Calcolo delle probabilità
|
|
- Vittore Nicolosi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche molto lontani da quello appena citato, ad esempio il Google Rank (l algoritmo di ricerca di Google ideato da Sergey Brin e Larry Page, i fondatori di Google) si basa sulle catene di Markov alla cui base vi è la probabilità. Il calcolo delle probabilità è uno strumento che rende razionale il comportamento umano in condizioni di incertezza. Un evento è un qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato. Un evento è descritto da un enunciato, che può essere vero o falso. E necessario che, quando sono note tutte le modalità dello svolgimento dell osservazione o dell esperimento casuale in questione, sia possibile solo una delle conclusioni: vero, se l evento si è verificato, falso, se l evento non si è verificato. Un evento si dice casuale o aleatorio se può verificarsi oppure no: le cause che lo producono non sono oggettivamente controllabili. Un esperimento che dà luogo a differenti esiti se ripetuto sotto le stesse condizioni viene chiamato esperimento casuale. Pur conoscendone i dati iniziali e le leggi che lo governano non possiamo prevederne il risultato, ma possiamo conoscere l insieme di tutti i possibili risultati. Essi sono chiamati eventi elementari. Un evento si dice composto se può essere scomposto in più eventi elementari. Esempi di esperimenti casuali: estrazione di una carta da un mazzo, lancio di un dado o di una moneta. Esempi di eventi elementari nel lancio di un dado: esce il numero 1,, esce il numero 6. Invece l evento esce un numero dispari non è elementare essendo l unione degli eventi (incompatibili) esce il numero 1, esce il numero 3, esce il numero 5. Lo spazio campionario è l insieme dei risultati possibili di un esperimento casuale e solitamente si indica con la lettera Ω. Quindi nel lancio del dado Ω = {1,2,3,4,5,6}, nel lancio di una moneta Ω = {T, C}. Un evento si dice certo se in seguito ad un esperimento deve necessariamente verificarsi, ad esempio l uscita di un numero naturale tra 1 e 6 nel lancio di un dado a sei facce; si dice impossibile se non può accadere in un certo esperimento, ad esempio l uscita del numero 7 nel dado; aleatorio in tutti gli altri casi. E di questi eventi che si occupa la probabilità. Dato un evento E si definisce evento complementare di E l evento corrispondente al non verificarsi di E. Si indica con E o con 1 E. Un medesimo evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto. Ad esempio l evento Mario supera l esame di probabilità è certo se Mario ha corrotto la
2 commissione esaminatrice, possibile se ha studiato, impossibile se il giorno dell esame non si presenta. Due eventi si dicono incompatibili (o disgiunti) se il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro, ossia se essi non si verificano contemporaneamente, cioè se E 1 E 2 =. Ad esempio nel lancio di una moneta l evento esce testa e l evento esce croce sono incompatibili, così come nel lancio di un dado l evento esce il numero 2 e l evento esce un numero maggiore di 3 sono incompatibili. Due eventi elementari sono sempre incompatibili. Due eventi si dicono compatibili se non sono incompatibili, cioè se E 1 E 2. Esempio: l evento esce il numero 3 è compatibile con l evento esce un numero dispari. Due eventi si dicono esaustivi se la loro unione genera tutto lo spazio campionario, cioè se E 1 E 2 = Ω. Esempio: l evento esce un numero pari e l evento esce un numero dispari sono esaustivi nel lancio di un dado perché la loro unione dà tutto lo spazio degli eventi Ω = {1,2,3,4,5,6}. Un certo numero di eventi costituisce una partizione se tali eventi sono esaustivi e incompatibili a due a due. Definizioni di probabilità 1. Probabilità classica o laplaciana o a priori La probabilità di un evento E è il rapporto tra i casi favorevoli al verificarsi dell evento e quelli possibili (o totali), a condizione che i casi possibili siano finiti ed equiprobabili (cioè distribuiti uniformemente): P(E) = casi favorevoli casi possibili Esempio: lancio di una moneta: P(T)=1/2; P(C)=1/2; lancio di un dado: P(pescare un numero pari)=1/2 e così via. La definizione classica di probabilità è inutilizzabile quando non si conosce a priori il numero dei casi possibili, come nella quasi totalità degli eventi reali. Gli sviluppi del calcolo delle probabilità e le sue applicazioni in ambito commerciale fecero vacillare la definizione classica. Essa non si può applicare quando gli esiti sono infiniti. Esempio: nell insieme dei naturali qual è la probabilità di scegliere a caso un numero pari? L intuizione dice ½, ma la definizione classica non è applicabile perché sia gli esiti favorevoli che quelli possibili sono infiniti (NB Tra le altre cose l insieme N è infinito perché può essere messo in
3 corrispondenza biunivoca con il suo sottoinsieme proprio dei numeri pari, e sono entrambi insiemi infiniti con cardinalità numerabile). Esempio: al Luna Park una ruota di legno, divisa in settori colorati di ampiezze diverse, gira molto velocemente mentre un giocatore lancia una freccetta colpendo a caso uno dei settori. Qual è la probabilità di colpire il settore giallo, il cui angolo al centro misura 9? La probabilità di colpire un settore è data dal rapporto tra la superficie considerata e quella di tutto lo spazio campione. Un settore di 9 rappresenta 9/360 dell intera ruota e dunque la probabilità vale 9/360 ossia 1/40. Esempio: calcolare la probabilità che lanciando successivamente 3 monete escano 2 croci (con grafo ad albero). Il diagramma ad albero permette di avere un elencazione grafica di tutti gli elementi dello spazio campione. Se scriviamo su ciascun ramo la probabilità dell evento scritto nel nodo seguente, la probabilità di un evento su un ramo terminale è il prodotto delle probabilità scritte sull intero percorso (applicazione della formula della probabilità composta, che vedremo). 2. Probabilità frequentista o statistica o a posteriori A causa delle critiche mosse alla concezione classica agli inizi del 900 si assiste alla nascita della concezione frequentista, dovuta soprattutto all applicazione della probabilità alle scienze sperimentali. Intuitivamente al crescere del numero delle prove effettuate tutte nelle stesse condizioni iniziali, la frequenza relativa, pur variando, tende a stabilizzarsi attorno ad un valore, e tale valore corrisponde a quello della probabilità dell evento. Dunque la probabilità di un evento E è la frequenza relativa con cui tende a presentarsi un certo evento, qualora fosse possibile effettuare un gran numero di prove tutte nelle stesse condizioni. Ossia: P(E) = m n dove m rappresenta il numero di prove che hanno verificato E, n rappresenta il numero totale delle prove. E la probabilità empirica, che dà un significato preciso al concetto di probabilità. Questa definizione si applica in quei casi in cui non è applicabile la definizione classica in quanto viene a mancare la condizione di equiprobabilità degli eventi elementari sulla quale essa si basa. Ad esempio se abbiamo motivo di ritenere che un dado sia truccato, non essendo magari costruito con materiale omogeneo, non potremo assegnare alla probabilità di uscita di un certo numero il valore 1/6. Possiamo ripetere il lancio del dado molte volte, calcolare la frequenza relativa dell uscita di ciascun numero ed assumere quel valore come probabilità dell evento. La definizione si applica a fenomeni passati dei quali si posseggano dati statistici che si sono verificati in condizioni analoghe, per esempio per una data popolazione la probabilità di sopravvivenza, o delle nascite di maschi e femmine. Si applica in fisica, biologia, medicina, economia e in tutte le scienze che utilizzano metodi statistici. E molto utile in campo assicurativo e nel controllo di qualità. Ha il pregio di aver collegato concetti molto diversi come probabilità e
4 frequenza, essendo la prima definita a priori, la seconda calcolata a posteriori. Dunque nella concezione frequentista la probabilità è ricavata a posteriori, dall esame dei dati. Esempio: calcolare la probabilità che un neonato sia maschio, sapendo che su nascite sono maschi. P(M)=52.300/ =0,523 e P(F)= = Esempio: la probabilità dell evento nel week-end pioverà non si può calcolare con tale definizione, perché è un evento non ripetibile, e nemmeno quella dell evento nasce un bambino con 2 teste, la coda e tre paia di occhi perché non si è mai realizzato (speriamo). 3. Probabilità soggettiva (di Bruno De Finetti, 1930) Cosa accade se un fenomeno casuale non si presenta con un elenco chiaro di esiti possibili, equiprobabili, tra i quali scegliere quelli favorevoli ad un certo evento? Per esempio l esito di una battaglia il giorno prima di combatterla, il fatto che domani piova o sia sereno, o che una certa squadra di un certo sport vinca un trofeo sono esempi di fenomeni che richiedono una concezione soggettiva della probabilità. Non si richiede la conoscenza del meccanismo che regola il fenomeno e la ripetibilità del fenomeno stesso. Tale concezione sottolinea l impossibilità di accertare l obiettività della probabilità. Il modello soggettivo esprime il grado di fiducia che si ha nella realizzazione di un certo evento e in esso diventa dunque fondamentale il fattore personale. E relativo alle scommesse ma anche alla gestione aziendale, ad esempio. E il numero reale P(E) tale che 0 P(E) 1 che rappresenta la quantificazione del grado di fiducia che un evento E si verifichi. E dunque il rapporto: P(E) = S V dove S è la somma che siamo disposti a pagare (cioè a scommettere) e V è la vincita che otterremmo se l evento si verificasse. Condizione di coerenza: chi scommette deve essere anche disposto a perdere la vincita V se l evento non si verifica. Esempio: il risultato della finale di Champions League, o eventi simili sono governati da un altissimo numero di fattori imprevedibili. La stima personale che diamo al verificarsi di un evento dipende pesantemente dalle quantità di informazioni che conosciamo, dal loro grado di attendibilità e da come sappiamo valutarle. 4. Probabilità assiomatica (di Kolmogorov, 1933) (teoria unificata di probabilità) La probabilità di un evento E è un numero reale p tale che: 1. p(e) 0 (positività); 2. p(e) = 1 se l evento E è certo (certezza);
5 3. p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) se gli eventi sono incompatibili (unione). Dai primi due assiomi si deduce che 0 p(e) 1. Primi teoremi sulla probabilità 1. Teorema della probabilità contraria: dove E indica l evento complementare di E. p(e ) = 1 p(e), 2. Teorema della somma per eventi incompatibili: p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ), se gli eventi E 1, E 2 sono incompatibili, cioè se E 1 E 2 =. 3. Teorema della somma per eventi compatibili: p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) p(e 1 E 2 ). Generalizzando: se gli eventi E 1, E 2,, E n sono a due a due incompatibili allora: p(e 1 E n ) = p(e 1 ) + + p(e n ). Se oltre ad essere incompatibili sono anche esaustivi, ossia costituiscono una partizione dello spazio campionario, allora: p(e 1 E n ) = p(e 1 ) + + p(e n ) = 1. Esempi: 1. Da un urna contenente palline numerate da 1 a 10 si estraggono contemporaneamente 4 numeri. Calcolare la probabilità dell evento almeno uno dei numeri estratti è pari. Basta calcolare p(e )=p(nessuno dei numeri estratti è pari) e poi usare il teorema della probabilità contraria. p(e )= (5 4 ) ( 10 )=1/42, quindi p(e)=1-1/42=41/ Si lanciano due dadi successivamente. Calcolare la probabilità dell evento E= la somma delle facce è un numero maggiore di 7 o multiplo di 3. p(somma maggiore di 7)=15/36; p(multiplo di 3)=12/36, p(s>7 and s=3k)=p(s=9 o s=12)=5/36, quindi: p(e)=15/36+12/36-5/36=22/36=11/ In un mazzo di carte romagnole (da briscola) calcolare la probabilità di pescare una figura oppure una carta di bastoni. p(figura)=12/40; p(bastoni)=10/40; p(figura di bastoni)=3/40 quindi: p(figura vel carta di bastoni)=12/40+10/40-3/40=19/40.
6 4. Calcolare la probabilità che esca una sola testa lanciando due volte una moneta equilibrata. I casi possibili sono TT, TC, CT e CC dunque p(una testa)=p(ct)+p(tc)=2/4=1/2. 5. Si hanno 8 palline bianche. Quante palline azzurre dovremmo aggiungere affinché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/3? 8/N=2/3 quindi N=12 quindi dovremmo aggiungere 12-8=4 palline azzurre.
Calcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliMatematica Applicata. Probabilità e statistica
Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato
DettagliPROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)
L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello
Dettagli(concetto classico di probabilità)
Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi
DettagliEsercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:
Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette
DettagliCorso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.
Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono
DettagliProbabilità e statistica
Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità
DettagliLa probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri
La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento
DettagliCosa dobbiamo già conoscere?
Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire
DettagliUna sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.
Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo
DettagliPROBABILITA CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
DettagliPROBABILITA CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
DettagliTest sul calcolo della probabilità
Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è
Dettagli1 Probabilità condizionata
1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento
DettagliStatistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo
Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it
DettagliStatistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo
Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it
DettagliLA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di
STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica
Dettaglimatematica probabilmente
IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e
DettagliCapitolo 4 Probabilità
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE AREA TECNICO ASSISTENZIALI
DettagliOSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4
OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -
DettagliViene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?
Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento
DettagliStatistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.
Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:
DettagliPer poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.
Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilita (I)
Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca
Dettagli= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:
Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del
DettagliProbabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes
Sessione Live #3 Settimana dal 7 all 11 marzo 2003 Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Lezioni
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Incompatibilità ed indipendenza stocastica. Probabilità condizionate, legge della probabilità totale, Teorema
DettagliPrimi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita
Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi
DettagliElementi di calcolo delle probabilità
Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo
DettagliTasso di interesse e capitalizzazione
Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo
DettagliSTATISTICA E PROBABILITá
STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano
DettagliProbabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
Dettagli1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:
Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi
DettagliAspetti probabilistici del gioco d azzardo
Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)
DettagliProbabilità discreta
Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che
DettagliTEORIA DELLA PROBABILITÀ I
TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................
DettagliAnalisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni
Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6
DettagliPROBABILITA' E VARIABILI CASUALI
PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di
DettagliProbabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)
Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:
DettagliCORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate
CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability
DettagliPROBABILITA MISURARE L INCERTEZZA Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere?
Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Abbiamo visto nella lezione precedente che lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento
DettagliTEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it
TEORIA DELLE DECISIONI DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it 1 Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi, aziende, sindacati ecc. si trovano
DettagliE LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A
L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo
DettagliCalcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006
Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento
DettagliUn gioco con tre dadi
Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.
DettagliIL CALCOLO DELLE PROBABILITA
IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente
DettagliTeoria della probabilità Assiomi e teoremi
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento
DettagliUniversità degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno
Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Esercitazione del 18/1/2005 Dott. Claudio Conversano Esercizio 1 (non svolto in aula) Vengono lanciati
Dettagli8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?
www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0
DettagliCaso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità
Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.
DettagliProbabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni
DettagliSomma logica di eventi
Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero
DettagliInferenza statistica. Statistica medica 1
Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella
DettagliLezione 10. La Statistica Inferenziale
Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione
DettagliStatistiche campionarie
Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle
DettagliTabella 7. Dado truccato
0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline
DettagliLA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e
DettagliLEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010
LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno
DettagliEsercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)
Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso
DettagliErrori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano
Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione
Dettagli15. Antico gioco russo
15. Antico gioco russo In un antico gioco russo, attraverso i risultati casuali ottenuti dall allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano una previsione sul tipo di legame che si sarebbe instaurata
DettagliTest statistici di verifica di ipotesi
Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall
DettagliUlteriori problemi di fisica e matematica
Facoltà di Medicina e Chirurgia Università degli Studi di Firenze Agosto 2010 Ulteriori problemi di fisica e matematica Giovanni Romano Perché un raggio di luce proveniente dal Sole e fatto passare attraverso
DettagliA = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.
ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore
DettagliFacciamo qualche precisazione
Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliVINCERE AL BLACKJACK
VINCERE AL BLACKJACK Il BlackJack è un gioco di abilità e fortuna in cui il banco non può nulla, deve seguire incondizionatamente le regole del gioco. Il giocatore è invece posto continuamente di fronte
DettagliAncora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche
Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)
DettagliCalcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che
DettagliCaso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie
Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliTest d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi
In molte situazioni una raccolta di dati (=esiti di esperimenti aleatori) viene fatta per prendere delle decisioni sulla base di quei dati. Ad esempio sperimentazioni su un nuovo farmaco per decidere se
DettagliTEOREMI SULLA PROBABILITÀ
TEOREMI SULLA PROBABILITÀ o Probabilità totale oprobabilità contraria oprobabilità condizionata odipendenza stocastica oprobabilità composta oformula di Bayes oproblemi di riepilogo Probabilità di eventi
Dettaglik n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)
b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Calcolo delle probabilità Il Sig. Rossi abita nella città X e lavora nella città Y, poco distante.
DettagliUniversità del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica
Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento e distribuzione campionaria della media Corsi di laurea triennale di area tecnica -
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ
PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliEsercizi sul calcolo delle probabilità
Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità
DettagliSe si insiste non si vince
Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del
DettagliCorso di Statistica. Corso di Laurea in Ingegneria Edile. Ingegneria Tessile. Docente: Orietta Nicolis
Corso di Statistica Corso di Laurea in Ingegneria Edile ed Ingegneria Tessile Docente: Orietta Nicolis Orario del corso: Martedì: dalle 16.00 alle 18.00 Giovedì: dalle 9.30 alle 11.30 Ricevimento: Mercoledì:
DettagliESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =
ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno
DettagliESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE
ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Considera la tabella seguente, che descrive la situazione occupazionale di 63 persone in relazione al titolo di studio. Occupazione SI NO Titolo Licenza media 5%
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
DettagliLa gestione delle emozioni: interventi educativi e didattici. Dott.ssa Monica Dacomo
La gestione delle emozioni: interventi educativi e didattici Dott.ssa Monica Dacomo Attività per la scuola secondaria di I grado Chi o cosa provoca le nostre emozioni? Molti pensano che siano le altre
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
Dettaglicome nasce una ricerca
PSICOLOGIA SOCIALE lez. 2 RICERCA SCIENTIFICA O SENSO COMUNE? Paola Magnano paola.magnano@unikore.it ricevimento: martedì ore 10-11 c/o Studio 16, piano -1 PSICOLOGIA SOCIALE COME SCIENZA EMPIRICA le sue
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
DettagliCorso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni
Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre
DettagliCorso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica
Dettagli1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero
1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una
DettagliEsercizio 1 Dato il gioco ({1, 2, 3}, v) con v funzione caratteristica tale che:
Teoria dei Giochi, Trento, 2004/05 c Fioravante Patrone 1 Teoria dei Giochi Corso di laurea specialistica: Decisioni economiche, impresa e responsabilità sociale, A.A. 2004/05 Soluzioni degli esercizi
DettagliProbabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità
Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
Dettagli