Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

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1 Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi vanno i miei ringraziamenti. NOTA 2 Molti dei problemi proposti sono formulati nel linguaggio comune, ed e compito di chi li risolve anche la specificazione del modello probabilistico. 1. Da un mazzo di 40 carte, si estragga a caso una carta. Si considerino gli eventi A = {la carta è minore o uguale a 5}, B = {la carta è rossa}, C = {la carta è nera ed inferiore a 6 oppure è rossa e maggiore di 5 (figure comprese)}, D = {la carta è di quadri oppure è una figura di cuori oppure è di picche inferiore all 8} E = {la carta è di cuori oppure di picche} Quali tra le seguenti terne di eventi sono fatte di eventi indipendenti? (i) {A, B, C} (ii) {A, B, D} (iii) {A, B, E} 2. Una casa farmaceutica commercia un kit per fare un test allo scopo di accertare la presenza di una certa malattia. La casa farmaceutica ha sperimentato il kit su persone malate ottenendo test positivo nel 95% dei casi, e su persone sane ottenendo test negativo nel 98% dei casi. La malattia e presente nello 0,1% della popolazione. Un medico esegue quel test su un suo paziente. Si ponga A = {il paziente è malato}, B = {il test è positivo}. (i) Basandosi esclusivamente sui dati riportati, indicare quali tra le seguenti probabilità (o probabilità condizionate) si possono assegnare: P (A), P (B), P (A B), P (B A), P (A c B c ), P (B c A c ). (ii) Calcolare le probabilità (o probabilità condizionate) non assegnate in (i) 3. In uno spazio di probabilita (Ω, A, P ), siano A, B, C tre eventi, con P (A) = 1 10, P (B) = 8 10 e P (C) = (i) E vero che la probabilita che si verifichi almeno uno tra gli eventi, A, B c, C c e minore di 3 5? (ii) Se gli eventi A, B, C sono indipendenti, quanto vale P (A B c C c )? 1

2 2 4. La cassetta di arance a sinistra contiene 15 arance sane e 5 arance sciupate, quella di destra contiene 20 arance sane e 4 arance sciupate. Si trasferiscono, scegliendole a caso, 2 arance dalla cassetta di destra in quella di sinistra, affinche le cassette contengano lo stesso numero di arance. Dopo questa operazione, arriva un cliente che sceglie a caso 4 arance dalla cassetta di sinistra. (i) Qual e la probabilita che siano tutte sane? (ii) Dato che le arance scelte dal cliente sono tutte sane, qual e la probabilita che siano state trasferite 2 arance sane dalla cassetta di destra in quella di sinistra? 5. Da un indagine nelle scuole, risulta che la percentuale degli alunni che portano gli occhiali e il 10% nelle scuole elementari, il 25% nelle medie ed il 40% nelle superiori. (i) Calcolare la probabilita che, scegliendo a caso 3 studenti, uno per fascia (cioe, uno delle elementari, uno delle medie ed uno delle superiori), almeno uno dei 3 porti gli occhiali. (ii) Si scelga uno studente a caso da una fascia a caso. Dato che lo studente porta gli occhiali, qual e la probabilita che venga dalle elementari? 6. Un urna contiene 4 palline rosse, 7 palline blu e 5 palline verdi. Si estraggono senza restituzione 2 palline, che risultano di colori differenti. Data questa informazione, qual e la probabilita che si tratti di una pallina rossa e di una blu? 7. Il PIN di una carta di credito e dato da un numero di 5 cifre. Supponiamo che ogni sequenza di cifre abbia la stessa probabilita. (i) Calcolare la probabilita che le cifre del PIN siano tutte diverse. (ii) Calcolare la probabilita che le cifre del PIN siano tutte diverse, se la terza cifra e diversa da 2. (iii) Calcolare la probabilita che il PIN contenga esattamente 2 cifre uguali, se la seconda cifra e diversa da Due fabbriche A e B producono capi di abbigliamento per una stessa marca Y. Per la fabbrica A, il 7% della produzione risulta difettoso, mentre per la B risulta difettoso il 5% della produzione. Inoltre, il 70% dei capi d abbigliamento commercializzati dalla marca Y proviene dalla fabbrica A, mentre il restante 30% dalla fabbrica B. Viene acquistato un capo d abbigliamento, che si suppone scelto a caso con uguale probabilita tra tutti i capi commercializzati. (i) Calcolare la probabilita di comprare un capo di abbigliamento della marca Y che presenti difetti. (ii) Calcolare la probabilita che il capo di abbigliamento provenga dalla fabbrica A, dato che presenta difetti.

3 3 9. Un benefattore distribuisce a caso 100 monete da un euro tra 8 persone, tra cui Giorgio e Luca. Costruire un modello probabilistico della situazione e calcolare: (i) la probabilita che Giorgio riceva 3 euro e Luca 5 euro (ii) la probabilita che Giorgio riceva 3 euro se Luca ne ha ricevuti Si eseguono in successione 10 lanci di una moneta non truccata. Calcolare la probabilita che esca testa per la terza volta al decimo lancio, dato che il numero di volte che e uscita testa nei primi 5 lanci e Un dado rosso ed uno bianco (non truccati) vengono lanciati insieme. Dato che esce il 6 su almeno uno dei due dadi, qual e la probabilita che esca sul dado rosso? Si ripete l esperimento del lancio dei due dadi fino al momento in cui su almeno uno dei due dadi esce il 6. Qual e la probabilita che, al momento in cui ci si ferma, sia uscito il 6 sul dado rosso? 12. Due giocatori lanciano una moneta non truccata fino a quando esce testa (ognuno lancia la sua moneta) Sia X il lancio al quale si ferma il primo giocatore, e sia Y quello al quale si ferma il secondo giocatore. Calcolare P (X < Y + 3). 13. Si fanno lanci in successione di una moneta truccata in modo che la probabilita che esca testa nel singolo lancio sia 1 3. Dato che esce testa per la terza volta all 11-esimo lancio, qual e la probabilita che esca testa nei primi due lanci? 14. Una scatola contiene 13 palline bianche, 7 verdi e 10 rosse. Si estraggono a caso in sequenza 5 palline, con restituzione. Si considerino gli eventi A = {le prime 2 palline estratte sono verdi}, B = {la terza estratta e bianca e la quinta e rossa}, C = {esattamente 3 delle 5 palline estratte sono bianche}. (a) Si descriva accuratamente il modello probabilistico adottato. (b) Gli eventi A e B sono indipendenti? (c) Gli eventi A, B e C sono indipendenti? 15. Il cassetto numero 1 contiene 10 quaderni a righe e 10 quaderni a quadretti, il cassetto numero 2 contiene 15 quaderni a righe e 8 quaderni a quadretti. Dal cassetto numero 1 si scelgono a caso 3 quaderni, che vengono messi nel cassetto numero 2. Poi si prende a caso un quaderno dal cassetto numero 2. Qual e la probabilita che sia a righe? 16. Data un urna contenente 1 pallina bianca e 3 palline nere, si considerino le seguenti prove. Per ogni n = 1, 2,... la prova n-esima consiste nell estrazione con restituzione di n palline dall urna e nell osservarne il colore. Se accade che ad una prova le palline estratte sono tutte bianche, le prove terminano. Si considerino gli eventi A = {il numero totale di prove eseguite e 5}, B = {le prove terminano prima o poi}. (i) Calcolare P (A) (ii) E vero che P (B) 1 2?

4 4 17. Un urna contiene 15 palline bianche, numerate da 1 a 15, e 15 palline nere, numerate da 1 a 15. Si estraggono a caso, senza restituzione, 4 palline. Calcolare la probabilita di ottenere (a) nessuna coppia con lo stesso numero (b) esattamente una coppia con lo stesso numero (c) due coppie con lo stesso numero. 18. Si consideri l insieme {1,..., n}. Si genera un sottoinsieme A di questo insieme nel seguente modo: per ogni elemento di {1,..., n} si lancia una moneta (lanci indipendenti), e se viene testa l elemento viene messo in A, se viene croce non viene messo in A (a) Giustificare che tutti i sottoinsiemi di {1,..., n} hanno la stessa probabilita di essere generati. (b) Supponiamo che due sottoinsiemi A e B di {1,..., n} siano scelti in modo indipendente e uniformemente a caso tra tutti i possibili sottoinsiemi di {1,..., n}, Trovare la P (A B) e la P (A B = {1,..., n}). 19. In un mazzo di 52 carte si scelgano 2 carte, senza restituzione. (i) Quale e la probabilita di ottenere 2 assi? (ii) Dato che una delle due carte e un asso, qual e la probabilita che l altra sia un asso? (iii) Dato che una delle due carte e l asso di cuori, qual e la probabilita che l altra sia un asso? 20. Il problema delle cliques monocromatiche. Si consideri un grafo completo con 100 vertici. E possibile colorare i lati, usando due colori, in modo che non ci siano sottografi completi con 20 vertici ed i lati tutti dello stesso colore? (Sembra strano, ma la teoria della probabilita aiuta a risolvere questo problema) 21. Si gioca al lotto su una data ruota e sul terno 1,2,3. Qual e la probabilita di vincere? 22. Il problema dell amico che viene con il treno. Due amici, Luca e Giovanni, stanno in citta diverse. Luca pensa di andare a trovare Giovanni. Lancia una moneta non truccata, e se viene testa parte, mentre se viene croce rinuncia al viaggio. Se viene testa, ha 6 treni a disposizione. Per decidere il treno, lancia un dado non truccato. Se il risultato del lancio del dado e i, prende l i-esimo treno. Giovanni lo va a prendere alla stazione. E al corrente della procedura seguita da Luca, ma non conosce i riultati. Passano i primi 5 treni, e Luca non c e. Qual e la probabilita che Luca arrivi con il sesto? 23. Il problema di Luca e l autobus. Ci sono due autobus, la linea 1 e la linea 2. Sull 1 ci sono 40 passeggeri, di cui 35 con biglietto e 5 senza. Sul 2 ci sono 14 passeggeri, di cui 11 con biglietto e 3 senza. Alla fermata si muove solo Luca, che scende dall 1 e sale sul 2. Dopo questo trasferimento, un controllore sale sul 2 e sceglie a caso un passeggero per verificare

5 se ha il biglietto. Dato che il passeggero controllato risulta essere senza biglietto, qual e la probabilita che sia Luca? 5