Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca e due rosse. Si estrae a caso una palla da ciascuna urna. 1. Descrivete uno spazio campionario per questo esperimento. 2. Descrivete il corrispondente spazio degli eventi. 3. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano dello stesso colore? [2/9] 4. E che siano di colore diverso? [7/9] 1. Lo spazio campionario Ω è caratterizzato da tutte coppie (u, v) dove u {N 1, N 2, R} è una pallina della prima urna e v = {B, R 1, R 2 ) è una pallina della seconda urna. La sua cardinalità è quindi = Lo spazio degli eventi corrisponde all insieme delle parti di Ω. 3. L evento A di estrarre palline dello stesso colore corrisponde all insieme {(R, R 1 ), (R, R 2 )} e ha quindi cardinalità 2. A questo punto = L evento B di estrarre palline di colore diverso è complementare ad A, quindi P (B) = P (A C ) = 1 P (A) = 7 9 Esercizio 2 Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso. 1. Qual è la probabilità di estrarre una figura qualsiasi o una carta di fiori? [11/26] 2. E di estrarre una figura di fiori? [3/52] Lo spazio campionario Ω è formato dall insieme di carte e quindi ha cardinalità 52. 1

2 1. Sia A l evento di cardinalità 12 di estrarre una figura qualsiasi e sia B l evento di cardinalità 13 di estrarre una carta di fiori. L evento A B corrisponde a figure di fiori e ha cardinalità 3. Quindi P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = A + B A B = Sia C l evento di estrarre una figura di fiori che ha cardinalitá 3. Allora P (C) = C 2 Esercizio 3 Un mazzo da 40 carte viene distribuito fra 4 giocatori. Fissato un giocatore, calcolare la probabilità che abbia 1. 4 assi; [ ] 2. almeno una carta di denari; [ ] 3. non più di 2 assi. [ ] Lo spazio campionario Ω è caratterizzato da tutte le possibili combinazioni di 10 carte che un giocatore prefissato può ricevere. La cardinalità di tale insieme è quindi dato dalle combinazioni di classe 10 delle 40 carte = C 40,10 = 40! 30! 10! 1. Sia A l evento di trovare 4 assi assegnati al giocatore prefissato. La cardinalià di A è data da A = C 4,4 C 36,6. La prima combinazione mi dice in quanti possibili modi posso formare gruppi da 4 con i 4 assi che ho a disposizione. La seconda mi dice il numero di combinazioni in cui è possibile ottenere le 6 carte rimanenti tra le 36 restanti. A questo punto la probabilità è data da = C 4,4C 36,6 C 40,10 = Sia B l evento di trovare almento una carta di denari. Consideriamo l evento complementare B C, ovvero non trovare nessuna carta di denari. La cardinalità di B C è data da B C = C 30,10. Quindi P (B) = 1 P (B C ) = 1 C 30,10 C 40,10 = Sia D l evento di non trovare più di 2 assi. Consideriamo l evento complementare D C di trovare più di 2 assi. La cardinalità di D C è data da D C = 4 i=3 C 4,iC 36,10 i, ovvero lo somma delle possibili combinazioni di 10 carte in cui ci sono esattamente 3 assi, ed esattamente 4 assi. Il caso in cui i = 4 lo abbiamo già calcolato al primo punto dell esercizio. P (D) = 1 P (D C ) = 1 4 i=3 C 4,i C 36,10 i C 40,10 =

3 Esercizio 4 Una moneta viene lanciata 3 volte consecutivamente. Qual è la probabilità che si presenti 1. esattamente una testa? [3/8] 2. almeno una testa? [7/8] Lo spazio campionario è dato da tutte le disposizioni con ripetizione di classe 3 di 2 elementi {T, C} e quindi = D 2,3 = 2 3 = L evento A di avere esattamente una testa ha cardinalità A = C 3,1 ovvero le possibili combinazioni di 1 testa sui 3 lanci. Quindi = C 3,1 D = 3 2, Sia B l evento di avere almeno una testa. L evento complementare B C consiste nel non avere mai testa ed è quindi caratterizzato dall unica combinazione {C, C, C}. Segue che P (B) = 1 P (B C ) = 7 8 Esercizio 5 È noto che in un lotto di 10 lampadine 4 hanno il filamento rotto. Scegliendo 3 lampadine a caso dal lotto, qual è la probabilità che abbiano tutte il filamento rotto? [1/30] Lo spazio campionario è dato dalle possibili scelte di 3 lampadine tra le 10 date e quindi = C 10,3. L evento A di avere le 3 lampadine rotte è formato da tutti i modi con cui posso scegliere le 3 lampadine tra le 4 rotte e quindi A = C 4,3. Segue che = C 4,3 = 1 C 10,3 30 Esercizio 6 Un urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5, delle quali le prime tre sono nere e le ultime due rosse. Si estraggono con reimmissione 2 palline. Sia B 1 = prima palla estratta è nera e B 2 = seconda palla estratta è nera. 1. Descrivere uno spazio campionario dell esperimento e mostrare gli eventi B 1, B 2 e B 1 B 2 2. Trovare P (B 1 ), P (B 2 ) e P (B 1 B 2 ). [3/5, 3/5, 9/25] 3. Ripetere i due punti precedenti con il campionamento senza reimmissione. [3/5, 3/5, 3/10] 1. Sia S = {1,..., 5} l insieme delle palline. Lo spazio campionario dell esperimento è dato dalle coppie (i, j) con i, j S e quindi ha cardinalità 25. L evento B 1 è l insieme {(i, j) : i = , j S} e ha cardinalità 15. L evento B 2 è l insieme {(j, i) : i = , j S} e ha sempre cardinalità 15. Infine l evento B 1 B 2 è dato dall insieme {(i, j) : i, j = } e ha cardinalità 9. 3

4 2. Calcoliamo le probabilità nel caso con reimmissione. P (B 1 ) = B 1 P (B 2 ) = B 2 P (B 1 B 2 ) = B 1 B 2 = Consideriamo ora il caso senza reimissione. Lo spazio campionatio è dato {(i, j) : i, j S, j i} di cardinalità 20. L evento B 1 è caratterizzato dall insieme {(i, j) : i = , j S i j} e ha cardinalità 12. L evento B 2 è caratterizzato dall insieme {(j, i) : i = , j S, j i} di cardinalità 12. Infine l evento B 1 B 2 è dato dall insieme {(i, j) : i, j = , i j} e ha cardinalità 6. Le probabilità nel caso senza reimissione sono quindi P (B 1 ) = B 1 P (B 2 ) = B 2 P (B 1 B 2 ) = B 1 B 2 = 3 10 Esercizio 7 Da un indagine svolta presso una certa scuola è emerso che nel tempo libero il 10% degli studenti studia musica, il 20% pratica sport, il 5% studia una lingua straniera. Inoltre il 5% studia musica e pratica anche uno sport, il 3% studia musica e una lingua straniera, il 2% studia una lingua e fa sport e l 1% fa tutte tre le cose. Scegliendo a caso uno studente, qual è la probabilità che 1. pratichi solo sport? [0.14] 2. studi musica e una lingua ma non pratichi nessuno sport? [0.02] Indichiamo con S, M, L rispettivamente l insieme di studenti che fanno sport, studiano musica e lingua straniera. 1. L insieme di studenti che praticano sport può essere decomposto in S = A (S M) (S L) dove A è l insieme di studenti che praticano solo sport. probabilità Passando alle P (S) = P (A) + P (S M) + P (S L) P (S M L) da cui P (A) = P (S) P (S M) P (S L) + P (S M L) =

5 2. L insieme di studenti che studiano musica e lingua straniera è dato da M L = B (S M L) dove B è l insieme di studenti che studiano musica e lingue ma non praticano sport. Passando alle probabilità P (M L) = P (B) + P (S M L) da cui P (B) = P (M L) P (S M L) = 0.02 Esercizio 8 Si lanciano due dadi bilanciati. Qual è la probabilità che 1. la somma dei risultati sia un numero pari? [1/2] 2. la somma sia uguale a 5? [1/9] 3. la differenza in modulo fra i due risultati sia uguale a 3? [1/6] Lo spazio campionario è dato dall insieme {(i, j) : i, j = } di cardinalità L evento A di ottenere due risultati la cui somma è pari equivale a trovare due numeri pari o due numeri dispari, quindi A = {(i, j) : i, j {1, 3, 5}} {(i, j) : i, j {2, 4, 6}} e ha cardinalità 18. Quindi = L evento B di ottenere due risultati la cui somma è 5 è dato da B = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} di cardinalità 4. Quindi P (B) = B = L evento C di ottenere due risultati la cui differenza in modulo è uguale a 3 è dato da C = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)} di cardinalità 6. Quindi P (C) = C = 1 6 Esercizio 9 Qual è la probabilità che in un gruppo di 25 persone ce ne siano almeno 2 che sono nate lo stesso giorno dell anno (si pensi ad un anno di 365 giorni)? [0.5687] Lo spazio campionario è dato da tutte le possibili disposizioni con ripetizione di classe 25 dei 365 giorni dell anno, quindi = D 365,25. Sia A l evento di avere un gruppo di persone con almeno una coppia di persone nate lo stesso giorno. L evento complementare A C consiste nell avere un gruppo di persone nate tutte in giorni diversi. La cardinalità di A C è data da A C = D 365,25. Quindi P (A) = 1 P (A C ) = 1 D 365,25 D = ,25 5

6 Esercizio 10 Da un mazzo ben mescolato di 52 carte se ne estraggono 5. Si calcoli la probabilità di ottenere un poker, un poker d assi, cinque carte dello stesso seme, cinque carte di cuori. [2.401E4, 1.85E5, , 4.95E4 ] Lo spazio campionario è dato dall insieme di combinazioni di 5 carte che possiamo estrarre dal mazzo, quindi =. L evento A di ottenere un poker ha cardinalità A = 13 C 4,4 C 48,1 dove 13 indica il numero di poker possibili che posso avere, la prima combinazione indica il fatto di avere le 4 carte del poker e la seconda di avere come quinta carta una qualsiasi tra le 48 rimanenti. Ne segue che = 13 C 4,4C 48,1 = 2.401E 4 L evento B di ottenere un poker d assi ha cardinalità A = C 4,4 C 48,1 dove la prima combinazione indica il fatto di avere i 4 assi e la seconda di avere come quinta carta una qualsiasi tra le 48 rimanenti. Ne segue che P (B) = B = C 4,4C 48,1 = 1.85E 5 L evento C di avere 5 carte dello stesso seme ha cardinalità C = 4 C 13,5, dove 4 è il numero di possibili semi e la combinazione fornisce tutti i modi in cui posso estrarre 5 carte di un particolare seme dal mazzo. Ne segue che P (C) = C = 4 C 13,5 = L evento D di avere 5 carte di cuori ha cardinalità C = C 13,5, dove la combinazione indica tutti i modi possibili in cui posso estrarre 5 carte di cuori dal mazzo. Ne segue che P (D) = D = C 13,5 = 4.95E 4 6