ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

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1 ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da sei giocatori? [15] 3. Un concessionario di automobili vuole esporre nella vetrina del suo salone quattro vetture tutte dello stesso tipo ma con 4 colori diversi (blu, grigio, rosso e nero). La vetrina però dispone di soli due posti: uno fisso e l altro fornito di una piattaforma rotante. Il concessionario desidera sapere in quanti modi diversi è possibile disporre le auto. Supponiamo che il concessionario abbia anche un terzo spazio d esposizione, quante possibilità ci sarebbero? [12,24] 4. In quanti modi possiamo far sedere tre persone su tre poltrone? [6] 5. Dato l insieme A = {1, 2, 5, 8}: determinare quanti numeri a due cifre si possono scrivere con gli elementi di A, considerando che sono ammesse le ripetizioni. [16] 6. L allenatore di una squadra di pallavolo deve scegliere due attaccanti e due difensori. Se nella squadra ci sono 5 attaccanti e 4 difensori, quante formazioni diverse si possono scegliere? [60] 7. In quanti modi diversi posso distribuire 12 penne in 5 cassetti? ( ogni cassetto può contenere da 0 a 12 penne e le 12 penne possono essere considerate indistinguibili). [1820] 8. Una partita di pallavolo tra la squadra A e B è finita 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti? [7] 9. Contare le terne ordinate formate con le lettere A,B,C,D. (Le ripetizioni sono ammesse) [64] 10. Una carta geografica contiene 5 paesi. La si vuole colorare (ogni paese con un colore diverso),avendo a disposizione sette diversi colori. In quanti modi si può fare? [2520] 11. In quanti modi diversi sette amici possono viaggiare su un auto che ha solo cinque posti? E se solo uno di essi ha la patente? [21,15] 12. Paolo ha sei amici : Chiara, Veronica, Giovanni, Marco, Anna, Francesco. Decide di visitarli tutti nei prossimi tre giorni, al ritmo di due al giorno. Quante possibilità ci sono? Se vuole visitare Chiara il primo giorno, a quante si riducono le possibilità? [90,30] 13. Quanti sono i numeri di 6 cifre con almeno una cifra dispari? E quelli con almeno una cifra pari? [887500, ]

2 14. Se si lancia 8 volte un dado, in quanti modi si possono ottenere 4 coppie diverse di numeri uguali? [37800] 15. Tre ragazze e due ragazzi si siedono a tavola in cinque posti consecutivi. In quanti modi possono sedersi se ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio e viceversa? [36] 16. Si devono disporre su una fila di 10 sedie cinque coppie uomo-donna. In quanti modi la cosa si può fare se la disposizione può essere fatta alla rinfusa? E se le donne e gli uomini devono rimanere vicini tra loro. E se le coppie devono rimanere unite? [10!, 28800, 480] 17. Quanti menu diversi si possono fare se possiamo scegliere tra tre antipasti, 2 primi, 4 secondi, 3 dessert? [24] 18. Qual è il numero di anagrammi della parola scienze? [2520] 19. Una ragazza nel suo guardaroba ha 4 gonne, 5 camicie e 3 paia di pantaloni. Sceglie a caso una gonna, una camicia e un paio di pantaloni. In quanti modi diversi può vestirsi? [60] 20. Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagrammando la parola matematica? 21. In quanti modi diversi una commissione di 25 persone puo scegliere un presidente, un vicepresidente? [600] 22. Un test consiste in 12 domande con risposta vero-falso in quanti modi diversi uno studente puo svolgere l intero test con una risposta per ciascuna domanda? [4096] 23. Quante parole di 3 lettere ( anche senza significato) si possono scrivere con l alfabeto di 21 lettere? [9261] 24. Quante parole di 3 lettere ( anche senza significato)diverse si possono scrivere con l alfabeto di 21 lettere? [7980] 25. In una gara di 40 concorrenti quanti sono le possibile classifiche dei primi tre? [59280] 26. Dimostrare che, dato un gruppo di persone, ce ne sono almeno due che hanno, all interno del gruppo, lo stesso numero di amici. 27. Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è una lettera dell alfabeto latino e il secondo è una cifra da 0 a 9? [260] 28. Supponiamo che il menu di un ristorante consista di 5 antipasti, 6 primi, 6 secondi e 4 dolci : quanti pasti completi ( di quattro piatti ) possiamo ordinare? [720] 29. Quanti numeri di sei cifre hanno almeno una cifra pari? [884375]

3 30. In una regione vi sono venti città, collegate a coppie da una strada comunale. Quante strade comunali possiede la regione in questione? [190] 31. Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati? [n(n-3)/2] 32. Scrivete tutti i numeri formati dalle cifre 1, 2, 3 non ripetute. [6] 33. Uno studente deve sostenere 5 esami ogni anno per i quattro anni di durata del suo corso di studi, senza poter rimandare un esame da un anno all altro, nell ordine da lui preferito. Quante sono le possibili sequenze dei 20 esami? [5!5!5!5!] 34. In quanti modi si possono trovare disposte le carte in un mazzo da 40 elementi? 35. Quattro giocatori di tennis vogliono giocare un doppio. Quante coppie distinte possono formarsi? [6] 36. Nel gioco del Superenalotto bisogna indovinare 6 numeri scelti tra il numero 1 e il numero 90. Quanti sistemi di 6 numeri si possono formare? [ ] 37. Calcolare il numero di modi distinti in cui può essere servito un giocatore di scala quaranta in una singola mano. 38. Quanti insiemi di 5 carte si possono avere con un mazzo da poker di 52 carte? [ ] Quanti poker d assi si possono formare? [48] Quanti poker si possono formare? [624] 39. Sia T l insieme dei primi 100 numeri naturali. Calcolare: - Il numero di sottoinsiemi A di T che contengono esattamente 8 pari. - Il numero di coppie (A, B) con A, B sottoinsiemi di T. [2 200 ] - Il numero di coppie (A, B) con A, B sottoinsiemi di T tali che A B = 0 [3 100 ] - Il numero di coppie (A, B) con A, B sottoinsiemi di T tali che A B = Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagrammando la parola MATEMATICA? [ ] 41. Nel gioco del totocalcio sono inserite 13 partite e una colonna di tale gioco è la scelta di un simbolo tra questi tre: 1, X, 2 per ognuna delle partite. Ad ogni previsione corrisponde 1 punto se risulta corretta. - Quante sono le possibili colonne al totocalcio? [3 13 ] - In quanti modi si possono fare k punti? 42. L alfabeto italiano contiene 16 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe di 5 lettere si possono formare che contengano: - Esattamente una vocale. - Almeno una vocale. - Almeno due vocali. - Esattamente due vocali.

4 43. L alfabeto italiano contiene 16 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe di 6 lettere si possono formare che contengano: - La lettera a. - Le lettere a e b. - Le lettere a e b in posizioni consecutive, con a che precede b e tutte le lettere distinte. - Le lettere a e b con tutte le altre lettere distinte. - Le lettere a e b, con a che precede b (non è detto che le due lettere siano però in due caselle consecutive) e tutte le lettere distinte. 44. In quanti modi 7 buste numerate possono essere assegnate a 7 persone, se ognuna di esse riceve una busta? [7!] 45. In quanti modi 7 buste numerate possono essere assegnate a 7 persone? [7 7 ] 46. In quanti modi 7 buste identiche possono essere assegnate a 7 persone? giocatori di tennis decidono di giocare un doppio. - Quante coppie distinte si possono formare? - Una volta formate le 5 coppie, quante distinte partite (coppia vs. coppia) si possono giocare? 48. Si consideri un mazzo di 40 carte (10 carte distinte per ciascuno dei quattro semi). - Quanti insiemi di 5 carte si possono avere? - Quanti insiemi di 5 carte possono avere 4 assi? [36] - Quanti insiemi di 5 carte possono avere 4 carte di valore uguale? [10 36] - Quanti insiemi di 5 carte possono avere almeno 2 assi? - Quanti insiemi di 5 carte possono avere due coppie di carte di uguale valore ma distinte fra loro? copie di un libro vengono distribuite in 5 scuole. - In quanti modi possono essere distribuiti i libri fra le scuole? - E se ad ogni scuola viene assegnato almeno un libro? 50. Un urna contiene 20 palline bianche e 10 palline nere. - Eseguendo 5 estrazioni senza reimbussolamento, in quanti casi si ottiene come esito dell estrazione 3 palline bianche e 2 nere? - E se ad ogni estrazione segue il reimbussolamento? 51. Si consideri un mazzo di 40 carte (10 carte distinte per ciascuno dei 4 semi). Aldo, Giovanni e Giacomo estraggono dal mazzo rispettivamente 5, 4 e 3 carte. - Quante sono le possibili estrazioni in cui nessuno dei tre ha estratto coppe? - Quante sono le possibili estrazioni in cui Aldo e Giovanni non hanno estratto spade, mentre Giacomo ne ha estratte esattamente 2? - Quante sono le possibili estrazioni in cui Aldo e Giovanni non hanno estratto spade, mentre Giacomo ne ha estratte almeno 2? - Quante sono le possibili estrazioni in cui le carte di Aldo e Giovanni sono tutte carte di denari? - Quante sono le possibili estrazioni in cui Aldo ha estratto 2 carte di denari e 2 carte di coppe? 52. Si consideri un mazzo di 52 carte (13 carte distinte per ciascuno dei 4 semi). Vengono estratte 13 carte dal mazzo. - Quante sono le possibili estrazioni in cui le 13 carte hanno tutte valore diverso? [4 13 ] - Quante sono le possibili estrazioni in cui le 13 carte sono tutte dello stesso seme? [4] - Quante sono le possibili estrazioni in cui 8 delle 13 carte hanno lo stesso seme?

5 53. La biglietteria di un teatro dispone di 100 biglietti numerati. - Scegliendone 4 a caso, quante sono la possibilità di avere estratto dei biglietti con numeri consecutivi? [97] - E se si considera anche l ordine in cui i biglietti vengono scelti? [97 4!] 54. Una band composta da 4 musicisti possiede 4 strumenti musicali. - Se ognuno di essi sa suonare ogni strumento, in quanti modi possono ripartirsi gli strumenti? [4!] - E se 2 dei musicisti sanno suonare solo 2 strumenti (gli stessi per entrambi)? [2! 2!] 55. Un bambino possiede dei mattoncini lego della stessa forma e dimensione ma con diversi colori: ne ha 6 rossi, 4 gialli, 1 verde e 1 blu. In quanti modi il bambino può riarrangiarli in colonna a formare una torre? 56. In quanti modi le lettere delle parole seguenti possono essere riarrangiate per formare altre parole (non necessariamente con senso)? - PASTO [5!] - PANINO - PANNA - ANNA 57. Un gruppo di amici composto da 3 ragazzi e 3 ragazze si ritrovano al parco. - In quanti modi possono disporsi per ordine su una panchina? [6!] - In quanti modi se ragazzi e ragazze sono tutti vicini fra loro? [2 3! 3!] - In quanti modi se solo i ragazzi siedono tutti vicini fra loro? [4! 3!] - In quanti modi se non vi sono persone dello stesso sesso sedute fianco a fianco? [2 3! 3!] 58. Un gruppo di colleghi di lavoro composto da 8 persone va a pranzo. - In quanti modi possono sedersi per ordine attorno ad un tavolo? [8!] - In quanti modi se i colleghi A e B vogliono sedersi vicini? [2 7!] - In quanti modi se vi sono 4 uomini e 4 donne e non vi sono persone dello stesso sesso sedute a fianco? [2 4! 4!] - In quanti modi se vi sono 5 uomini tutti seduti vicini? [4!5!] - In quanti modi se vi sono 4 coppie sposate, e ciascuna coppia è seduta assieme? [2 4 4!] 59. Si dispone di 3 libri di letteratura, 2 libri di informatica ed 1 libro di matematica. - In quanti modi possono essere ordinati i libri su di uno scaffale? [6!] - In quanti modi se i libi di letteratura e i libri di matematica sono tutti vicini fra loro? [2 3!] - In quanti modi se i libri di letteratura sono tutti vicini? [4! 3!] 60. Uno studente ha deciso di vedere 2 libri fra i 6 di matematica, 7 di scienze, 4 di economia che possiede. Quante sono le scelte possibili se: - i libri devono trattare lo stesso argomento? - I libri devono trattare argomenti diversi? 61. Da un gruppo di 8 donne e 6 uomini deve essere scelta una commissione formata da 3 donne e 3 uomini. - Quante diverse commissioni si possono formare? - E se 2 degli uomini rifiutano di lavorare insieme? - E se 2 delle donne rifiutano di lavorare insieme? - E se 1 uomo ed 1 donna rifiutano di lavorare insieme? 62. Se 12 persone sono divise a formare 3 commissioni, rispettivamente di 3, 4 e 5 persone, quante sono le possibili divisioni?

6 63. È richiesto ad 8 professori di svolgere qualche supplenza. - In quanti modi 8 professori possono essere assegnati a 4 distinte scuole? [4 8 ] - E se ad ogni scuola viene assegnato almeno 1 professore? - E se ad ogni scuola vengono assegnati 2 professori? 64. Vi sono da investire su 4 possibili titoli azionari. Ogni investimento deve essere un multiplo di 1000, ma c è un investimento minimo che dipende dal titolo azionario. Gli investimenti minimi sono rispettivamente di 4, 3, 2 e 2 migliaia di. Quante differenti strategie di investimento sono possibili se: - Si vuol investire su ciascuno dei 4 titoli azionari? - Si vuole investire su almeno 3 dei 4 titoli azionari?