Dagli insiemi al calcolo combinatorio

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1 Dagli insiemi al calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio è una parte della matematica che si occupa di contare gli elementi di un insieme finito, ottenuto a partire da altri insiemi, dei quali si conosce il numero di elementi. Esempio 1: quanti sono i numeri compresi tra 1 e 100 che sono multipli di 3 o di 5? I multipli di 3 sono 33, i multipli di 5 sono 20; però la risposta al problema non è 33+20, perché da questa somma dobbiamo togliere i numeri che sono multipli sia di 3 che di 5, cioè i multipli di 15, che da 1 a 100 sono 6. La soluzione è quindi =47. Il risultato dell esempio può essere generalizzato: se A ha n elementi e B m elementi, e AB ha p elementi, allora AB ha m+n-p elementi. Vediamo un altro esempio. Esempio 2: quante coppie diverse possiamo ottenere a partire da un insieme costituito da 8 persone? Indichiamo con p 1,p 2,..p 8 le persone. Le coppie possibili saranno (p 1,p 2 ), (p 1,p 3 ),.., (p 1,p 8 ) (8 coppie con p 1 ); poi (p 2,p 3 ),.. (p 2,p 8 ) (7 coppie con p 2 ); quindi 6 coppie con p 3, ecc. fino all ultima coppia, (p 7,p 8 ). In totale =28 coppie. n! Generalizziamo anche questo problema. Introduciamo un nuovo numero, lo indichiamo con n! e lo chiamiamo n fattoriale : rappresenta il prodotto di tutti i numeri da 1 a n. Ad esempio 4!= =24.

2 Introduciamo ancora un altro numero, che indichiamo con e che è dato dalla frazione. Lo chiamiamo coefficiente binomiale. Ad esempio. Combinazioni semplici Il numero rappresenta le combinazioni semplici di n oggetti presi k a k (o combinazioni semplici di classe k), cioè i modi possibili di raggruppare gli n elementi di un insieme in sottoinsiemi formati da k elementi. Gli elementi dell insieme dell esempio 2, possono essere anche contati come Esercizio 1. Quanti possibili incontri si possono prevedere in un torneo di ping-pong al quale partecipano 4 giocatori? Soluzione. Indicati con A,B,C,D i quattro giocatori, si possono avere gli incontri: A, B, A, C, A, D, B, C, B, D, C, D. Quindi le partite sono 6.

3 Esercizio 2. In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di doppio (cioè 2 contro 2), in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell intero torneo? (Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1993) Soluzione. Si possono scegliere 4 giocatori (di una partita di doppio) tra 8 persone in modi differenti. I quattro giocatori, una volta scelti, possono incontrarsi in 3 modi diversi, per disputare quindi 3 partite. Allora la soluzione del problema è 70x3=210 incontri. Esercizio 3. Quanti numeri di quattro cifre si possono formare in modo che la cifra delle migliaia sia minore di quella delle centinaia, a sua volta minore di quella delle decine, che infine deve essere minore di quella delle unità? Soluzione. Si tratta di contare quanti sottoinsiemi di 4 elementi possiede un insieme di 9 elementi (le cifre da 1 a 9; lo 0 non si prende in considerazione perché la prima cifra di un numero non può essere zero e quindi non possono essere zero nemmeno la cifra delle centinaia, quella delle decine e quella delle unità, per i vincoli imposti 9 4 dal problema). Quindi il risultato è 126. Esercizio 4. Quante schedine è necessario giocare al superenalotto per essere certi di fare 6? 90 6 Soluzione. Occorre giocare schedine.

4 Esercizio 5. In quanti modi diversi un insegnante può scegliere 2 alunni da interrogare, in una classe di 23 alunni? 23 2 Soluzione. In 253 modi. Esercizio 6. In quanti modi diversi possono essere distribuite 5 carte nel gioco del poker? Soluzione. Il mazzo da poker ha 52 carte. Quindi 5 carte si possono distribuire in modi differenti. Esercizio 7. Dati 10 punti nel piano, a tre a tre non allineati, quante sono le rette che li congiungono 2 a 2? ! 2!8! Soluzione. Sono 45. Esercizio 8. Quante sono al gioco del lotto le possibili cinquine su una ruota? ! 5!85! Soluzione. Sono Esercizio 9. Quante partite di scacchi diverse possono giocare 5 amici? 5 2 Soluzione. Sono 10.

5 Esercizio 10. Si vuole formare una squadra composta da tre femmine e due maschi. Le femmine vengono scelte in un gruppo di 10 e i maschi in un gruppo di 8. In quanti modi diversi può essere formata la squadra? Soluzione. Le femmine possono essere scelte in modi 8 2 8! 2!6! 78 2 diversi, mentre i maschi in 28modi. Complessivamente le squadre diverse possono essere allora = ! 3!7!