TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

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1 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente intero 2 per il divisore 3 si ottiene esattamente il dividendo 6. Lo stesso non avviene per la divisione intera 7 : 3 = 2, con resto 1. Moltiplicando quoziente intero per divisore si ottiene ancora 2 3 = 6, a cui è necessario aggiungere il resto 1 per ottenere il dividendo. In generale, allora, si può dire che, se D è il dividendo, d è il divisore, Q il quoziente e r il resto, D = d Q + r Definizione. Un numero intero n è divisibile per un numero intero m se il resto della divisione intera n : m = q è zero, ossia se il prodotto q m = n. Per i polinomi è possibile dare una definizione analoga. Definizione. Un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio p(x) se il resto della divisione intera P(x) : p(x) = Q(x) è zero, cioè se Q(x) p(x) = P(x). Se invece il resto non è nullo, questo significa che il prodotto del quoziente per il polinomio divisore non è esattamente uguale al polinomio dividendo, ma occorre sommare il resto al risultato per ottenerlo. Esempio. Il polinomio x 2 1 è divisibile per il polinomio x 1, con quoziente x + 1 e resto 0 perché il prodotto del quoziente per il polinomio divisore (x + 1)(x 1) = x 2 1 dà esattamente il polinomio dividendo. Il polinomio x 2 1 non è divisibile esattamente per x 2: il quoziente è x + 2, ma il resto è 3: per ottenere il dividendo moltiplicando quoziente e divisore bisogna anche aggiungere il resto: (x + 2)(x 2) + 3 = x 2 1. Si può quindi affermare, in analogia con il caso numerico, che P(x) = p(x) Q(x) + r(x) Teorema. (Teorema del resto) Sostituendo alla lettera di un qualunque polinomio un valore numerico a si ottiene il resto della divisione del polinomio per il binomio (x a). Dimostrazione. La divisione del polinomio P(x) per il binomio (x a) ha un quoziente Q(x) e un resto r(x) tali che P(x) = (x a) Q(x) + r(x) Sostituendo il valore a al posto della lettera x, si ottiene che P(a) = (a a) Q(a) + r(a) e quindi, poiché (a a) = 0, P(a) = r(a). Esempio. Se P(x) = x 2 1 e il valore da sostituire è 1, si ottiene che P(1) = = 0. Infatti il resto della divisione di (x 2 1) : (x 1) è 0, come visto sopra. Se il valore da sostituire è invece 2, P(2) = = 3. Corollario. (Teorema di Ruffini) Un polinomio P(x) è divisibile per x a se P(a) = 0. 1

2 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI 2 Dimostrazione. Poiché P(a) è il resto della divisione di P(x) per (x a), per il teorema del resto, se P(a) = 0, tale resto è uguale a 0, e quindi P(x) è divisibile per (x a). Teorema. (Teorema delle radici razionali) Ogni radice razionale di un polinomio a coefficienti razionali P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (cioè con i(a i Q)) è della forma p q, con p, q N e primi tra loro, dove p è un divisore di a 0 e q un divisore di a n. Dimostrazione. Ammettendo che esista una radice razionale della forma p q, con p, q Z e ( primi ) tra loro 1, del polinomio P(x) 2 per il teorema del resto essa sarà p tale che P q = 0, cioè che Moltiplicando per q n si ottiene che p n a n q n + a p n 1 n 1 q n a p 1 q + a 0 = 0 a n p n + a n 1 p n 1 q a 1 pq n 1 + a 0 q n = 0 I primi n 1 termini possono essere raggruppati raccogliendo p: ( p a n p n 1 + a n 1 p n 2 q a 1 q n 1) + a 0 q n = 0 e cioè, indicando con R(x) il polinomio tra parentesi, p R(x) + a 0 q n = 0. Questo significa che l ultimo termine a 0 q n dovrà essere uguale all opposto di p R(x) affinché la somma sia nulla. Cioè, a 0 q n dovrà essere divisibile per p. Poiché q è primo con p, anche q n è primo con p. Dovrà quindi essere a 0 ad essere divisibile per p. Raggruppando invece gli ultimi n 1 termini raccogliendo q, si ottiene che: ( a n p n + q a n 1 p n a 1 pq n 2 + a 0 q n 1) = 0 e cioè, indicando con S(x) il polinomio tra parentesi, a n p n + q S(x) = 0. Questo significa che il primo termine a n p n dovrà essere uguale all opposto di q S(x) affinché la somma sia nulla. Cioè, a n p n dovrà essere divisibile per q. Poiché p è primo con q, anche p n è primo con q. Dovrà quindi essere a n ad essere divisibile per q. Di conseguenza, se una radice razionale esiste come frazione ridotta ai minimi termini (eventualmente nulla vieta che q = 1 e che quindi la radice razionale sia un numero intero), sarà tale che p è un divisore del termine noto a 0 e q un divisore del coefficiente di grado massimo a n. Esempio. Il polinomio 4x + 6 ha come radice razionale il numero 2 3, dove 3 è divisore del termine noto 6 e 2 è divisore del termine di grado massimo 4. Il teorema delle radici razionali afferma che un eventuale radice del polinomio deve ricercarsi nell insieme { ±6, ±3, ±2, ±1, ± 3 2, ± 3 4, ± 1 2, ± 1 4 }. 1 Il fatto che la radice sia razionale implica che sia esprimibile come frazione, cioè un rapporto fra numeri interi relativi. Il fatto che p, q siano primi tra loro significa semplicemente che la frazione si suppone già ridotta ai minimi termini. 2 L esistenza di una radice razionale non è garantita: il teorema fondamentale dell algebra non stabilisce né l esistenza certa di radici reali, né il fatto che le eventuali radici reali siano anche razionali.

3 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI 3 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI RUFFINI Divisibilità per (x 1). Un polinomio P(x) è divisibile per (x 1) se sostituendo 1 alla x si ottiene 0. Tale sostituzione si ottiene semplicemente sommando i coefficienti polinomiali. Se quindi la somma dei coefficienti polinomiali è nulla, il polinomio è divisibile per (x 1). Esempio. Il polinomio P(x) = x 3 6x x 7 è divisibile per (x 1) perché sostituendo 1 al posto della x si ottiene = 0. Divisibilità per (x + 1). Un polinomio P(x) è divisibile per (x + 1) se sostituendo 1 alla x si ottiene 0. Tale sostituzione si ottiene semplicemente sommando i coefficienti polinomiali con esponente pari e sottraendo quelli con esponente dispari. Se quindi la somma dei coefficienti polinomiali pari è uguale a quella dei coefficienti polinomiali dispari, il polinomio è divisibile per (x + 1). Esempio. Il polinomio P(x) = x 3 + 6x x + 7 è divisibile per (x + 1) perché sostituendo 1 al posto della x si ottiene = 0, ossia i coefficienti di grado terzo e primo = 13 hanno somma uguale a quella dei coefficienti di grado secondo e zero = 13. Ricerca delle radici razionali. Il teorema delle radici razionali offre uno strumento con cui cercare, per tentativi, una possibile radice razionale di un qualunque polinomio, circoscrivendo la ricerca all insieme dato dai valori ± a 0 a n, dove a 0 è il termine noto del polinomio e a n il coefficiente di grado massimo. Bisogna però ricordare che non tutti i polinomi a coefficienti hanno radici razionali. Esempio. Dato il polinomio x 2 + 4x + 4, il teorema delle radici razionali afferma che le eventuali radici razionali saranno da ricercarsi nell insieme {±4, ±2, ±1}. Procedendo per tentativi nella sostituzione di questi valori nel polinomio, si vede che l unico valore che annulla il valore del polinomio è il valore 2, che sarà quindi una delle radici razionali cercate. (D altra parte, la fattorizzazione tramite prodotto notevole del polinomio mostra che la radice 2 è doppia: x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 ). Il polinomio x 2 + 3x + 4 avrà lo stesso insieme di candidate radici razionali, ma nessuna di queste risulta annullare il polinomio. Risolvendo l equazione associata x 2 + 3x + 4 = 0 si vede il motivo. LA RICERCA DEL QUOZIENTE: IL METODO DI RUFFINI Una volta trovata una radice x 0 del polinomio P(x), è importante poter trovare il quoziente della divisione P(x) : (x x 0 ) per procedere eventualmente alla ricerca di altre radici o semplicemente operare la fattorizzazione del polinomio P(x) = (x x 0 ) Q(x). A questo scopo è utile il metodo di Ruffini, un algoritmo di calcolo che permette di trovare il polinomio quoziente una volta nota una delle radici. Il metodo di Ruffini si applica scrivendo in un apposito quadro tutti i coefficienti del polinomio (ponendo 0 il coefficiente di eventuali termini mancanti) e inserendo il valore della radice già identificata: a n a n 1... a 1 a 0 x 0 Il procedimento è il seguente: il coefficiente di grado massimo viene riportato a piè di quadro com è. Viene poi moltiplicato per la radice e posto nella colonna immediatamente a destra, all altezza della radice, mentre al di sotto si opererà la somma algebrica dei numeri sovrastanti:

4 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI 4 a n a n 1... a 1 a 0 x 0 x 0 a n a n (a n 1 + x 0 a n ) e via dicendo per ogni colonna. Se la radice inserita è effettivamente una radice, e se i calcoli sono corretti, l ultimo valore sotto il termine noto sarà 0, il resto di Ruffini. I coefficienti risultanti nell ultima riga, con l esclusione del resto, sono i coefficienti del polinomio Q(x) (di grado n 1) quoziente della divisione P(x) : (x x 0 ). Si avrà, cioè, P(x) = Q(x) (x x 0 ). Esempio. Il polinomio x 3 x 2 x 2 non ha come radici né +1 (la somma dei coefficienti non è nulla) né 1 (la somma dei coefficienti dispari 1 1 = 0 non è uguale alla somma dei coefficienti pari 1 2 = 3). Il teorema delle radici razionali afferma che eventuali radici razionali sono da ricercarsi nell insieme {±2, ±1}, di cui le ultime due sono appena state escluse. Provando con +2 ci si accorge che il valore del polinomio è = 0, quindi +2 è una radice. Si procede allora con la regola di Ruffini, ponendo i coefficienti e la radice nello schema come segue: L algoritmo si applica come segue: che mostra che i calcoli sono stati eseguiti correttamente e +2 è effettivamente una radice (il resto è 0), e fornisce la fattorizzazione del polinomio dato: x 3 x 2 x 2 = (x 2)(x 2 + x + 1) Il polinomio quoziente x 2 + x + 1, invece, non ammette ±1 come radici, mentre il teorema delle radici razionali limita a queste stesse due possibilità le eventuali radici razionali. Tale polinomio, quindi, non ammette radici razionali. Per vedere se vi siano comunque radici reali (irrazionali) è possibile risolvere l equazione associata x 2 + x + 1 = 0. LA RICERCA DEL QUOZIENTE: LA DIVISIONE POLINOMIALE Più in generale, esiste un algoritmo per il calcolo di quoziente e resto della divisione tra due polinomi. Si tratta di un algoritmo analogo a quello per la divisione tra numeri interi e viene qui spiegato con un esempio. Esempio. Sia data la divisione tra il polinomio x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 2x + 1 e il polinomio x 4. Tale divisione è possibile in quanto il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore. Si pongono i due polinomi in uno schema come segue: Si opera quindi la divisione tra il monomio di grado massimo del polinomio dividendo e quello di grado massimo del divisore: x 4 : x = x 3 e si scrive il risultato sotto il divisore: x 3 Si moltiplica quindi il monomio appena scritto per il polinomio divisore e si riporta il risultato al di sotto del polinomio dividendo, incolonnando i termini dello stesso grado:

5 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI 5 x 4 4x 3 x 3 Si opera quindi la sottrazione tra il polinomio dividendo e il polinomio appena scritto sotto di esso: x 4 4x 3 x 3 Poiché il termine di grado massimo del polinomio risultato è ancora di grado maggiore o uguale a quello del divisore, si può procedere iterando quanto fatto finora: x 4 4x 3 x 3 +7x 2 +7x 3 28x 2 \ +32x 2 +2x +1 Di nuovo, il risultato ha grado maggiore o uguale a quello del divisore, e quindi si procede nuovamente. x 4 4x 3 x 3 +7x 2 +32x +7x 3 28x 2 \ +32x 2 +2x x 2 128x \ +130x +1 E di nuovo. x 4 4x 3 x 3 +7x 2 +32x x 3 28x 2 \ +32x 2 +2x x 2 128x \ +130x x 520 \ +521 A questo punto la divisione è terminata, in quanto il polinomio risultato è di grado inferiore (0) al grado del polinomio divisore. Il risultato della divisione è un polinomio quoziente, x 3 + 7x x + 130, e un resto, +521, il cui significato è il seguente: il prodotto (x 4)(x 3 + 7x x + 130) = x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 2x 520 non è il polinomio dividendo (cioè, il polinomio dividendo non è divisibile esattamente per il polinomio divisore), ma basta aggiungervi il resto per ottenere, appunto, il polinomio dividendo. Ovviamente operando questo tipo di divisione tra un polinomio e un binomio del tipo x x 0, dove x 0 è una radice del polinomio dividendo, si otterrà resto nullo e il quoziente sarà il polinomio necessario alla fattorizzazione del polinomio, esattamente lo stesso polinomio, cioè, che si ricava applicando il metodo di Ruffini. Allo stesso modo, applicando il metodo di Ruffini con un polinomio non divisibile esattamente per il binomioa x x A, si otterrà resto non nullo, e precisamente il resto che si ottiene dal metodo della divisione polinomiale, così come i quozienti saranno uguali.

6 TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI 6 La differenza tra i due metodi sta semplicemente nel fatto che il metodo di Ruffini permette solo divisioni per binomi del tipo x x A, mentre la divisione polinomiale consente divisori di qualunque grado (purché di grado inferiore o uguale a quello del polinomio dividendo) e con qualunque scelta di coefficienti.