Calcolo algebrico e polinomi 1 / 48

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1 Calcolo algebrico e polinomi 1 / 48

2 2 / 48 Introduzione In questa lezione esporremo i principali concetti relativi al calcolo algebrico elementare e ai polinomi. In particolare, illustreremo: Prodotti notevoli e sommatorie Fattorizzazione di numeri naturali prima, e poi di polinomi Divisione con resto di polinomi Equazioni di secondo grado Dato che però, tradizionalmente, un approccio diretto basato sull algebra astratta crea difficoltà agli studenti, abbiamo deciso di iniziare richiamando alcune proprietà fondamentali relative all aritmetica dei numeri naturali.

3 Introduzione 3 / 48 Infatti, queste proprietà da una parte costituiscono un riferimento concettuale esplicito che può guidare lo studente alla comprensione degli argomenti relativi alla divisione e alla fattorizzazione dei polinomi, dall altra ci consentono di presentare una simbologia di uso corrente non solo nell ambito del calcolo algebrico, ma anche, come vedremo nei corsi successivi, all interno del cosiddetto calcolo combinatorio e, poi, nell ambito delle teorie della probabilità e della statistica.

4 Concetti preliminari 4 / 48 Abbiamo già incontrato l insieme dei numeri naturali N: N={0,1,2,...,n,...}. (1) Lo studio delle proprietà di N a livello elementare si chiama aritmetica, mentre a livello superiore è noto col nome di teoria dei numeri. L abitudine consolidata in ognuno di noi consente al docente di ritenere che nessuno studente abbia difficoltà nel riferirsi ad un proprio schema mentale operativo che gli permetta di ragionare usando i numeri naturali.

5 Concetti preliminari 5 / 48 D altra parte, anche se non ne svilupperemo i relativi dettagli, è opportuno precisare che una definizione matematica formale dell insieme dei numeri naturali N richiederebbe un approccio assiomatico, concettualmente analogo a quello usato da Euclide per sviluppare i fondamenti della geometria euclidea.

6 6 / 48 Fattorizzazione dei numeri naturali Con queste premesse, possiamo iniziare a presentare le prime proprietà di interesse per i nostri obiettivi: Definizione 1: Siano m, n N. Diciamo che m è un divisore di n se esiste k N tale che n=m k. In questo caso si può anche dire che n è un multiplo di m, o che n è divisibile per m. Osservazione: (i) Nessun numero naturale positivo è divisibile per 0. (ii) Ogni numero naturale positivo ha almeno due divisori banali: 1 e se stesso.

7 Numeri primi 7 / 48 Definizione 2: Sia n N, n 2. Diremo che n è primo se non ha altri divisori oltre i due divisori banali (cioè 1 e se stesso). Ad esempio, i numeri, 2, 3, 5, 7, 11, 53 sono numeri primi. Esistono infiniti numeri primi, fatto che era già noto ad Euclide.

8 Numeri primi 8 / 48 La dimostrazione di Euclide è la seguente: supponiamo che i numeri primi siano finiti e denotiamoli con {p 1,p 2,...,p k }. Se adesso consideriamo il numero p=p 1 p 2 p k + 1, è facile verificare che nessuno dei p 1,p 2,...,p k divide p. Ma allora p è un numero primo diverso da p 1,p 2,...,p k, cosa che contraddice l ipotesi che p 1,p 2,...,p k fossero gli unici numeri primi.

9 Fattorizzazione dei numeri naturali 9 / 48 I due teoremi seguenti raccolgono le proprietà fondamentali di cui dovremo esaminare la generalizzazione nel contesto dei polinomi. Teorema fondamentale dell aritmetica: Ogni numero naturale n 2 può essere fattorizzato come prodotto di numeri primi, cioè scritto nella forma: n=p α 1 1 pα pα r r (2) dove p 1,...,p r sono r numeri primi diversi fra loro, mentre gli esponenti α 1,...,α r sono numeri maggiori o uguali a 1. Inoltre, questa decomposizione è unica a meno dell ordine dei fattori.

10 Divisione con resto di due numeri naturali 10 / 48 Teorema della divisione e del resto: Si considerino n, m N, con n m 1. Allora sono univocamente determinati due numeri naturali q e r, che sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione n : m, con le seguenti proprietà: n=q m+r, 0 r<m. (3)

11 Prodotti notevoli 11 / 48 Indicando con a e b due generici numeri reali e con n un naturale 3, valgono le seguenti identità, anche note col nome di prodotti notevoli: (i) a 2 b 2 = (a+b)(a b) (ii) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab+b 2 ) (iii) a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 ab+b 2 ) (iv) a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b+ +ab n 2 + b n 1 ). (4)

12 Prodotti notevoli 12 / 48 Inoltre, per n dispari: a n + b n =(a+b)(a n 1 a n 2 b+a n 3 b 2 ab n 2 + b n 1 ). (5) Lo studente è invitato ad eseguire esplicitamente i calcoli necessari a verificare i prodotti notevoli (4) (5).

13 Simbolo di sommatoria 13 / 48 Ora acquistiamo familiarità con i calcoli coinvolgenti le sommatorie: ricordiamo che, se a 1...a k indicano k numeri reali (non necessariamente distinti fra loro), allora la scrittura: k significa: i=1 a i a 1 + a a k.

14 Simbolo di sommatoria 14 / 48 Esercizio: Calcolare Soluzione: 8 i 2. i=3 8 i 2 = = =199. i=3

15 Esercizio 15 / 48 Esercizio (Somma dei primi n numeri): Dimostrare che, n 1, si ha: n k=1 k= n(n+1) 2. (6)

16 Somma dei primi n numeri Soluzione: possiamo scrivere 2 n k=1 k = = = n k=1 n k=1 n k=1 k+ k+ n k=1 n k=1 = n(n+1). k (n k+1) (k+n k+1)= Questa catena di uguaglianze dimostra che: n k=1 (n+1) 2 n k=1 k=n(n+1). Dividendo per 2 si ha immediatamente la tesi. Ragionamento di Gauss / 48

17 Polinomi 17 / 48 Un polinomio di grado n, a coefficienti in R, è una funzione P :R R definita da una legge del tipo: P(x)=a 0 + a 1 x+ +a n x n (a n 0), (7) dove i coefficienti a 0,...,a n sono dei numeri reali assegnati. Una notazione equivalente, più sintetica, è: P(x)= n j=0 a j x j, a j R, a n 0. (8)

18 Polinomi 18 / 48 Ad esempio è un polinomio di grado 5. P(x)=2x 5 x 4 + π x 2 6x+1 Notiamo anche che i polinomi costanti P(x) a 0 hanno grado zero. Se poi a 0 = 0, allora P(x) si chiama polinomio nullo (P(x) 0) (in questi casi, la simbologia sostituisce = per sottolineare che l uguaglianza vale x). I polinomi con un solo coefficiente non nullo vengono detti monomi.

19 Radici di un polinomio 19 / 48 Definizione: Diremo che x 0 R è una radice di P(x) se è una soluzione dell equazione P(x) = 0, o, in altre parole, se Ad esempio, se P(x 0 )=0. (9) P(x)=2x 5 x 4 + 3x 3 + x 2 6x+1, allora possiamo facilmente verificare che x 0 = 1 è una sua radice. Infatti P(1)= =0.

20 Radici di un polinomio 20 / 48 Esercizio: Sia P(x)=x 4 3x 3 + 2x 2 + x 1. Stabilire se x 0 = 1 e x 1 = 1 sono radici di P(x). Soluzione: Si ha P(1)= =0, per cui effettivamente x 0 = 1 è una radice di P(x). Invece: P( 1)=( 1) 4 3 ( 1) ( 1) 2 +( 1) 1=4 0, per cui x 1 = 1 non è una radice di P(x).

21 Divisione di polinomi e resto 21 / 48 Iniziamo con l enunciato di un teorema che rappresenta, in questo contesto, l analogo del teorema di divisione con resto spiegato per i numeri naturali N. Teorema della divisione e del resto per polinomi: Siano P(x), P (x) due polinomi a coefficienti reali, di grado rispettivamente n, n N, con n n. Allora sono univocamente determinati due polinomi Q(x) e R(x), detti rispettivamente quoziente e resto della divisione P(x) : P (x), con le due seguenti proprietà: { (i) P(x)=P (x) Q(x)+R(x) (ii) R(x) 0 oppure r< n (10), dove r indica il grado di R(x).

22 Divisione di polinomi e resto 22 / 48 Ora illustriamo come si effettua la divisione tra polinomi: procediamo attraverso la descrizione dettagliata di un esempio. La seguente sequenza illustra appunto il cosiddetto algoritmo euclideo per la divisione dei polinomi:

23 Divisione di polinomi e resto 23 / 48 +x 4 3x 3 +2x 2 x 1 x 1 +x 4 x 3 x 3 2x 2 1(= Q(x)) // 2x 3 +2x 2 x 1 2x 3 +2x 2 // // x 1 x +1 (Resto R(x)=) // 2 (11)

24 Divisione di polinomi 24 / 48 In conclusione, mediante l algoritmo di divisione (15) abbiamo ottenuto: P(x)=(x 1)Q(x)+R(x), con Q(x)=x 3 2x 2 1 e R(x) 2.

25 Divisione di polinomi 25 / 48 Vediamo un altro esempio: +x 3 2x 2 +1 x 1 +x 3 x 2 x 2 x 1. // x 2 +1 x 2 +x // x +1 x +1 // // (12) Ricapitolando, +x 3 2x 2 + 1=(x 1)(x 2 x 1). In questo caso R(x) 0. In altre parole, x 0 = 1 è una radice del polinomio +x 3 2x

26 Molteplicità algebrica di una radice 26 / 48 Se x 0 è una radice di P(x), allora esiste un unica fattorizzazione di P(x) del tipo: P(x)=(x x 0 ) k Q(x), (13) dove k N,k 1, mentre Q(x) ha grado (n k) e Q(x 0 ) 0. Il numero naturale k si chiama molteplicità algebrica di x 0 e si indica con la simbologia: µ a (x 0 )=k. (14)

27 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 27 / 48 Nel prossimo importante esercizio studiamo il concetto di molteplicità algebrica di una radice applicando l algoritmo di divisione di polinomi. Esercizio: Sia P(x)=x 4 3x 3 + 2x 2 + x 1. Verificare che x 0 = 1 è una radice di P(x) e determinare µ a (1). Soluzione:

28 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 28 / 48 P(1)= =0, per cui effettivamente x 0 = 1 è una radice di P(x). Dobbiamo ottenere la fattorizzazione P(x)=(x 1) k Q(x), dove k N,k 1, mentre Q(x) ha grado (4 k) e Q(1) 0.

29 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 29 / 48 Il numero naturale k coincide con la molteplicità algebrica di x 0 = 1 e si indica, come già sottolineato, con la simbologia µ a (1)=k. Riassumendo, per prima cosa dobbiamo dividere P(x) per il polinomio di primo grado (x 1). L algoritmo relativo a questa prima divisione è il seguente:

30 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 30 / 48 +x 4 3x 3 +2x 2 +x 1 x 1 +x 4 x 3 x 3 2x 2 + 1(= Q(x)) // 2x 3 +2x 2 +x 1 2x 3 +2x 2 // // +x 1 +x 1 (Resto R(x)=) // // (15)

31 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 31 / 48 Considerazioni di riepilogo: il procedimento per costruire l algoritmo di divisione (15) segue la logica della divisione tra numeri naturali ed è il seguente: si costruisce Q(x) decrescendo dal monomio di grado maggiore (3 nella nostra situazione), individuato come quel monomio (x 3 in questo caso) che, moltiplicato per il divisore (x 1), genera un polinomio il cui monomio di grado maggiore (x 4 in questo esempio) coincide con quello del dividendo P(x).

32 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 32 / 48 Si scrive poi il risultato di questa moltiplicazione sotto P(x) e si effettua la sottrazione, trovando in questo caso: 2x 3 + 2x 2 + x 1. Si continua allo stesso modo, determinando il secondo monomio di Q(x) ( 2x 2 nel nostro esempio): il procedimento termina quando si ottiene resto nullo (come in questo caso) o di grado strettamente inferiore a quello del divisore.

33 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 33 / 48 In conclusione, mediante l algoritmo di divisione (15) abbiamo ottenuto: P(x)=(x 1)Q(x)+R(x), con Q(x)=x 3 2x e R(x) 0. Per comodità riscriviamo esplicitamente questo risultato nel modo seguente: P(x)=(x 1)(x 3 2x 2 + 1). (16) Poiché Q(1) = 0, la fattorizzazione non è ancora terminata e bisogna dividere Q(x) per x 1. Abbiamo:

34 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 34 / 48 +x 3 2x 2 +1 x 1 +x 3 x 2 x 2 x 1. // x 2 +1 x 2 +x // x +1 x +1 // // (17)

35 Esercizio su divisione e molteplicità algebrica 35 / 48 In conclusione, che sostituita in (16) fornisce: Q(x)=(x 1)(x 2 x 1), P(x)=(x 1) 2 (x 2 x 1), (18) che è la fattorizzazione richiesta, in quanto x 0 = 1 non è radice di (x 2 x 1). Quindi la molteplicità algebrica di questa radice vale µ a (1)= 2.

36 Polinomi di secondo grado irriducibili 36 / 48 Definizione: Sia P(x)=ax 2 + bx+c, a 0, un polinomio di secondo grado. Diciamo che P(x) è irriducibile se non ha radici reali. Esempio: il polinomio è irriducibile. P(x)=x 2 + 1

37 Fattorizzazione di polinomi 37 / 48 Possiamo adesso enunciare il seguente importante risultato che generalizza al contesto dei polinomi il teorema di fattorizzazione dei numeri naturali in prodotto di numeri primi. Teorema di fattorizzazione dei polinomi: Ogni polinomio a coefficienti reali, di grado n 1, può essere fattorizzato come prodotto di potenze di polinomi di primo grado e polinomi di secondo grado irriducibili. Inoltre, questa decomposizione è unica a meno dell ordine dei fattori.

38 Fattorizzazione di polinomi 38 / 48 Va sottolineato che una giustificazione rigorosa di questo enunciato costituisce materia avanzata, che non rientra completamente negli obiettivi di questo corso.

39 Fattorizzazione di polinomi 39 / 48 Detto questo, appare naturale la necessità di discutere quando, ed eventualmente come, sia possibile determinare esplicitamente le radici di un dato polinomio. Infatti, come illustrato attraverso l algoritmo di divisione, la determinazione della fattorizzazione direttamente collegata alla capacità di saper determinare le radici del polinomio che si vuole fattorizzare.

40 Polinomi ed equazioni di secondo grado 40 / 48 Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive per determinare, in generale, le radici di polinomi di grado superiore a quattro. Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre e quattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse per questo livello di trattazione. Invece, è possibile ed utile illustrare in dettaglio la situazione per i polinomi di secondo grado: in particolare, ora possiamo derivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

41 Polinomi ed equazioni di secondo grado 41 / 48 Per prima cosa, ricordando l ipotesi a 0, scriviamo: ax 2 + bx+c = a (x 2 + ba ) x + c ( = a x+ 2a) b 2 ) + (c b2 4a (19) = a(x x 0 ) 2 4a, dove abbiamo posto: x 0 = b 2a e =b 2 4ac. (20) si chiama discriminante dell equazione di secondo grado.

42 Polinomi ed equazioni di secondo grado 42 / 48 Facciamo il punto della situazione: grazie alla (19) possiamo dire che l equazione ax 2 + bx+c=0 (21) equivale a: a(x x 0 ) 2 = 4a. (22)

43 Polinomi ed equazioni di secondo grado 43 / 48 Quindi, se <0, ora possiamo subito concludere che non ci sono radici reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile. Invece, se 0, una semplice ispezione di (22) fornisce: ovvero x x 0 =± 4a 2, x=x 0 ± 4a 2. (23)

44 Polinomi ed equazioni di secondo grado 44 / 48 In particolare, usando l espressione esplicita di x 0 data in (20), concludiamo che le due radici sono: x 1 = b, x 2 = b+ 2a 2a (24) (si noti che x 1 = x 2 quando =0).

45 Polinomi ed equazioni di secondo grado 45 / 48 Infine, un calcolo diretto consente di verificare che, quando 0, la fattorizzazione del polinomio di secondo grado è: ax 2 + bx+c=a(x x 1 )(x x 2 ), (25) dove x 1 e x 2 sono appunto le sue due radici (eventualmente coincidenti).

46 Esercizio 46 / 48 Esercizio: Si consideri il seguente polinomio di secondo grado: P(x)=x 2 2x 3. (i) Determinare le eventuali soluzioni reali dell equazione di secondo grado P(x)=0; (ii) Fattorizzare, se possibile, P(x) nel prodotto di polinomi di primo grado.

47 Esercizio 47 / 48 Soluzione: (i) Applicando la formula risolutiva (23) troviamo facilmente: x 1 = 1 e x 2 = 3. (ii) Applicando la fattorizzazione (25) abbiamo subito: P(x)=(x+1) (x 3).

48 48 / 48 Considerazioni conclusive Si consiglia di riflettere bene sul legame esistente tra il segno del discriminante e la rappresentazione grafica di parabole: >0 corrisponde al caso in cui la parabola ha 2 punti di intersezione con l asse x ; =0 corrisponde al caso in cui la parabola ha un unico punto di intersezione con l asse x ; <0 corrisponde al caso in cui la parabola NON ha punti di intersezione con l asse x.