Esercitazioni 2013/14

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1 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta V verrà accettata con probabilità 3/4 nel caso in cui la ditta W non partecipi alla gara. La probabilità che W partecipi alla gara è 3/4 e se partecipa la probabilità che V ottenga l appalto si riduce a 1/3. (a) Quale è la probabilità che V ottenga l appalto? (b) Se V ottiene l appalto, quale è la probabilità che W non abbia partecipato alla gara? Esercizio 2 Una società di consulenza ingegneristica deve preparare una proposta per un contratto di ricerca. Preparare la proposta costa 5000 e nel caso che essa venga accettata le probabilità di un guadagno potenziale stimato di 50000, 30000, o 0 sono 0.2, 0.5, 0.2 e 0.1 rispettivamente. Se la probabilità che la proposta della società venga accettata è 0.3, quale è il guadagno netto atteso? Esercizio 3 Un produttore di birra afferma che il 10% al massimo delle sue lattine contiene meno birra di quanto dichiarato sull etichetta. Per verificare l affermazione, si scelgono a caso 16 lattine di birra e se ne pesa il contenuto: l affermazione è verificata se meno di 3 lattine contengono meno birra di quanto dichiarato. Determinare la probabilità che quanto dichiarato dal produttore venga confermato se la percentuale reale di lattine che contengono meno birra di quanto dichiarato in etichetta è: (a) 5%, (b) 10%, (c) 15%, (d) 20%. Esercizio 4 La variabile aleatoria X ha densità di probabilità: 0. (a) Calcolare la 0 funzione di distribuzione e farne il grafico. (b) Calcolare la probabilità degli eventi 0 e. (c) Calcolare il valore atteso e la varianza di X. Esercizio 5 In una settimana il numero medio di incidenti lungo un tratto autostradale molto transitato è pari a 3. (a) Se X indica il numero di incidenti per settimana, ricavare il modello probabilistico per X. (b) Ricavare la funzione di distribuzione e farne il grafico. (c) Calcolare la probabilità che ci saranno almeno 2 incidenti la prossima settimana. Esercizio 6 La probabilità di trovare occupata la linea telefonica di una radio locale è (a) Quale è la probabilità di trovare la linea libera al decimo tentativo? (b) Quale è la probabilità che per prendere la linea occorrano più di 5 tentativi? (c) Quale è il numero medio necessario per connettersi? Esercizio 7 Una moneta regolare viene lanciata volte. Mediante la diseguaglianza di Chebyshev, mostrare che la probabilità che la frequenza relativa di teste sia compresa tra e è almeno Esercizio 8 In una città il numero di interruzioni al mese della fornitura di energia elettrica è una variabile casuale con valore atteso 11.6 e deviazione standard 3.3. Se questa distribuzione può essere approssimata con una distribuzione Gaussiana, qual è la probabilità che ci siano almeno 8 interruzioni in un mese? Esercizio 9 Se il 20% dei chip di memoria prodotti da una certa fabbrica sono difettosi, qual è la probabilità che in un lotto di 100 chip selezionati a caso per un controllo: (a) almeno 15 siano difettosi, (b) esattamente 15 siano difettosi. (utilizzare il modello esatto ed il modello approssimato mediante la legge Gaussiana)

2 Esercizio 10 Un carico di 20 registratori digitali ne contiene 5 difettosi. Scegliendone 10 a caso per un controllo, qual è la probabilità che 2 di essi siano difettosi? Esercizio 11 Si ripeta l Esercizio 10 con un lotto di 100 registratori digitali di cui 25 sono difettosi, usando: (a) la legge ipergeometrica, (b) la legge binomiale come approssimazione. Commentare il risultato. Esercizio 12 La densità di probabilità della variabile aleatoria è data da: 0 1, ed è nulla altrove, con a e b coefficienti positivi. (a) Se il valore atteso di X è 3/5, ricavare a e b. (b) Calcolare e disegnare la funzione di distribuzione. Esercizio 13 La variabile aleatoria X ha distribuzione Uniforme in (0, 0.5). (a) Scrivere le espressioni della densità e della distribuzione, facendone un grafico qualitativo. (b) Se ricavare la distribuzione applicando la definizione di funzione di distribuzione di una v.a., fare un grafico qualitativo di. (c) Ricavare applicando il teorema fondamentale e fare un grafico qualitativo di. (d) Calcolare il valore atteso di. Esercizio 14 La variabile aleatoria ha densità. (a) Determinarne la funzione di distribuzione e farne un grafico indicativo, calcolare la probabilità che sia minore di 2. (b) Calcolare il valore atteso, il secondo momento e la varianza di. (c) Se con 1/2 e 1/8, ricavare la funzione di distribuzione di da quella di X, e farne un grafico indicativo. (d) Per ogni realizzazione di X si lancia una moneta, e si definisce la variabile aleatoria Z come segue: se esce testa, se esce croce ; si scriva la densità di Z, se ne faccia un grafico indicativo. (e) Si calcoli la varianza di Z e la probabilità che sia 2. Esercizio 15 Nel tiro con l arco il punteggio sul bersaglio circolare (avente raggio massimo ) è assegnato in modo inversamente proporzionale alla distanza r della freccia dal centro del bersaglio, secondo la legge: 0 r R max y gr 100 Rmax r 0 r Rmax Rmax (a) Se R è una variabile aleatoria distribuita secondo il modello di Rayleigh, con distribuzione: 2 r FR r 1exp U 2 r 2 Indicare di che tipo è la v.a. e fornire un grafico qualitativo di ricavare la probabilità che il punteggio sia maggiore di 90., ricavare la funzione di distribuzione, F y, del punteggio gr F y. (c) Per Rmax 2 m e. (b) m Esercizio 16 La coppia di variabili aleatorie X, ha densità congiunta: f X x,y x y figura) e nulla altrove. (a) Determinare le densità marginali f X x, f valori attesi di X e. (c) Calcolare la correlazione, E X. (d) Dire se X e sono indipendenti. nel dominio D (vedi x ; (b) Calcolare i y 1 D 0 1 x

3 Esercizio 17 (a) Date due variabili aleatorie discrete, con massa di probabilità congiunta,, con, 0,,, valori attesi, e varianze,, scrivere l espressione che permette di calcolare il coefficiente di correlazione. (b) Se, sono due variabili di Bernoulli di stesso valore atteso 0.5, con 1,1 essendo 00.5, calcolare in funzione di e farne il grafico. (c) Ricavare il valore di per cui le variabili sono scorrelate. (d) Ricavare i valori, con, 0,1 per i quali X e sono indipendenti. Esercizio 18 Sono date due variabili aleatorie (X, ), X è un v.a. Gaussiana standard e ax b W, dove a e b sono coefficienti reali e W è una v.a. Gaussiana con valore atteso e deviazione standard, correlata con X secondo il coefficiente di correlazione r XW. (a) Determinare la covarianza tra X e ed il coefficiente di correlazione r X. (b) Facendo un grafico indicativo, mostrare l andamento di r X al variare di nei casi in cui r XW 0 e r XW 1. (c) Commentare il risultato del punto (b). Esercizio 19 Si osservano due quantità aleatorie X e entrambe assumono i valori: 1, 0, +1. Supponendo che la coppia (0,0) abbia probabilità 0.5 e che le altre siano equiprobabili, qual è la probabilità che: (a) 0. (b) 0. Esercizio 20 Sia, una coppia di variabili aleatorie con densità congiunta: 3, , (a) Verificare che si tratta di una funzione di densità congiunta. (b) Calcolare, cioè la densità di condizionata a X. (c) Calcolare la curva di regressione:. Esercizio 21 La vita di un componente ha distribuzione esponenziale con MTBF di 1000 ore. (a) Quale è la probabilità che il componente duri almeno 500 ore? (b) Quale è la probabilità che tra 3 di questi componenti (tra loro indipendenti) almeno uno si guasti durante le prime 1000 ore? (c) Quale è la probabilità che tra quattro di questi componenti (tra loro indipendenti) esattamente due cessino di funzionare correttamente durante le prime 600 ore? Esercizio 22 Siano,,, variabili aleatorie uniformemente distribuite in (0,1) ed indipendenti. Definita la variabile aleatoria (media campionaria), valutare quanto deve essere grande N per avere Esercizio 23 Per un volo di 400 posti, una compagnia aerea accetta prenotazioni in eccesso sapendo che una prenotazione, indipendentemente dalle altre, non viene rispettata con una probabilità del 10 %. (a) Supponendo che siano state accettate 434 prenotazioni, calcolare la probabilità che tutti coloro che si presentano al check in riempiano completamente l aereo. (b) Se la compagnia aerea desidera con una probabilità almeno del 98 % che nessun prenotato rimanga a terra, quante prenotazioni deve accettare?

4 Esercizio 24 Un sottoinsieme è costituito da 3 unità connesse in serie. Le unità sono indipendenti con vita distribuita esponenzialmente con 1. Quanti sottinsiemi si devono connettere in parallelo per avere dopo un ora di funzionamento un affidabilità non inferiore al 99 %? Esercizio 25 Un sistema presenta una frequenza condizionata dei guasti: con 0 dove c e b sono due costanti positive. (a) Ricavare, svolgendo i calcoli, la densità di probabilità della vita del sistema. (b) Ricavare l affidabilità del sistema e farne un grafico. (c) Se 0.5 e 0.25 determinare il valore di t (in unità di tempo) per cui l affidabilità del sistema si ricuce del 50 %. Esercizio 26 La v.a. X ha densità di probabilità: f x xexp Ux. Sia g X dove X 2 x 2 0 x 0 2 g x x 0 x1. 1 x 1 Ricavare è disegnare l andamento di: (a) F x. (b) F y. (c) X f y. Esercizio 27 La v.a. X ha distribuzione Uniforme in 0 e 2 mentre la v.a. ha distribuzione Esponenziale con densità:, calcolare: (a) La funzione di distribuzione, FZ 1Z 3. f y 2exp 2y U y, inoltre X e sono indipendenti. Considerando la variabile aleatoria Z max X, dell evento z, di Z. (b) Ricavare la probabilità Esercizio 28 Un urna contiene inizialmente due palline rosse e due palline nere. Due giocatori, A e B, effettuano delle estrazioni successive con le seguenti regole: se la pallina estratta è nera, la pallina viene messa da parte, se è rossa viene rimessa nell urna insieme a una nuova pallina nera. Il giocatore A vince non appena nell urna ci sono quattro palline nere, B vince non appena nell urna non ci sono più palline nere. Il gioco può essere schematizzato attraverso una catena di Markov. (a) Disegnare il grafo rappresentativo della catena di Markov. (b) Calcolare la matrice delle probabilità di transizione. (c) Calcolare la probabilità che il giocatore A vinca dopo quattro estrazioni. (d) Calcolare la probabilità che il giocatore B vinca dopo quattro estrazioni. (e) Calcolare la probabilità che il giocatore A vinca dopo sei estrazioni. (f) Calcolare la probabilità che il giocatore B vinca dopo sei estrazioni. Esercizio 29 L agenzia bancaria di un piccolo centro urbano dispone di due sportelli e di quattro poltroncine per fare accomodare i cliente in attesa che uno dei due sportelli si liberi. (a) Modellizzare il processo tramite una Catena di Markov con la relativa rappresentazione grafica. (b) Si consideri il caso in cui gli arrivi all agenzia sono Poissoniani con intensità di 0.5 arrivi al minuto e le permanenze agli sportelli hanno una durata distribuita Esponenzialmente con valore atteso di un minuto; supporre che il sistema abbia raggiunto lo stato di equilibrio (bilanciamento dei flussi). (b 1 ) Calcolare la probabilità di non avere nessuno all interno dell agenzia. (b 2 ) Calcolare la probabilità di avere una (ed una sola) persona allo sportello. (c) Indicare a come si modifica il modello precedente se esiste un solo sportello ed il numero di poltroncine è molto grande (modellizzando quindi la coda con una capacità infinita) e fornire la relativa rappresentazione grafica.

5 Esercizio 30 Ad un ufficio postale entrano 4 clienti al minuto; uno sportello riesca a servire un cliente ogni 2 minuti. Supponendo il sistema di tipo Markoviano: (a) Quanti sportelli sono necessari affinché il sistema sia stabile? (b) Se sono aperti 10 sportelli, risulta verificata la condizione di stabilità? Se sì, quale è il tempo medio di attesa globale (compreso il tempo di servizio)? (c) Quanti sportelli sono necessari per ridurre il tempo medio di attesa globale a 6 minuti?