PreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z

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1 PreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z DOCENTE: M. Auteri

2 Outline Docente: Auteri PreCorso di Matematica

3 Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne: I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna. Il primo indice è l indice di riga mentre il secondo è l indice di colonna. gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo a ij dove il primo indice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa la colonna a cui l elemento appartiene In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A(m n) = a i1 a i a ij... a in a m1 a m a mj... a mn Docente: Auteri PreCorso di Matematica

4 La matrice può essere scritta in forma sintetica come: A(m n) = [a ij ] (i = m; j = n) Una matrice è rettangolare se il numero di righe m è diverso dal numero di colone n. Se m = n la matrice si dice quadrata di ordine n. Un vettore riga è una matrice con una sola riga. Un vettore colonna è una matrice con una sola colonna. Docente: Auteri PreCorso di Matematica

5 Data una matrice A(m n) si definisce sottomatrice e si indica con S(h k) una matrice costituita dagli elementi comuni ad h righe e k colonne della matrice A. Esempio: Dalla matrice A = è possibile estrarre le seguenti sottomatrici quadrate di ordine 2: ( ) ( ) 3 2 = Docente: Auteri PreCorso di Matematica

6 Si consideri una matrice quadrata: la linea che unisce gli elementi con pedici uguali a 11 a a nn viene denominata diagonale principale La linea che unisce i vertici Nord-Est e Sud-Ovest viene denominata diagonale secondaria Si chiama traccia il numero dato dalla somma degli elementi della diagonale principale n tr A = i=1 a ii Docente: Auteri PreCorso di Matematica

7 Una matrice si dice simmetrica se: a ij = a ji (i j = n) A = Una matrice si dice diagonale se a ij = 0 se i J a ij = d i se i = j Docente: Auteri PreCorso di Matematica

8 Esempio Si scrive: A = A = diag(d 1 d 2...d n ) = diag( ) Docente: Auteri PreCorso di Matematica

9 La matrice viene denominata scalare se: per ogni Ad esempio: A = d i = d i = n d = 3 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

10 La matrice identità è una particolare matrice scalare nella quale gli elementi della diagonale principale sono uguali ad 1: I = La matrice identità ha nell algebra delle matrici lo stesso ruolo del numero 1 nell algebra dei numeri. Docente: Auteri PreCorso di Matematica

11 La matrice quadrata o rettangolare che contiene solo elementi nulli viene denominata matrice nulla e viene indicata con la lettera O O n = La matrice nulla ha nell algebra delle matrici lo stesso ruolo dello 0 nell algebra dei numeri. Docente: Auteri PreCorso di Matematica

12 Data la matrice A(m n) = [a ij ] si chiama matrice trasposta la matrice A T (n m) = [a ji ] Proprietà: (A T ) T = A tr(a T ) = tra (A T ) = A se la matrice è simmetrica Il trasposto di un vettore riga è un vettore colonna ( e viceversa) Docente: Auteri PreCorso di Matematica

13 SOMMA E DIFFERENZA TRA MATRICI: Date due matrici A = [a ij ] e B = [b ij ] che hanno le stesse dimensioni si definisce matrice somma la matrice avente le stesse dimensioni di A e B e i cui elementi sono la somma degli elementi corrispondenti in A e B: Proprietà A + B = [a ij + b ij ] A + 0 = 0 + A = A A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) T = A T B T Docente: Auteri PreCorso di Matematica

14 Esempio. In un magazzino: La giacenza iniziale del magazzino è A = La matrice di approvvigionamento è data da: B = La giacenza finale è: A + B = Docente: Auteri PreCorso di Matematica

15 Il PRODOTTO righe per colonne tra due matrici può essere eseguito se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Date le due matrici A(m p) = [a ik ] e B(p n) = [b kj ] la matrice prodotto è C(m n) = [c ij ] ed ha elementi espressi da : Proprietà AB BA A(B + C) = AB + AC A(BC) = (AB)C c ij = p a ik b kj k=1 AB = 0 non implica A = 0 oppure B = 0 (AB) T = B T A T Docente: Auteri PreCorso di Matematica

16 Esempio: Si consideri la matrice di giacenza di magazzino di 4 prodotti in 3 negozi : Ap = I prezzi unitari dei 4 prodotti sono raccolti in un vettore colonna 8 p = Docente: Auteri PreCorso di Matematica

17 Esempio (cont...): Il valore del magazzino si ottiene moltiplicando la matrice A per il vettore p ottenendo: Ap = = Il sistema: { x 2 + y = 1 x + y = 2 può essere scritto come Ap = c dove: A = [ ] [ x p = y ] [ 1 c = 2 ] Docente: Auteri PreCorso di Matematica

18 Si chiama prodotto interno (o moltiplicazione scalare) tra due vettori il numero definito da: < x y >= n x i y i = x y cos α i=1 Due vettori non nulli per i quali il prodotto interno è nullo si dicono ortogonali Docente: Auteri PreCorso di Matematica

19 Si considerino i due vettori : [ ] 4 x = 2 y = [ 1 2 Il loro prodotto scalare è nullo i vettori sono perpendicolari ] Docente: Auteri PreCorso di Matematica

20 MATRICE INVERSA Data una matrice quadrata A si definisce matrice inversa A 1 la matrice che soddisfa la proprietà: AA 1 = A 1 A = I Per calcolarla occorre stabilire prima le condizioni di esistenza della matrice inversa NB: un numero reale è dotato di inverso moltiplicativo se è diverso da 0 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

21 DETERMINANTE Il determinante è un numero che viene associato ad una matrice quadrata Se la matrice è di ordine 1 allora il determinante è espresso dal valore dell unico elemento che costituisce la matrice: A 1 = [a 11 ] det A 1 = a 11 Se la matrice è di ordine 2 il determinante è espresso dalla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Infatti Docente: Auteri PreCorso di Matematica

22 Si sceglie una linea (una riga o una colonna). Per ogni elemento a i j della linea scelta si calcola il prodotto tra l elemento il valore di ( 1) i+j e il valore del determinante della sottomatrice di A che si ottiene eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima. Si sommano per tutti gli elementi della linea scelta i prodotti ottenuti. Se si sceglie la riga 2 si ottiene: det A = a 21 ( 1) 2+1 det [a 12 ] + a 22 ( 1) 2+2 det [a 11 ] = = a 21 a 12 +a 22 a 11 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

23 In modo analogo si procede per una qualunque matrice di ordine 3. Ad esempio se si considera la matrice: A = Se si sceglie la prima riga si ottiene: [ ] [ 1 1 A = 1 ( 1) 1+1 det + 0 ( 1) det [ 3 10 ] ( 1) det = ( 13) = = 20 ] + Docente: Auteri PreCorso di Matematica

24 Sia A una matrice quadrata di ordine n si consideri l elemento a ij si indichi con A ij la sottomatrice di A ottenuta eliminando la riga i e la colonna j. Si definisce minore complementare M ij il determinante di A ij Si definisce poi complemento algebrico A ij = ( 1) i+j M ij Il determinante viene quindi espresso da n det A n = a ij A ij j=1 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

25 Condizioni di annullamento del determinante di una matrice: Se in A c è almeno una riga (colonna) nulla Se in A ci sono almeno due righe (colonne) uguali Se in A ci sono due righe (colonne) proporzionali Se in A c è una riga (colonna) che è combinazione lineare di almeno due righe di A Docente: Auteri PreCorso di Matematica

26 Il rango di una matrice è l ordine massimo dei minori diversi da 0 Il rango rappresenta il numero di righe (colonne) linearmente indipendenti. Si consideri la matrice A = il suo rango è 2. Infatti la seconda riga è la somma della prima e della terza Si consideri la matrice B = il rango è 3. Infatti esiste la sottomatrice di ordine 3 ottenuta eliminando la prima colonna che ha il det diverso da 0 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

27 La matrice inversa di A è l unica matrice che soddisfa: AA 1 = A 1 A = I La matrice A di ordine n è invertibile se e solo se è non singolare e in tal caso risulta: A 1 n = 1 det A n A n In cui è chiamata matrice aggiunta di A Docente: Auteri PreCorso di Matematica

28 Procedura per calcolare l inversa di A: 1. Calcolare il det A. Se è nullo la matrice non è invertibile 2. Calcolare la trasposta 3. Calcolare l aggiunta di A (ovvero la matrice i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi della trasposta) 4. Dividere gli elementi dell aggiunta per il det A Docente: Auteri PreCorso di Matematica

29 Si consideri un sistema di m equazioni lineari in n incognite: a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1n x n = b 1... a i1 x 1 + a i2 x a ij x j a in x n = b i... a m1 x 1 + a m2 x a mj x j a mn x n = b m In forma matriciale Ax = b Se b è nullo il sistema si dice omogeneo. Docente: Auteri PreCorso di Matematica

30 La matrice A dei coefficienti è data da: a 11 a 12 a a 1j... a 1n a 21 a 22 a a 2j... a 2n A = a i1 a i2 a i3... a ij... a in a m1 a m2 a m3... a mj... a mn Il vettore x delle incognite e il vettore dei termini noti sono: x 1 b 1 x 2 b 2 x =. b =... x n b m Docente: Auteri PreCorso di Matematica

31 Teorema di Rouchè Capelli: Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è compatibile se e solo se la matrice incompleta e la matrice completa hanno rango uguale. La matrice completa è la matrice che si ottiene inserendo nella matrice A come n + 1 esima colonna il vettore dei termini noti. [ ] K = A. b Docente: Auteri PreCorso di Matematica

32 Se r(a) = r(k) = r allora il sistema ammette n r = soluzioni. Se n r =0 esiste un unica soluzione e il sistema si dice determinato. Se il sistema è omogeneo allora A e K hanno sempre lo stesso rango e quindi il sistema ammette sempre soluzione ( infatti ammette la soluzione nulla). Docente: Auteri PreCorso di Matematica

33 Si consideri il seguente sistema di due equazioni in due incognite: { x1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 Il rango di A è 1 mentre il rango di K è 2 quindi il sistema non è risolvibile. Infatti i primi membri delle equazioni sono uguali (e quindi il rango di A è 1) mentre i secondi membri sono diversi (rango di K uguale a 2). C è incompatibilità tra primo e secondo membro nelle equazioni: la somma delle incognite o è uguale a 2 o a 4 Docente: Auteri PreCorso di Matematica

34 Procedura per risolvere un sistema di equazioni lineari: Calcolare il r(a) e il r(k). Se sono diversi il sistema non ha soluzioni. Sia r il rango comune e sia A la sottomatrice di A che è servita per calcolare il rango r Si eliminino le equazioni che non hanno coefficienti in A Si portino a secondo membro le incognite i cui coefficienti non appartengono ad A Docente: Auteri PreCorso di Matematica

35 Il sistema è stato riscritto nella forma: A x = b dove x è il vettore delle incognite vere e dove b è il vettore dei nuovi termini noti dove sono presenti n r incognite che giocano il ruolo di parametri. Il sistema si risolve calcolando l inversa di A e: ( ) A 1 x = b Docente: Auteri PreCorso di Matematica

36 E per concludere... Alcune applicazioni economiche dei concetti studiati durante il corso: MASSIMI E MINIMI: quando si studia una funzione si è interessati anche a quei punti in cui la funzione raggiunge valori massimi e valori minimi. Sia massimi che minimi possono essere relativi ossia limitati a un intervallo della funzione o assoluti. Sia massimi che minimi possono essere liberi ossia risolvono un problema di massimizzazione libera o vincolati quando nella massimizzazione compare un vincolo. Massimi e minimi liberi: Condizione del primo ordine condizioni del secondo ordine Massimi e minimi vincolati: Condizione del primo ordine condizioni del secondo ordine Metodo di sostituzione e metodo dei moltiplicatori di Lagrange L ottimo del consumatore La funzione di utilità Cobb-Douglas (quale caso particolare!!) Esercizi numerici alla lavagna Docente: Auteri PreCorso di Matematica