Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre

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1 Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre SETTIMANA 4 (19 25 Ottobre) Matrici elementari Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang. Esercizio 1. Sia A = e sia E ij Mat 4 4 la matrice elementare avente entrata ij uguale a 1 e tutte le altre entrate uguali a zero. 1. Trovare E 12 A; 2. Trovare E 21 A; 3. Trovare E 32 A; 4. Trovare E 23 A; 5. Trovare E 43 A; 6. Trovare E 34 A. Soluzione 1. Scrivendo A = i,j a ije ij si ha E kl A = E kl ( i,j a ije ij ) = j a lje kj. Per cui la l esima riga di A viene spostata nella k esima riga e tutte le altre righe sono nulle: in formule { Al se i = k (E kl A) i = 0 atrimenti. Ad esempio: E 12 A =

2 Esercizio 2. Sia A la matrice dell esercizio 1. Per ognuna delle seguenti matrici R di operazione elementare sulle righe, trovare RA: Soluzione 2. riga; R = R 12 = R = R 23 = R = R 42 (5) = R = R 32 ( 2) = ; ; ;. 1. La matrice R 12 A é ottenuta da A scambiando la prima e la seconda 2. La matrice R 23 A é ottenuta da A scambiando la seconda e la terza riga; 3. La matrice R 42 (5)A é ottenuta da A aggiungendo 5 volte la seconda riga alla quarta riga; 4. La matrice R 32 ( 2)A é ottenuta da A aggiungendo (-2) volte la seconda riga alla terza riga. Esercizio 3. Sia A la matrice dell esercizio 1. Per ognuna delle seguenti matrici R di operazione elementare sulle righe, trovare RA: R = R 11 (3) = R = R 13 (3) = ; ; 2

3 3. 4. Soluzione 3. tre; R = R 21 ( 2) = R = R 32 ( 1) = ;. 1. La matrice R 11 (3)A é ottenuta da A moltiplicando la prima riga per 2. La matrice R 13 (3)A é ottenuta da A aggiungendo 3 volte la terza riga alla prima riga; 3. La matrice R 21 ( 2)A é ottenuta da A sottraendo il doppio della prima riga alla seconda riga; 4. La matrice R 32 ( 1)A é ottenuta da A sottraendo la seconda riga alla terza riga. Esercizio 4. Sia A una matrice m n: a 11 a 1n A =... a m1 a mn 1. Descrivere la matrice E ij A; 2. Descrivere la matrice (E ij + E ji )A per i j; 3. Sia R ij la matrice ottenuta dall identitá 1 m scambiando la riga i esima con la riga j esima (i j). Descrivere R ij A. Soluzione La matrice E ij A é ottenuta da A rendendo nulle tutte le righe a parte la i esima che é uguale a A j ; 2. La matrice (E ij + E ji )A é ottenuta da A scambiando la i esima e la j esima riga e rendendo nulle tutte le altre righe; 3. La matrice R ij A é ottenuta da A scambiando la i esima e la j esima riga. Esercizio 5. Sia A = i,j a ije ij una matrice m n. 1. Sia R ij (3) := 1 m + 3E ij per qualche i j. Descrivere R ij (3)A; 2. Sia c un numero e i j. Descrivere R ij (c)a. 3

4 Soluzione La matrice R ij (3)A é ottenuta da A sommando tre volte la j esima riga alla i esima riga: in formule { Ai + 3A (R ij (3)A) k = j se k = i altrimenti. 2. La matrice R ij (c)a é ottenuta da A sommando c volte la j esima riga alla i esima riga: in formule { Ai + ca (R ij (c)a) k = j se k = i altrimenti. Sistemi di equazioni lineari Esercizio 6. Siano E 1, E 2,, E n i vettori unitari standard di R n e sia X R n una n pla. Se X E i = 0 per ogni i = 1, 2,, n, mostrare che X = 0. Soluzione 6. Il vettore X = (x 1,, x n ) si scrive come X = x 1 E 1 + x 2 E 2 + x n E n. Poiché E i E j = δ ij, si ottiene per ogni i = 1, 2,, n: n n 0 = E i X = x j E i E j = x j δ ij = x i. Per cui X = 0. j=1 Esercizio 7. Siano A 1, A 2,, A m vettori di R n, per un qualche intero positivo m. Siano X e Y soluzioni dei sistemi di equazioni lineari A k A k j=1 A i X = 0 A i Y = 0 for i = 1, 2, m. Mostrare che il vettore X + Y é ancora una soluzione. Se c é un numero, mostrare che cx é anch esso soluzione. Soluzione 7. Sia A Mat m n la matrice che ha per righe i vettori ordinati A 1, A 2,, A m. Se X e Y sosoddisfano AX = 0 e AY = 0, allora, usando la linearitá del prodotto righe per colonne, otteniamo A(X + Y ) = AX + AY = 0 A(cX) = c(ax) = c0 = 0. Esercizio 8. Nell esercizio 7, supponiamo che X sia perpendicolare ad ognuno dei vettori A 1,, A m. Siano c 1,, c m dei numeri. Un vettore c 1 A 1 + c 2 A c m A m si dice una combinazione lineare di A 1,, A m. Mostrare che X é perpendicolare a tale vettore. Soluzione 8. Sia C = (c 1,, c m ) Mat 1 m il vettore riga corrispondente. Allora la combinazione lineare che stiamo considerndo si puó scrivere come un prodotto matriciale: CA = c 1 A 1 + c 2 A c m A m. Usando l associativitá del prodotto righe per colonne otteniamo: (c 1 A 1 + c 2 A c m A m ) X = (CA)X = C(AX) = C0 = 0. 4

5 Esercizio 9. Consideriamo un sistema non omogeneo di m equazioni lineari in n incognite x 1,, x n (per qualche m ed n): a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1... a m1 x 1 + +a mn x n = b m Se X ed X ( R n ) sono due soluzioni di questo sistema, mostrare che esiste una soluzione Y del sistema omogeneo a 11 x 1 + +a 1n x n = 0... a m1 x 1 + +a mn x n = 0 tale che X = X + Y. Viceversa, se X é una soluzione del sistema non omogeneo, e Y una soluzione del sistema omogeneo, mostrare che X + Y é soluzione del sistema non omogeneo. Soluzione 9. Tutte le solouzioni di un sistema non omogeneo AX = b sono della forma X 0 + Y dove X 0 é una soluzione del sistema non omogeneo (per cui AX 0 = b) e Y é una soluzione del sistema omogeneo (per cui AY = 0). Per dimostrare questo fatto, facciamo vedere la doppia inclusione. Siano X e X due soluzioni del sistema non omogeneo; allora X X é soluzione del sistema omogeneo: infatti, usando la linearitá del prodotto righe per colonne si ha A(X X ) = AX AX = b b = 0. Per cui se X 0 é soluzione del sistema non omogeneo, ogni altra soluzione di tale sistema é della forma X 0 + Y per una qualche soluzione Y del sistema omogeneo. Viceversa, se X 0 é soluzione del sistema non omogeneo e Y é soluzione del sistema omogeneo, allora X 0 + Y é soluzione del sistema non omogeneo: infatti: A(X 0 + Y ) = AX 0 + AY = b + 0 = b. Esercizio 10. Trovare almeno una soluzione non triviale per ognuno dei seguenti sistemi di equazioni. 1. 3x + y + z = 0 2. { 3x + y + z = 0 x + y + z = 0 3. { 2x 3y + 4z = 0 3x + y + z = x + y + 4z + w = 0 3x + 2y 3z + w = 0 x + y + z = 0 5

6 5. { x + 2y 4z + w = 0 x + 3y + z w = x + 3y + z + 4w = 0 x + y + 2z + 3w = 0 2x + y + z 2w = 0 Soluzione 10. Ci sono diverse possibilitá, per cui non diamo una soluzione. La strategia é comunque la seguente: ridurre a scala la matrice dei coefficienti, e trovare la soluzione per sostituzioni successive all indietro. Esercizio 11. Dimostrare che i seguenti sistemi ammettono l unica soluzione triviale 1. { 2x + 3y = 0 x y = 0 2. { 4x + 5y = 0 6x + 7y = x + 4y 2z = 0 x + y + z = 0 x 3y + 5z = x 7y + 3z = 0 x + y = 0 y 6z = x 2y + 5z + w = 0 x y + z = 0 y 2z + w = 0 x + z + w = x + y + z = 0 x y + z 2w = 0 x z + w = 0 x + y 3w = 0 Soluzione 11. Ridurre a scala le matrici dei coefficienti, e dedurre la tesi. 6

7 Operazioni elementari di riga ed eliminazione di Gauss Esercizio 12. Mediante operazioni elementari sulle righe, ridurre a scala ognuna delle seguenti matrici: Soluzione 12. Ci sono diverse possibilitá. Ne diamo una a titolo esemplificativo, ma altre soluzioni sono comunque corrette:

8 Esercizio 13. Scrivere la matrice dei coefficienti di ognuno dei sistemi di equazioni dell esercizio 10; ridurla a scala mediante operazioni elementari sulle righe (ovvero trovare una matrice equivalente per righe a tale matrice) ed infine risolvere il sistema utilizzando la matrice a scala ottenuta. Soluzione 13. Non c é bisogno di fornire soluzione. Per eventuali chiarimenti, chiedere al docente. Matrici associate alle operazioni elementari di riga Esercizio 14. Usando operazioni elementari sulle righe, trovare l inversa di ognuna delle seguenti matrici:

9 Soluzione Esercizio 15. Per i j mostrare che E 2 ij = 0 Soluzione 15. Poiché E ij E kl = δ jk E il, si ha E 2 ij = E ij E ij = δ ij che é uguale a zero se i j. Esercizio 16. Sia i j e si consideri la matrice R ij (c) = 1 + ce ij per ogni c 0. Mostrare che R ij (c)r ij (c ) = R ij (c + c ). Soluzione 16. Poiché E 2 ij = 0 si ha R ij (c)r ij (c ) = (1 + ce ij )(1 + c E ij ) = 1 + (c + c )E ij + cc E ij E ij = R ij (c + c ). Combinazioni Lineari Esercizio 17. Sia A = (a ij ) e B = (b ij ) due matrici moltiplicabili e sia C := AB con C = (c ij ). Sia C k la k esima colonna di C. 1. Si esprima C k come combinazione lineare delle colonne di A. Descrivere precisamente quali sono i coefficienti, in funzione della matrice B. 2. Sia AX = C k dove X é qualche colonna di B. Di quale colonna si tratta? Soluzione 17. Se B fosse un vettore colonna allora anche C sarebbe un vettore colonna e si avrebbe: B = t (b 1, b 2,, b n ) allora AB = b 1 A 1 + b 2 A b n A n = C come osservato a lezione. Facciamo il caso in cui A e B (e quindi C) siano matrici quadrate 2 2 per avere un idea di come funzionano le cose, e poi generalizziamo: ( ) ( ) a b x1 x A = B = 2 c d x 3 x 4 9

10 Si ha da cui ricaviamo ( ) ax1 + bx C = AB = 3 ax 2 + bx 4 cx 1 + dx 3 cx 2 + dx 4 ( ) ( ) a b C 1 = x 1 + x c 3 = b d 11 A 1 + b 21 A 2 e similmente C 2 = x 2 ( a c ) ( b + x 4 d ) = b 12 A 1 + b 22 A 2. A questo punto, possiamo congetturare che valga la seguente formula: C k = i b ik A i (1) dove la somma é sugli indici di colonna di A, ovvero sugli indici di riga di B (per cui se A Mat m n allora l indice i nella sommatoria varia da 1 a n). Dimostriamo la formula (1) facendo vedere che i due vettori colonna ai due lati dell uguaglianza hanno le stesse entrate. Per ogni j, si ha (C k ) j = c jk = A j B k = i a ji b ik D altronde la j esima coordinata del vettore colonna a destra dell uguaglianza é data da ( i b ik A i ) j = i b ik (A i ) j = i b ik a ji per cui i due vettori colonna C k e i b ika i hanno le stesse entrate e quindi sono uguali. Per concludere l esercizio osserviamo che la formula (1) fornisce immediatamente AB k = C k per cui la risposta alla seconda parte dell esercizio é che si tratta della k esima colonna di B, ovvero X = B k. 10