PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

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1 L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello di un dato ufficio La durata di una lampadina o di un elettrodomestico Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

2 Spesso è necessario prendere decisioni in condizioni di incertezza. Pensiamo, ad esempio, ad un medico che deve decidere, a partire da certi sintomi, se il paziente è affetto da una malattia A, piuttosto che B o C, oppure ad un giudice che deve decidere se un certo fattore inquinante (amianto, diossina, ) può ritenersi o meno responsabile di una certa malattia. E quindi fondamentale nei confronti di un fenomeno dall esito incerto, poter identificare quali sono gli eventi che si possono verificare ed inoltre riuscire ad esprimere il proprio grado di fiducia nel verificarsi di tali eventi.

3 SPAZIO DEGLI EVENTI Quali sono gli eventi possibili per un dato fenomeno aleatorio? Se il fenomeno aleatorio che stiamo esaminando è il lancio di una moneta, gli eventi possibili saranno due: testa T, o croce C. Se il fenomeno aleatorio cui siamo interessati è il genotipo di un certo locus genetico a due alleli A 1, A 2, gli eventi possibili sono tre: A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 2. Se siamo interessati alla prossima estrazione del lotto, gli eventi possibili sono tutte le cinquine che si possono formare con i numeri naturali da 1 a 90 (quante sono?)

4 SPAZIO DEGLI EVENTI Indichiamo con Ω l insieme di tutti gli esiti possibili del fenomeno considerato, tale insieme è detto spazio degli eventi. Con riferimento agli esempi precedenti, si ha lancio della moneta Ω ={T, C} genotipi Ω ={A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 2 } Si dice evento elementare ogni elemento dell insieme Ω Si dice evento composto un sottoinsieme (non singoletto) di Ω Ad esempio l evento Il genotipo presenta almeno un allele A 1 è un evento composto costituito dal sottoinsieme {A 1 A 1, A 1 A 2 }

5 SPAZIO DEGLI EVENTI Poichè Ω è costituito da tutti gli esiti possibili del fenomeno considerato, tale insieme è detto evento certo. In effetti è conseguenza dei fatti che Ω si verifichi certamente. In generale un evento è una proposizione non ambigua suscettibile di assumere i due valori V vero, F falso. Diremo evento impossibile, e lo indicheremo Ø un evento che non può verificarsi in nessun caso, un evento per il quale è conseguenza dei fatti che sia falso. Ad esempio nel lancio di un dado a sei facce l evento esce il punteggio 8 è un evento impossibile.

6 SPAZIO DEGLI EVENTI In generale, un evento si dirà aleatorio o possibile quando non si può stabilire a priori se è V o F. Si dice che un evento A implica un evento B (A B) se il fatto che A sia vero implica necessariamente il verificarsi di B. Ad esempio, nel lancio di un dado, l evento esce il punteggio 3 implica l evento esce un punteggio dispari

7 SPAZIO DEGLI EVENTI La negazione A di un evento A (Ω\A) è un evento che è vero quando A è falso e viceversa. Ad esempio,nel lancio di un dado, l evento esce un punteggio pari ha come negazione l evento esce un punteggio dispari

8 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà evento intersezione degli eventi A e B, e si indicherà con A B, l evento che è vero se sono veri entrambi gli eventi A e B, mentre risulta falso se almeno uno dei due è falso. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari maggiore di 2, {3,5}, è l evento intersezione dei due eventi esce un punteggio dispari, {1,3,5}, esce un punteggio maggiore di 2, {3,4,5,6}.

9 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà evento unione degli eventi A e B, e si indicherà con A B, l evento che è vero se uno almeno degli eventi A, B è vero, mentre risulta falso se entrambi sono falsi. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari o maggiore di 2, {1,3,4,5,6}, è l evento unione dei due eventi esce un punteggio dispari, {1,3,5}, esce un punteggio maggiore di 2, {3,4,5,6}.

10 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà che due eventi A, B sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro (A B=Ø) Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari è incompatibile con l evento esce un punteggio pari

11 SPAZIO DEGLI EVENTI Si dirà che due eventi A, B sono esaustivi se è necessario che almeno uno si verifichi (A B=Ω) Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari e l evento esce un punteggio maggiore di 1 sono esaustivi

12 SPAZIO DEGLI EVENTI Se n eventi A 1, A 2,., A n, sono esaustivi (A 1 A 2. A n = Ω ) e a due a due incompatibili (A i A j =Ø per ogni coppia di indici i, j con i,j=1,2, n e i j) diremo che essi formano una partizione dello spazio degli eventi. Ad esempio, nel lancio del dado, l evento esce un punteggio dispari e l evento esce un punteggio pari costituiscono una partizione dello spazio degli eventi

13 MISURARE L INCERTEZZA La probabilità è una misura delle aspettative nel verificarsi di un evento. Il valore della probabilità è la misura (un numero) che esprime l opinione del soggetto (decisore) in merito al verificarsi di un ben determinato evento A, ovvero esprime il suo grado di fiducia nel verificarsi dell evento. La probabilità di un evento non è un numero oggettivo e tipico dell evento, ma, piuttosto, è una misura della certezza individuale nel verificarsi dell evento, che dipende dalle informazioni che si hanno a disposizione al momento di effettuare la valutazione

14 MISURARE L INCERTEZZA REGOLE DI COERENZA (B. de Finetti) Tali regole essenzialmente consistono nel fatto che uno stesso individuo, in una ben precisa situazione, dovendo scommettere su diversi eventi A 1, A 2,., A n, può dare alla probabilità di ciascun evento qualunque valore tra 0 e 1 conformemente al proprio giudizio, facendo però attenzione a non dare ad un competitore la possibilità di guadagnare sicuramente, mediante un opportuna combinazione di scommesse sugli eventi considerati

15 MISURARE L INCERTEZZA La probabilità dell evento A è quel valore p che l individuo che procede alla valutazione è disposto a pagare per ricevere una vincita unitaria (corrispondente a un milione, un dollaro, un euro, ) nel caso si verifichi l evento. Per esempio, p=1/5, vuol dire che si è disposti a pagare 20 cents, per ricevere 1 euro se l evento si verifica.

16 MISURARE L INCERTEZZA REGOLE DI COERENZA: 1- Se A è un evento certo P(A) = 1, se A è impossibile P(A) = 0, quindi P(Ω) = 1, P(Ø) = 0 (Nessuno pagherebbe alcuna posta per un evento impossibile, d altra parte nessun banco accetterebbe una posta inferiore a 1 da parte di uno scommettitore su un evento certo) 2- Se A, B sono incompatibili P(A B) = P(A) + P(B) (Se si è disposti a pagare x per ricevere 1 se si verifica A e si è disposti a pagare y per ricevere 1 se si verifica B, saremo disposti a pagare x+y per ricevere 1 se si verifica A oppure si verifica B)

17 MISURARE L INCERTEZZA La valutazione di una probabilità si riconduce talvolta a semplici giudizi qualitativi di equiprobabilità (regola di valutazione classica) Se, infatti n eventi incompatibili ed esaustivi sono giudicati da un individuo ugualmente probabili, la valutazione di probabilità di ciascun evento non potrà che essere p= 1/n (perché?.), e un evento che sia unione di k degli n eventi equiprobabili non potrà che avere probabilità k/n (perché?.)

18 MISURARE L INCERTEZZA ESEMPIO: Se lanciamo una moneta e non abbiamo motivo di dubitare che la moneta sia truccata, potremo ragionevolmente ritenere ugualmente probabili i due possibili esiti del lancio, quindi attribuiremo a T e C probabilità P(T) = P(C)= 1/2. ESEMPIO: Se lanciamo un dado a sei facce e non abbiamo motivo di dubitare che il dado sia truccato, essendo lo spazio degli eventi Ω ={1,2,3,4,5,6} attribuiremo a ciascun risultato probabilità 1/6, quindi attribuiremo all evento esce un punteggio superiore a 4 la probabilità 2/6 = 1/3

19 MISURARE L INCERTEZZA ESEMPIO: Lanciando due dadi indistinguibili si osserva ad un primo lancio due punteggi uguali 1, 1; ad un secondo lancio si osservano i punteggi diversi 2, 3. E ragionevole ritenere i due risultati equiprobabili? NO perché i due punteggi uguali possono essere ottenuti in un solo modo, mentre punteggi diversi possono essere ottenuti in due modi. Nel nostro caso 2 su un dado e 3 sull altro e viceversa.

20 MISURARE L INCERTEZZA Lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω, vale a dire l insieme di tutte le coppie ordinate Ω x Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Se i dadi non sono truccati è ragionevole ritenere gli eventi semplici equiprobabili, quindi la probabilità di ottenere punteggio 1 su entrambi i dadi è valutata 1/36, mentre la probabilità di ottenere su un dado 2 e sull altro 3, corrispondente alle coppie (2,3), (3,2), vale 2/36

21 CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato, valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi P(A)=P(B)=1/2. Supponiamo ora di essere venuti a sapere che lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari, che cosa possiamo dire per la probabilità di A?

22 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari? Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamo quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è 2/3

23 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T? Lo spazio degli eventi è Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole l equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4 Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è ottenuto T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2

24 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due lanci ha dato T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità richiesta è 1/3

25 CONDIZIONALE Torniamo al primo problema: Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A), sapendo che il punteggio è dispari(evento B)? Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i punteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l insieme {1,3} corrisponde di fatto a A B. Nel valutare la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto di fatto il rapporto tra P(A B)=2/6 e P(B)=3/6, ottenendo appunto 2/3

26 CONDIZIONALE In generale, indichiamo con P(A B) la probabilità dell evento A sapendo che si è verificato B, definiamo P(A B) = P(A B) / P(B) Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0 Chiameremo tale probabilità: probabilità condizionale di A noto B

27 CONDIZIONALE Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma P(A B)= P(B) P(A B) Tale relazione viene detta legge delle probabilità composte Tale relazione esprime la probabilità dell evento intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la probabilità di uno dei due eventi e la probabilità condizionale dell altro.

28 CONDIZIONALE ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(m) e 6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è la probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F. Possiamo pensare in termini di due estrazioni successive dalla gabbia che contiene le cavie. Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha P(F I )=6/10 Possiamo quindi calcolare P(F II F I ), che esprime la probabilità di prendere una cavia F alla seconda estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.

29 CONDIZIONALE Si ottiene P(F II F I )=5/9 La legge delle probabilità composte ci dice allora che La probabilità di prendere due cavie entrambe F è P(F I F II ) = P(F I ) P(F II F I ) = (6/10) (5/9) = 1/3 OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra numero casi favorevoli e numero casi possibili. Ottenendo?..

30 CONDIZIONALE OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità condizionale, scambiando A con B, naturalmente se P(A)>0, si ottiene P(B A) = P(A B) / P(A) Per l evento congiunto, quindi possiamo dire che vale P(A B)= P(B) P(A B), ma anche P(A B)= P(A) P(B A) Dunque, possiamo dire che P(B) P(A B) = P(A) P(B A)

31 CONDIZIONALE Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A è modificata dal sapere che si è verificato un evento B, vale a dire P(A B) P(A), come nel caso precedente delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l evento esce un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio ottenuto è dispari. Se P(A B) > P(A) diremo che i due eventi sono correlati positivamente, B rende A più probabile ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una causa di A! Se P(A B) < P(A) diremo che i due eventi sono correlati negativamente, B rende A meno probabile.

32 CONDIZIONALE Talvolta, invece, si ottiene P(A B)=P(A), vale a dire che il venire a conoscenza dell evento B non modifica la probabilità dell evento A ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio non è modificata dalla conoscenza dell esito del primo.

33 CONDIZIONALE DEFINIZIONE: Se P(A B) = P(A), diremo che gli eventi A, B sono indipendenti. Quando gli eventi sono indipendenti la legge della probabilità composta diviene P(A B) = P(A) P(B) Si osserva che se P(A B) = P(A), anche P(B A) = P(B) (perché? )

34 CONDIZIONALE ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di incompatibilità con quella di indipendenza! Due eventi A, B sono incompatibili quando A B=Ø In questo caso P(A B) =0 Due eventi A, B sono indipendenti quando P(A B) =P(A) P(B) Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che indipendenti?