Esercizi di Probabilità e Statistica

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Olimpia Novelli
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1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 5 maggio 007 Varabili aleatorie continue, distribuzioni continue e funzione generatrice di momenti. Esercizio Dimostrare la mancanza di memoria della distribuzione esponenziale, ovvero dato X Exp(λ allora P X > m + k X > k} P X > m}. Ricordiamo la f.r. di una v.a. con distribuzione esponenziale F X (x e λx P X > m + k X > k} P X > k X > m + k}p X > m + k} P X > k} P X > m + k} P X > k} Esercizio Sia X N(µ, P X m + k} P X k} e λ(m+k e λk e λm P X > m}. determinare i valori della media e della varianza di X sapendo che P X 0.43} 0.5 e P X 5.6} 0.06;. scrivere la densità di probabilità di Y 3X 5 e calcolare E[Y ]. Sia Z N(0,, allora abbiamo che X Z +µ. Andando a sostituire nelle probabilità date otteniamo P Z + µ 0.43} P Z 0.43 µ } 0.5 P Z + µ 5.6} P Z + µ 5.6} P Z 5.6 µ } 0.06 Poniamo Φ(x P Z x} la funzione di ripartizione di una normale (0,, il cui valore andrà ricercato nelle tavole numeriche. Possiamo allora riscrivere il sistema precedente in Φ ( 0.43 µ Φ ( 5.6 µ

e la mancanza di memoria della distribuzione esponenziale, ovvero dato X Exp(λ allora P X > m + k X > k} P X > m}. Ricordiamo la f.r. di una v.a. con distribuzione esponenziale F X (x e λx P X > m + k X > k} P X > k X > m + k}p X > m + k} P X > k} P X > m + k} P X > k} Esercizio Sia X N(µ, P X m + k} P X k} e λ(m+k e λk e λm P X > m}.

2 A questo punto cerchiamo i valori dei quantili φ 0.5 e φ 0.94 nelle tavole numeriche. Purtroppo nelle tavole troviamo solo quantili di ordini superiori a 0.5, quindi dobbiamo trasformare il primo quantile secondo la seguente regola q α q α da cui segue che q 0.5 q 0.85 Una volta ottenuti abbiamo che q 0.5 q µ q µ.04 + µ µ µ.5 Quindi la varianza è 4 e la media è.5. Calcoliamo ora la densità di Y 3X 5. Sapendo che X Z +.5 otteniamo Y 6Z +.53, quindi Y N(.53, 36 e quindi la densità è data da f Y (x 6 (x.53 π e 7 Infine calcoliamo E[Y ]. Sappiamo tuttavia che V ar[y ] E[Y ] E[Y ] da cui E[Y ] V ar[y ] E[Y ] 36 ( Esercizio 3 La durata X di vita in mesi di una batteria segue una distribuzione esponenziale con funzione di ripartizione F X (x e 7x, x 0. Calcolare la probabilità che la batteria abbia una durata di 3 mesi dato che è già durata un mese. Qual è la probabilità che su 30 batterie meno di 5 durino più di /3 di mese? [e 4, ] Vogliamo calcolare la proabilità che la batteria duri almeno 3 mesi condizionata al fatto che è durata un mese, quindi calcoliamo utilizzando la proprietà di mancanza di memoria della distribuzione esponenziale la seguente probabilità condizionata P X > 3 X > } P X > } e 4 Per la seconda domanda calcoliamo la probabilità che la batteria duri più di un terzo di mese. p P X > 3 } e 7 3 A questo punto consideriamo Y una v.a. discreta distribuita secondo una binomiale di parametri n 30 e p, che conta il numero di batterie difettose e calcoliamo 4 ( 30 P Y < 5} p i ( p 30 i i i0 Esercizio 4 I diametri delle ruote per bicicletta prodotte da una ditta hanno distribuzione normale con media 58.5 cm e varianza 0.9 cm. Determinare:

55 + µ 5.6 0 µ.5 Quindi la varianza è 4 e la media è.5. Calcoliamo ora la densità di Y 3X 5. Sapendo che X Z +.5 otteniamo Y 6Z +.53, quindi Y N(.53, 36 e quindi la densità è data da f Y (x 6 (x.

3 . la probabilità che una ruota abbia diametro compreso fra 58. cm e 58.8 cm; [0.874]. la probabilità che una ruota abbia diametro superiore a 58.7 cm, dato che il suo diametro è superiore a 58.5 cm; [0.8330] 3. la probabilità che su 0 ruote scelte a caso dalla produzione, soltanto una abbia dimetro inferiore a 58.3 cm. [0.0365] La ditta afferma che in un lotto di 0 ruote consegnate ad un costruttore di biciclette, hanno diametro inferiore a 58.3 cm. Calcolare la probabilità che proprio queste due ruote vengano utilizzate per la costruzione della prossima bicicletta. [0.0056] Sia Z N(0, e Φ(x la f.r. di Z. Sia inoltre X N(58.5, 0.9 la v.a. che misura il diametro di una bicicletta prodotta. Sappiamo che X 0.9Z da cui } P 58. < X < 58.8} P < Z < Φ(0.363 Φ( Φ( Φ( Per il secondo punto utilizziamo il teorema di Bayes P X > 58.5 X > 58.7}P X > 58.7} P X > 58.7 X > 58.5} P X > 58.5} } P X > 58.7} P Z P X > 58.5} 9 } Φ( P Z Φ(0 Per il terzo punto ci calcoliamo la probabilità di avere un diametro inferiore a 58.3 } p P X < 58.3} P Z < 9 9 Φ( 0.08 Φ( Sia questo punto Y una v.a. binomiale di parametri n 0 e p che conta il numero di bici con diametro inferore a 58.3 e calcoliamo ( 0 P Y } p( p Infine l ultima domanda è molto semplice perchè la probabilità q che nella prossima bici vengano utilizzate proprio le due difettose equivale a pescare tra tutte le coppie di ruote possibili proprio la coppia difettosa e quindi q C 0, (

3 cm. Calcolare la probabilità che proprio queste due ruote vengano utilizzate per la costruzione della prossima bicicletta. [0.0056] Sia Z N(0, e Φ(x la f.r. di Z. Sia inoltre X N(58.5, 0.9 la v.a. che misura il diametro di una bicicletta prodotta.

4 Esercizio 5 Si suppone che il tempo di vita delle lampadine prodotte da una ditta segua una distribuzione esponenziale di parametro λ (/giorni. Qual è la probabilità che una lampadina duri almeno 300 giorni? Qual è la probabilità che, dopo 50 giorni di funzionamento, una lampadina duri ancora almeno 0 giorni? Se dalla produzione si scelgono 50 lampadine, qual è la probabilità che solo 3 di queste durino più di 300 giorni? [0.3, , ] Sia X Exp(0.005 la v.a. che misura il tempo di funzionamento di una lampadina prodotta dalla ditta. Calcoliamo la probabilità che la lampadina duri almeni 300 giorni. P X 300} e Risolviamo il secondo quesito ricordando la proprietà di mancanza di memoria della distribuzione esponenziale. P X > X > 50} P X > 0} e Infine per l ultima domanda consideriamo Y Bin(50, p la v.a. che conta il numero di lampadine che durano più di 300 giorni tra le 50 prodotte, dove p P X 300} 0.3, e calcoliamo P Y 3} ( 50 3 p 3 ( p Esercizio 6 Calcolare la funzione generatrice di momenti delle v.a. geometrica, p binomiale, poisson, normale, gamma, esponenziale. [ ( pe, ( p + pe z n, ( z e λ(ez,e zµ+ z α] λ, λ z Ricordiamo che la funzione generatrice di momenti di una v.a. unidimensionale X è data da m X (z E[e zx ] Se X Geom(p allora m X (z E[e zx ] e zi ( p i p p [( pe z ] i p ( pe z i0 dove abbiamo utilizzato i0 qi q i0 se q <. Quindi abbiamo che ( pe z < da cui z < log( p. Quindi il dominio di m X (z è ristretto a z < log( p. Se X Binom(n, p con n intero positivo e 0 p allora m X (z E[e zx ] n ( n e zi i i0 p i ( p n i n i0 ( n (pe z i ( p n i ( p + pe z n i 4

Se dalla produzione si scelgono 50 lampadine, qual è la probabilità che solo 3 di queste durino più di 300 giorni? [0.3, 0.5488, 0.0053] Sia X Exp(0.005 la v.a. che misura il tempo di funzionamento di una lampadina prodotta dalla ditta.

5 dove abbiamo utilizzato (a + b n n i0 ( n i a i b n i e il dominio della f.g.m. è tutto R. Se X P ois(λ con λ > 0 allora m X (z E[e zx ] i0 zi λi e i! e λ e λ (λe z i i0 i! e λ e λez e λ(ez dove abbiamo utilizzato e λ i0 λi i! e il dominio della f.g.m. è tutto R. Sia S N(0,. Calcoliamo la f.g.m. m S (z E[e zs ] e z e zx π e x dx π e x zx+z dx e z π e x +zx dx π e (x z dx e z dove l espressione interna all integrale è la densità di una normale N(z, 0, che sappiamo dare se integrata su tutto R. Vediamo ora il caso generale. Sia X N(µ, e ricordiamo che X S+µ, allora m X (z E[e zx ] E[e z(s+µ ] e zµ E[e zs ] e zµ m S (z e zµ+ z Anche in questo caso il dominio della f.g.m. è tutto R. Sia X Γ(α, λ con α, λ > 0 allora m X (z E[e zx ] e zx λα 0 λ α 0 λ α (λ z α Γ(α xα e λx dx Γ(α xα e (λ zx dx 0 (λ z α x α e (λ zx dx Γ(α ( λ α λ z dove analogamente a quanto visto per la normale, l espressione nell integrale è la densità di una legge gamma Γ(α, λ z la cui integrazione su tutto il dominio vale. Questo però è vero solo se λ z > 0 da cui z < λ. Quindi il dominio della f.g.m. si limita ai valori di z minori di λ. Infine banalmente siccome l esponeniale è un caso particolare di legge gamma di parametri α e λ, abbiamo che se X Exp(λ con λ > 0 allora ( λ m X (z E[e zx ] λ z con dominio z < λ. Esercizio 7 Utilizzando la funzione generatrice di momenti dimostrare che. se X Binom(n, p e Y Binom(m, p (indipendenti tra loro, allora X + Y Binom(n + m, p; 5

6 . se X P ois(λ e Y P ois(λ (indipendenti tra loro, allora X + Y P ois(λ + λ ; 3. se X N(µ, e Y N(µ, (indipendenti tra loro, allora X +Y N(µ + µ, + ; 4. se X Γ(α, λ e Y Γ(α, λ (indipendenti tra loro, allora X + Y Γ(α + α, λ. Ricordiamo che date due v.a. indipendenti X, Y abbiamo che m X+Y (z m X (zm Y (z Siano X Binom(n, p e Y Binom(m, p allora m X+Y (z m X (zm Y (z ( p + pe z n ( p + pe z m ( p + pe z n+m che è la f.g.m. di una binomiale di parametri n + m e p. Siano X P ois(λ e Y P ois(λ allora m X+Y (z m X (zm Y (z e λ(ez e λ(ez e (λ+λ(ez che è la f.g.m. di una Poisson di parametro λ + λ. Siano X N(µ, e Y N(µ, allora m X+Y (z m X (zm Y (z e µz+ z e µz+ z e (µ+µz+ z ( + che è la f.g.m. di una normale di media µ + µ e varianza +. Siano X Γ(α, λ e Y Γ(α, λ allora m X+Y (z m X (zm Y (z che è la f.g.m. di una legge gamma Γ(α + α, λ. ( α ( α ( α+α λ λ λ λ z λ z λ z Esercizio 8 Sia X una v.a. con distribuzione uniforme nellintervallo [, 6] e sia Y una v.a. esponenziale di media /λ. Si determini il valore di λ per cui P X 4} P Y 4}. [λ 0.73] P X 4} P Y 4} 4 6 e 4λ e 4λ 0.5 λ log(

loro, allora X + Y Γ(α + α, λ. Ricordiamo che date due v.a. indipendenti X, Y abbiamo che m X+Y (z m X (zm Y (z Siano X Binom(n, p e Y Binom(m, p allora m X+Y (z m X (zm Y (z ( p + pe z n ( p + pe z m ( p + pe z n+m che è la f.

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