5.4 Solo titoli rischiosi
|
|
- Rebecca Tortora
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono contenuti nel vettore colonna R, hanno media R IR n e matrice di covarianza simmetrica e definita positiva) V IR n n. Un portafoglio è individuato da un vettore colonna IR n i cui elementi rappresentano le quote dei corrispondenti titoli presenti nel portafoglio i < 0 significa che il titolo i è venduto allo scoperto). Perciò è un portafoglio relativo, quindi sarà 1 1. Chiamo P l insieme di tutti i possibili portafogli relativi, cioè P { IR n : 1 1}. Il rendimento R R del portafoglio ha media R e varianza V. Assumo che gli individui siano avversi al rischio e che esprimano le loro preferenze sulla base della media e della varianza dei rendimenti contesto media-varianza). Per ogni dato rendimento atteso m IR, è essenziale individuare il portafoglio in grado di garantire quel rendimento atteso con rischio minimo: fra tutti i portafgogli dal rendimento atteso m, occorre scegliere quello con varianza minima. Questo equivale a risolvere il seguente problema di ottimo vincolato 1 min 2 V R m 5.4.1) 1 1 Le soluzioni di questo problema costituiscono la cosiddetta frontiera delle possibilità F P, cioè la frontiera dell insieme P nello spazio σ 2,m ) oppure σ,m). Per risolvere il problema 5.4.1) costruisco la corrispondente lagrangiana L,λ,µ) 1 2 V λ 1 R m ) λ ), le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ 1 R λ L λ 1 R m 0 L λ , possono essere riscritte in modo compatto V λ 1 R λ2 1 0 R m ) Le condizioni 5.4.2) possono essere riscritte in forma matriciale: V R 1 0 R 0 0 λ 1 m, λ 2
2 5.4. Solo titoli rischiosi 57 dove la matrice V R 1 R IRn+2) n+2) è invertibile in quanto, per ipotesi, il vettore R non contiene né rendimenti certi, né rendimenti perfettamente positivamente o negativamente) correlati questi fatti derivano dall ipotesi che V è definita positiva). In questo caso la soluzione unica) è λ 1 λ m 1. per semplicità si può porre 1 1 ) 1 1 ) 2 1 ) 3, 1 ) 1 IR n+2) n, 1 ) 2 IR n+2, 1 ) 3 IR n+2, ottenendo λ 1 λ 2 m 1) ) 3. Se chiamo h e k le prime n componenti rispettivamente dei vettori 1) 3 e 1 ) 2, allora si può esprimere il portafoglio nella forma h + mk ) La 5.4.3) mostra che i pesi relativi del portafoglio che minimizza il rischio dato il rendimento atteso m sono funzioni lineari del rendimento atteso La frontiera delle possibilità I vettori h e k possono essere considerati due portafogli. La frontiera delle possibilità F P è l insieme dei portafogli che verificano le 5.4.2), cioè quelli dati dalla 5.4.3). Il portafoglio h appartiene a F P, esso è il portafoglio dal rendimento atteso nullo: h h+0k. La somma dei pesi del portafoglio k è nulla, infatti 1 h + k) 1 h + 1 k k 1 1 k 0 un portafoglio con somma di pesi nulla viene a volte detto portafoglio di arbitraggio). Ovviamente k / F P, addirittura k / P. Il portafoglio k definisce quanto va aggiunto ad h per ottenere un rendimento atteso unitario. Chiaramente h e k sono portafogli fittizi utili per fare i conti. Se rappresento l insieme dei portafogli ammissibili nel piano varianza-media, oppure nel piano scarto quadratico medio-media, tutti i portafogli che soddisfano la 5.4.3) stanno sulla frontiera di P vedi figura 5.4.1). La formula 5.4.3) ha delle importanti implicazioni, infatti se e y stanno sulla frontiera delle possibilità, allora saranno pari a h + m k, y h + m y k, dove m e m y sono i rispettivi rendimenti attesi. Valgono quindi i seguenti risultati:
3 58 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 1. Convessità di F P. Se,y F P, allore ogni portafoglio z λ + 1 λ) y, 0 λ 1 appartiene alla frontiera delle possibilità. Infatti z λ + 1 λ)y λh + m k) + 1 λ) h + m y k) h + k λm + 1 λ)m y. La frontiera delle possibilità è un insieme convesso. 2. Teorema dei due fondi. Ogni portafoglio w appartenente alla frontiera delle possibilità può essere espresso come combinazione lineare di altri due portafogli e y anch essi sulla frontiera delle possibilità. Infatti, dati due qualsiasi portafogli,y F P, w h + m w k, λ IR : m w λm + 1 λ) m y, per cui w λ + 1 λ)y con λ IR). Questo è il cosiddetto teorema dei due fondi o di separazione in due fondi: Dati due distinti portafogli sulla frontiera delle possibilità,y F P ), l intera frontiera è rappresentabile come combinazione lineare di questi due portafogli. 3. Covarianza lineare rispetto ai rendimenti attesi. La covarianza fra un qualsiasi titolo o portafoglio possibile ed un portafoglio sulla frontiera delle possibilità è lineare nel vettore R dei rendimenti attesi. Infatti, sia p P e F P : cov p,) p V p V h + m p V k p V h + R p V k ). 4. Covarianza fra i rendimenti di due portafogli sulla frontiera delle possibilità. Siano,z F P, data la 5.4.3) cov R, R ) z V z h + m k) V h + m z k) cov R, R ) z h V h + m + m z ) k V h + m m z k V k ) 5. Varianza di un portafoglio di F P. Ora posso calcolare la varianza, basta porre m m z nella ): σ 2 V h + km) V h + km) h V h + 2k V hm + k V k m 2, ) σ 2 var Rk m 2 + 2cov Rh, R ) ) k m + var Rh, 5.4.5) che definisce una parabola nello spazio σ 2,m ) ed un iperbole nello spazio σ,m), entrambe con asse di simmetria orizzontale vedi figura 5.4.1). 6. Portafoglio a varianza minima. Il vertice della parabola definita dalla 5.4.5) rappresenta il portafoglio v a varianza rischio) minima. Dalla 5.4.5) si possono ricavare il rendimento atteso m v di v m v k V h k V k cov h,k) var k),
4 5.4. Solo titoli rischiosi 59 e la varianza minima σ 2 v è ) σv 2 h k V h ) k V k k V h k V h k V k k h V h 2 k V h Rh, R ) 2 k σ 2 v h V h k V h) 2 k V k var Rh ) cov ). var Rk k V k h V k + k ) V h 2 k k V k V k La composizione del portafoglio a varianza minima è perciò v h k V h cov Rh, R ) k k V k k h ) k; var Rk inoltre, è possibile dimostrare che v V 1 1 C V V ) Si veda il paragrafo per la dimostrazione. 7. Frontiera efficiente. I portafogli della frontiera delle possibilità con rendimento atteso non inferiore a m v costituiscono la frontiera efficiente F dell insieme dei portafogli che si possono costituire con le n attività rischiose date. L efficienza di questi portafogli è da intendere in senso paretiano Figura 5.1: Sinistra: frontiera delle possibilità nello spazio σ 2,m ). Destra: frontiera delle possibilità nello spazio σ,m). È evidenziata la frontiera efficiente.
5 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Se fra i titoli ne è presente uno certo, la matrice V avrà una riga ed una colonna nulle in corrispondenza a tale titolo la varianza del rendimento certo così come le covarianza con tutti gli altri titoli sono nulle). In questo caso V non sarebbe invertibile. È quindi opportuno tenere il titolo certo separato dagli altri. Considero la situazione di partenza del paragrafo 5.4 con l aggiunta del titolo 0 senza rischio, dal rendimento certo pari a R 0. Un portafoglio è ora individuato dal vettore colonna 0 IR n+1 in cui 0 rappresenta la quota investita nel titolo senza rischio. Siccome gli elementi del vettore 0 sono pesi relativi, deve essere perciò è possibile esprimere Il rendimento del portafoglio è quindi 0 R R R R 0 + R R 0 1 ), 5.5.1) con media e varianza E R 0 + R R 0 1 ) R 0 + R R 0 1 ), var R 0 + R R 0 1 ) ) ) var R V. Nel problema min 2 V 0 R 0 + R m è quindi possibile esplicitare facilmente uno dei vincoli, così che il problema di ricerca della frontiera delle possibilità ha il solo vincolo sul rendimento atteso: 1 min 2 V R 0 + R R 0 1 ) 5.5.2) m. La lagrangiana del problema 5.5.2) è L,λ) 1 2 V λ R 0 + R R 0 1 ) m, le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ R R0 1 ) 0 L λ R 0 + R R 0 1 ) m 0
6 70 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza possono essere riscritte in modo compatto V λ R R0 1 ) R 0 + R R 0 1 ) m 5.5.3) o in notazione matriciale V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 λ 0 m R 0. Pongo K V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 IR n+1) n+1) ; se non tutti i titoli hanno rendimento atteso pari a R 0 la matrice K è invertibile grazie al fatto che V è definita positiva. Quindi i valori ottimali di e λ soddisfano λ K 1 0 m R 0 Basta allora porre w pari ai primi n elementi dell ultima colonna di K 1 per ottenere. w m R 0 ), 5.5.4) cioè la composizione dei portafogli sulla frontiera delle possibilità è w m R 0 ) w m R 0 ) ) La frontiera delle possibilità Come nel caso di soli titoli rischiosi, elenco ora alcuni risultati che derivano dalla 5.5.5). 1. Convessità della frontiera delle possibilità. La convessità dei portafogli che soddisfano la 5.5.5) si dimostra facilmente. Infatti, λ 0, 1, dati due portafogli w m R 0 ) w m R 0 ), e y0 y 1 1 w m y R 0 ) w m y R 0 ), il portafoglio z 0 z λ λ) y 0 y 1 1 w λm + 1 λ)m y R 0 ) w λm + 1 λ) m y R 0 ) ha è esattamente la forma 5.5.5) con m z λm + 1 λ) m y.
7 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Portafoglio di mercato. La 5.5.4) mostra chiaramente che in ogni portafoglio di frontiera i titoli rischiosi sono presenti nelle proporzioni date dagli elementi di w. Inoltre, il portafoglio 1 di soli titoli rischiosi è un portafoglio efficiente. Esso è composto nelle stesse proporzioni di w: 1 w m R 0) 1 w m R 0 ) w 1 w, cioè 1 w m R 0 ) 1. Siccome w 1 è un portafoglio efficiente di soli titoli rischiosi w e, per la 5.5.5), ogni portafoglio efficiente è composto da una quota di w e da una w di titolo certo, è conveniente chiamare 1 portafoglio di mercato indicandolo con w. 3. Teorema dei due fondi. Dalla 5.5.5) deriva che ogni portafoglio di frontiera, cioè soluzione del problema 5.5.2), è composto da una quota 0 di titolo senza rischio e dalla quota 1 0 ) di portafoglio di mercato. Infatti, w m R 0 ) 1 w m R 0 ) w 1 w w m R 0 ) ) w 1 w 1 0). È così dimostrato il teorema dei due fondi per mercati con titolo certo: ogni portafoglio di frontiera quindi anche i portafogli efficienti) è composto da titolo senza rischio e da un portafoglio di frontiera di soli titoli rischiosi, uguale per tutti gli investitori. Infatti, il portafoglio è detenuto da chiunque desideri investire in titoli rischiosi, cioè tutti gli investitori beninteso salvo quelli che detengono solo il titolo non rischioso) detengono titoli rischiosi solo nelle proporzioni del portafoglio : ecco perché prende il nome di portafoglio di mercato. Pongo per semplicità R R. I portafogli di frontiera sono perciò composti per una quota 0 dal titolo non rischioso e per la rimanente 1 0 ) dal portafoglio di mercato : R 0 R ) R ) Per ottenere un rendimento atteso m con la minima varianza occorre quindi scegliere 0 in modo tale che 0 R ) R m, cioè 0 m R R 0 R ) Naturalmente, se 1 0 ) > 1, cioè se 0 < 0, il titolo senza rischio è venduto allo scoperto per investire una quota maggiore di 1 nel portafoglio di mercato. 4. Varianza di un portafoglio di frontiera. Data la semplicità della 5.5.7), è
8 72 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza immediato calcolare la varianza di un portafoglio sulla frontiera delle possibilità: var 0 R ) R ) 1 0 ) 2 var R 1 0 ) 2 V 1 m R ) 2 ) R 0 R σ 2 R0 m 2 R 0 R σ 2, ) σ 2 R0 m 2 R 0 R σ; ) il corrispondente scarto quadratico medio è σ R 0 m R 0 R σ ) 5. Capital market line. Nello spazio σ 2,m ) la curva definita dalla 5.5.8) è una parabola con vertice lungo l asse delle ordinate ed asse di simmetria orizzontale; nello spazio σ,m) invece la linea 5.5.9) è l unione ) di due semirette ) con origine comune nel R R 0 R R 0 punto 0,R 0 ) e pendenze e. Solo la semiretta crescente σ costituisce la frontiera efficiente dei portafogli possibili si veda la figura 5.5.1): la Capital arket Line CL). L equazione che lega rendimento atteso e scarto quadratico medio è quindi σ m R 0 + R R 0 σ σ, che può avere la seguente interpretazione: il rendimento atteso di un portafoglio efficiente è pari al rendimento privo di rischio maggiorato di una quantità proporzionale allo scarto quadratico ) medio il rischio) del rendimento. Il fattore di proporzionalità R R 0 è. σ 6. Portafoglio di tangenza. Il portafoglio appartiene alla CL ed alla frontiera delle possibilità dei portafogli di soli titoli rischiosi. Nel piano σ,m), il portafoglio deve quindi corrispondere al punto di tangenza fra la CL e l iperbole F P. È facile convincersene: se la frontiera F P non stesse tutta a destra debolmente) della CL, esisterebbero dei portafogli di titoli rischiosi più efficienti di quelli della CL, contraddicendo la definizione di CL; se non ci fossero punti di contatto fra F P e CL, ciò contraddirebbe l esistenza del portafoglio. Quindi è il portafoglio di tangenza fra F P e CL, come mostrato nella figura Portafogli efficienti. Come osservato al punto 5, i portafogli efficienti stanno sulla semiretta crescente uscente dal punto 0,R 0 ). Il loro rendimento atteso è distinguo diversi casi: a) R > R 0 : m 0 R ) R.
9 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio 73 i. m < R 0 0 > 1 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. m R solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iii. R 0 < m R 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; b) R < R 0 : i. m < R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. R < m R 0 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, ma il portafoglio è inefficiente; iii. m R solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 0 < 0 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; Di queste situazioni sono economicamente interessanti quelle al punto 7a, ma per poterlo giustificare serve appunto introdurre ipotesi di equilibrio sul mercato dei capitali come nel paragrafo 6. Infatti, supponendo di trovarci nei casi del punto 7b, i portafogli efficienti sono solo quelli che contengono una quantità nulla punto 7b)iii) o negativa punto 7b)iv) di portafoglio di mercato. Non ci sarebbe nessuno disposto a detenere in quantità positiva, a fronte di una offerta di venduto allo scoperto. In questo caso il mercato dei titoli rischiosi non troverebbe un equilibrio. La figura rappresenta il caso più frequente ed economicamente significativo m 0.05 CL R σ Figura 5.3: Titoli rischiosi e titolo senza rischio.
10 78 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.6 Diversificazione È intuitivo pensare che non mettere tutte le uova nello stesso paniere riduce il rischio di rimanere senza uova. La teoria del portafoglio appena presentata permette di affermare con precisione) lo stesso principio: un portafoglio ben) diversificato è in grado di ridurre il rischio a parità di rendimento atteso Due titoli rischiosi Già nel caso di un portafoglio composto da due titoli rischiosi è possibile far emergere le circostanze in cui la diversificazione può ridurre il rischio. Considero un portafoglio composto da due titoli rischiosi i cui rendimenti sono caratterizzati da: ρ 1,2 ρ rendimento medio varinza del rendimento titolo 1 m 1 σ 2 1 titolo 2 m 2 σ 2 2 con m 1 m 2 e σ 1 σ 2 non nulle. Questi due titoli sono presenti nel portafoglio nelle proporzioni di titolo 1 e 1 ) di titolo 2, in questo modo ho eliminato il vincolo La media e la varianza del rendimento del portafoglio sono m m )m 2, 5.6.1) σ 2 2 σ )2 σ )σ ) Con due soli titoli è semplice esprimere la varianza in termini del peso σ 2 2 σ ) σ ) σ 1 σ 2 ρ 2 σ σ 2 2 2σ σ σ 1 σ 2 ρ 2σ 1 σ 2 ρ 2 σ σ2 2 2σ ) 2 2 σ 2 2 σ ) + σ 2 2, che è una espressione di secondo grado. La varianza minima si ha per v 2 σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ ed ha valore σv 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 σ2 2 σ ) σ2 2 σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ2 2 σ ) 2 + σ 2 2 σ σ2 2 2σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ σ2 2 σ σ σ1 2ρ2 + σ1 2 + σ2 2 2σ σ1 2 + σ2 2 2σ σ1σ ρ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ
11 5.6. Diversificazione 79 σ2 2 v σ σ1 2 + σ2 2 2σ σv 2 1 ρ 2 σ2 1 σ2 2 σ1 2 + σ2 2 2σ Se v 0,1) significa che una combinazione lineare convessa dei due rendimenti ha varianza inferiore rispetto a quella di entrambi i rendimenti presi singolarmente, ma ha valore atteso superiore ad uno dei due rendimenti. Questo significa che è possibile miscelare i due titoli, senza vendite allo scoperto, in modo da avere benefici dalla diversificazione. Per vedere quando v 0,1), comincio a notare che σ 2 1 +σ2 2 2σ > 0. Infatti, questa quantità può essere scritta come σ σ 2 2 2σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 ) ρ)σ 1 σ 2, in cui il primo addendo è positivo, mentre il secondo è non negativo. Quindi, v > 0, se σ 2 2 σ > 0, ρ < σ 2 v < 1, se σ 1 σ 2 2 σ σ 2 1 +σ2 2 2σ < 1 σ 2 2 σ < σ σ2 2 2σ σ 1 σ 2 ρ σ 2 1 < 0, ρ < σ 1 σ 2 Siccome ρ 1, 1 per definizione una delle due condizioni è sicuramente verificata, ma è v 0,1) quando sono verificate entrambe ρ < min σ 1,σ 2 ) ma σ 1,σ 2 ) ) Quindi nel caso in cui vale la 5.6.3), essendo R v una combinazione lineare convessa di R 1 e R 2, allora m v > minm 1,m 2 ): m v σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ m σ σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ m 2 m 1,m 2 ), cioè uno dei due rendimenti è dominato in media-varianza da R v e, grazie alla continuità in di 5.6.1) e 5.6.2), da infiniti portafogli. Per rendersi conto dell importanza della correlazione nel determinare il rischio dei portafogli, calcolo, sempre con due soli titoli, la frontiera delle possibilità che con due titoli coincide con l insieme delle possibilità). Dalla 5.6.1) ottengo m m 2 m 1 m 2,
12 80 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ 1 20 titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.1: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi che usato nella 5.6.2) produce m σ 2 m2 m 1 m 2 ) 2 σ m m 2 m 1 m 2 ) 2 ) m σ m2 1 m m ) 2 σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 m 1 m 2 m m 2) 2 σ m 1 m) 2 σ m m 2)m 1 m)σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 ) 2 σ2 1 + σ2 2 2σ m 1 m 2 ) 2 m 2 2 σ2 1 m 2 + σ 2 2 m 1 σ 1 σ 2 ρm 1 + m 2 ) m 1 m 2 ) 2 m + σ2 1 m2 2 + σ2 2 m2 1 2σ m 2 m 1 m 1 m 2 ) 2 che è una parabola in m nel piano σ 2,m ), mentre è un iperbole nel piano σ,m); in entrambi i casi l asse di simmetria delle curve è orizzontale. La figura mostra le combinazioni di media e scarto quadratico medio ottenibili con i due titoli della tabella 5.1 al variare del coefficiente di correlazione m ρ 0.5 ρ 0 m 9 ρ 1 ρ ρ m σ Figura 5.4: Portafogli composti da due titoli rischiosi È da notare che se considero due titoli in cui uno è dominato in media-varianza dall altro, può essere comunque razionale detenere in portafoglio una quota del titolo dominato. Infatti, se la correlazione fra i due rendimenti è abbastanza debole, il titolo dominato può generare l effetto diversificazione. Cioè esistono portafogli efficienti che contengono una quota positiva del titolo dominato. Si consideri per esempio i titoli della tabella 5.2 il titolo 2 è dominato in media-varianza dal titolo 1, ma i loro rendimenti hanno correlazione nulla. La quota del titolo 1 nel portafoglio a varianza minima è v σ 2 2 σ σ σ2 2 2σ
13 5.6. Diversificazione 81 ρ 0 rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.2: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi Tutti i portafogli con v,1) sono efficienti in termini di media varianza, eppure contengono una quota 1 ) > 0 di un titolo che preso singolarmente è dominato da un altro titolo Portafoglio equiripartito Presento ora una discussione più generale dell effetto delle covarianze sul rischio di un portafoglio. Considero un portafoglio equiripartito fra n titoli, cioè che contiene una quota pari a 1 n di ognuno degli n titoli. Il vettore dei pesi è quindi p 1 n1 e la sua varianza 1 n 1 V 1 può essere riscritta come 2 var p ) i1 1 n 2V ii + i1 j1 j i 1 n 2V ij 1 n i1 V ii n + n 1 n i1 j1 j i V ij n n 1). Osservo che n i1 V ii n è la media aritmetica delle varianze dei titoli, mentre n i1 nj1 è la media aritmetica delle covarianze fra i vari titoli, pongo allora j i V ij nn 1) σ 2 n i1 V ii n, c n i1 j1 j i V ij n n 1), per cui var p ) 1 n σ2 n + n 1 n c n ) Suppongo ora che il numero di titoli aumenti. È sensato immaginare che σ2 n e c n possano sì variare in conseguenza ai nuovi titoli considerati, ma essi rimarranno quantità finite. Si assume quindi lim n + σ2 n σ2 0,+ ), lim c n c 0,+ ). n + Facendo allora aumentare indefinitamente il numero dei titoli n + si ottiene 1 var p ) lim n + n σ2 n + n 1 ) n c n c, si è cioè eliminato il rischio rappresentato dal primo addendo della 5.6.4). La morale è che la diversificazione riduce il rischio, ma esiste una parte del rischio che non è eliminabile attraverso la diversificazione Esistono quindi due tipi di rischio:
14 82 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza una, legata alle varianze dei rendimenti dei titoli, che può essere ridotta fino ad essere eliminata attraverso la diversificazione, cioè l aumento dei titoli presenti nel portafoglio; un altra parte, legata alla covarianza media dei titoli presenti sul mercato, che non può essere eliminata tramite diversificazione. Il rischio del primo tipo viene detto rischio eliminabile, specifico o idiosincratico. Esso è legato alle caratteristiche specifiche di ogni titolo. Il rischio di secondo tipo è detto ineliminabile, di mercato o sistematico. Esso è tanto più elevato quanto più i rendimenti dei titoli del mercato considerato hanno l abitudine di muoversi covariare) insieme.
2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1
1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1
DettagliLe curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz
DettagliSeparazione in due fondi Security Market Line CAPM
Separazione in due fondi Security Market Line CAPM Eduardo Rossi Economia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/2003 1 Separazione in due fondi Un vettore di rendimenti er può essere separato in
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliIL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE.
IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. Lezione 5 Castellanza, 17 Ottobre 2007 2 Summary Il costo del capitale La relazione rischio/rendimento
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliLEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo.
LEZIONE 4 Il Capital Asset Pricing Model 1 Generalità 1 Generalità (1) Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei mercati che consente di individuare una precisa relazione tra rendimento
DettagliIndice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA
UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/2004 1 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliIl Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti
Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti ipotesi: Gli investitori sono avversi al rischio; Gli investitori
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliLA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1
LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliIl rischio di un portafoglio
Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente
DettagliFinanza Aziendale. Lezione 12. Analisi del rischio
Finanza Aziendale Lezione 12 Analisi del rischio Obiettivi i della lezione I rendimenti e la loro misurazione I rendimenti medi ed il loro rischio La misurazione del rischio e l effetto diversificazione
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliMICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza
MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare
DettagliNella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti
Nella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti finanziari in un contesto di flussi finanziari certi, tuttavia
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliEsercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli
Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli Un portafoglio è costituito dal titolo A e dal titolo B. Il
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
Dettagli23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1
23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
DettagliMicroeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore.
Microeconomia, Esercitazione 3 Effetto reddito, sostituzione, variazione compensativa, domanda di mercato, surplus del consumatore. Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Se nel mercato
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliLa Minimizzazione dei costi
La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliLezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore
Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
DettagliEpoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S
L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliIl modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari
Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale Enrico Saltari La frontiera efficiente con N titoli rischiosi Nel caso esistano N titoli rischiosi, con N 2, il problema della
DettagliEsercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica
Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.
DettagliLA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice,
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliFunzioni. Funzioni /2
Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliFunzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y
Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliRischio e rendimento degli strumenti finanziari
Finanza Aziendale Analisi e valutazioni per le decisioni aziendali Rischio e rendimento degli strumenti finanziari Capitolo 15 Indice degli argomenti 1. Analisi dei rendimenti delle principali attività
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliLa scelta in condizioni di incertezza
La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliEsercizio 1 Dato il gioco ({1, 2, 3}, v) con v funzione caratteristica tale che:
Teoria dei Giochi, Trento, 2004/05 c Fioravante Patrone 1 Teoria dei Giochi Corso di laurea specialistica: Decisioni economiche, impresa e responsabilità sociale, A.A. 2004/05 Soluzioni degli esercizi
DettagliLe preferenze e la scelta
Capitolo 3: Teoria del consumo Le preferenze e la scelta 1 Argomenti trattati in questo capitolo Usiamo le preferenze dei consumatori per costruire la funzione di domanda individuale e di mercato Studiamo
DettagliREGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE
REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE Nella Sezione 16.5 abbiamo visto come un regolatore che voglia fissare il prezzo del monopolista in modo da minimizzare la
DettagliVC-dimension: Esempio
VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliScelte in condizioni di rischio e incertezza
CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliCALCOLO COMBINATORIO
CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,
Dettaglix 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.
Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.
DettagliFINANZA AZIENDALE AVANZATO
FINANZA AZIENDALE AVANZATO La diversificazione di portafoglio e il CAPM Lezione 3 e 4 1 Scopo della lezione Illustrare il modello logico-teorico più utilizzato nella pratica per stimare il rendimento equo
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliBlanchard, Macroeconomia Una prospettiva europea, Il Mulino 2011 Capitolo IV. I mercati finanziari. Capitolo IV. I mercati finanziari
Capitolo IV. I mercati finanziari 1. La domanda di moneta La moneta può essere usata per transazioni, ma non paga interessi. In realtà ci sono due tipi di moneta: il circolante, la moneta metallica e cartacea,
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliLa scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)
La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliAppunti sul teorema di Modigliani-Miller
Appunti sul teorema di odiliani-iller (di assimo A. De Francesco) In questi appunti provvisori deriviamo le due proposizioni (la Proposizione I e la Proposizione II) che sono state stabilite da odiliani
DettagliGli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime.
LA TECNOLOGIA Studio del comportamento dell impresa, soggetto a vincoli quando si compiono scelte. La tecnologia rientra tra vincoli naturali e si traduce nel fatto che solo alcuni modi di trasformare
DettagliCalcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche
Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche 1 Algebra Booleana e Variabili Logiche I fondamenti dell Algebra Booleana (o Algebra di Boole) furono delineati dal matematico George Boole, in un lavoro pubblicato
DettagliEsercitazione relativa al capitolo 14 I MONOPOLI E LA CONCORRENZA IMPERFETTA
Esercitazione relativa al capitolo 14 I MONOPOLI E LA CONCORRENZA IMPERFETTA Esistono quattro principali tipi di strutture di mercato: concorrenza perfetta, monopolio, concorrenza monopolistica e oligopolio.
DettagliRISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani
RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Il rendimento di un attività finanziaria: i parametri rilevanti Rendimento totale, periodale e medio Il market
Dettagli5 Risparmio e investimento nel lungo periodo
5 Risparmio e investimento nel lungo periodo 5.1 Il ruolo del mercato finanziario Il ruolo macroeconomico del sistema finanziario è quello di far affluire i fondi risparmiati ai soggetti che li spendono.
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliRicerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
DettagliECONOMIA DEL LAVORO. Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro
ECONOMIA DEL LAVORO Lezioni di maggio (testo: BORJAS) L offerta di lavoro Offerta di lavoro - Le preferenze del lavoratore Il luogo delle combinazioni di C e L che generano lo stesso livello di U (e.g.
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliUniversità degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI
Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia MATEMATICA FINANZIARIA EcoCom A-Le / Li-Z Prova scritta del luglio SOLUZIONI Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): L operazione
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
DettagliDato il Mercato, è possibile individuare il valore e la duration del portafoglio:
TEORIA DELL IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA Con il termine immunizzazione finanziaria si intende una metodologia matematica finalizzata a neutralizzare gli effetti della variazione del tasso di valutazione
DettagliFunzioni di più variabili
Funzioni di più variabili Introduzione Funzioni reali di più variabili reali Una unzione reale di due variabili è una unzione : D R dove il dominio D è un sottoinsieme di R. ESEMPI: - / ln. Considerazioni
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
Dettagli9. Urti e conservazione della quantità di moto.
9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due
Dettagli