Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

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Evangelina Marchetti
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1 Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel gioco del lotto ad ogni estrazione-che avviene settimanalmente- vengono pescate contemporaneamente palline da un urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 e per il resto indistinguibili. Giovanni ogni settimana gioca l ambo {89, 90} al lotto, cioè Giovanni vince se fra le palline estratte vi sono quelle numerate con 89 e Mostrare che il valore della probabilità di vincere in una singola estrazione (approssimato alla quarta cifra decimale per eccesso è pari a Se nelle prime estrazioni Giovanni non ha vinto con quale probabilità vincerà almeno una volta nelle prime estrazioni?. Calcolare in modo approssimato la probabilità di vincere esattamente volte in 00 estrazioni consecutive. 4. Se nelle prime 0 estrazioni Giovanni non ha vinto calcolare la probabilità che Giovanni vinca alla 1-esima.. Se nelle prime giocate Giovanni ha vinto tre volte, con quale probabilità ha vinto nelle prime tre giocate?. Giovanni ha vinto alla seconda partita, con quale probabilità aveva vinto alla prima? 1. Sia p la probabilità di vincere in una estrazione. Trattandosi di uno schema di estrazione senza reimmissione in cui non conta l ordinamento, abbiamo: ( 88 p = ( = Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero di vittorie in giocate ed E i gli eventi { Giovanni vince l i-esima giocata } per i = 1,,. Allora: P (X 1 E c 1 E c = 1 P (E c E c = 1 ( Possiamo approssimare la legge binomiale con la legge di Poisson di parametro λ = =.:.. P (X = = e 0.18.! 1

indistinguibili. Giovanni ogni settimana gioca l ambo {89, 90} al lotto, cioè Giovanni vince se fra le palline estratte vi sono quelle numerate con 89 e 90. 1.

2 4. Poniamo T =n. di giocate necessarie per vincere, T Geom(0.00. Abbiamo. Dobbiamo calcolare: P (T = 1 T > 0 = ( ( = 0.00 P (E 1 E E X = = P (E 1 E E E c 4 E c E c E c P (X =. Le due prove sono indipendenti: P (E 1 E = = 1 Esercizio 1.0. (I prova in itinere Ing. Informatica Armando vuole giocare alla roulette puntando sul rosso 1 euro a puntata. Sapendo che la probabilità di vincere puntando sul rosso in una roulette non truccata è pari a 18/, 1. calcolare la probabilità che Armando vinca per la prima volta alla quinta partita.. Se Armando gioca partite, calcolare la probabilità che ne abbia vinte almeno due.. Osservando che ogni volta che vince, vince 1 euro ed ogni volta che perde, perde 1 euro, qual è la probabilità che alla fine delle partite il capitale di Armando sia aumentato di euro? 1. Sia T il numero di partite, inclusa l ultima, necessarie per osservare una vittoria. Allora T è una variabile geometrica di parametro 18/ e si ha P (T = = 18 ( = Sia X il numero di partite vinte da Armando in una sequenza di partite. Allora X Bi(, 18/, quindi P (X = 1 P (X < = 1 1 ( ( k ( k = k k=0 = 1 ( ( 19 9 = Il capitale viene incrementato di euro se il numero di vincite meno il numero delle perdite cioè X ( X, vale. Ci si verifica solo se X =. Quindi la probabilità richiesta è P (X = = ( Altre densità discrete notevoli ( = 0.19 Esercizio (svolto in classe In una città ci sono 8 stazioni di rifornimento, di cui sono selfservice. Un automobilista ne sceglie a caso una per giorni consecutivi, ogni giorno in modo indipendente dagli altri giorni. Calcolare la probabilità che faccia rifornimento in un self- service il secondo giorno. Calcolare la probabilità che capiti in un self-service esattamente volte.

Sapendo che la probabilità di vincere puntando sul rosso in una roulette non truccata è pari a 18/, 1. calcolare la probabilità che Armando vinca per la prima volta alla quinta partita.

3 Possiamo modellizzare le scelte dell automobilista tramite uno schema di Bernoulli di cinque prove indipendenti. Il successo corrisponde alla scelta del self-service e quindi ogni prova avrà probabilità di successo p = /8 = 0.. In particolare se definiamo E = L automobilista sceglie il self-service il secondo giorno allora P (E = 8. Sia ora X = numero di successi. Allora X B(n, p = B(, /8 e si trova che la probabilità cercata è: ( P (X = = ( 8 ( = Esercizio 1.1. (svolto in classe Calcolare la probabilità degli stessi eventi supponendo però che l automobilista non faccia mai rifornimento due volte nella stessa stazione. Questa volta l automobilista sceglie n = stazioni da un insieme di N = 8 stazioni di cui K = self-service, senza ripetizioni: è come se estraesse senza reimmissione n = palline da un urna di N = 8 palline di cui K = rosse e le rimanenti bianche. Se E i = Il giorno i- esimo l automobilista sceglie il self-service per i = 1,, allora: P (E = P (E E1P c (E1 c + P (E E 1 P (E 1 = = 8 Sia X = numero di self-service. In questo caso X ha legge ipergeometrica di parametri (8,, e si trova ( ( 4 P (X = = ( =!! = = ! Esercizio 1.1. (svolto in classe In una certa provincia montuosa si può supporre che il numero X di frane al mese sia una variabile aleatoria con la legge di Poisson di parametro λ =.. a Calcolare la probabilità che ci siano almeno due frane in un dato mese. b Quanto dovrebbe valere il parametro λ affinché la probabilità che in un mese non ci siano frane sia superiore a 1/? a X ha legge di Poisson di parametro λ =.. P (X = 1 P (X = 0 P (X = 1 = 1 e λ λe λ = b Adesso il parametro λ é incognito, deve risultare P (X = 0 = e λ > 1, quindi λ > ln 1, λ < ln = Esercizio (svolto in classe Al buio cerco la chiave del mio ufficio in un mazzo di chiavi tutte della stessa fattura. Ovviamente metto da parte le chiavi provate. Sia X il numero di chiavi che devo provare per trovare la chiave giusta. 1. Quanto vale la probabilità di controllare almeno 8 chiavi?. Qual è la densità di probabilità di X?. Sapendo che al primo tentativo non ho trovato la chiave giusta, con quale probabilità non la trovo neanche al secondo? 4. Come cambiano le risposte ai punti precedenti se, stupidamente non metto da parte le chiavi già provate prima di procedere a provarne una nuova?

. In particolare se definiamo E = L automobilista sceglie il self-service il secondo giorno allora P (E = 8. Sia ora X = numero di successi.

4 X può assumere valori in {1,..., } 1. P ( devo controllare almeno 8 chiavi = P (X 8 = P (X > 7 = (9 7 7 = 1 7 = 0... Per k = 1,,,..., si ha che: P (X = k = P (X > k 1 P (X > k notiamo che P (X > 0 = 1 e P (X > = 0, inoltre ( 9 P (X > k = ( k = k k quindi, per ogni k = 1,..., :. Dobbiamo calcolare: p X (x = P (X > X > 1 = non vale la proprietà di assenza di memoria! 1 per k = 1,..., per k = 1,..., 9 P (X > P (X > 1 = 8 9 P (X > 1 = 9 Nota X è la variabile aleatoria uniforme discreta sui primi numeri naturali. Se il mazzo fosse stato formato da n chiavi avremmo ottenuto per X la densità discreta uniforme sui primi n numeri naturali, cioè X assume i valori in S := {1,..., n} con probabilità data da p X (k = 1/n, k S. 4. Se prima di provare una nuova chiave, rimetto la chiave nel mazzo allora lo schema di riferimento è di estrazioni con reimmissione e la variabile aleatoria, diciamo Z, che indica il numero di chiavi da provare per trovare quella dell ufficio ha densità geometrica di parametro 1/. Quindi: P (Z 8 = P (Z > 7 = (9/ 7 [le risposte ai punti 1 e sono lasciati ai lettori]. Esercizio 1.1. Il % di un lotto di 0 fusibili è soggetto a controllo casuale prima di essere immesso sul mercato. Se un fusibile non brucia ad un determinato amperaggio l intero lotto viene mandato indietro. In realtà, il lotto contiene fusibili difettosi. 1. Qual è la probabilità che il lotto sia rispedito indietro?. Un compratore temendo che la percentuale di pezzi difettosi sia elevata decide di controllare il lotto fino a quando non trova i pezzi difettosi. Qual è la probabilità che sia necessario controllarne più di cinque per scoprire il pezzo difettoso?. Se i primi fusibili sono funzionanti, qual è la probabilità che sia necessario controllare più di fusibili per scoprire un fusibile difettoso? Il lotto rispedito indietro se almeno un fusibile sui (= % dei 0 scelti a caso per il controllo non brucia ad un determinato amperaggio. I fusibili da controllare sono estratti senza reimpiazzo dal lotto di 0 pezzi costituito da 90 fusibili funzionanti e difettosi. Pertanto, la variabile aleatoria X che conta il numero di fusibili difettosi su ha densit ipergeometrica di parametri (, 0, : P (X = k = k k k = 0,..., e P ( il lotto è rispedito indietro = P (X 1 = 1 P (X = 0 = 1 0 =

Dobbiamo calcolare: p X (x = P (X > X > 1 = non vale la proprietà di assenza di memoria! 1 per k = 1,..., per k = 1,..., 9 P (X > P (X > 1 = 8 9 P (X > 1 = 9 Nota 1.1.1 X è la variabile aleatoria uniforme discreta sui primi numeri naturali.

5 Sia Y il numero di pezzi difettosi da controllare per scoprire un primo pezzo difettoso. Allora Y > k se e solo se i primi k pezzi controllati sono tutti funzionanti, da cui: Segue che P (Y > k = P ( si estrae una successione di k fusibili senza reimpiazzo tutti funzionanti k k = 1,..., 90 = k. P (Y > = (90. Dobbiamo calcolare P (Y > Y > : P (Y > Y > = P (Y > Y > P (Y > = P (Y > P (Y > = / = 8 9 Nota 1.1. In questo esercizio, non vale la proprietà di assenza di memoria. Infatti si verifica facilmente che P (Y > 1 > P (Y > Y >. D altro canto, lo schema di estrazione dei fusibili è senza reimpiazzo. 1. Variabili aleatorie continue Esercizio 1..1 (svolto in classe Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con funzione di densità x 0 < x f X (x = x + < x 1. Determinare la funzione di ripartizione di X. Usando la funzione di ripartizione individuata, determinate P ( X 9. Indicata con F X la funzione di ripartizione di X, vale che 0 x 0 x F X (x = 0 0 < x x 0 + x 1 < x 1 x (1 P ( X 9 = F X (9 F X ( = ( = 0.9 ( 0 Notare che nel caso continuo P (a X b = P (a < X b = P (a < X < b

.., 90 = k. P (Y > = (90. Dobbiamo calcolare P (Y > Y > : P (Y > Y > = P (Y > Y > P (Y > = P (Y > P (Y > = / = 8 9 Nota 1.1. In questo esercizio, non vale la proprietà di assenza di memoria.

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