Sistemi lineari 1 / 41
|
|
- Gilberta Bono
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Sistemi lineari 1 / 41
2 Equazioni lineari Una equazione lineare a n incognite, è una equazione del tipo: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, dove a 1,,a n,b sono delle costanti (numeri) reali. I simboli x 1,,x n sono detti incognite dell equazione I numeri reali a 1,,a n sono detti coefficienti b è chiamato termine noto Per semplificare la notazione, useremo spesso il simbolo di sommatoria n i=1 a i x i = b. 2 / 41
3 Definizione Una soluzione di una equazione lineare a n incognite n i=1 a i x i = b è una n-upla ordinata di numeri reali, ossìa un elemento tale che si abbia: n i=1 (x 0 1,,x0 n) R n a i x 0 i = a 1 x a nx 0 n = b. 3 / 41
4 Esempio Consideriamo l equazione in 4 incognite: 2x 1 x 2 + 2x 4 = 0. Si osservi innanzitutto che il coefficiente di x 3 è nullo e perciò tale incognita non appare nell equazione ed inoltre il termine noto è anch esso nullo. La quaterna di numeri reali (0,0,0,0) è una soluzione, infatti si ha: = = 0, Allo stesso modo si verifica che le quaterne sono entrambe soluzioni. (1,2,0,0) e ( 2,0,5, 2) 4 / 41
5 Esempio L equazione a 5 incognite 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0, ammette come soluzione qualunque 5-upla di numeri reali. 5 / 41
6 Esempio L equazione ad un incognita (che denotiamo con x) 5x = 3 ammette come unica soluzione il numero reale 3 5. Infatti si verifica sostituendo che 3 5 è una soluzione. Inoltre, se x 0 è una soluzione di tale equazione allora si ha 5x 0 = 3 e, dividendo entrambi i membri per 5, si ottiene x 0 = / 41
7 Definizione Una equazione lineare a n incognite è detta omogenea se il suo termine noto è nullo: n i=1 a i x i = 0 La n-upla in cui ogni elemento è zero, è una soluzione dell equazione omogenea: a a n 0 = 0 La n-upla verrà chiamata soluzione nulla. (0,...,0) 7 / 41
8 Data un equazione lineare a n incognite n i=1 a i x i = b ci interessa determinare e descrivere l insieme formato da tutte le soluzioni di tale equazione: S = {(x 1,...,x n ) R n : n i=1 a i x i = b} R n Tale insieme è per definizione un sottoinsieme di R n 8 / 41
9 Equazione lineare ad una incognita In questo caso denoteremo con x l incognita, a il coefficiente di x e b il termine noto. L equazione diventa: ax = b Nella ricerca delle soluzioni si presentano vari casi a seconda dei valori assunti dal coefficiente e dal termine noto. 9 / 41
10 Caso a 0 Una soluzione dell equazione è un numero x 0 R tale che ax 0 = b Dividendo entrambi i membri dell equazione per a (dato che a 0) si ha ax 0 a = b a x 0 = b a segue che x 0 = b a è l unica soluzione da cui { } b S = a 10 / 41
11 Caso a = 0 Se a è nullo, l equazione diventa e quindi abbiamo due possibilità. 0x = b b 0 L equazione non ha soluzioni poichè se x 0 R fosse una soluzione, allora 0 = 0x 0 = b 0 In questo caso si ha S = /0 b = 0 L equazione ha infinite soluzioni, infatti per ogni x 0 R si ha 0x 0 = 0 Si trova quindi S = R 11 / 41
12 Ricapitolando L equazione presenta: ax = b, a,b R un unica soluzione se a 0 nessuna soluzione se a = 0 e b 0 infinite soluzioni se a = 0 e b = 0 12 / 41
13 Equazione lineare a due incognite Indicheremo con x e y le due incognite, con a e b i rispettivi coefficienti e con c il termine noto cosicché l equazione diventa: ax + by = c. Come per l equazione ad una incognita distingueremo due casi: (a,b) = (0,0) (a,b) (0,0) 13 / 41
14 (a,b) = (0,0) Se entrambi i coefficienti sono nulli avremo e quindi i due sotto casi: 0x + 0y = c c 0 non esistono soluzioni. Infatti se (x 0,y 0 ) R 2 fosse una soluzione si avrebbe 0 = 0x 0 + 0y 0 = c 0 c = 0 l insieme delle soluzioni è S = R 2. Infatti per ogni copia (x 0,y 0 ) R 2 si ha 0 = 0x 0 + 0y 0 = 0 14 / 41
15 (a,b) (0,0) Se (a, b) (0, 0) almeno uno dei coefficienti è non nullo, supponiamo che sia a. ax + by = c Sia (x 0,y 0 ) R 2 una soluzione, cioè ax 0 + by 0 = c Dividendo ambo i membri per a si ottiene x 0 + b a y0 = c a x 0 = b a y0 + c a Quindi una qualunque soluzione (x 0,y 0 ) R 2 ha la forma ( ba y0 + ca, y0 ) 15 / 41
16 Viceversa, y 0 R ogni coppia della forma ( ba y0 + ca, y0 ) è soluzione dell equazione. Infatti ( a b a y0 + c ) + by 0 = by 0 + c + by 0 = c a L insieme delle soluzioni è: S = {( ba t + ca ) },t R 2 : t R. Diremo che le soluzioni sono infinito a uno, ossìa che dipendono da un parametro (in questo caso abbiamo usato t come parametro). 16 / 41
17 Ricapitolando L equazione presenta: ax + by = c, a,b,c R infinite a uno soluzioni se (a,b) (0,0) nessuna soluzione se (a,b) = (0,0) e c 0 infinite a due soluzioni se (a,b) = (0,0) e c = 0 17 / 41
18 Equazioni lineari: caso generale Il caso dell equazione ad n incognite n i=1 a i x i = b è una semplice generalizzazione di quanto fatto per due incognite e quindi si avrà: 18 / 41
19 Equazioni lineari: caso generale n i=1 a i x i = b Se i coefficienti a i sono tutti nulli, e il termine noto b è nullo, avremo S = R n In questo caso l equazione rappresenta una identità. Se i coefficienti a i sono tutti nulli, e il termine noto b è non nullo, avremo S = /0 In questo caso l equazione non ammette soluzioni è si dice incompatibile. 19 / 41
20 Equazioni lineari: caso generale n i=1 a i x i = b Se almeno uno dei coefficienti a i è diverso da zero sarà possibile descrivere l insieme delle soluzioni utilizzando n 1 parametri (uno in meno del numero delle incognite). Ad esempio, se a 1 0, si trova n i=1 a ix i a 1 = b a 1 x a 1 n i=2a i x i = b a 1 x 1 = 1 a 1 n i=2a i x i + b a 1 quindi x 2,,x n possono assumere qualunque valore reale mentre x 1 deve avere la forma suddetta. L insieme S risulta: {( } S = ) 1 n a 1 a i t i + b, t 2,,t n R n : t 2,,t n R i=2 a / 41
21 Esempio Consideriamo l equazione a 4 incognite 3x 1 + x 3 x 4 = 5 Poiché il coefficiente di x 3 è diverso da zero, possiamo isolare x 3 e portare i restanti termini al secondo membro e ottenere x 3 = 5 3x 1 + x 4 e quindi l insieme delle soluzioni sarà S = { (t 1, t 2, 5 3t 1 + t 4, t 4 ) R 4 : t 1,t 2,t 4 R }. In quoto caso si ottengono 3 soluzioni. 21 / 41
22 Esempio Consideriamo la stessa equazione 3x 1 + x 3 x 4 = 5 ma isoliamo x 4. Si ottiene x 4 = 3x 1 + x 3 5 e quindi l insieme delle soluzioni sarà S = { (t 1, t 2, t 3, 3t 1 + t 3 5) R 4 : t 1,t 2,t 3 R }. 22 / 41
23 Sistemi lineari Definition Un sistema lineare a n incognite e m equazioni è un insieme di m equazioni lineari ad n incognite. Esempio 2 equazioni m = 2 3 incognite n = 3 { 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + 2x 3 = 1 Il generico sistema 2 3 si scrive come { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 23 / 41
24 In generale dunque, se abbiamo n incognite ed m equazioni e indichiamo con a ij i coefficienti e b i i termini noti, per descrivere il sistema scriveremo: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1.. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m 24 / 41
25 Che scriveremo anche nella forma concisa n j=1 a ij x j = b i, i = 1,,m. Definizione Una soluzione del sistema è una n-upla di numeri reali che sia soluzione di ogni equazione del sistema. Se S i indica l insieme delle soluzioni della i-esima equazione del sistema, l insieme delle soluzioni del sistema sarà S = S 1 S 2 S m = m i=1 S i Definizione Un sistema si dice compatibile se ammette soluzioni, altrimenti si dice incompatibile. 25 / 41
26 Esempio Considerimao il sistema a tre incognite e due equazioni { x 2y + z = 0 πx + 5y (ln5)z = 0 Il sistema è compatibile poiché entrambe le equazioni ammettono la soluzione nulla (0, 0, 0). 26 / 41
27 Esempio Consideriamo il sistema a due incognite e due equazioni { x y = 0 x y = 1 Il sistema non è compatibile. Infatti se (a, b) fosse una soluzione, si dovrebbe avere a = b, dalla prima equazione 0 = a b = 1, dalla seconda equazione 27 / 41
28 Sistemi omogenei Definizione Un sistema è detto omogeneo se tutte le sue equazioni sono omogenee. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0.. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = 0.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Poiché una equazione omogenea ammette sempre la soluzione nulla, un sistema omogeneo è sempre compatibile. 28 / 41
29 Sistemi lineari equivalenti Due sistemi sono detti equivalenti se ammettono le stes- Definizione se soluzioni. Due sistemi equivalenti devono avere lo stesso numero di incognite! Se si scambiano due righe di un sistema si ottiene un sistema equivalente Esempio 2x 1 3x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 + 4x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 1 3x 3 = 1 x 2 + 4x 3 = 1 Se si moltiplicano entrambi i membri di una equazione per un numero non nullo, si ottiene un sistema equivalente. 29 / 41
30 Combinazioni lineari Dato un sistema lineare m n n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m Siano λ 1,,λ m R. L equazione: ( n ) ( n ) 1j x j mj x j j=1a j=1a λ λ m = λ 1 b λ m b m è detta combinazione lineare di coefficienti λ 1,,λ m 30 / 41
31 Gauss Jordan Teorema (Gauss Jordan) Se all equazione di un sistema si somma una combinazione lineare delle altre equazioni, si ottiene un sistema equivalente. 31 / 41
32 Notazioni Dato un sistema lineare m n n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m x = (x 1,,x n ) x 0 = (x1 0,,x0 n) P i (x) = n j=1 a ij x j, P i (x) è un polinomio omogeneo di grado 1 La i-esima equazione del sistema diventa P i (x) = b i 32 / 41
33 Dato un numero reale λ e un polinomio omogeneo P(x) = a 1 x a n x n indicheremo con il polinomio (λp)(x) (λa 1 )x (λa n )x n Dati due polinomi omogenei P(x) = a 1 x a n x n e Q(x) = b 1 x b n x n indicheremo con (P + Q)(x) il polinomio somma (P + Q)(x) = (a 1 + b 1 )x (a n + b n )x n 33 / 41
34 Dimostrazione del Teorema di Gauss Jordan P 1 (x) = b 1.. (S1) P i (x) = b i.. P m (x) = b m (S2) P 1 (x) + λ 2 P 2 (x) + + λ m P m (x) = b 1 + λ 2 b λ m b m.. P i (x) = b i.. P m (x) = b m Siano S 1 e S 2 gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi (S1) e (S2) Vogliamo dimostrare che S 1 = S 2 ovvero che si ha S 1 S 2 e S 2 S 1 34 / 41
35 Sia x 0 S 1 P i (x 0 ) = b i, i = 1,2,,m x 0 è soluzione di tutte le equazioni del sistema (S2), tranne eventualmente della prima. Verifichiamo che x 0 è soluzione della prima equazione, cioè P 1 (x 0 ) + λ 2 P 2 (x 0 ) + + λ m P m (x 0 ) = b 1 + λ 2 b λ m b m da P i (x 0 ) = b i, i = 1,2,,m, si ottiene x 0 S 2 0 = 0 35 / 41
36 Viceversa. Sia x 0 S 2 P i (x 0 ) = b i, i = 2,,m e P 1 (x 0 ) + λ 2 P 2 (x 0 ) + + λ m P m (x 0 ) = b 1 + λ 2 b λ m b m P 1 (x 0 ) + λ 2 b λ m b m = b 1 + λ 2 b λ m b m P 1 (x 0 ) = b 1 Q.E.D. 36 / 41
37 Esempio I > I + II II > II + III x 2y + z = 0 I x + 2y 5z = 0 II x y = 0 III 4z = 0 x + 2y 5z = 0 x y = 0 4z = 0 y 5z = 0 x y = 0 Dividendo la prima equazione per 4 e riordinando x y = 0 x y = 0 y 5z = 0 (II > II +5III) y = 0 z = 0 z = 0 x = 0 y = 0 z = 0 37 / 41
38 Esempio Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare di a R: I > I III ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 1 + 2ax 2 + ax 3 = 3a x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 II > II aiii ax 2 = a + 1 x 2 + x 3 = 2 III > III II ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 3 = a 1 II > II I Supponiamo a 0 ax 1 = 1 2ax 2 + ax 3 = 3a + 1 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 2 + ax 3 = 2a 38 / 41
39 Esempio Se a 0 ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 3 = a 1 x 1 = 1/a Se a 0 un unica soluzione x 2 = 1 + 1/a x 3 = 1 1/a Se a = 0? ax 1 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 0 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 il sistema è incopatibile 39 / 41
40 Esempio Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare di h R: x 1 x 2 x 3 = 0 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 4x 1 + h x 3 = 0 II > II 3I III > III II x 1 x 2 x 3 = x 2 + 5x 3 = 0 III > III 4I 4x 1 + h x 3 = 0 x 1 x 2 x 3 = x 2 + 5x 3 = (h 1) x 3 = 0 Se h 1 l unica soluzione è quella nulla (0,0,0) Se h = 1? x 1 x 2 x 3 = x 2 + 5x 3 = x 2 + (h + 4) x 3 = 0 40 / 41
41 Esempio { x 1 x 2 x 3 = 0 4x 2 + 5x 3 = 0 I > I + (1/4)II { x 1 + (1/4)x 3 = 0 4x 2 + 5x 3 = 0 { x 1 = (1/4)x 3 x 2 = (5/4)x 3 S = {( 1 4 t, 5 4 t, t) R3 : t R} 41 / 41
LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari Siano X 1,, X n indeterminate Un equazione lineare (o di primo grado) nelle incognite X 1,, X n a coefficienti nel campo K è della forma a 1 X 1 + + a n X n = b, a i, b K,
DettagliLEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
DettagliNote per il corso di Geometria Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura. 4 Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan
Note per il corso di Geometria 2006-07 Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan.1 Operazioni elementari Abbiamo visto che un sistema di m equazioni
DettagliIstituzioni di Matematiche prima parte
Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 33 index Generalità sugli insiemi 1 Generalità
DettagliSistemi lineari. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 +..
Sistemi lineari: definizioni Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto termine
DettagliNote per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta. Metodi per il calcolo del rango di una matrice
Note per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta Versione del 21/12/07 Metodi per il calcolo del rango di una matrice Sia A M m,n (K). Denotiamo con A (i) la riga i-ma di A, i {1,..., m}.
DettagliElementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari
Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito
DettagliIstituzioni di Matematiche prima parte
Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2014/2015 Univ. Studi di Milano E.Frigerio, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 30 index Generalità sugli insiemi 1 Generalità
DettagliSistemi lineari. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 +..
Sistemi lineari: definizioni Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto termine
DettagliNote sull algoritmo di Gauss
Note sull algoritmo di Gauss 29 settembre 2009 Generalità Un sistema lineare di m equazioni in n incognite x,..., x n è un espressione del tipo: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n
DettagliLezione del dove a 1, a n e b sono numeri reali assegnati, detti coefficienti e termine noto dell equazione;
Le lezioni del 60 e 010 si riferiscono al Capitolo 1 Introduzione ai sistemi lineari Di seguito si elencano gli argomenti svolti, descrivendoli sinteticamente dando i riferimenti a tale capitolo, oppure
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliEquivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se
Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme
DettagliLEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g
LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere
DettagliSistemi Lineari. Elisabetta Colombo. Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 200-20 2 a di o.0 4 Capelli Rango o Caratterisca : definizioni a di o.0 Un equazione nelle n incognite x,..., x n della forma dove
Dettagli1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano
1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione
DettagliSistemi lineari 1 / 12
Sistemi lineari 1 / 12 Sistemi lineari 2 / 12 Ricordiamo che cosa è un sistema lineare con m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n = b 2, (1).. a m1 x
DettagliIstituzioni di Matematiche sesta parte
Istituzioni di Matematiche sesta parte anno acc. 2013/2014 Univ. Studi di Milano D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 27 index Matrici e operazioni tra matrici 1 Matrici
Dettagli1. Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1,... x n aventi tutte termine noto nullo A =...
Algebra/ Algebra Lineare, 230207 1 Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1, x n aventi tutte termine noto nullo a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = 0, i = 1,, m si dice omogeneo; ponendo x
DettagliCapitolo VI SISTEMI LINEARI
Capitolo VI SISTEMI LINEARI 1 Concetti fondamentali 11 Definizione Un equazione in n incognite x 1,, x n a coefficienti in R si dice lineare se è della forma: a 1 x 1 + + a n x n = b con a i R e b R Una
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti
Dettagli21. (cenni di) Geometria analitica del piano.
. (cenni di) Geometria analitica del piano... Definizione. Sia π un piano e sia O un suo punto. Siano i e j due versori ortogonali tra loro e paralleli al piano π. Diremo che la terna ordinata (O, i, j)
DettagliPer equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b,
Matematica II 161110 1 Equazioni lineari in una incognita Per equazione lineare nell incognita x intendo un equazione del tipo ax = b dove a b sono due costanti reali a e il coefficiente e b e il termine
DettagliAppunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1
Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
MATRICI E SISTEMI LINEARI - PARTE I - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 27 Febbraio 2006 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/2006 1 / 1 Definizione
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliIntroduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari
Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliEsercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre
Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre SETTIMANA 4 (19 25 Ottobre) Matrici elementari Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang. Esercizio
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
Dettagli3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
Dettaglia i x i = b. (1.2) a i x 0 i = b.
Capitolo 1 Sistemi lineari 11 Equazioni lineari Una equazione lineare a n incognite, è una equazione del tipo seguente: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, (11) dove a 1,, a n, b sono numeri reali I simboli
DettagliIntroduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II
Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II Lucrezia Fanti Istituto Nazionale per l Analisi delle Politiche Pubbliche (INAPP) lucrezia.fanti@uniroma1.it Lucrezia Fanti Intro Matematica
Dettagli1. Sistemi di equazioni lineari. 1.1 Considerazioni preliminari
1. Sistemi di equazioni lineari 1.1 Considerazioni preliminari I sistemi lineari sono sistemi di equazioni di primo grado in più incognite. Molti problemi di matematica e fisica portano alla soluzione
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE III
DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Dicembre 200 Indice PREMESSA 2 GENERALITA 2 RAPPRESENTAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE IN FORMA MATRI- CIALE 2 3 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
DettagliOperazioni tra matrici e n-uple
CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,
DettagliDefinizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF3 / PS-MF3 II Lezione EQUAZIONI E SISTEMI Dr. E. Modica erasmo@galois.it www.galois.it IDENTITÀ ED EQUAZIONI Si consideri un uguaglianza
DettagliSistemi Lineari. Andrea Galasso
Sistemi Lineari Andrea Galasso Esercizi svolti Teorema. (Rouché-Capelli. Un sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice
DettagliPer capire meglio il concetto di combinazione lineare prendiamo in considerazione alcuni esempi.
Lezione 14 14.1 Combinazioni lineari Definizione 14.1. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K = R, C esiano v 1,...,v n 2 V vettori fissati. Un vettore v 2 V si dice combinazione lineare di v 1,...,v
DettagliEsercizi di Geometria Spazi vettoriali e sottospazi - indipendenza lineare
Esercizi di Geometria Spazi vettoriali e sottospazi - indipendenza lineare 1. Quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi di R 3? Motivare la risposta. (a) {(x, y, 1) x, y R} (b) {(0, y, 0) y R} (c)
DettagliI sistemi lineari di n equazioni in n incognite
I sistemi lineari I sistemi lineari di n equazioni in n incognite I sistemi lineari di n equazioni in n incognite, sono formati da equazioni di primo grado, in cui le incognite hanno tutte esponente uguale
DettagliPagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI
Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore
DettagliAPPLICAZIONI. Im f = {b B a A tale che f (a) = b}.
APPLICAZIONI Diremo applicazione (o funzione) da un insieme A ad un insieme B una legge f che associa ad ogni elemento a A uno ed un solo elemento b B. Scriviamo f : A B e il corrispondente o immagine
DettagliMATRICI E OPERAZIONI
MATRICI E SISTEMI MATRICI E OPERAZIONI Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutatività del prodotto, legge di annullamento del prodotto Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni
DettagliPreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z
PreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z DOCENTE: M. Auteri Outline Docente: Auteri PreCorso di Matematica 2016 2 Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliUn sistema di equazioni lineari ( o brevemente un sistema lineare) di m equazioni in n incognite, si presenta nella forma:
SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni lineari ( o brevemente un sistema lineare) di m equazioni in n incognite, si presenta nella forma: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliCORSO DI ALGEBRA LINEARE Anno Accademico 2004/2005 Appunti su SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
CORSO DI ALGEBRA LINEARE Anno Accademico 2004/2005 Appunti su SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI Lo studente ha forse già incontrato i sistemi di equazioni lineari alla scuola secondaria Con il termine equazione
DettagliLezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli
Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto
DettagliEquazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.
DettagliSistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA DISEQUAZIONI E SISTEMI Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Definizione: Si definisce
DettagliAPPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof. F.Podestà, a.a
APPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof FPodestà, aa 003-004 Sia V uno spazio vettoriale e sia f : V V una applicazione lineare una tale applicazione da uno spazio vettoriale in se stesso è chiamata
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliLEZIONE 5. AX = 0 m,1.
LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,
DettagliSISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Date le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 quanti punti hanno in comune? Per rispondere devo risolvere il sistema ax + by + c = 0 ቊ a x + b y + c = 0 e
DettagliGEOMETRIA 1 seconda parte
GEOMETRIA 1 seconda parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica - 2014/2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica - 2014/2015) GEOMETRIA 1 1 / 40 index Spazi vettoriali 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi
Dettagli19 Marzo Equazioni differenziali.
19 Marzo 2019 Equazioni differenziali. Definizione 1. Si chiama equazione differenziale una relazione che coinvolge una o più derivate di una funzione incognita y(x), la funzione stessa, funzioni di x
DettagliA =, c d. d = ad cb. c d A =
Geometria e Algebra (II), 271112 1 Definizione D ora innanzi, al posto di dire matrice quadrata di tipo n n o matrice quadrata n n diremo matrice quadrata di ordine n o in breve matrice di ordine n Il
DettagliLE EQUAZIONI LINEARI LE IDENTITA ( )( ) 5. a Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a
LE EQUAZIONI LINEARI 1 LE IDENTITA a b = ( a + b)( a b) () 1 a = a + a ( ) ( a + b) = a + ab + b () 3 Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Uguaglianza (1) a b = ( a+ b)( a b) È sempre vera qualunque
Dettagliil determinante che si ottiene da A, sopprimendo la i - esima riga e la j - esima colonna. Si definisce complemento algebrico dell'elemento a ij
Determinanti Sia data la matrice quadrata a... a n a a n =...... a... a n nn Chiamiamo determinante di il numero det o che ad essa viene associato. det = a a... a... a... a n n n... a nn Un generico elemento
DettagliSistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14
Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari 2 / 14 Studieremo sistemi lineari costituiti da m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): cioè a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due
Dettagli1 Fattorizzazione di polinomi
1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente
DettagliLezione Sistemi di equazioni lineari
Lezione. Sistemi di equazioni lineari Definizione. (Sistemi di equazioni lineari e loro soluzioni). Un equazione lineare nelle n incognite x,,...,x n acoefficientiink = R, èun equazionedellaforma a x +
Dettagli25 - Funzioni di più Variabili Introduzione
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Statistica per l Analisi dei Dati Appunti del corso di Matematica 25 - Funzioni di più Variabili Introduzione Anno Accademico 2013/2014 M. Tumminello
DettagliSommario lezioni di geometria
Sommario lezioni di geometria C. Franchetti November 12, 2006 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 ) indica
DettagliALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,
ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore
DettagliParte 4. Spazi vettoriali
Parte 4. Spazi vettoriali A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Spazi vettoriali, 2 Prime proprietà, 3 3 Dipendenza e indipendenza lineare, 4 4 Generatori, 6 5 Basi, 8 6 Sottospazi,
DettagliCorso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari
Corso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 30
DettagliDefinizione 1 Un insieme (V, +, ) dotato delle due operazioni: - + somma di elementi v 1 V, v 2 V ;
Spazi vettoriali Definizione Un insieme (V, +, ) dotato delle due operazioni: - + somma di elementi v V, v V ; - prodotto per uno scalare λ K, (K campo); e chiuso rispetto ad esse, è uno spazio vettoriale
DettagliIstituzioni di Matematica I. Esercizi su sistemi lineari. & % x + y " #z = "1 & '#x " y+ z =1
Istituzioni di Matematica I Esercizi su sistemi lineari Esempio. Dire per quali valori di λ R il sistema x " y+ z = 2 % x + y " z = " x " y+ z = ha una sola soluzione, per quali nessuna, per quali infinite
DettagliSISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS
SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti
DettagliVETTORI E MATRICI. Ing. Nicola Cappuccio 2014 U.F.5 ELEMENTI SCIENTIFICI ED ELETTRONICI APPLICATI AI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato
DettagliEsercitazione 6 - Soluzione
Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione
DettagliNote sui Sistemi Lineari per gli studenti del corso di Matematica Generale (II canale) Roberto Monte
Note sui Sistemi Lineari per gli studenti del corso di Matematica Generale (II canale) Roberto Monte January 2, 2003 Abstract These notes are still a work in progress and are intended to be for internal
Dettagli1 1, { x1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 1 x 1 x 4 = = 0
a.a. 5-6 Esercizi. Sistemi lineari. Soluzioni.. Determinare quali delle quaterne, 3,, sono soluzioni del sistema di tre equazioni in 4 incognite { x x + x 3 = x 8x 3 = x x 4 =. Sol. Sostituendo ad x, x,
DettagliLEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m
LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari
MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2
DettagliMatematica per Analisi dei Dati,
Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come
Dettagli12 - Sistemi di Equazioni Lineari
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento SEAS Appunti del corso di Matematica - Sistemi di Equazioni Lineari Anno Accademico 5/6 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A.
DettagliLezione 9: Le matrici
Lezione 9: Le matrici Ancora un po di sistemi in generale: le notazioni Nella lezione precedente abbiamo visto vari esempi di sistemi lineari in cui si verificavano i seguenti casi: una sola soluzione,
DettagliIdentità ed equazioni
Matematica e-learning - Identità ed equazioni Prof. erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Generalità sulle equazioni Si consideri un uguaglianza tra due espressioni algebriche A = B Se si sostituiscono al
Dettagli