Polinomi. Corso di accompagnamento in matematica. Lezione 1

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1 Polinomi Corso di accompagnamento in matematica Lezione 1

2 Sommario 1 Insiemi numerici 2 Definizione di polinomio 3 Operazioni tra polinomi 4 Fattorizzazione Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 2 / 14

3 Insiemi numerici R, N, Z, Q Lavoreremo generalmente con i numeri reali, il cui insieme viene indicato con R. Nell insieme dei numeri reali ci sono importanti sottoinsiemi: i numeri naturali, indicati N = {1, 2, 3,...}; i numeri interi relativi, indicati con Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}; i numeri razionali, indicati con Q: un razionale può essere scritto come quoziente m/n tra due interi relativi, con n 0. Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 3 / 14

4 Cos è un polinomio Definizione Un polinomio nella variabile x a coefficienti reali è un espressione algebrica della forma A n (x) = a 0 + a 1 x +...+a n x n, dove a 0, a 1,..., a n sono numeri reali (detti coefficienti del polinomio) e a n 0. I singoli addendi si dicono monomi. Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nulli presenti Proprietà Due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado. Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 4 / 14

5 Somma Somma di polinomi Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due polinomi A n (x)+b m (x) = (a 0 + b 0 )+(a 1 + b 1 )x +...+(a m + b m )x m Esempio (x 2 + 2x 5)+(x 3 x + 2) = (0x 3 + x 2 + 2x 5)+(x 3 + 0x 2 x + 2) = (0+1)x 3 +(1+0)x 2 +(2 1)x +( 5+2) = x 3 + x 2 + x 3 Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 5 / 14

6 Somma Somma di polinomi Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due polinomi A n (x)+b m (x) = (a 0 + b 0 )+(a 1 + b 1 )x +...+(a m + b m )x m Esempio (x 2 + 2x 5)+(x 3 x + 2) = (0x 3 + x 2 + 2x 5)+(x 3 + 0x 2 x + 2) = (0+1)x 3 +(1+0)x 2 +(2 1)x +( 5+2) = x 3 + x 2 + x 3 Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 5 / 14

7 Prodotto Prodotto di polinomi Il polinomio prodotto è della forma A n (x) B m (x) = C n+m (x) = c 0 + c 1 x +...+c n+m x n+m, dove i coefficienti sono dati da: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1, c k = a 0 b k + a 1 b k 1 + a 2 b k a k 1 b 1 + a k b 0. Esempio (x 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x 1)+x(x 1)+(x 1) = x 3 x 2 + x 2 x + x 1 = x 3 1 Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14

8 Prodotto Prodotto di polinomi Il polinomio prodotto è della forma A n (x) B m (x) = C n+m (x) = c 0 + c 1 x +...+c n+m x n+m, dove i coefficienti sono dati da: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1, c k = a 0 b k + a 1 b k 1 + a 2 b k a k 1 b 1 + a k b 0. Esempio (x 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x 1)+x(x 1)+(x 1) = x 3 x 2 + x 2 x + x 1 = x 3 1 Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14

9 Divisione (I) Divisione tra polinomi Dati due polinomi A n (x),b m (x), di grado n e m rispettivamente, con n m, esistono due polinomi Q(x) e R(x) detti quoziente e resto tali che: il grado di R(x) è minore di m; vale la relazione A n (x) = B m (x) Q(x)+R(x). Definizione Se R(x) = 0, allora si dice che A n (x) è divisibile per B m (x). Osservazione Il rapporto tra A n (x) e B m (x) può sempre essere scritto come A n (x) R(x) = Q(x)+ B m (x) B m (x) dove deg R < deg B m Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 7 / 14

10 Divisione (I) Divisione tra polinomi Dati due polinomi A n (x),b m (x), di grado n e m rispettivamente, con n m, esistono due polinomi Q(x) e R(x) detti quoziente e resto tali che: il grado di R(x) è minore di m; vale la relazione A n (x) = B m (x) Q(x)+R(x). Definizione Se R(x) = 0, allora si dice che A n (x) è divisibile per B m (x). Osservazione Il rapporto tra A n (x) e B m (x) può sempre essere scritto come A n (x) R(x) = Q(x)+ B m (x) B m (x) dove deg R < deg B m Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 7 / 14

11 Divisione (II) Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nella divisione secondo le potenze decrescenti Divisione secondo le potenze decrescenti Vogliamo calcolare il quoziente tra A(x) = 2x 4 + x 3 x + 2 e B(x) = x Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 8 / 14

12 Esempio 2x 4 +x 3 +0x 2 x +2 x 2 +3 Q(x) R(x) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 9 / 14

13 Esempio 2x 4 +x 3 +0x 2 x +2 x x 4 +6x 2 2x 2 +x 3 6x 2 x +2 Q(x) R(x) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 10 / 14

14 Example 2x 4 +x 3 +0x 2 x +2 x x 4 +6x 2 2x 2 +x +x 3 6x 2 x +2 +x 3 +3x Q(x) 6x 2 4x +2 R(x) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 11 / 14

15 Example 2x 4 +x 3 +0x 2 x +2 x x 4 +6x 2 2x 2 +x 6 +x 3 6x 2 x +2 +x 3 +3x Q(x) 6x 2 4x +2 6x x +20 R(x) A(x) R(x) = Q(x)+ B(x) B(x) = 2x 2 4x x 6+ x Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 12 / 14

16 Example 2x 4 +x 3 +0x 2 x +2 x x 4 +6x 2 2x 2 +x 6 +x 3 6x 2 x +2 +x 3 +3x Q(x) 6x 2 4x +2 6x x +20 R(x) A(x) R(x) = Q(x)+ B(x) B(x) = 2x 2 4x x 6+ x Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 12 / 14

17 Fattorizzazione Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto. Esempio x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2) Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile; Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo. Metodi utili Raccoglimento a fattor comune x 4 3x 3 + 5x 2 = x 2( x 2 3x + 5 ) Raccoglimento a fattor parziale x 4 + a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 2 b 2 = x 2 (x 2 + a 2 )+b 2 (x 2 + a 2 ) = (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 13 / 14

18 Fattorizzazione Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto. Esempio x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2) Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile; Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo. Metodi utili Raccoglimento a fattor comune x 4 3x 3 + 5x 2 = x 2( x 2 3x + 5 ) Raccoglimento a fattor parziale x 4 + a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 2 b 2 = x 2 (x 2 + a 2 )+b 2 (x 2 + a 2 ) = (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 13 / 14

19 Fattorizzazione Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto. Esempio x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2) Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile; Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado a discriminante negativo. Metodi utili Raccoglimento a fattor comune x 4 3x 3 + 5x 2 = x 2( x 2 3x + 5 ) Raccoglimento a fattor parziale x 4 + a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 2 b 2 = x 2 (x 2 + a 2 )+b 2 (x 2 + a 2 ) = (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ) Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 13 / 14

20 Proprietà utili Teorema (x c) divide A n (x) se e solo se A n (c) = 0. Proposizioni Il binomio x n a n è sempre divisibile per x a; se n è pari è divisibile anche per x + a. Il binomio x n + a n è divisibile per x + a se n dispari; se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x a. Osservazione Per polinomi a coefficienti interi: le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo; le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l unità. Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 14 / 14

21 Proprietà utili Teorema (x c) divide A n (x) se e solo se A n (c) = 0. Proposizioni Il binomio x n a n è sempre divisibile per x a; se n è pari è divisibile anche per x + a. Il binomio x n + a n è divisibile per x + a se n dispari; se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x a. Osservazione Per polinomi a coefficienti interi: le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo; le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l unità. Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 14 / 14

22 Proprietà utili Teorema (x c) divide A n (x) se e solo se A n (c) = 0. Proposizioni Il binomio x n a n è sempre divisibile per x a; se n è pari è divisibile anche per x + a. Il binomio x n + a n è divisibile per x + a se n dispari; se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x a. Osservazione Per polinomi a coefficienti interi: le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa l unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo; le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di grado massimo, compresa l unità. Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 14 / 14