Valore equo di un derivato. Contingent claim

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1 Contingent claim Ci occuperemo ora di determinare il prezzo equo di un prodotto derivato, come le opzioni, e di come coprire il rischio associato a questi contratti. Assumeremo come dinamica dei prezzi il moto browniano geometrico e quindi considereremo il modello di Black & Scholes per il calcolo del prezzo delle opzioni. Gli strumenti sin qui introdotti ci permettono di estendere la trattazione a contratti generali non solo di tipo put e call ma anche opzioni asiatiche, con barriera etc (restano escluse le opzioni americane per il momento). Questi contratti vengono chiamati contingent claims.

2 Contingent claim Un contingent T -claim è un contratto finanziario che paga al sottoscrittore (holder) un ammontare stocastico X al tempo T. La variabile casuale X è F T -misurabile e T è il tempo di esercizio del contingent claim. Dire che X è F T misurabile, vuol dire che X dipende dall informazione generata da tutte le possibili traiettorie del moto browniano fino al tempo T. Ovviamente la dipendenza si manifesta attraverso quella del valore dell asset considerato la cui dinamica è guidata dal moto browniano.

3 Contingent claim Tutti i contratti con un payoff del tipo f (S(T )), dove f è una particolare funzione, sono dei contingent claim. Sia X = f (S(T )), allora X dipende da S(T ) (il valore dell asset sottostante) che a sua volta dipende da B(T ). Quindi X è F T adattata. Per un opzione call si porrà f (x) = max(x K, 0), mentre per una put f (x) = max(k x, 0).

4 Opzioni call Valore equo di un derivato Infatti, si consideri un opzione call: se la differenza tra il prezzo S(T ) dell asset all istante T è superiore al valore di esercizio K, compreremo l asset dal writer al prezzo d esercizio stabilito K e rivendendo il titolo sul mercato realizzeremo S(T ) K, viceversa il guadagno sarebbe nullo. Quindi, per un opzione call il payoff è dato da f (S(T )) = max(s(t ) K, 0) e analogamente per le opzioni di tipo put.

5 Opzioni con barriere Un opzione con barriera è caratterizzata dal seguente fatto: se nel periodo di tempo (0, T ) il titolo sottostante valica una certa soglia prefissata β, il contratto non paga nulla. Al contrario, se il titolo non valica la soglia β, il contratto paga come per un opzione put o call.

6 Opzioni con barriere Si pensi ad un contratto in cui il payoff viene annullato quando il titolo supera la soglia β > K. In tal caso il payoff X e la funzione f si scriverebbero come segue X = χ {S(t)<β,t T } max(s(t ) K, 0) Come si vede il payoff X dipende da tutti i valori assumibili da S(t) per t T, e quindi da B(t), t T.

7 Opzioni asiatiche Le opzioni asiatiche sono quelle il cui valore di esercizio è una funzione dalla media dei valori assunti dal titolo nell itervallo (0, T ). Ad esempio, una tale opzione potrebbe essere un contratto che paga la differenza tra la media dei valori del periodo e il prezzo di esercizio K, oppure 0. Di fatto questa è un opzione call con un payoff più articolato. In tal caso avremmo ( ) 1 T X = max S(t)dt K, 0 T 0 che è ancora un contingent claim.

8 Prezzatura e copertura dei contingent claim Sfruttando le proprietà di martingalità di alcuni processi S(t) è possibile stabilire il prezzo equo di un contingent claim. Mostreremo che questa tecnica, chiamata delle martingale, è molto flessibile. Nei casi più felici, in cui è possibile applicare il lemma di Ito a f (S(T )) (e.g. la derivabilità della funzione f ) per ricavare le equazioni differenziali stocastiche che poi risolte ci permetteranno di arrivare alla meta. Prima di passare alla soluzione con il modello in tempo continuo, risolviamo il problema per il caso discreto che è più semplice da sviluppare ma contiene le idee necessarie per lavorare nel caso continuo.

9 Mercati ad un periodo Supponiamo di avere un mercato di un azione e di un obbligazione e di volerne valutare i valori al tempo T. Supponiamo che l obbligazione abbia prezzo 1 al tempo 0 e l azione prezzo s 0. Se l azione avesse due soli possibli valori al tempo T l insieme degli eventi sarebbe del tipo Ω = {ω 1, ω 2 }, allora potremmo porre S(T, ω 1 ) = s 1 e S(T, ω 2 ) = s 2, ponendo per semplicità s 1 > s 0 > s 2. Sia p la probabilità di osservare un aumento del valore delle azioni, allora p = P(ω 1 ). Supponiamo che il tasso di interesse per l obbligazione sia r, allora al tempo T l obbligazione varrà 1 + r.

10 Mercati ad un periodo Se aquistiamo a azioni e b obbligazioni, il nostro portafoglio avrà il seguente valore al tempo T H(T, ω 1 ) = a s 1 + b (1 + r) con probabilità p. Viceversa sarà con probabilità 1 p. H(T, ω 2 ) = a s 2 + b (1 + r) Il nostro investimento iniziale avrà un costo pari a H(0) = a s 0 + b

11 Mercati ad un periodo Si può trovare una cosatnteq tale per cui H(0) = (1 + r) 1 (qh(t, ω 1 ) + (1 q)h(t, ω 2 )) cioè tale per cui a s 0 +b = (1+r) 1 (q(a s 1 +b (1+r))+(1 q)(a s 2 +b (1+r))) Proviamo a vedere...

12 Mercati ad un periodo a s 0 +b = (1+r) 1 (q(a s 1 +b (1+r))+(1 q)(a s 2 +b (1+r))) (a s 0 + b)(1 + r) =q(a s 1 + b (1 + r))+ a s 2 + b (1 + r) q(a s 2 + b (1 + r)) a s 0 (1+r)+b(1+r) a s 2 b (1+r) = q(a s 1 +b (1+r) a s 2 b (1+r)) a s 0 (1 + r) a s 2 = q(a s 1 a s 2 ) s 0 (1 + r) s 2 s 1 s 2 = q

13 Mercati ad un periodo Quindi q = s 0(1 + r) s 2 s 1 s 2 Se risultasse che q (0, 1), potremmo definire una nuova (misura di) probabilità su Ω ponendo Q(ω 1 ) = q e Q(ω 2 ) = 1 q e scrivere intendendo con E Q H(T ) H(0) = (1 + r) 1 E Q H(T ) E Q H(T ) = Q(ω 1 )H(T, ω 1 ) + Q(ω 2 )H(T, ω 2 ) In generale sarà q p e quindi q non è la vera probabilità di avere un incremento (che invece è p).

14 Misura neutrale al rischio Poniamo ora a = 1 e b = 0, cioè costruiamo un protafoglio di sole azioni, allora particolarizzando i calcoli appena visti avremmo che H(0) = (1 + r) 1 E Q H(T ) si riduce a s 0 = (1 + r) 1 E Q S(T ) Questo vuol dire che investire in azioni ha lo stesso tasso di rendimento di un obbligazione se al posto di P usiamo Q come misura per il calcolo del valore atteso. Siamo cioè in assenza di rischio. La misura Q è infatti la misura neutrale al rischio. Cosa ha a che fare questa misura con le opzioni?

15 Misura neutrale al rischio e opzioni Supponiamo di voler acquistare un continget claim X (un opzione call ad esempio) e di voler capire se il prezzo che ci viene proposto è adeguato. Si procede come segue: determiniamo a e b in modo tale che il portafoglio così trovato sia pari a X al tempo T, ovvero tale che sia H(T ) = X Il prezzo di X da pagare al tempo 0, P(0) deve allora essere pari a quello del portafoglio H(0). Un tale portafoglio viene chiamato portafoglio di copertura (hedging / replicating portfolio). Quindi P(0) = H(0) = (1 + r) 1 E Q H(T ) = (1 + r) 1 E Q X Cioè il prezzo equo da pagare è pari al valore atteso di X tramite la misura Q di rischio neutrale scontato P(0) = (1 + r) 1 E Q X

16 Mercati completi e assenza di arbitraggio Rimangono aperte due questioni: esiste sempre un portafoglio in grado di replicare/coprire un continget claim? Ovvero, il mercato è completo? perché si deve chiedere che il prezzo equo di un contingent claim debba eguagliare quello del portafoglio di copertura? Ovvero, perché dobbiamo escludere l arbitraggio?

17 Arbitraggio Valore equo di un derivato Supponiamo che il mercato tratti il claim al prezzo di P più basso di P(0) suggerito dalle ipotesi precedenti. In tal caso siamo in grado di esercitare arbitraggio, ovvero profitto senza rischio. Infatti, essendo P < P(0), possiamo acquistare al costo di N P, N di questi claim. Vendendo un portafoglio di copertura al prezzo di NH(0) possiamo finanziare questi N claim e avere un surplus di N(H(0) P) con cui possiamo acquistare obbligazioni. Non è necessario possedere i titoli che compongono il portafoglio perché il nostro acquirente ci chiederà di corrispondergli un rendimento solo alla fine del periodo T.

18 No free lunch Valore equo di un derivato Alla scadenza, T, dagli N claim abbiamo un entrata pari a NX che possiamo usare per pagare il costo del portafoglio di copertura che sarà pari a NH(T ). Ma a questo punto sono in scadenza anche le nostre obbligazioni che ora hanno un valore pari a N(H(0) P)(1 + r) Abbiamo dunque realizzato un profitto senza correre alcun rischio, ma questo non è compatibile con la struttura dei mercati finanziari. Analogamente se P > P(0). In buona sostanza, se il mercato non ammette possibilità di arbitraggio il prezzo equo di un claim è proprio P(0).

19 Completezza dei mercati Denotiamo con x 1 = X(ω 1 ) e x 2 = X(ω 2 ). Affinché sia H(T ) = X dobbiamo scegliare a e b in modo tale che as 1 + b(1 + r) = x 1 as 2 + b(1 + r) = x 2 da cui segue a = x 1 x 2 s 1 s 2 ( b = (1 + r) 1 x 1 x ) 1 x 2 s 1 s 2 E quindi una soluzione esiste.

20 Osservazioni e conclusioni Nella realtà dei mercati non tutti i claim sono replicabili (altrimenti non esisterebbero i claim e sarebbe sufficiente scegliere bene un portafoglio). Ciò implica che l ipotesi di mercato completo può risultare troppo restrittiva. P(0) e il portafoglio di copertura (cioè i coefficienti a e b) sono indipendenti da p, ovvero dalla probabilità che il titolo sottostante cresca. Il modello ad un passo è troppo riduttivo. Passeremo al tempo conitnuo.