Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

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1 Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre fatta in DUE passi Primo passo: si individua un modello matematico atto a descrivere il problema Secondo passo: si procede al calcolo all interno del modello matematico scelto SEGNALAZIONI DI ERRORI SONO GRADITE Esercizio Data un urna contenente 3 palline bianche e 4 nere, si effettuano 3 estrazioni, senza restituzione, da tale urna Se vengono estratte 2 palline bianche ed nera, il gioco ha termine, altrimenti si reinseriscono le tre palline estratte nell urna, e si ripete la procedura Si determini la probabilità che il gioco termini alla terza prova Soluzione Sia A i {vengono estratte 2 palline bianche ed nera alla i-esima ripetizione della procedura} Gli A i formano una successione di prove di Bernoulli con probabilità di successo P (A ) 2)( (3 4 ) p La probabilità che il gioco termini ( 7 3) alla terza prova è ( p) 2 p Esercizio 2 Da un urna, contenente 7 palline bianche e 6 nere, vengono effettuate 3 estrazioni Dopo ogni estrazione, la pallina estratta viene rimessa nell urna insieme ad un ulteriore pallina dello stesso colore Si determini la probabilità di ottenere 2 palline bianche ed nera Soluzione Indichiamo con B i l evento pallina bianca alla i-esima estrazione, con N i l evento pallina nera alla i-esima estrazione e con A l evento si ottengono 2 palline bianche ed nera nelle 3 estrazioni Allora, A (B B 2 N 3 ) (B N 2 B 3 ) (N B 2 B 3 ), e si tratta di una unione di tre eventi a due a due incompatibili Quindi P (A) è la somma delle probabilità di quei tre eventi Calcoliamo la probabilità del primo P (B B 2 N 3 ) P (B )P (B 2 B )P ((N 3 B B 2 ) Si usa lo stesso procedimento per calcolare la probabilità degli altri due eventi, e si vede subito che sono uguali a quella del primo (i denominatori restano 3, 4 e 5 in questo ordine, ed i numeratori restano 7, 8 e 6 in un ordine diverso Segue che P (A) Esercizio 3 Un urna contiene 2 palline, di cui b bianche e v verdi, con b, v > 0 Consideriamo le possibili composizioni dell urna equiprobabili Un amico estrae, senza farla vedere, una pallina dall urna e ne osserva il colore Poi rimette la pallina nell urna, aggiungendo una pallina dello stesso colore e togliendone una dell altro colore Completata questa operazione, l urna viene aperta e si trovano 5 palline bianche e 7 verdi Calcolare la probabilità che la composizione iniziale fosse di 6 palline bianche e 6 verdi Soluzione Le possibili composizioni dell urna sono riconoscibili dal numero di palline bianche presenti nell urna Poiché b, v > 0, l urna contiene almeno pallina bianca, ma non ne contiene più di Ci sono quindi possibili composizioni dell urna Indichiamo con H i l evento l urna contiene esattamente i palline bianche, i,, Per ipotesi P (H i ) per ogni i,, Solo due di queste composizioni sono compatibili con ciò che si trova nell urna quando

2 2 questa viene aperta Precisamente, sia A l evento si trovano 5 palline bianche e 7 verdi al termine dell operazione Allora P (A H i ) 0 a meno che i 4 oppure i 6 Inoltre P (A H 4 ) P (l amico estrae pallina bianca H 4 ) 4 2 e P (A H 6 ) P (l amico estrae pallina verde H 6 ) 6 2 Il testo richiede di calcolare P (H 6 A Per il teorema di Bayes e le considerazioni precedenti, P (A H 6 )P (H 6 ) P (H 6 A) i P (A H i)p (H i ) P (A H 6 )P (H 6 ) 6 P (A H 4 )P (H 4 ) + P (A H 6 )P (H 6 ) Esercizio 4 Da un urna, contenente 3 palline bianche, 4 palline nere, e 2 palline rosse vengono estratte 4 palline senza restituzione Si determini la probabilità di ottenere pallina bianca, 2 palline nere ed pallina rossa Soluzione Ci sono ( ( 9 4) modi di estrarre le 4 palline dall urna, e si tratta di 9 ) 4 casi possibili ed equiprobabili Il numero di quaterne di palline che soddisfano la richiesta del testo è ( 3 )( 4 2)( 2 ) ( La probabilità richiesta è quindi 3 )( 4 2)( 2 ) ( 9 4) Esercizio 5 Un urna contiene pallina bianca ed pallina nera A turno due giocatori prelevano a caso una pallina, con restituzione Vince il primo che prende pallina bianca Trovare la probabilità che vinca quello che inizia Soluzione Gli eventi A i {esce pallina bianca alla i-esima estrazione} formano una successione di prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Vince il giocatore che inizia se il primo A i che si verifica ha l indice i dispari In altri termini, vince il giocatore che inizia se si verifica l evento A (A c A c 2 A 3 ) (A c A c 2 A c 3 A c 4 A 5 ) Si tratta di una unione di eventi a due a due incompatibili Inoltre gli eventi all interno di ciascuna parentesi sono indipendenti La probabilità richiesta è quindi 2 + ( 2 )3 + ( 2 ) Esercizio 6 Si tenta di aprire una porta usando un mazzo di chiavi in sequenza, a partire da una chiave scelta a caso (non si ritenta mai con una chiave già provata) Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo, k n Soluzione Si immaginino le chiavi numerate da ad n Scegliere le chiavi in sequenza equivale a scegliere una permutazione dei numeri {,, n} Siccome la scelta è casuale, le permutazioni sono equiprobabili Ci sono in tutto n! permutazioni La porta viene aperta al k-esimo tentativo se la permutazione scelta ha la cifra k al k-esimo posto Di tali permutazioni ce ne sono (n )! La probabilità richiesta è quindi (n )! n! n Esercizio 7 (Durrett EP, 52) Un piccolo insediamento è costituito da 5 famiglie, ciascuna composta da 4 persone Una certa malattia ha colpito 6 individui Ammesso che la malattia colpisca a caso, calcolare la probabilità che (a) solo due famiglie abbiano almeno un malato; (b) solo una famiglia sia senza malati; (c) tutte le famiglie abbiano qualcuno malato Soluzione Numeriamo le persone e le famiglie, per esempio immaginando che la prima famiglia sia composta dalle persone da a 4, la seconda da quelle da 5 a 8, e così via Consideriamo dapprima le persone Siccome la malattia colpisce a caso, chiamando successo alla prova i-esima l evento A i {la persona i-esima

3 3 viene colpita dalla malattia}, si hanno 20 prove di Bernoulli con probabilitá di successo 6 20 Consideriamo adesso le famiglie e gli eventi B j {la j-esima famiglia ha almeno un malato} Quindi l evento B dipende solo dagli eventi da A ad A 4, l evento B 2 dipende solo dagli eventi da A 5 ad A 8, e così via Siccome gli eventi A i sono indipendenti, ed i B j dipendono da quaterne di A i che non hanno elementi in comune, anche gli eventi B j sono indipendenti Inoltre sono equiprobabili Infatti, P (B j ) P (almeno un successo in 4 prove) P (nessun successo in 4 prove) ( 6 20 )4 p Allora anche gli eventi B j sono prove di Bernoulli Con riferimento ad essi, adesso il successo alla prova j-esima è l evento B j, ed abbiamo quindi 5 prove di Bernoulli con probabilità di successo p Ne segue che P (solo due famiglie abbiano almeno un malato) ( ) 5 P (esattamente 2 successi su 5 prove) p 2 ( p) 3, 2 P (solo una famiglia sia senza malati) ( ) 5 P (esattamente 4 successi su 5 prove) p 4 ( p), 4 P (tutte le famiglie abbiano qualcuno malato) P (5 successi su 5 prove) p 5 Esercizio 8 Una studentessa risponde ad un test che contiene 0 domande, ciascuna con 4 risposte indicate, di cui esattamente una è giusta La studentessa non ha seguito le lezioni e risponde scegliendo a caso, per ciascuna domanda, tra le 4 risposte indicate Qual è la probabilità che dia esattamente 3 risposte giuste? Soluzione Rispondendo a caso, la studentessa fa 0 prove di Bernoulli con probabilità di successo 4 La probabilità richiesta è ( ) 0 3 ( 4 )3 ( 3 4 )7 Esercizio 9 Un dado viene lanciato 8 volte Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 volte il numero 3? Soluzione Gli 8 lanci possono essere visti come 8 prove di Bernoulli con probabilità di successo 6, intendendo per successo l uscita del 3 La probabilità richiesta è ( ) 8 2 ( 6 )2 ( 5 6 )6 Esercizio 0 Due studentesse, Alice ed Elisabetta, frequentano il corso di Statistica Alice va a lezione l 80% delle volte, Elisabetta il 60% delle volte, e le loro assenze sono indipendenti In un dato giorno, calcolare la probabilità che (a) almeno una delle due studentesse sia in classe; (b) esattamente una delle due studentesse sia in classe Soluzione Indichiamo con A l evento Alice è in classe, e con E l evento Elisabetta è in classe Sulla base delle informazioni date dal testo, si può formalizzare la situazione dicendo che P (A) 80 60, P (E), e gli eventi A ed E sono indipendenti Allora poiché A ed E sono indipendenti P (A E) P (A)P (E), e si ottiene P (almeno una delle due studentesse sia in classe) P (A E) P (A) + P (E) P (A E) P (A) + P (E) P (A)P (E),

4 4 P (esattamente una delle due studentesse sia in classe) P ( (A E c ) (A c E) ) P (A E c ) + P (A c E) perché l unione è di eventi incompatibili P (A)P (E c ) P (A c )P (E) di nuovo per l indipendenza P (A)( P (E)) + ( P (A))P (E) Sostituendo i valori di P (A) e P (E) si conclude Esercizio Tre studenti hanno ciascuno probabilità /3 di risolvere un certo problema, ed agiscono indipendentemente l uno dall altro Qual è la probabilità che almeno uno risolva il problema? Soluzione Sia A i l evento lo studente i-esimo risolve il problema Le informazioni fornite dal testo permettono di formalizzare la situazione dicendo che gli eventi A i sono indipendenti ed hanno probabilità 3 Allora la probabilità richiesta è P (A A 2 A 3 ) P (A c A c 2 A c 3) P (A c )P (A c 2)P (A c 3) ( 2 3 )3 Esercizio 2 Quanti bambini deve fare una coppia per avere probabilità maggiore di 0, 75 di ottenere almeno 2 femmine? Soluzione Sia A i l evento nasce una femmina all i-esimo tentativo Formalizziamo dicendo che gli eventi A i sono prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Allora, fissato n 2, se la coppia fa n bambini la probabilità che ottenga almeno 2 femmine è P (ne ottiene 0 oppure ne ottiene ) P (0 successi su n prove) P (esattamente successo su n prove) ( ) n 0 ( 2 )n ( ) n ( 2 )n ( 2 )n n( 2 )n f(n) Al crescre di n anche f(n) cresce Il numero di bambini che deve fare la coppia è quindi il più piccolo n tale che f(n) supera 0,75 Viene n Esercizio 3 Un amico lancia 2 volte una moneta e vi dice che almeno una volta è venuto testa Qual è la probabilità che al primo lancio sia venuto testa? Soluzione Sia A i l evento esce testa al lancio i-esimo Gli eventi A i sono prove di Bernoulli con probabilità di successo 2 Il testo chiede di calcolare P (A A A 2 ) In particolare, per l indipendenza degli A i si ha P (A A 2 ) P (A )P (A 2 ) Allora, P (A A A 2 ) P (A (A A 2 )) P (A A 2 ) P (A ) P (A ) + P (A 2 ) P (A A 2 ) P (A ) P (A ) + P (A 2 ) P (A )P (A 2 ) 2 3 Esercizio 4 Un urna contiene 8 palline rosse, 7 palline blu e 5 palline verdi Si estraggono (senza restituzione) 2 palline, che risultano di colori differenti Data quest informazione, qual è la probabilità che si tratti di una pallina rossa e di una blu? Soluzione Sia A rb l evento si sono estratte una pallina rossa ed una blu, e sia B l evento le due palline estratte sono di colori differenti Il testo richiede di calcolare P (A B) Per definizione P (A B) P (A B) P (B) Siccome A B, P (A ( 20 2 ) Indichiamo con A rv l evento si sono estratte una pallina rossa ed una verde, e con A bv l evento si sono estratte una pallina blu ed B) P (A) (8 )( 7 )( 5 0)

5 5 una verde Gli eventi A rb,a rv,a bv sono a due a due incompatibili e la loro unione è B Quindi P (B) P (A rb ) + P (A rv ) + P (A bv ) )( (8 7 )( 5 0) + )( (8 7 0)( 5 ) + 0)( (8 7 )( 5 ) ( 20 2 ) ( 20 2 ) ( 20 2 ) Esercizio 5 In una cittadina il 60% degli abitanti è abbonato al giornale a, il 40% al giornale b, ed il 30% ad entrambi Si prende una persona a caso tra quelle che sono abbonate ad almeno uno dei due giornali Qual è la probabilità che questa persona sia abbonata al giornale a? Soluzione Sia A l evento la persona è abbonata al giornale a, e B l evento la persona è abbonata al giornale b Le informazioni nel testo portano a modellare la situazione dicendo che P (A) 60 calcolare P (A A B) P (A) P (A)+P (B) P (A B) , P (B), P (A B), e che dobbiamo Si ha che P (A A B) P [A (A B)] P (A B) P (A) P (A B) Esercizio 6 Supponiamo che, in un certo paese, la probabilità che un uomo sposato voti sia 0,45, la probabilità che una donna sposata voti sia 0,4, e la probabilità che una donna sposata voti, dato che suo marito vota, sia 0,6 Presa una coppia sposata a caso, calcolare la probabilità che (a) entrambi votino; (b) l uomo voti, dato che sua moglie vota Soluzione Consideriamo la coppia scelta Sia A l evento la donna vot, e B l evento l uomo voti Le informazioni nel testo portano a modellare la situazione dicendo che P (A) 0, 4, P (B) 0, 45, P (A B) 0, 6, e che si deve calcolare (a) P (A B), (b) P (B A) Si ha P (A B) P (A B)P (B) 0, 6 0, 45 e P (B A) P (B A) P (A) 0,6 0,45 0,4 Esercizio 7 Dovete andare a prendere un amico all aereoporto, una certa mattina La vostra esperienza vi dice che l aereo arriva in ritardo il 70% delle volte quando piove, ma solo il 20% delle volte quando non piove Le previsioni del tempo per quella mattina danno pioggia al 40% Qual è la probabilità che l aereo arrivi in ritardo? Soluzione Consideriamo la mattina in questione Sia A l evento l aereo arriva in ritardo, e sia B l evento piove Usando le informazioni del testo si può dire che P (A B) 70, P (A Bc ) 20 40, P (B), e che dobbiamo calcolare P (A) Per il teorema delle probabilità totali P (A) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) ( ) Esercizio 8 Il 5% degli uomini e lo 0,25% delle donne è cieco ai colori Si può calcolare la probabilità che una persona cieca ai colori sia un uomo? Soluzione Prendiamo a caso una persona Sia A l evento la persona è un uomo e B l evento la persona è cieca ai colori Il testo ci porta a dire che P (B A) 5, P (B Ac ) 25 00, Si vorrebbe calcolare P (A B) Per il teorema P (B A)P (A) di Bayes, si ha che P (A B) P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) 5 5 P (A)+P ( )( P (A), ma non si può concludere il conto perché non conosciamo P (A) Esercizio 9 Il test della proteina alpha fetale viene usato per individuare la spina bifida nei feti La spina bifida è presente in su 000 nati La letteratura sul test indica che nel 5% dei casi un feto normale causa una reazione positiva Assumiamo che il test sia sempre positivo quando la spina bifida c è Ad una donna viene

6 6 comunicato che il test è positivo Qual è la probabilità che il suo bambino abbia la spina bifida? Soluzione Sia A l evento il feto ha la spina bifida e B l evento il test è positivo Sulla base del testo si può dire che P (A) 0, P (B Ac ) 5, P (B A) Si deve calcolare P (A B) Per il teorema di Bayes P (A B) P (B A)P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) ( 0 ) Esercizio 20 Una donna ha un fratello con l emofilia, ma i suoi genitori non hanno la malattia Poiché l emofilia è causata da un gene recessivo h sul cromosoma X, si può dedurre che la madre della donna è una portatrice sana (cioè ha il gene dell omofilia h su uno dei suoi cromosomi X ed il gene sano H sull altro cromosoma X) Poiché la donna ha ricevuto un cromosoma X dalla madre ed uno dal padre, c è probabilità /2 che essa sia portatrice sana, e, in tal caso, c è probabilità /2 che i suoi figli maschi (con padre senza la malattia) abbiano la malattia Se la donna ha due figli maschi senza la malattia, qual è la probabilità che sia una portatrice sana? Soluzione Sia A l evento la donna è una portatrice sana, B i l evento l iesimo figlio maschio ha la malattia, con i, 2 Per la natura del problema, la donna è sana oppure è una portatrice sana, e si può anche dire che B e B 2 sono indipendenti, nell ipotesi che la donna sia portatrice sana Inoltre, P (B A) P (B 2 A) 2, e P (A) 2 Dobbiamo calcolare P (A B B 2 ) Per il teorema di Bayes, P (A B B 2 ) P (B B 2 A)P (A) B B 2 A c )P (A c )+B B 2 A)P (A) P (B A)P (B 2 A)P (A) P (B A)P (B 2 A)P (A)+P (B B 2 A c )P (A c ) Esercizio 2 Una compagnia aerea vende 200 biglietti per un aereoplano con 98 posti, sapendo che la probabilità che un passeggero non si presenti è 0,0 Calcolare la probabilità che ci siano posti per tutti i passeggeri che si presentano Soluzione Anche se non è molto realistico, assumiamo che i passeggeri agiscano indipendentemente l uno dall altro Allora, posto A i (l iesimo passeggero si presenta), gli eventi A i sono 200 prove di Bernoulli con probabilità di successo 0, 99 Sia X il numero di passeggeri che si presentano La distribuzione di X è quella del numero si successi in 200 prove di Bernoulli(0,99), ovvero P (X k) ( ) 200 k (0, 99) k (0, 0) 200 k Allora P (tutti i passeggeri trovano posto) P (X 98) P (X 99) P (X 200) 200(0, 99) 99 0, 0 (0, 99) 200 Esercizio 22 Un uomo gioca alla roulette (una roulette che ha il doppio 0) e punta euro sul nero per 9 volte di seguito Ogni volta vince euro con probabilità 8/38 e perde euro con probabilità 20/38 Qual è il suo guadagno atteso? Soluzione Sia X il suo guadagno complessivo, e sia X i il suo guadagno la i- esima volta che gioca Si ha che E(X i ) , e quindi E(X) E(X + + X 9 ) E(X ) + + E(X 9 )