Tasso di interesse e capitalizzazione

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1 Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo a prestito oggi 1 e devo restituire fra un anno 1 + i. 1 + i è il montante di un prestito (somma odierna) pari a 1. Se prendo oggi a prestito la somma S, il montante è S (1 + i). Questo calcolo si chiama capitalizzazione. S(1+i)=S+Si Se prendo oggi a prestito la somma S, il montante è S (1 + i). Questo calcolo si chiama capitalizzazione. Dopo un anno il mio debito è S (1 + i). Se non ho risorse per la restituzione, devo prendere a prestito tale somma. Allora dopo due anni devo restituire S (1 + i) (1 + i) = S (1 + i) 2. Dopo n anni il mio debito diventa S (1 + i) n. i è il tasso, e (1+i) è il fattore, di crescita del montante

2 Attualizzazione (sconto) Se oggi ho la somma S e non mi serve, mi conviene darla a prestito, così domani ho S (1 + i), e fra n anni S (1 + i) n. Se so che fra un anno avrò la cifra F ma oggi devo spendere, posso prendere a prestito una somma, per restituirla domani usando F. Che cifra massima P posso prendere a prestito? Una cifra il cui montante sia proprio F, cioè P (1 + i) = F, ovvero: P = F / (1 + i). P è detto il valore attuale della cifra futura F. Il calcolo di P si chiama attualizzazione (o sconto). Se so che fra due anni avrò F, il suo valore attuale è F / (1 + i) 2. Il valore attuale della cifra F disponibile fra n anni è F / (1 + i) n. Nozione di equivalenza finanziaria.

3 Nozioni su variabili casuali Variabile casuale x =una variabile che in una data circostanza può assumere uno solo di diversi valori (es. roulette): x 1, x 2,, x n Ogni valore si può verificare con una certa probabilità: p 1, p 2,, p n Descrizione completa della variabile casuale: x 1 p 1 x 2 p 2... x n p n

4 Esito del lancio di una moneta non truccata: testa p=1/2 croce p=1/2 Esempi di variabili casuali Se l esito del lancio della moneta dà luogo a vincite monetarie, ho un altra variabile casuale. Es. testa = 100, croce = 0 : 100 p=1/2 0 p=1/2 Altro esempio. Lancio del dado: se esce la faccia 1 vinco 100, altrimenti vinco niente: 100 p=1/6 0 p=5/6

5 Media e valore atteso, 1 Per descrivere in modo sintetico le variabili casuali si usano indicatori sintetici. Il primo è il valore atteso. Per comprenderlo, partiamo dal concetto di media (voti in decimi): media fra 2 e 8 = (2+8)/2 = 5; media fra 4 e 6 = (4+6)/2 = 5 Graficamente: La media sta a metà strada. Ma ciò è vero solo nel caso particolare. Se invece io ho preso due 2 e un 8, la media è (2+2+8)/3 = 4. Grafico: 2 4 8

6 Media e valore atteso, 2 Altro esempio. Se ho preso questi voti (in trentesimi): 20, 24, 29, 24, 30, 21, 21, 24, 23 la media è: ( ) / 9 = 24. Altri modi di calcolarla: ( ) / 9 = /9+(21+21) 1/9+23 1/9+( ) 1/9+29 1/9+30 1/9 = / / / / / /9 = 24. Nell ultimo calcolo: ogni diverso valore è moltiplicato per la sua frequenza (= quante volte capita, diviso numero totale dei casi), e poi si somma tutto

7 Media e valore atteso, 3 Media è un concetto riferito a valori già osservati. Valore atteso è un concetto a priori, quando conosco le probabilità senza bisogno di osservare esperimenti e frequenze. Esempi: Lancio una moneta: se esce testa vinco 100, se croce vinco 0. Vincita attesa (calcolabile a priori) = 100 1/ /2 = 50. Compro un biglietto, dei venti milioni circolazione, della Lotteria Italia: se estratto vinco , altrimenti vinco 0. Vincita attesa = (1/ ) + 0 ( / ) = , , = 0,25 euro

8 Media e valore atteso, 4 Caso più generale: lotteria con vincita bassa B e vincita alta A. La probabilità di A è p, e dunque la probabilità di B è (1 p). Valore atteso = B (1-p) + A p Caso particolare, ma interessante: p=0, oppure p=1; Allora siamo di fronte a certezza: l intera probabilità si concentra su uno solo dei valori, e gli altri hanno p=0. Certezza come caso particolare di lotteria.

9 Figura Il valore atteso dipende dalle probabilità Esempio: tre lotterie, con vincite B e A, dove p è 1/4, 1/2, e 3/4. Le tre vincite attese VA 1, VA 2 e VA 3 sono qui rappresentate: O B VA VA VA A /4 1/2 3/4 1

10 La varianza, 1 Poniamo due lotterie, entrambe basate su moneta non truccata: 1) testa 500 croce 0 2) testa 300 croce 200 siccome p=1/2, entrambe hanno vincita attesa 250. Ma la prima è più rischiosa. Come misurare questo fenomeno? Intuitivamente occorre valutare lo scostamento medio. Varianza = media degli scostamenti di ogni valore dal valore atteso, elevati al quadrato Tale media degli scostamenti al quadrato si calcola usando le probabilità dei valori.

11 La varianza, 2 Torniamo alle due lotterie dell esempio: 1) varianza = ( ) 2 ½ + (0-250) 2 ½ = ½ + (-250) 2 ½ = ½ ½ = ) varianza = ( ) 2 ½ + ( ) 2 ½ = 50 2 ½ + (-50) 2 ½ = ½ ½ = C.V.D. Se un valore della v.c. ha molta probabilità, il VA si avvicina a quel valore; il suo scostamento dal VA si riduce; ma questo scostamento ha molta probabilità. La varianza diminuisce. Es. v.c. a 2 valori: 300 e 200, con probabilità del primo = ¾. VA = 300 ¾ ¼ = = 275 varianza = ( ) 2 ¾ + ( ) 2 ¼ = 25 2 ¾ + (-75) 2 ¼ = 625 ¾ ¼ = 468, ,25 = 1875 < 2.500

12 La varianza, 3 Altra conseguenza interessante. Prendete la vecchia lotteria numero 2 (300 e 200, p=1/2, VA = 250, varianza = 2.500). Immaginate una nuova lotteria a tre valori: 300, 250, 200 equiprobabili, cioè p=1/3; chiaramente VA = 250. È nato un nuovo valore con p=1/3 a metà strada, 250, dove non c era niente, cioè aveva p=0, e il suo scostamento dal VA è zero. Dunque la varianza dovrebbe diminuire. Infatti: varianza = ( ) 2 1/3 + ( ) 2 1/3 + ( ) 2 1/3 = / /3 + (-50) 2 1/3 = / / /3 = < 2.500

13 Correlazione tra variabili casuali Mondo popolato da due variabili casuali: X e Y, per esempio le quotazioni di due titoli. Possiamo studiarle separatamente, ma anche vedere se hanno qualche relazione tra loro, cioè se conoscere una di dice qualche cosa sull altra. Questa è la correlazione tra v.c. Tre casi: 1) X e Y indipendenti: sapere che X ha un certo valore non ci dice nulla sulle probabilità dei valori di Y 2) X e Y correlate perfettamente in modo positivo: sapere che X ha valore elevato fa sì che anche Y assuma valore elevato con probabilità 1 3) X e Y correlate perfettamente in modo negativo: sapere che X ha valore elevato fa sì che Y invece assuma valore basso con probabilità 1