23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1

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1 23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 0.25 e la sua deviazione standard sia σ M = 0.1. Si indichi con P il portafoglio con σ P = 0.05 ed E P = Determinare il prezzo di mercato del rischio π e tracciare nel piano (σ, E) la CML, riportando i punti corrispondenti ad N ed M; 2. Rappresentare graficamente P e discuterne l efficienza. 3. Dire se esiste un portafoglio efficiente Q con σ Q = σ P e determinare le quote di N e di M nella composizione di Q. 4. La BCE ha recentemente abbassato i tassi di interesse. Supponiamo che anche i scenda, dallo 0.05 allo Quali saranno gli effetti di questo ribasso sulle coordinate di M, (σ M, E M )? Suggerimento: ricordare che nell analisi media-varianza il portafoglio M è soluzione di un problema di ottimizzazione... Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumendo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.2 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K è pari a 100, 1. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del derivato: Y T = max{s T, K} 2. Determinare il denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 3. Calcolare valore atteso e varianza della variabile aleatoria Y T utilizzando le probabilità risk-neutral. 4. La media di Y T può essere considerata una misura della profittabilità di Y? Spiegare. ESERCIZIO 3 Supponiamo di avere un mercato descritto da un modello di binomiale moltiplicativo a DUE periodi che estende il modello trattato nell Esercizio 2. Dunque abbiamo un tasso uniperiodale risk-free pari a i = 0.05, il titolo rischioso S ha prezzo iniziale pari a S 0 = 100 Euro e si può apprezzare con fattore a = 1.2 o ribassare con fattore b = 0.9 in ogni periodo. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza T = 2 e strike K = abs 0. Calcolare il Delta di P in t = 0. Calcolare il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S.

2 16 Luglio 2003 Teoria matematica del portafoglio e Modelli matematici per i mercati finanziari In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 0.25 e la sua deviazione standard sia σ M = 0.2. Sia P il portafoglio a varianza minima tra quelli costituiti solo da titoli rischiosi. Ponendo che tale portafoglio abbia deviazione standard σ = 0.1 e rendimento atteso E = 0.1, calcolare: 1. le quote di composizione w (1) P ; N, w(1) M del portafoglio efficiente P 1 avente la stessa deviazione standard di 2. le quote di composizione w (2) P ; N, w(2) M del portafoglio efficiente P 2 avente lo stesso rendimento atteso di 3. i β dei portafogli P 1, P 2 ; 4. i prezzi ad inizio periodo di P 1 e di P 2, supponendo che i valori attesi dei rispettivi payoffs (E[A 1 ], E[A 2 ]) siano uguali e pari a 200. Interpretare il risultato. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente unitario S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.3 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K è pari a Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di un contratto forward Y scritto su S, in cui si acquista per consegna in T una unità di titolo rischioso al prezzo K. 2. Determinare il denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 3. Nel caso in cui Y sia venduto ad un prezzo c < Y 0, esibire un portafoglio che consente un guadagno senza rischio (arbitraggio). ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 110, che σ = 0.2, r = 0.03 ed y = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = min{s T, S 0 }. 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra tre mesi, supponendo che in tale data l attivo si sia apprezzato del 10%.

3 23 Settembre 2003 Teoria del portafoglio e Modelli matematici per i mercati In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello, CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 0.15 e la sua deviazione standard sia σ M = Un investitore decide che M è troppo rischioso. Acquista dunque un portafoglio P, efficiente, ma con volatilità pari al 75% di σ M. Determinare il rendimento atteso E P. 2. Un altro agente può accettare un rischio maggiore e compra un portafoglio Q, efficiente, con volatilità pari al 120% di M. Determinare E Q. 3. Sapendo infine che il valore atteso di P è pari a 100 e quello di Q è pari a 102, calcolare i prezzi P 0, Q 0 di P e di Q ad inizio periodo, secondo lo schema di valutazione offerto dal modello. Consideriamo un titolo S in un dato mercato finanziario e una data futura T. Uno spread è una strategia operativa in cui si assumono posizioni su opzioni dello stesso tipo. Disegnare il payoff di uno spread al rialzo Y ottenuto con queste operazioni: acquisto di una call su S con scadenza T e prezzo di esercizio K 1 ; vendita di una call su S con scadenza T a prezzo K 2 > K 1. Utilizzando poi il modello binomiale a un periodo e assumendo che il tasso di interesse da 0 a T del titolo non rischioso è i = 0.05, che S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.2 o al ribasso con fattore b = 0.8, che K 1 è pari a 100 e K 2 = 105, determinare: il prezzo Y 0 di Y ; la strategia replicante per lo spread. Dimostrare infine che il prezzo di uno spread al rialzo è sempre positivo. ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes, sapendo che il titolo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.25, r = 0.01 (tutte le quantità sono espresse in base annua e non vengono pagati dividendi) e che K = 102, calcolare: il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff pari a: V T = max{2(k S T ), 0} + 3. il Delta di V in t = 0; il Delta in ogni istante del contratto W con scadenza T e payoff W T = V T + max{2(s T K), 0}

4 13 Novembre 2003 Teoria del portafoglio e Modelli matematici per i mercati In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 0.25 e la sua deviazione standard sia σ M = 0.3. Sia P il portafoglio a varianza minima tra quelli costituiti solo da titoli rischiosi. Ponendo che tale portafoglio abbia deviazione standard σ = 0.15 e rendimento atteso E = 0.1, calcolare: 1. le quote di composizione w (1) P ; 2. il β del portafoglio P 1 ; N, w(1) M del portafoglio efficiente P 1 avente la stessa deviazione standard di 3. il prezzo ad inizio periodo di P 1, supponendo che il valore atteso del payoff E[A 1 ] sia pari a 100 euro. 4. È possibile costruire un portafoglio Q con rendimento atteso E Q = 0.08 scegliendo opportunamente tra i portafogli P 1, P, M ed il titolo non rischioso? Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumendo che: a. il tasso di interesse da 0 a T del titolo non rischioso B è i = 0.02, b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.04 o al ribasso con fattore b = 0.96, c. K è pari a 100, 1. Disegnare il payoff del derivato (uno strip ): Y T = 2 max(k S T, 0) + max{s T K, 0} 2. Determinare il denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 3. Determinare infine payoff e prezzo del portafoglio Z formato da: una quota di Y e una posizione corta su un forward su S per consegna in T al prezzo K. ESERCIZIO 3 Il prezzo di una azione S è 100. Ci si attende che in ognuno dei prossimi semestri il prezzo salga o scenda del 10%. Il tasso di interesse semestrale è pari all 1%. Utilizzando dunque un modello binomiale, calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza un anno e strike K = 110; il Delta di P in t = 0; il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S; il prezzo P 0 in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato.

5 28 Gennaio 2004 Teoria del portafoglio e Modelli matematici per i mercati In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 0.35 e la sua deviazione standard sia σ M = Si indichi con P il portafoglio con σ P = 0.05 ed E P = Determinare il prezzo di mercato del rischio π e tracciare nel piano (σ, E) la CML, riportando i punti corrispondenti ad N ed M; 2. Rappresentare graficamente P, discuterne l efficienza e, nel caso sia possibile, determinare le quote di N e di M nella composizione di P. 3. Dire se in questo mercato è possibile costruire il portafoglio Q con E Q = E P e con σ Q = Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumendo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K è pari a 100, 1. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del derivato: Y T = K + min{s T, K} 2. Determinare il denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 3. Calcolare valore atteso e deviazione standard della variabile aleatoria Y T utilizzando le probabilità risk-neutral. ESERCIZIO 3 Sia S t il processo di prezzo di un titolo rischioso che non paga dividendi e che ha valore corrente (t = 0) S 0 = 100 Euro. Si consideri, in t = 0, un contratto finanziario che garantisce, alla scadenza T = 4 mesi, il payoff max{s T, S 0 } Supponiamo di adottare un modello di Black-Scholes. 1. Calcolare il valore V (0) del contratto, assumendo che la volatilità di S t, espressa su base annua, sia σ = 0.35 e che l intensità istantanea di interesse su base annua sia r = Calcolare il delta del contratto in t = Facendo riferimento alla rappresentazione S T = S 0 e µt +σz T, supponiamo di aver stimato µ. Se si è ottenuto 0.02 come stima su base annua, calcolare la probabilità che il contratto a scadenza valga esattamente S 0.

6 11 Febbraio 2004 Teoria del portafoglio e Modelli matematici per i mercati In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo di sapere che il portafoglio P con E P = 0.2 e σ P = 0.16 è efficiente. 1. Calcolare il prezzo di mercato del rischio. Sapendo poi che β P = 0.5, calcolare il rendimento atteso e la deviazione standard di M. 2. Calcolare le quote di composizione w N (P ), w M (P ) del portafoglio P. 3. Trovare l espressione di M come portafoglio composto da P e dal titolo risk free. 4. Il portafoglio costituito da tre quote di P è ammissibile? Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K 1 è pari a 105 e K 2 = 115. Comsiderare il seguente contratto Z con payoff Z T definito come: Z T = min{s T, K 1 } + max(s T, K 2 ). 1. Nel piano (S, Z) disegnare il payoff del contratto. 2. Determinare il prezzo Z 0 di Z a inizio periodo. 3. Descrivere una possibile interpretazione finanziaria dell operazione Z (suggerimento: di quali investimenti si compone?). ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per titoli che pagano dividendi, sapendo che il titolo S in t = 0 vale S 0 = 90, che σ = 0.2, r = 0.03 ed y = 0.01 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = min{s T, S 0 } + S 0 ; 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra cinque mesi, supponendo che in tale data il titolo si sia apprezzato del 10%.

7 9 Giugno 2004 Teoria del portafoglio In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 0.15 e deviazione standard σ M = 0.1. Sia P il portafoglio a varianza minima tra quelli costituiti solo da titoli rischiosi. Ponendo che tale portafoglio abbia deviazione standard σ = 0.07 e rendimento atteso µ = 0.08, calcolare: 1. le quote di composizione w (1) N, w(1) M del portafoglio efficiente P 1 che ha lo stesso rendimento atteso P ; 2. il coefficiente di correlazione di P col portafoglio di mercato; 3. i prezzi a inizio periodo di P 1 e di P, supponendo che per i valori attesi dei rispettivi payoff si abbia: E[A 1 ] = E[A ] = 150. Interpretare il risultato. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.25 o al ribasso con fattore b = 0.9, Sia Y il valore di un contratto a termine per l acquisto di S per consegna in T di DUE unità del titolo rischioso, al prezzo complessivo K = Scrivere l espressione del payoff Y T a fine periodo del contratto a termine. 2. Disegnare il payoff Y T del contratto. 3. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del contratto a temine. 4. Determinare il denaro da investire in S in t = 0 per replicare il payoff Y T. 5. Ricavare il valore atteso in t = 0 di S T secondo le probabilità risk-neutral. ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per asset che pagano dividendi, sapendo che l asset vale S 0 = 100 in t = 0, che σ = 0.23, r = 0.02 e y = 0.01 (tutte le quantità essendo espresse su base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T = 1 anno e payoff V T = 2 min{s T, S 0 }. 2. il Delta di V in t = 0;

8 3. il prezzo di V tra tre mesi, supponendo che in tale data l asset si sia deprezzato del 20%. Confrontare col prezzo ottenuto al punto 1. 9 Giugno 2004 Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO Sulla base del modello di Black e Scholes per asset che pagano dividendi, sapendo che un asset vale S 0 = 100 in t = 0, che σ = 0.22, r = e y = 0.01 (tutte le quantità essendo espresse su base annua), calcolare: (a) il prezzo in t = 0 del contratto V con scadenza T = 1 anno e payoff V T = max { 3 2 S T, S 0 }. (b) il delta t = 0 del contratto V. (c) il delta di V tra tre mesi in questi due casi: a) qualora l asset rischioso si sia deprezzato del 20%; b) qualora l asset rischioso si sia apprezzato del 20%; (d) Confrontare ed interpretare i risultati ottenuti.

9 23 Giugno 2004 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello, CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che il market price of risk sia π = 1.5 e che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = Determinare la deviazione standard σ M e riportare nel piano (σ, E) la CML. 2. Indicato con Q un portafoglio efficiente con E Q = 3 2 E M, determinarne il relativo β Q. 3. Detto P un portafoglio rischioso con σ P = 3 2 σ M, supponiamo che β P = Determinare la correlazione ρ tra P ed M. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.25 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K è pari a Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y T = 3 max(s T K, 0). 2. Determinare il denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 3. Sul mercato è quotata una put con strike K e scadenza T ad un prezzo P 0 > Y 0 3 S 0 + K m : esibire una strategia di arbitraggio. ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per titoli che non pagano dividendi, sapendo che il titolo in t = 0 vale S 0 = 110, che σ = 0.2 e che r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = max{s T, S 0 }. il Delta di V in t = 0; il Delta in t = 0 del portafoglio V con payoff V T = 3V T + 2S T. Modelli Matematici per i Mercati Finanziari (23 Giugno 2004) Utilizzando il modello binomiale a due periodi, assumiamo che:

10 b. un titolo azionario S, che non paga dividendi, ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.20 o al ribasso con fattore b = 0.90, c. K è pari a Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del derivato europeo Y T = 2 max(k S T, 0). 2. Calcolare il prezzo Z 0 del derivato americano corrispondente, cioè del derivato con payoff uguale a quello del punto precedente e con in più il diritto di esercizio anticipato. Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 110, che σ = 0.25 e che r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = max{s T S 0, 0}+S 0 ; 2. il Delta di V in t = 0.

11 2 Settembre 2004 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Supponiamo che in un piano (σ, µ) il portafoglio di mercato M abbia coordinate (0.20; 0.30) e che il portafoglio a varianza minima P abbia coordinate (0.10; 0.10). 1. Determinare il β di un portafoglio efficiente Q con lo stesso rendimento atteso di P. 2. Dire se si può ottenere un portafoglio P formato al 50% da N e al 50% da P. In caso, determinarne rendimento atteso µ P e deviazione standard σ P e dire se P è efficiente. 3. Si può costruire un portafoglio R vendendo allo scoperto il 50% di P e comprando il 150% di M? In caso, determinarne il rendimento atteso µ R. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.21 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K 1 = 100 e K 2 = Detta P una put lunga con strike K 2 e detta C una call lunga con strike K 1, disegnare il payoff del derivato Y formato da due P e da una C. 2. Determinare il Delta di Y ed il suo prezzo Y Quali sono le quote di composizione di un portafoglio replicante per Y composto da una componente di P e da una componente di C? e quali sono le quote di composizione di un portafoglio replicante per Y composto da una componente di P e da una componente di P + C? ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.21 e che r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari a sei mesi e payoff V T = min{s T, S 0 }. 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta in t = 0 del portafoglio W, ottenuto come mixing di V e del sottostante, con payoff W T = 2V T + 2P T, dove con P indichiamo una put con strike S 0 e scadenza T.

12 2 Settembre 2004 Modelli Matematici per i Mercati Finanziari Utilizzando il modello binomiale a tre periodi, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K = Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del derivato europeo Y T = max(k S T, 0). 2. Calcolare il prezzo Z 0 del derivato americano con payoff come al punto precedente. Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 110, che σ = 0.20 e che r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari a sei mesi e payoff V T = max{s T, S 0 } + 3S 0 ; 2. il Delta di V in t = 0. 3 Febbraio 2005 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 5%, e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 25%. Si consideri inoltre l insieme Q dei portafogli con rendimento atteso µ = 20% e β = Trovare la varianza del portafoglio efficiente P 1 che appartiene a Q. 2. Calcolare il prezzo di mercato del rischio π e il rendimento atteso µ M del portafoglio di mercato M. 3. Calcolare il coefficiente di correlazione ρ M2 con il mercato di un portafoglio P 2 che appartiene a Q e che ha deviazione standard σ 2 = 15%. 4. Nel piano (σ, E), tracciare la Capital Market Line e indicare i portafogli P 1, P 2 e M. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che:

13 b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K è uguale a 105. Sia Y il contratto che a scadenza paga: Y T = S T K + 2 max{s T K, 0} 1. Scrivere l espressione del payoff Y T in termini di sole opzioni call e put e disegnarne il payoff. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del contratto. 3. Detto Z il portafoglio composto da una posizione long su Y e da una posizione long su una put su S con strike K, dire a quale posizione su opzioni tale portafoglio è equivalente. 4. Determinare il denaro da investire in S in t = 0 per replicare il payoff Z T di questo portafoglio. 3 Febbraio 2005 Modelli Matematici per i Mercati Finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare additivamente, aumentando o diminuendo di una costante a = 8. Il tasso di interesse semestrale è pari al 5%. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza un anno e strike K = 96. Calcolare il Delta di P in t = 1 semestre, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato. Il cambio a pronti EUR/USD in t = 0 è X 0 = 1.30 Euro per dollaro. Sulla base del modello di Garman- Kohlhagen, sapendo che il tasso di interesse domestico è i = 0.01, che quello estero è i E = 0.03 e che la volatilità del cambio è σ = 0.2 (tutti i valori sono espressi su base annua), determinare: il prezzo di non arbitraggio (in Euro) di una put europea scritta su X, con prezzo di esercizio K = 1.30 Euro e scadenza tra 6 mesi (riportare i valori di d 1 e d 2 ); il valore del tasso estero i E tale che il prezzo della put coincida con quello della call avente stesse caratteristiche. 18 Febbraio 2005 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario

14 Nelle ipotesi del modello CAPM si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 0.15 e deviazione standard σ M = 0.1. Sia P il portafoglio a varianza minima tra quelli costituiti solo da titoli rischiosi. Ponendo che tale portafoglio abbia deviazione standard σ = 0.08 e rendimento atteso µ = 0.10, calcolare: 1. le quote di composizione w (1) P ; N, w(1) M del portafoglio efficiente P 1 che ha la stessa deviazione standard di 2. il coefficiente di correlazione di P 1 e di P col portafoglio di mercato; 3. i prezzi a inizio periodo di P 1 e di P, supponendo che per i valori attesi dei rispettivi payoff si abbia: E[A 1 ] = E[A ] = 150. Interpretare il risultato. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.15 o al ribasso con fattore b = 0.95, c. K 1 è pari a 106. Sia Y il contratto che a scadenza paga: Y T = max(s T, K 1 ) + 2K 1 1. Scrivere l espressione del payoff Y T in termini di sole opzioni e investimenti al tasso risk-free e disegnarne il payoff. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 del contratto. 3. Calcolare il delta Y in t = Detto poi Z K il portafoglio con payoff ZT K = max(s T, K 1 ) + K e Z K il relativo delta, dire se Z K = Y motivando la risposta. 18 Febbraio 2005 Modelli Matematici per i Mercati Finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare, apprezzandosi o deprezzandosi del 9%. Il tasso di interesse semestrale è pari al 5%. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza un anno e strike K = 98. Calcolare il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P0 A in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato. Discutere il risultato ottenuto.

15 Si consideri, in t = 0, un contratto finanziario che garantisce, alla scadenza T, il payoff min{s T, K} essendo S T il valore raggiunto da un titolo azionario che paga dividendi e che ha valore corrente (t = 0) S 0 = 100 Euro. Assumendo che 1. la scadenza del contratto sia T = 6 mesi; 2. K = 100; 3. l intensità istantanea di interesse su base annua sia r = 0.05 e che il dividend yield sia y = 0.03; 4. la volatilità di S su base annua sia σ = 0.3, calcolare, secondo il modello di Black-Scholes: il valore V (0) del contratto; il delta del contratto in t = giugno 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello media-varianza, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 3% e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 23% e che π = Determinare σ M. 2. Determinare le coordinate σ P, µ P di un portafoglio efficiente P con β P = Determinare le coordinate σ Q, µ Q di un portafoglio efficiente Q con β Q = Scrivere infine le quote w P, w Q dei portafogli P e Q necessarie per ottenere il portafoglio di mercato M, riportando tutti i punti considerati sulla CML. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.2 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K 1 è pari a 105 e K 2 è pari a 110.

16 Sia Y il seguente contratto: Y T = 2 max(k 1 S T, 0) + max(s T K 2, 0) 1. Individuare le opzioni alla base del contratto Y e disegnare il payoff Y T. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0, riportando il valore q della probabilità risk-neutral in caso di rialzo del mercato. 3. Determinare il Y e la quota B da investire in obbligazioni per replicare Y. 4. Dire se è vera la seguente affermazione: il contratto Z con payoff Z T = 2(K 1 S T ) ha prezzo minore di Y e giustificare la risposta. 16 giugno 2005 Modelli matematici per i mercati finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori a = 1.2 e b = 0.7 rispettivamente. Il tasso di interesse semestrale è pari al 5%. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza un anno e strike K = 84. Calcolare il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato. Il cambio a pronti EUR/USD in t = 0 è X 0 = 1.31 Euro per dollaro. Sulla base del modello di Garman- Kohlahgen, sapendo che il tasso di interesse domestico è i L = 0.02, che quello estero è i E = e che la volatilità del cambio è σ = 0.2 (tutti i valori sono espressi su base annua), determinare: il prezzo di non arbitraggio (in Euro) di una put europea scritta su X, con prezzo di esercizio K = 1.31 EUR/USD e scadenza tra un anno (riportare i valori di d 1 e d 2 ); il Delta di una opzione call con le stesse caratteristiche della put al punto precedente. 16 giugno 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario e modelli matematici- vecchio ordinamento In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello media-varianza, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 3% e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 23% e che π = Determinare σ M.

17 2. Determinare le coordinate σ P, µ P di un portafoglio efficiente P con β P = Determinare le coordinate σ Q, µ Q di un portafoglio efficiente Q con β Q = Scrivere infine le quote w P, w Q dei portafogli P e Q necessarie per ottenere il portafoglio di mercato M, riportando tutti i punti considerati sulla CML. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.2 o al ribasso con fattore b = 0.9, c. K 1 è pari a 105 e K 2 è pari a 110. Sia Y il seguente contratto: Y T = 2 max(k 1 S T, 0) + max(s T K 2, 0) 1. Individuare le opzioni alla base del contratto Y e disegnare il payoff Y T. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0, riportando il valore q della probabilità risk-neutral in caso di rialzo del mercato. 3. Determinare il Y e la quota B da investire in obbligazioni per replicare Y. 4. Dire se è vera la seguente affermazione: il contratto Z con payoff Z T = 2(K 1 S T ) ha prezzo minore di Y. Giustificare la risposta. ESERCIZIO 3 Il cambio a pronti EUR/USD in t = 0 è X 0 = 1.31 Euro per dollaro. Sulla base del modello di Garman- Kohlahgen, sapendo che il tasso di interesse domestico è i L = 0.02, che quello estero è i E = e che la volatilità del cambio è σ = 0.2 (tutti i valori sono espressi su base annua), determinare: il prezzo di non arbitraggio (in Euro) di una put europea scritta su X, con prezzo di esercizio K = 1.31 EUR/USD e scadenza tra un anno (riportare i valori di d 1 e d 2 ); il Delta di una opzione call con le stesse caratteristiche della put al punto precedente. 30 giugno 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 5% e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 25% e che π = 1.

18 1. Determinare σ M. 2. Un portafoglio P ha ρ P = 0.5 ed è noto che il rapporto tra la sua varianza e quella di M è pari a 9. Determinare β P e µ P. 3. Dopo aver individuato l equazione che caratterizza i portafogli con lo stesso β di P, disegnarne il grafico nel piano (σ, µ) riportando anche la CML. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: a. il tasso di interesse da 0 a T del titolo non rischioso è i = 5%, b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K 1 è pari a 105 e K 2 è pari a 100. Sia Y il seguente contratto: Y T = max(k 1 S T, 0) + 2 max(s T K 2, 0) 1. Individuare le opzioni alla base del contratto Y e disegnare il payoff Y T. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = Determinare il Y e la quota B da investire in obbligazioni per replicare Y. 4. Calcolare il valore atteso (sotto la probabilità risk-neutral) della SOLA COMPONENTE IN OPZIONI CALL di Y T. 30 giugno 2005 Modelli matematici per i mercati finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori a = 1.15 e b = 0.7 rispettivamente. Si assuma che il tasso di interesse in ciascuno dei semestri considerati sia nullo. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza un anno e strike K = 80. Calcolare il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato.

19 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.25, r = 0.01 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = max{s T, S 0 }+3S il Delta di V in t = 0; 3. il prezzo Z 0 del portafoglio formato da una quota di V e una call corta su S con strike S 0 e scadenza T. 30 giugno 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario e modelli matematici- vecchio ordinamento In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 5% e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 25% e che π = Determinare σ M. 2. Un portafoglio P ha ρ P = 0.5 ed è noto che il rapporto tra la sua varianza e quella di M è pari a 9. Determinare β P e µ P. 3. Dopo aver individuato l equazione che caratterizza i portafogli con lo stesso β di P, disegnarne il grafico nel piano (σ, µ) riportando anche la CML. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, si assuma che: a. il tasso di interesse da 0 a T del titolo non rischioso è i = 5%, b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire, tra 0 e T, un movimento al rialzo con fattore a = 1.1 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K 1 è pari a 105 e K 2 è pari a 100. Sia Y il seguente contratto: Y T = max(k 1 S T, 0) + 2 max(s T K 2, 0) 1. Individuare le opzioni alla base del contratto Y e disegnare il payoff Y T. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = Determinare il Y e la quota B da investire in obbligazioni per replicare Y.

20 4. Calcolare il valore atteso (sotto la probabilità risk-neutral) della SOLA COMPONENTE IN OPZIONI CALL di Y T. ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.25, r = 0.01 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = max{s T, S 0 }+3S il Delta di V in t = il prezzo Z 0 del portafoglio formato da una quota di V e una call corta su S con strike S 0 e scadenza T. 5 settembre 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 0.05 e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia coordinate σ M = 0.15, µ M = Determinare il market price of risk π. 2. Dato un portafoglio P e indicato con I P il relativo rendimento, supponiamo di conoscere la covarianza tra I P ed I M : Cov(I P, I M ) = Calcolare β P e µ P. 3. Supponendo infine che il valore atteso del payoff di P sia E[A P ] = 100, calcolare il prezzo di P ad inizio periodo col metodo RAD. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.20 o al ribasso con fattore b = 0.70, c. K è pari a 100 Euro. e sia Y il contratto con payoff Y T = max(s T K, 0) 2 max ( 3 4 K S T, 0 ). 1. Disegnare il payoff Y T e dire di quali opzioni si compone. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y.

21 3. Determinare l ammontare di denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 4. Si consideri un contratto Zcomposto da una quota di Y, due azioni e uno zero coupon con valore nominale 50: determinare il Delta Z di questo contratto. 5 settembre 2005 Modelli matematici per i mercati finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori semestrali a = 1.3 e b = 0.8 rispettivamente. Il tasso di interesse semestrale è pari al 10%. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put europea P con scadenza in t = 2, cioè tra un anno, e con strike K = 100. Calcolare il Delta di P in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 se la put è americana, cioè se è consentito in t = 1 l esercizio anticipato. Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.23, r = 0.15 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = min{s T, 100} + S T (riportando l eventuale decomposizione utilizzata e i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra sei mesi, supponendo che il titolo rischioso valga S 0.5 = settembre 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario e modelli matematici- vecchio ordinamento In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 0.05 e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia coordinate σ M = 0.15, µ M = Determinare il market price of risk π. 2. Dato un portafoglio P e indicato con I P il relativo rendimento, supponiamo di conoscere la covarianza tra I P ed I M : Cov(I P, I M ) = Calcolare β P e µ P. 3. Supponendo infine che il valore atteso del payoff di P sia E[A P ] = 100, calcolare il prezzo di P ad inizio periodo col metodo RAD.

22 Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.20 o al ribasso con fattore b = 0.70, c. K è pari a 100 Euro. e sia Y il contratto con payoff Y T = max(s T K, 0) 2 max ( 3 4 K S T, 0 ). 1. Disegnare il payoff Y T e dire di quali opzioni si compone. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y. 3. Determinare l ammontare di denaro da investire in S all istante iniziale per replicare Y. 4. Si consideri un contratto Zcomposto da una quota di Y, due azioni e uno zero coupon con valore nominale 50: determinare il Delta Z di questo contratto. ESERCIZIO 3 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.23, r = 0.15 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = min{s T, 100} + S T (riportando l eventuale decomposizione utilizzata e i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra sei mesi, supponendo che il titolo rischioso valga S 0.5 = settembre 2005 Teoria matematica del portafoglio finanziario In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli rischiosi e in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = 0.05 e si supponga che il portafoglio di mercato M abbia coordinate σ M = 0.20, µ M = Determinare il market price of risk π. 2. Dato un portafoglio P e indicato con I P il relativo rendimento, sia Cov(I P, I M ) = Calcolare β P e µ P. Si può affermare che P è efficiente? 3. Dato infine un portafoglio efficiente Q con Cov(I Q, I M ) = 0.06, determinare σ Q e µ Q. Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che:

23 b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.20 o al ribasso con fattore b = 0.90, c. K 1 è pari a 107 e K 2 = 95. e sia Y il contratto con payoff Y T = 2 max(s T K 1, 0) + max (K 2 S T, 0). 1. Disegnare il payoff Y T e dire di quali opzioni si compone. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y. 3. Determinare il Y. 4. Se Z è il contratto dato da tre quote di Y ed una azione, determinare Z. 20 settembre 2005 Modelli matematici per i mercati finanziari Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi due semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori a = 1.2 e b = 0.8 rispettivamente. Il tasso di interesse semestrale è pari al 7%. Calcolare il prezzo C 0 in t = 0 di una call europea C con scadenza un anno e strike K = 105. Calcolare il Delta di C in t = 1, sia in caso di rialzo che in caso di ribasso di S. Calcolare il prezzo P 0 in t = 0 di una put americana con stesso strike e scadenza di C. Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.23, r = 0.15 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = 3 max{s T, S 0 } (riportando i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra due mesi, supponendo che il titolo rischioso si deprezzi del 2%. 5 aprile 2006 Teoria matematica del portafoglio finanziario Esercizio 1 In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = Supporre che il prezzo di mercato del rischio sia π M = 1.5 e che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 0.32.

24 1. Determinare σ M. 2. È dato un portafoglio P efficiente: indicando con I P il relativo rendimento, sia Cov(I P, I M ) = Calcolare µ P. 3. Supporre che un secondo portafoglio Q abbia ρ Q,M = 0.5 ed abbia il seguente payoff: { 5 con probabilità 0.4 A Q = 3 con probabilità 0.6 Determinare β Q. Esercizio 2 Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumere che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.25 o al ribasso con fattore b = 0.90, c. K è pari a 100. Sia Y il contratto con payoff Y T = 3 max( K 2 S T, 0) max (S T K, 0). 1. Disegnare il payoff Y T e dire di quali opzioni si compone. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y. 3. Determinare il Y. 4. Qual è il della posizione Z ottenuta: 1) comprando una quota di Y e 2) vendendo due opzioni call su S con strike K? 5 aprile 2006 Modelli matematici per i mercati finanziari Esercizio 1 Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi tre semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori a = 1.1 e b = 0.8 rispettivamente. Il tasso di interesse semestrale è pari al 2%. 1. Calcolare il prezzo C 0 in t = 0 di una call europea C con scadenza un anno e strike K = Calcolare il Delta di C in t = 2 3. Calcolare il Delta di C in t = 1. Esercizio 2 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.25, r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare:

25 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = min{s T, S 0 } + S T (riportando i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra un mese, supponendo che il titolo rischioso resti costante. 14 giugno 2006 Teoria matematica del portafoglio finanziario Esercizio 1 In uno schema uniperiodale e sotto le ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato di titoli in cui sia presente un titolo non rischioso con rendimento i = Supporre che il prezzo di mercato del rischio sia π M = 1.00 e che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = Determinare σ M. 2. Si sa che il β di portafoglio P è Calcolare µ P. 3. Supponiamo di aver stimato la correlazione del portafoglio P al punto precedente con M e di aver ottenuto ρ P M = 1. Determinare σ P e descrivere l insieme dei portafogli ottenibili come mixing di P ed M. 4. Supponiamo di aver invece stimato la deviazione standard σ P e di aver trovato σ P = Calcolare la correlazione ρ P M in questo nuovo contesto. Esercizio 2 Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumere che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.2 o al ribasso con fattore b = 0.90, c. c è un parametro positivo, che fissiamo pari a 5. Sia Y c il contratto con payoff Y c T = max(s T (S 0 + c), 0) max (S 0 S T, 0). 1. Disegnare il payoff Y c T e dire di quali opzioni si compone. 2. Determinare il prezzo Y c 0 in t = 0 di Y c. 3. Ora, sia semplicemente c 0. In una ottica simile a quella dei contratti forward, trovare il valore di c che rende nullo il valore iniziale di un contratto del tipo sopra descritto (ovvero, Y c 0 = 0).

26 14 giugno 2006 Modelli matematici per i mercati finanziari Esercizio 1 Il prezzo di una azione S è 100 e in ognuno dei prossimi quattro semestri il prezzo può variare moltiplicativamente, apprezzandosi o deprezzandosi con fattori a = 1.2 e b = 0.9 rispettivamente. Il tasso di interesse semestrale è pari al 2.5%. 1. Calcolare il prezzo C 0 in t = 0 di una call europea C con scadenza un anno e strike K = Calcolare il Delta di C in t = 2. Esercizio 2 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 50, che σ = 0.25, r = 0.01 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari a sei mesi e payoff V T = max(s T, S 0 ) (riportando i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. Detto W il contratto con scadenza T e payoff W T = V T + min(s T, S 0 ), trovare il Delta di W in ogni istante 0 t T. 19 luglio 2006 Teoria matematica del portafoglio finanziario Esercizio 1 In uno schema uniperiodale e nelle ipotesi del modello CAPM, si consideri un mercato formato da titoli rischiosi e da un titolo non rischioso N con rendimento i = Si supponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso µ M = 0.22 e deviazione standard σ M = Sia P il portafoglio a varianza minima tra quelli costituiti solo da titoli rischiosi. Ponendo che tale portafoglio abbia deviazione standard σ = 0.10 e rendimento atteso µ = 0.11, calcolare: 1. le quote di composizione w (1) N, w(1) M del portafoglio efficiente P 1 con deviazione standard σ P 1 = σ P ; 2. il coefficiente di correlazione di P col portafoglio di mercato; 3. i prezzi a inizio periodo di P 1 e di P col metodo RAD, supponendo che per i valori attesi dei rispettivi payoff si abbia: E[A 1 ] = E[A ] = 100. Interpretare il risultato. Esercizio 2 Utilizzando il modello binomiale a un periodo, assumiamo che:

27 b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.30 o al ribasso con fattore b = 0.90, c. K è pari a 100. e sia Y il contratto con payoff Y T = 2 min(s T, K). 1. Disegnare il payoff Y T e darne una decomposizione in sole opzioni e investimenti nel titolo rischioso. 2. Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 di Y. 3. Determinare il Y. 4. Se il fattore di rialzo a diminuisce (fermi restando gli altri valori e la relazione a > 1 + i), come cambierà il prezzo Y 0? 19 luglio 2006 Modelli matematici per i mercati finanziari Esercizio 1 Utilizzando il modello binomiale a tre periodi, assumiamo che: b. un titolo azionario S ha prezzo corrente S 0 = 100 Euro e può subire un movimento al rialzo con fattore a = 1.15 o al ribasso con fattore b = 0.8, c. K = Determinare il prezzo Y 0 in t = 0 della put europea Y T = max(k S T, 0). 2. Calcolare il prezzo Z 0 della put americana con payoff come al punto precedente. Esercizio 2 Sulla base del modello di Black e Scholes per attivi che non pagano dividendi, sapendo che l attivo in t = 0 vale S 0 = 100, che σ = 0.21, r = 0.02 (tutte le quantità sono espresse in base annua), calcolare: 1. il prezzo V 0 in t = 0 del contratto V con scadenza T pari ad un anno e payoff V T = S max(s 0 S T, 0) (riportando i valori di d 1 e di d 2 ). 2. il Delta di V in t = 0; 3. il Delta di V tra due mesi, supponendo che il titolo rischioso valga in tale data 105.