri della forma 10+k(m/d=10+7k, con k intero relativo (quindi gli elementi della classe di congruenza rappresentata da 10 modulo m/d=7 e la soluzione canonica è la riduzione 10mod7=3 (l unica compresa fra 0,1,2,,6. Teorema Cinese del Resto. In un manoscritto cinese del III sec. a.c. si trova il seguente problema: trovare un intero positivo x che diviso per 3 dia resto 1, diviso per 5 dia resto 2, diviso per 7 dia resto 3. Nel linguaggio delle congruenze si tratta di trovare un intero positivo che sia soluzione intera del seguente sistema di congruenze di primo grado nell incognita x: 1 (mod 3 x 2 (mod 5 x 3 (mod 7 Studieremo dunque i sistemi di congruenze di primo grado nell incognita x in cui il coefficiente della x sia = 1, ossia i sistemi di n congruenze della forma:

4 b1 (mod m1 x b2 (mod m x bn (mod mn (* (dove sono fissati i moduli m i >1 ed i termini noti b i sono supposti non negativi, eventualmente sostituendo ognuno di essi con la sua riduzione modulo m i. Studiamo prima il caso di 2 congruenze: Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso di 2 congruenze. Nel sistema (*, con n=2, se i moduli m 1,m 2 sono coprimi esiste una soluzione intera x=x 0 del sistema e le soluzioni del sistema sono tutti e soli gli interi x 1 tali che x 1 x 0 (mod m 1 m 2 (quindi gli elementi della classe di congruenza [ 0] m1m 2 x rappresentata da x 0 modulo m 1 m 2. Le soluzioni della prima congruenza del sistema sono tutti gli interi della classe di congruenza rapprresentata da b 1 modulo m 1, dunque gli interi della forma x=b 1 +m 1 y, dove y varia fra gli interi relativi. Imponiamo la condizione che uno di tali interi x sia soluzione anche della seconda congruenza, ottenendo la seguente congruenza di primo grado nell incognita y: m 1 y (b 2 -b 1 (mod m 2 Sappiamo che tale congruenza ha qualche soluzione y=y 0 perché mcd(m 1,m 2 =1 è ovviamente divisore della differenza (b 2 -b 1. Ponendo x 0 =b 1 +m 1 y 0 otterremo una soluzione del sistema. E facile verificare che ogni numero intero x 1 x 0 (mod m 1 m 2 è anche soluzione del sistema, in quanto x 1 x 0 b 1 (mod m 1 e x 1 x 0 b 2 (mod m 2. Viceversa se x 1 è soluzione intera del sistema, allora x 1 x 0 b 1 (mod m 1 e x 1 x 0 b 2 (mod m 2, dunque m 1,m 2 sono divisori di (x 1 -x 0, e per una proprietà dei numeri coprimi anche il prodotto m 1 m 2 è divisore di (x 1 -x 0, ossia x 1 x 0 (mod m 1 m 2. Esempio. Risolviamo il sistema formato dalle prime 2 congruenze del problema del manoscritto cinese: 1(mod 3 x 2(mod 5 Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=1+3y, con y intero, e imponendo che siano soluzioni anche della seconda si ottiene la congruenza di primo grado in y: 3y 1 (mod 5 Una soluzione è y=ts, dove t si ottiene dividendo il termine noto 1 per il mcd(3,5=1(quindi t=1, ed s è il coefficiente di 3 nella rappresentazione di 1=mcd(3,5 come combinazione lineare di 3 e 5: quindi da 1=3 2+5 (-1 segue s=2. Si ha y=2, e una soluzione del sistema è allora x=1+3y=7: tutte le soluzioni del sistema sono i numeri della classe di congruenza [7] 15 rappresentata da 7 modulo 15, dunque tutti gli interi della forma 7+15k, con k intero relativo (per esempio i numeri -8, 22, 37 etc. Nel caso generale di n congruenze si ottiene un risultato analogo a quello del caso n=2:

5 Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso generale di n congruenze. Nel sistema (*, con n>1 qualunque, se i moduli m 1 sono a due a due coprimi esiste una soluzione intera x=x 0 del sistema e le soluzioni del sistema sono tutti e soli gli interi x 1 tali che x 1 x (mod x rappresentata da x 0 modulo m 1 m 2 m n (quindi gli elementi della classe di congruenza [ ] m 1 m 2 m 1 m 2 m n. Per induzione (I a forma su n, con base n=2. Per n=2 la tesi segue dal Teorema precedente. Supponiamo il Teorema vero per n e dimostriamolo per n+1. Dato il sistema di n+1 congruenze: b1 (mod m1 x b2 (mod m x bn+ 1 (mod mn mn Per induzione esiste una soluzione intera z del sistema formato dalle prime n congruenze, e inoltre tutte e sole le soluzioni di tale sistema sono z (mod m 1 m 2 m n. Dunque il sistema di n+1 congruenze dato equivale al sistema di 2 congruenze: z (mod m1m 2... mn x bn+ 1 (mod mn+ 1 Notiamo che i moduli delle 2 congruenze sono coprimi: se per assurdo d=mcd(m 1 m 2 m n,m n+1 >1, considerato un divisore primo p di d sarebbe p divisore del prodotto m 1 m 2 m n (quindi p divisore di qualche m i con i=1,2,,n e di m n+1, contro l ipotesi che m i,m n+1 sono coprimi. Per il Teorema precedente (il caso di 2 congruenze si ha la tesi per n+1: il sistema ha soluzione x 0 e le soluzioni sono tutti e soli gli interi x 0 (mod m 1 m 2 m n+1. Fissata una soluzione x=x 0 del sistema (*, poiché tutte le soluzioni del sistema sono gli elementi della classe di congruenza modulo m 1 m 2 m n rappresentata da x 0, la riduzione modulo m 1 m 2 m n di x 0 è anch essa una soluzione ed è l unica con valore compreso fra 0,1,, m 1 m 2 m n -1: tale soluzione è detta soluzione canonica del sistema (ovviamente essa è anche la minima soluzione 0 del sistema Esempio. Risolviamo il sistema formato dalle 3 congruenze del problema del manoscritto cinese: 1(mod 3 x 2(mod 5 x 3(mod 7 Abbiamo già risolto il sistema formato dalle prime 2 congruenze, le cui soluzioni sono 7 (mod 15. Il sistema dato equivale allora al sistema di 2 congruenze:

6 7 (mod15 x 3(mod 7 Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=7+15y con y intero, e imponendo che siano soluzioni della seconda si ottiene la congruenza in y: 15y -4 (mod 7. Sostituendo -4 con la sua riduzione modulo 7, si ottiene la congruenza equivalente: 15y 3 (mod 7 una cui soluzione è y=rs, dove r=3/mcd(15,7= 3, s è il coefficiente di 15 nella rappresentazione di 1=mcd(15,7 come combinazione lineare di 15, 7 (si ha 1= (-2, quindi s=1, e si ha y=3. Una soluzione del sistema iniziale è allora x=7+15 3= 52. La soluzione canonica del sistema è la riduzione 52mod(3 5 7=52mod105=52 (è l unica compresa fra 0,1,,104. Quindi x=52 è la soluzione (minima fra quelle positive del problema del manoscritto cinese.