Esercizi di Probabilità e Statistica

Transcript

1 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 6 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; c) una pallina non bianca; d) una pallina blu. [a) 9 ; b) 9 ; c) 9 ; d) ] P (E a ) # bianche Ω 9 P (E c ) # bianche Ω 9 P (E b ) # nere Ω 9 P (E d ) # blu Ω Esercizio Un urna contiene palline numerate da a ; si estraggono contemporaneamente palline. Calcolare la probabilità di avere: a) due numeri dispari; b) un numero divisibile per e uno non divisibile per ; due numeri la cui somma è. [a) 9, b) 6 9, c) ] Ω numero di combinazioni di classe sulle palline (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle palline dispari (C, ). E b numero di coppie (non ordinate) di palline in cui una è divisibile per e una non lo è. palline divisibili per (ovvero ) palline non divisibili per (ovvero ). E c numero di coppie (non ordinate) di palline che danno come somma (ovvero ) P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, 6 9

2 Esercizio Si estraggono contemporaneamente carte da un mazzo di carte. Calcolare la probabilità di avere: a) figure; b) figure e un asso; c) una figura, un asso, un sette. [a) 9 ; b) ; c) ] Ω numero di combinazioni di classe su (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ). E b prodotto tra il numero di combinazioni di classe sulle figure (C, ), e il numero di possibili assi (ovvero ). E c prodotto tra il numero di figure (ovvero ), il numero di assi (ovvero ), e il numero di 7 (ovvero ). P (E a ) C, C, 9 P (E c ) C, P (E b ) C, C, Esercizio Nel gioco del Totocalcio calcolare la probabilità dei seguenti eventi, supponendo che qualunque risultato sia equopossibile: a) totalizzare punti; b) totalizzare punti; c) sbagliare tutti i pronostici. [a) 9 ; b) 6 9 ; c) 89 9 ] Ω numero di disposizioni di classe sui possibili pronostici (,, X) (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica combinazione vincente E b il prodotto tra il numero di combinazioni vincenti di classe sulle partite (C, ), e il numero di pronostici perdenti sull unica partita sbagliata (ovvero ) E c il numero di disposizioni perdenti di classe (il numero di partite) sui possibili pronostici (due perchè una è vincente e due sono perdenti) (D,) P (E a ) D, P (E b ) C, D, 6 P (E c ) D, D, Esercizio Una scatola contiene lampadine di cui si sa che sono difettose; si prendono a caso lampadine. Calcolare la probabilità che: a) siano tutte difettose; b) almeno una non sia difettosa. [a) ; b) ]

3 Ω numero di combinazioni di classe sulle possibili lampadine (C, ) Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a numero di combinazioni di lampadine difettose di classe (C, ) E b questo insieme è complementare ad E a P (E a ) C, C, P (E b ) P (E a ) Esercizio 6 Si lanciano dadi. Calcolare la probabilità di avere: a) numeri dispari; b) due numeri pari e uno dispari; c) tre numeri la cui somma sia ; almeno due. [a) 8 ; b) 8 ; c) 6 ; d) 7 ] Ω numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui 6 possibili numeri (D 6,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a numero di disposizioni con ripetizione di classe (numero di dadi) sui possibili valori (numeri dispari tra e 6) (D,) E b prodotto tra il numero di disposizioni con ripetizione di classe (i due dadi) sui possibili valori (numeri pari tra e 6) (D,), il numero di valori dispari che può assumere il terzo dado (ovvero ), e il numero di ordinamenti possibili (ovvero C, ) E c numero di coppie ordinate di numeri tra e 6 la cui somma da E d prodotto tra il numero di combinazioni di classe (i due dadi con l ) sui dadi e il numero di valori che può assumere il terzo dado tralasciando l (ovvero ). In più sommiamo l esito (,,). P (E a ) D, D 6, 8 P (E c ) 6 D 6, 6 P (E b ) D, C, 8 P (E d ) C, Esercizio 7 Cinque amici A, B, C, D, E acquistano biglietti per posti contigui a teatro e si siedono a caso in uno dei posti. Calcolare la probabilità degli eventi: a) i cinque amici si siedono in ordine alfabetico; b) A e B sono seduti vicino. [a) ; b) ] Tralasciamo l perchè la combinazione (,,) non è riordinabile, quindi non deve entrarmi del prodotto con i possibili ordinamenti C,

4 Ω numero di permutazioni dei amici (!) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a l unica permutazione che preserva l ordine alfabetico E b prodotto tra il numero di esiti che fanno sedere A e B vicini (ovvero 8), e il numero di permutazioni degli altri amici sui restanti posti (!) P (E a )! P (E b ) 8!! Esercizio 8 Si consideri un gruppo di persone. Calcolare le seguenti probabilità: a) che siano nate tutte nello stesso mese, supponendo che le nascite nei vari mesi siano egualmente possibili; b) siano nate tutte in mesi diversi. [a) 76 ; b) ] Ω Il numero di disposizioni con ripetizione di classe (le persone) sui possibili mesi (D,) Lo spazio campionario considera insiemi ordinati!! E a Il numero di esiti che corrispondono a nascita di ciascuna persona nello stesso mese (ovvero ) E b Il numero di disposizioni di classe (le persone) sui possibili mesi (D, ) P (E a ) D, P (E b ) D, D, Esercizio 9 In una moneta non è regolare, la probabilità di avere testa è la probabilità di avere croce. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. [T ; C ] P (T ) P (C) P (T ) + P (C) P (T ) P (C) () () Esercizio Verificare che per qualunque coppia di eventi A, B A. P (A \ B) P (A) P (A B). P (A B C ) P (A) P (A B)

5 . P (A C B C ) P (A B). P (A C B C ) P (A B). P (A\B) P (A (A B)) P ((A C (A B) C ) C ) P (A C (A B) C ) P (A) P (A B)... P (A B C ) P (A \ B) P (A) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) P (A C B C ) P ((A B) C ) P (A B) Esercizio Un giocatore di poker riceve all inizio del gioco cinque carte da un normale mazzo di. a) Qual è la probabilità di ricevere almeno assi? b) Qual è la probabilità di ricevere cinque carte dello stesso seme? c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito? [a).68; b) 666 ; c) 6 ] Ω Il numero combinazioni di classe (il numero di carte ricevute) sulle carte possibili (C, ). Lo spazio campionario considera insiemi non ordinati!! E a Dobbiamo considerare il caso di estrarre esattamente, e assi quindi avremo la sommatoria con i [, ] del prodotto tra il numero di combinazioni di classe i (gli assi estratti) sui assi possibili(c, ), e il numero di combinazioni di classe i (le carte rimanenti) sulle restanti 8 carte (C 8,i ). E b Il prodotto tra il numero di semi (ovvero ) e il numero di combinazioni di classe (il numero di carte) sulle carte per seme (C, ) E c Il prodotto tra il numero di possibili poker (ovvero ), e il numero di restanti valori per la carta rimanente (ovvero 8) P (E a ) P (E c ) i C,i C 8, i C,.68 P (E b ) C, C, C, 6

6 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 Probabilità condizionata Esercizio I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali % e 7% rispettivamente. I due tipi di difettosità si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si può assumere che le presenze dell uno o dell altro siano indipendenti tra loro. a) Qual è la probabilità che un componente presenti entrambi i difetti? b) Qual è la probabilità che un componente presenti almeno uno dei due difetti? c) Qual è la probabilità che un componente presenti il difetto, sapendo che esso è difettoso? d) Qual è la probabilità che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo che esso è difettoso? [a).; b).979; c).6 d).978 ] D presenta difetto ; D presenta difetto P (D ).; P (D ).7 a) P (D D ) P (D ) P (D ).. b) P (D D ) P (D ) + P (D ) P (D D ).979 c) P (D D D ) P (D D D ) P (D ) P (D D ) d) D D (D D ) \ (D D ) P (D D ) P (D D D D ) P (D D D D ) P (D D ) P (D D ) Esercizio Un urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri mentre l altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero? [ ] A entratto carta NN ; A estratto carta BN ; N estratto lato nero

7 P (A ) P (A ) P (N) P (N A i ) P (A i ) + i P (A N) P (N A ) P (A ) P (N) Esercizio Dieci urne contengono tutte palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Più precisamente l urna i-esima contiene palline R e i palline B. Un urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte due palline. a) Qual è la probabilità che le due palline siano una B e una R? b) Supponiamo che l estrazione abbia dato come risultato una pallina B e una R. Qual è la probabilità p i che l urna prescelta sia la i-esima? Qual è l urna più probabile? c) Supponiamo invece che vi siano urne contenenti palline R e B (le urne sono quindi ). Se l estrazione ha dato come risultato una pallina B ed una R, qual è ora la probabilità che l urna prescelta sia di tipo i (cioè contenga i palline B)? Qual è ora il valore i più probabile? [a).6 ; b) e le urne più probabili; c) sempre e ] A i estratto da urna i ; B estrarre una B e una R P (A i ) a) b) P (B) i P (B A i ) P (A i ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) c) A A P (A i ) P (B) i Per ogni i [, ] i arg max i [,] p i, } P (B A i ) P (A i ) + P (B A ) P (A ) p i P (A i B) P (B A i) P (A i ) P (B) i C i+,.6 i C i+,.6.8 i (i + ) (i + ) i i C i+, + C,.9997 i C i+, i (i + ) (i + ) p p arg max i [,] p i, }

8 Esercizio Vivo a Venezia; domani ci può essere l acqua alta oppure no. L acqua alta domani è annunciata con probabilità.. Se c è acqua alta arrivo a lezione in ritardo con probabilità.8; se non c è acqua alta la probabilità che arrivi tardi a lezione è comunque.. Qual è la probabilità che arrivi tardi? [.8] A domani c è acqua alta ; B arrivo tardi a lezione P (A).; P (B A).8; P (B A C ). P (B) P (B A) P (A) + P (B A C ) P (A C ).8 Esercizio Se due eventi sono disgiunti e indipendenti, cosa si può dire della loro probabilità? [almeno uno dei due eventi ha probabilità nulla] Dati A, B A, sappiamo che A B e quindi P (A B). Inoltre sappiamo che sono indipendenti e quindi P (A B) P (A) P (B) che è vero sse almeno uno dei termini è nullo. Esercizio 6 Dimostra che due eventi A, B A sono indipendenti sse lo sono gli eventi A, B C. Dimostriamo solo ( ) perchè il verso opposto è simile. Supponiamo A e B indipendenti. Allora valgono le seguenti uguaglianze: P (A B) P (A) P (B A) P (B) Verifichiamo che P (B C A) P (B C ). (Questo basta per dimostrare questo verso, ma per esercizio verifichiamo anche che P (A B C ) P (A)) P (B C A) P (B A) P (B) P (B C ) P (A B C ) P (BC A) P (A) P (B C ) P (BC ) P (A) P (B C ) P (A) Esercizio 7 Ho tre urne. La prima contiene palline bianche e nere. La seconda bianche e nere. La terza bianche e una nera. Lancio un dado equo: se esce 6 estraggo una pallina dalla terza urna. Se esce o estraggo dalla seconda urna. Nel altri casi estraggo dalla prima. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? [.6] D esce un 6 ; D esce un o un ; D (D D ) C ; B estraggo una pallina bianca P (D ) 6 ; P (D ) ; P (D ) P (B D ) ; P (B D ) ; P (B D ) P (B) P (B D i ) P (D i ).6 i

9 Esercizio 8 Si pone un topo davanti a labirinti. Il topo sceglie a caso un labirinto. Da esperienze precedenti si sa che la probabilità che il topo esca da ogni labirinto in min sono, rispettivamente,.,.8,.,.. Sapendo che il topo è uscito in min, calcolare la probabilità che abbia scelto il terzo labirinto. [.] U il topo esce in min ; A i topo sceglie i-esimo labirinto P (A i ) ; P (U A ).; P (U A ).8; P (U A ).; P (U A ). P (U) P (U A i ) P (A i ). i P (A U) P (U A ) P (A ) P (U).

10 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò aprile 6 V.a. discrete e distribuzioni discrete Esercizio Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge geometrica, ovvero posto X Geom(p) e m, P X m + k X k} P X m}. Sia X Geom(p). P X k} ( p) i p ( p) k p ( p) i ( p) k p ( p)k p ik i P X m + k X k} P X k X m + k} P X m + k} P X k} ( p)m+k p ( p) k ( p) m p P X m} Esercizio Esiste una tecnica nel lotto che consiste nel giocare i numeri che non sono stati estratti da molte settimane. I giocatori che usano questa tecnica sostengono che vi siano scarse probabilità che un numero in ritardo di settimane non venga estratto nemmeno alla -esima settimana. In effetti la probabilità di un simile ritardo è bassa, ma qual è l errore in questo ragionamento? Una v.a. che modella il ritardo nell estrazione di un numero segue una legge geometrica. Sia X questa v.a.. Se io al tempo t calcolo la probabilità di avere un ritardo di almeno giorni (P X }), questa è effettivamente molto bassa. Se p è la probabilità che il numero venga estratto ( p) C 89, C 9, 7 8 P X } ( p). Il problema di questo ragionamento è che quando vado a vedere la probabilità che ha il numero di uscire, non mi trovo più al tempo t, ma al tempo t +,

11 quindi in realtà la probabilità che devo calcolare è condizionata dal fatto che il numero è in ritardo da giorni. P X X } P X } ( p).9 Esercizio Verificare che la funzione di probabilità legata alla legge di Poisson sia una densità discreta. La funzione cui ci riferiamo è e λ λx p λ (x) x!, x,,,..., n, altrimenti Questa funzione è nulla ad eccezione di un infinità numerabile di x. Quindi la prima proprietà di una densità discreta è soddisfatta. Verifichiamo la seconda proprietà ovvero che la somma delle probabilità di ogni x da. λ k k! eλ k k k p λ (k) e λ λk k! e λ k λ k k! e λ e λ Esercizio Dimostrare che per n +, una variabile di Poisson si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n. lim n + ( ) n x ( ) x λ ( λ n n )n x n (n ) (n x + ) lim n + n x λx x! ( n) λ n ( n) λ k λx x! e λ p λ (x) Esercizio Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ. Sapendo che P X } P X } calcolare P X }. [.9] P X } P X } e λ λ! e λ λ! λ λ λ P X } e!.9

12 Esercizio 6 Si lancia una moneta equa. Assumendo che i lanci siano tra loro indipendenti, qual è la probabilità di dover aspettare lanci prima di vedere la prima croce, avendo già visto l esito dei primi due lanci che hanno dato due teste? [ 8 ] Sia X una v.a. che indica il numero di lanci che bisogna fare prima di ottenere la prima croce (esclusa quella che ha successo). Allora X è una v.a. che si distribuisce con legge geometrica. P X X } P X } ( ) 8 Esercizio 7 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da e uno da posti. Poichè si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano con probabilità., vengono sempre accettate prenotazioni sui voli da posti e su quelli da. In quale dei due aerei è maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si è accettato il massimo di prenotazioni? [in quello da posti, con proabilità.9] Siano X e X due v.a. che contano il numero di passeggeri che si presentano su ciascun aereo. Queste si distribuiscono secondo una legge binomiale X B(,.9) e X B(,.9). Per avere che almeno un passeggero resti a terra, è necessario che il numero di prenotazioni sia maggiore rispettivamente di e. Quindi P X > } k P X > } ( ).9 k. k.9 k ( ).9.8 Quindi il volo più a rischio anche se di poco è quello da posti. Esercizio 8 Un associazione di consumatori ha ragione di credere che un certo produttore di olio extra vergine vende solo il 7% delle bottiglie effettivamente di olio extra vergine, mentre le restanti % e % contengono rispettivamente olio semplice e olio di sansa. Per pubblicizzare la frode alimentare l associazione acquista bottiglie a caso e le fa analizzare da uun istituto indipendente. Qual è la probabilità che almeno tre bottiglie siano di olio extra vergine? [.6789] Sia X una v.a. che conta il numero di bottiglie di olio extra vergine. Questa si distribuisce con legge binomiale B(,.7). La probabilità che ci interessa calcolare è P X }. P X } k ( ).7 k.7 k.6789 k

13 Esercizio 9 Consideriamo un lago contenente pesci rossi e bianchi. Peschiamo con una rete 6 pesci. Sia X il numero di pesci bianchi pescati. Qual è la densità di X se i pesci sono mescolati casualmente nel lago? Qual è la probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi? [ 9 77 ] La v.a. X di distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k6, b, n. La probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi equivale alla somma delle probabilità di aver pescato, e pesci bianchi ovvero P X è pari} P X k} ( ( k) ) 6 k ) 9 77 k,,} k,,} Esercizio Si lancia ripetutamente una moneta difettosa che mostra testa con probabilità.. Assumento che i lanci siano tra loro indipendenti, a) qual è la probabilità di dover aspettare almeno lanci prima di vedere la prima croce? b) Qual è la probabilità che l attesa sia tra e lanci? [a).6; b).7] Sia X la v.a. che indica il numero di lanci che hanno dato testa prima di vedere la prima croce che si distribuisce con legge geometrica di parametro.. a) La probabilità di dover aspettare almeno lanci è P X 9} Ricordiamo che la probabilità che X k con X Geom(p) è P X k} ik i ( 6 k p i ( p) ( p) ( p i p i ) i P X 9}. 9.6 ( p) ( p pk p ) pk b) Per risolvere la seconda parte dell esercizio possiamo operare in modo classico e quindi calcolarci i P X i} (dove ricordiamo che X conta il numero di teste prima di ottenere croce e quindi se aspettiamo lanci abbiamo X, e se aspettiamo lanci abbiamo X ) oppure determiniamo la funzione di ripartizione F X di X per poi calcolare F X () F X (). Optiamo per la seconda soluzione perchè più veloce. F X (k) P X k} P X k + } p k+ P X } P < X } F X () F X ()...7 Esercizio Vengono trasmessi bits binari e la probabilità di errore nella trasmissione di ogni bit è, indipendentemente dagli altri. a) Calcolare la probabilità che bits siano errati. b) Come possiamo approssimare questa probabilità in modo tale da rendere il suo calcolo (in generale) computazionalmente meno pesante e qual è il suo valore approssimato? [a).988; b).986]

14 a) Sia X la v.a. che indica il numero di bits errati, questa si distribuisce con legge Binomiale di parametri e. ( ) P X } ( ) ( ).988 b) Per semplificare la computazione di questa probabilità possiamo fare le seguenti considerazioni. Il numero di prove è particolarmente elevato, mentre la probabilità di successo (avere un bit errato) è molto bassa, possiamo apprissimare la binomiale con la distribuzione di Poisson di parametro λ p n. P X } λ! e λ e.986!

15 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 aprile 6 Funzioni di v.a., Media e Varianza Esercizio Calcolare la media delle distribuzioni binomiale, e quella di Poisson. Di quest ultima calcolare anche la varianza. Sia X Bin(n, p) E[X] n k P X k} k n k k ( ) n p k ( p) n k k n ( ) n n ( ) n n p k ( p) n k n p k+ ( p) (n ) k k k k k n ( ) n n p p k ( p) (n ) k n p (p + ( p)) n n p k k Sia X P λ E[X] k P X k} k λk k! e λ k λ k k λ k (k )! e λ λ k λ k k! e λ λ E[X ] k P λk X k} k e λ k! λ k k k k k e λ λ k (k )! λ (k + ) e λ λk λ E[X + ] λ (λ + ) k! V ar[x] E[X ] E[X] λ (λ + ) λ λ Esercizio Qual è la densità della v.a. Y X se X è una v.a. con densità p X?

16 P Y k} P X k} p X ( k) + p X ( k), se k, altrimenti Esercizio Un urna contiene sfere delle quali sono contrassegnate dal numero, una dal e una dal. Si estraggono senza reinserimento due sfere e sia X la v.a. che indica la somma dei numeri corrispondenti alle sfere estratte. Si determini: a) la funzione di densità di X, con rappresentazione grafica; b) la funzione di ripartizione di X con rappresentazione grafica; c) la media e la moda della distribuzione; d) la varianza di X; e) P X 7} e P < X } [c)., e ; d).; e) 6, ] a) Funzione di probabilità 6, x, x P X x}, x 6, x 7, altrimenti b) Funzione di ripartizione, x < 6, x, F X (x), x 6, x, 6, x 7 c) d) E[X] i,,,7} V ar[x] E[X ] E[X] i P X i}. i,,,7} i P X i}.. e) P X 7} 6 ; P < X } Esercizio Si lancia una moneta che presenta testa con probabilità.6. Se il risultato è testa, si estraggono palline con reinserimento da un urna che contiene 6 palline bianche e nere. Se esce croce, si estraggono dalla stessa urna palline senza reinserimento. Trovare funzione di probabilità e valore atteso della variabile che conta il numero di palline bianche estratte nell esperimento. [.6] il valore più probabile

17 T testa ; C croce. Calcoliamo la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita testa. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge binomiale di paramentri e 6 P X x T } ( ) x. ( ) x ( ) x 6 Calcoliamo ora la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita croce. La v.a. che conta il numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. ( 6 ( P X x C} x) ) x ( ) Calcoliamo la probabilità P X x}, utilizzando il teorema delle probabilità totali. P X x} P X x T } P (T ) + P X x C} P (C) P X x T }.6 + P X x C}. Ricordiamo che E[X T ] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri e 6, mentre E[X C] è pari alla media di una v.a. che si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri, 6,. Calcoliamo il valore atteso E[X] E[X T ].6 + E[X C] Esercizio Da un urna contenente palline rosse in proporzione < p < vengono estratte n palline con reimbussolamento. Queste vengono messe in una seconda urna da dove si estrae una pallina. a) Qual è la probabilità che sia rossa? b) Sapendo che l estrazione dalla seconda urna da dato una pallina rossa, qual è la probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna fosse k con k n? c) Qual è il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la pallina estratta dalla seconda è rossa? [a) p; b) prob. di estrarre k palline rosse dalla prima urna con però n palline; c) + il numero medio di palline rosse estratte dalla prima urna con n palline] X v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna R estratto rossa dalla seconda La v.a. X si distribuisce con legge binomiale di parametri n e p. a) n n ( i n P (R) P R X i} P X i} n i i i n ( ) n n ( n p i ( p) n i p i i i i ) p i ( p) n i ) p i ( p) (n ) i p

18 b) P R X k} P X k} P X k R} P (R) ( n k k n (n) k pk ( p) n k p ) p k ( p) (n ) (k ) La probabilità che il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sia k sapendo che dalla seconda urna è stata estratta una pallina rossa, è pari alla probabilità di estrarre k palline rosse dalla prima urna dalla quale abbiamo prima tolto una pallina. c) Sia Y una v.a. che conta il numero di palline rosse estratte dalla prima urna sapendo che la palline estratta dalla seconda è rossa. Questa ha come densità P X k R}. Calcoliamo la media di Y n n ( ) n E[Y ] k P Y k} k p k p (n ) (k ) k k k n ( ) n (j + ) p j p (n ) j E[Z + ] E[Z] + j j dove Z è una v.a. che si distribuisce con legge binomiale di parametri (n ) e p. Come possiamo vedere il numero medio di palline rosse è sicuramente maggiore di uno, perchè avendone estratta una dalla seconda, sappiamo per certo che almeno una c è. Il numero di palline rosse restanti è lo stesso numero medio di palline rosse che otteniamo se le estraessimo da un urna con n palline. Esercizio 6 Una partita di 6 stereo ne contiene difettosi. Un locale acquista di questi stereo a caso. a) Se X conta il numero di stereo difettosi, trovarne la funzione di probabilità e la funzione di ripartizione con relativi grafici. b) Calcolarne media, varianza, moda e quartili. c) Dalla funzione di ripartizione ricavare P X }, P < X }. [Distribuzione ipergeometrica; b),,,,, ; c), a) X si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k, b, n6. ( ( P X k} k) ) k ( 6 ) Funzione di probabilità, x P X x}, x, x, altrimenti Funzione di ripartizione, x < F X (x), x, x, x

19 b) E[X] x i P X x i } i,,} V ar[x] E[X ] E[X] i,,} Moda[X] arg max P X k} k x i P X x i } c) q. arg max P X k}. k q. arg max P X k}. k q.7 arg max P X k}.7 k P X } P < X } F X () F X () P < X } F X () F X () Esercizio 7 Un urna contiene tre palline numerate da a. Si estraggono con reinserimento due palline e sia X la v.a. che indica la differenza in modulo dei numeri estratti. Si determini: a) la funzione di densità con relativo grafico; b) la funzione di ripartizione con relativo grafico; c) la media e la moda della distribuzione X; d) la varianza di X; e) P X } e P X < }. [c) 8 9, d) 8 e), 9 ] a) b) c), x P X x} 9, x 9, x, altrimenti E[X], x < F X (x), x 7 9, x, x i,,} x i P X x i } 8 9 Moda[X]

20 d) V ar[x] E[X ] E[X] i,,} x i P X x i } ( ) e) P X } F X () P X < } P < X } F X () F X () 9 Esercizio 8 Si lancia volte una moneta e sia X numero di T seguite da C. a) Trovare e disegnare la funzione di probabilità di X; b) Trovare e disegnare la funzione di ripartizione di X; c) Calcolare media, varianza, moda e mediana di X. [c), 6,, ] Lo spazio campionario è caratterizzato da D, 6 combinazioni. Analizziamo per casi il numero di combinazioni per avere k T seguite da una C. k TTTT CTTT CCTT CCC* ( combinazioni) k TCCC TCTT *TCC *TCT **TC ( combinazioni) k TCTC ( combinazione) a) Funzione di probabilità 6, k P X k} 6, k 6, k, altrimenti b) Funzione di ripartizione, k < F X (k) 6, k 6, k, k c) E[X] i,,} V ar[x] E[X ] E[X] x i P X x i } i,,} Moda[X] Mediana[X] q. x i P X x i } ( ) 6 6

21 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 8 maggio 6 Vettori aleatori e funzioni di v.a. Esercizio Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità che la somma sia? [ ] Siano X, X le v.a. che indicano l esito rispettivamente dei due lanci. Sia Z X + X. Calcoliamo la probabilità P Z }. P Z } 6 P X y} P X y} P X } P X }+ y + P X } P X } + P X } P X } ( ) 6 Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline con reimmissione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. a) Calcolare la densità congiunta del vettore e le densità marginali. b) Ripetere il calcolo nel caso di estrazione in blocco delle due palline. a) Nel caso di estrazioni con reimmissione abbiamo che le v.a. X e X sono indipendenti. La probabilità di estrarre una pallina è, quindi le probabilità marginali P X x } P X x }. La probabilità congiunta è data da P X x, X x } P X x } P X x } b) Nel caso di estrazioni senza reimmissione abbiamo che le v.a. X e X non sono indipendenti. Se consideriamo le possibili coppie di palline estratte gli unici casi impossibili sono quando abbiamo due palline uguali. Quindi lo spazio campionario è formato da 9 casi, e di conseguenza la probablità congiunta in questo caso è data da P X x, X x } 9 Ricostruiamo ora le densità marginali P X x } z P X x, X z} 9 9

22 Allo stesso modo calcoliamo P X x }. Quindi abbiamo che nel secondo caso le densità marginali sono le stesse del primo caso, ma la denistà congiunta è diversa e in particolare non è ricostruibile a partire dalle densità marginali tramite prodotto. Ciò dimostra che non c è indipendenza. Esercizio Si consideri un urna con palline numerate. Si estraggono due palline senza reimmessione. Sia (X, X ) il vettore aleatorio che descrive l esperimento. Calcolare la densità condizionata della prima pallina estratta dato il risultato della seconda estrazione. [ 9 ] Considerando i risultati ottenuti con l esercizio precedente abbiamo che la probabilità congiunta di estrarre una certa coppia di palline è 9 mentre la densità marginale di estrarne una è, quindi la probabilità condizionata della prima pallina estratta data la seconda è P X x X x } P X x, X x } P X x } Esercizio Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con la seguente densità congiunta X \ Y Dopo aver verificato che si tratti di una densità ben data, calcolare la denistà marginale di X e Y e discutere della loro eventuale indipendenza. Calcolare poi la densità di X condizionata a Y. Calcolare infine la media, la varianza delle due v.a., la covarianza e il coefficiente di correlazione. [E[X], E[Y ] ρ[x, Y ].689], V ar[x] 8 9 9, V ar[y ] 8, Cov[X, Y ] 9, La densità del vettore aleatorio è ben data perchè la somma di ogni elemento della matrice da. Quindi supponendo,, } il codominio di ciascuna v.a. i j P X i, Y j} Calcoliamo le densità marginali. Le densità marginali relative a X sono le somme di ciascuna riga, mentre quelle relative a Y sono le somme di ciascuna colonna. X \ Y 7 6

23 Quindi P X } 7, P Y }, P X }, P Y } 6, P X }, P Y }. Le due v.a. non sono indipendenti infatti possiamo trovare almeno un caso in cui il prodotto delle probabilità marginali non coincide con la congiunta. P X, Y } 7 P X } P Y } 6 Passiamo ora al calcolo delle probabilità condizionate di X dato Y. P X i Y j} X \ Y 7 P X i, Y j} P Y j} 7 7 Calcoliamo la media e la varianza delle v.a.. E[X] k P X k} E[Y ] k,,} k,,} V ar[x] E[X ] E[X] V ar[y ] E[Y ] E[Y ] E[X Y ] k,j,,} k,,} k P Y k} k,,} k P X k} k P Y k} k j P X k, Y j} Cov[X, Y ] E[X Y ] E[X] E[Y ] 6 9 Cov[X, Y ] ρ[x, Y ].689 V ar[x] V ar[y ] ( ) 8 ( ) 8 Esercizio Si calcoli la denistà della somma di n variabili aleatorie bernouilliane indipendenti di parametro p. Siano X i Bin(, p) con i n e sia X (X,..., X n ) il vettore aleatorio che le contiene. Sia poi φ(x) n i X i. P φ(x) k} P X φ (k)} Il vettore aleatorio X assume il valore k se k delle n variabili bernouilliane assumono valore. Quindi φ (k) contiene l insieme di esiti in cui delle n v.a.

24 solo k hanno successo, ovvero assumono valore. Ma questo significa che la probabilità della somma di n v.a. bernouilliane corrisponde alla probabilità di avere k successi su n prove ovvero la probabilità di una v.a. con legge binomiale di parametri n e p. ( ) n P X φ (k)} p k ( p) n k k Quindi se Z n i X i con X i Bin(, p) allora Z Bin(n, p). Esercizio 6 Si dimostri che la densità di probabilità della somma S di due v.a. aleatorie discrete X e Y, indipendenti e con densità di Poisson di parametri λ X e λ Y è ancora di Poisson con parametro λ X + λ Y. Utilizziamo il teorema di convoluzione. P X+Y k} k P X z} P Y k z} z e (λ X +λ Y ) k! k z k z λ z X λ k z Y z! e λx (k z)! e λ Y ( ) k λ z X λ k z Y (λ X + λ Y ) k e (λ X +λ Y ) z k! Esercizio 7 In una banca ci sono due sportelli. Sia (X, X ) il numero di clienti in coda nei due sportelli e si supponga che tale vettore aleatorio segua la seguente densità X \ X Verificare che sia una densità discreta e calcolare la probabilità che le due code differiscano esattamente di una persona. [.] La somma di tutti gli elementi della densità congiunta da quindi è ben definita. La probabilità che vogliamo calcolare è P X Y }. P X Y } P X Y } + P X Y } P X z, Y z } + P X z, Y z + }. z (Equivale alla somma degli elementi subito sopra e sotto la diagonale della matrice.) Esercizio 8 Si lancia una moneta equa volte. Sia X il numero totale di teste e sia Y il numero di teste dell ultimo lancio ( o ). Si calcoli la densità congiunta di (X, Y ) e le due densità marginali.

25 Calcoliamo le densità marginali p X e p Y. Nel primo caso, abbiamo che X si distribuisce con legge binomiale di parametri e., in quanto vogliamo conoscere la probabilità di ottenere x successi (il numero di teste) su prove (i lanci). Quindi da cui p X (k) ( ) k. k. k ( ) k. P X } P X } 8 P X } P X } 8 Nel secondo caso Y si distribuisce in modo uniforme con probabilità.. Quindi p Y (k). da cui P Y } P Y }. Calcoliamo ora la densità congiunta. Facciamo però prima le seguenti considerazioni: Y pone un vincolo sul valore assunto dalla terza moneta quindi, intuitivamente c è una dipendenza tra X e Y. Ciò significa che non è possibile costruire la densità congiunta a partire dalle marginali. I codomini delle v.a. X e Y sono rispettivamente,,, } e, }. Se conosciamo il risultato che ha fornito la terza moneta abbiamo che la probabilità di X i} dato Y j} non è altro che la probabilità di avere (i j) successi su prove. Quindi P X i, Y j} P X i Y j} P Y j} ( i j ). i j. (i j). ( ). i j Chiaramente questa probabilità è nulla nei casi in cui i < j (quindi il solo caso X, Y }) oppure i > + j (quindi il caso X, Y }). Vediamo ora la densità congiunta che otteniamo, dove l (i-j) esimo elemento della tabella non è altro che P X i Y j}. X \ Y Esercizio 9 Siano X e Y due v.a. indipendenti di Poisson con parametri λ X e λ Y. Sia Z X + Y. Calcolare la densità e la media di X condizionata a Z z. Cosa possiamo dire a riguardo?

26 P X + Y z X x} P X x} P X x Z z} P X x X+Y z} P X + Y z} P Y z x} P X x} P X + Y z} ( ) z x λ z x Y z x! e λy (λ X +λ Y ) z λx X x! e λ X z! e (λ X +λ Y ) ) z x ( λx λ X + λ Y λ X + λ Y ( λy Come possiamo vedere, abbiamo una distribuzione binomiale di parametri λ z e X λ X +λ Y. Trattandosi di una distribuzione conosciuta sappiamo anche calcolare velocemente la media. Ricordando che la media di una v.a. binomiale di parametri n e p è n p, λ X E[X Z z] z λ X + λ Y Esercizio Due amici lanciano una moneta corretta n volte. Qual è la probabilità che il numero di teste ottenuto da ciascuno sia lo stesso? Siano X, Y le v.a. che contano il numero di teste ottenute dai due amici con n lanci. Entrambe si distribuiscono con legge binomiale di parametri n e.. La probabilità che i due amici abbiamo ottenuto lo stesso numero di teste è la seguente n P X Y } P X k, Y k} k Dal momento che i lanci dei due amici sono indipendenti abbiamo che la densità congiunta si scompone nel prodotto delle due marginali. P X Y }) n P X k} P Y k} k [ n (n k k ) ( ) k n k ) x ( ) ] n k ( ) ( ) n n k 6

27 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 8 maggio 6 V.a. continue e integrali Esercizio Calcolare i seguenti integrali:. x +x dx;. x ln x dx;. ln x dx;. x e x dx. Utilizziamo la sostituzione e poniamo y + x, da cui dy x dx y dy ln y ln( + x ). Utilizziamo la sostituzione e poniamo y ln x da cui dy x dx dy ln y ln ln x y. Utilizziamo l integrazione per parti in cui consideriamo F ln x e g ln x dx x ln x dx x (ln x ). Utilizziamo l integrazione per parti in cui consideriamo F x e g e x x e x dx x e x x e x dx Riutilizziamo l integrazione per parti sull integrale residuo considerando F x e g e x x e x dx x e x e x dx e x (x ) Riassemblando il tutto x e x dx x e x e x (x )

28 Esercizio Determinare il valore di k per cui le seguenti funzioni sono densità:. f(x) k sin x con < x < π. f(x) k con x (, ). f(x) k x con x ( k, k) [) /( ); ) /; ) ].. π k sin x dx k cos x π k k k dx k x k k. k k k x dx k x k k k k Esercizio Sia data una v.a. X la cui funzione di densità è f(x) k e x per ogni x R. a) Determinare la costante di normalizzazione k.b) Calcolare la funzione di ripartizione. c) Calcolare media, mediana, e varianza di X. [a) k.; c),, ] a) ( k e x dx k e x dx k k e x dx + ( e x + e x ) e x dx ) k b) k F X (x) x e x dx ( e x + x ( e x + e x x e x ) ) ( e x) e x

29 c) Calcoliamo la media E[X] x e x dx ( ) x e x dx + x e x dx Potremmo risolvere entrambi gli integrali con l integrazione per parti. Qui però portiamo tramite sostituzione il secondo integrale alla stessa forma del primo e poi risolviamo. Poniamo y x da cui x y e dx dy. x e x dx y e y dy E[X] ( x e x dx y e y dy ) y e y dy Calcoliamo la mediana ovvero quel valore x tale per cui P X x}.. ( ) Mediana[X] arg x (F X (x).) arg x e x. Calcoliamo la varianza di X V ar[x] V ar[x] E[X ] E[X] E[X ] x e x dx ( x e x dx + ) x e x dx Anche qui portando il secondo integrale alla stessa forma del primo tramite sostituzione di y x e facendo conti elementari V ar[x] A questo punto integriamo per parti V ar[x] x e x dx x e x dx x e x + x e x Integrando nuovamente per parti l integrale rimasto otteniamo V ar[x] x e x + ( x e x + e x ) Dove per la regola di de L Hôpital abbiamo che. lim x + xα e x Esercizio X indica la vita in ore di una lampadina ed è distribuita secondo la densità f(x) c x (, )(x) dove A (x) è la funzione indicatrice che assume valore se x A, altrimenti. a) Trovare il valore di c per cui questa funzione è una densità di probabilità. b) Calcolare la f.r. di X, la sua media, la varianza, i quartili e la P X > }. [a) c ; b) E[X] e V ar[x] non esistono; ; ; ; ]

30 a) f(x) dx c x dx c x c b), se x < F X (x) x x dx x x x, altrimenti E[X] x f(x) dx x dx ln x + La media non esiste in quanto non converge. Per lo stesso motivo non esiste neppure la varianza. Calcoliamo il quantile di ordine α da cui poi ricaviamo i quartili. ( q α arg x (F X (x) α) arg x ) x α q., q., q.7 α P X > } P X } F X () Esercizio Si fissa a il livello minimo delle acque di un fiume, mentre il livello massimo è una v.a. Y con f.r. F Y (y) y, y < a) Disegnare F Y e verificare che è una f.r.; b) Trovare la densità di Y e farne il grafico; c) Calcolare la probabilità che il livello del fiume superi la soglia di guardia k > ; d) Calcolare media, varianza, moda e mediana di Y. a) Verifichiamo che F Y è una f.r.. lim F Y (y) y lim F Y (y) y + Assume solo valori compresi tra e, è non descrescente e continua a destra nell intervallo in cui è definita. Quindi è una f.r.. b) c) f Y (y) F Y (y) y, y < P Y > k} P Y k} F Y (k) k

31 d) E[X] E[X ] x f Y (x) dx x f Y (x) dx i x dx x x dx ln x + V ar[x] E[X ] E[X] + La varianza non esiste in quanto non converge. Moda[X] arg max x f Y (x) Mediana[X] arg x (F Y (x).) arg x ( x. ) Esercizio 6 Il tempo di durata in ore di un certo componente elettronico di una macchina segue una distribuzione con densità di probabilità f(x) e x, x. Qual è la probabilità che su componenti esattamente k abbiano durata maggiore di ore? [ ( ) k e k ( e ) k ] Sia X la v.a. continua che da la durata in ore di un componente elettronico e sia Y la v.a. discreta che conta il numero di componenti che hanno durata maggiore di ore. Calcoliamo la probabilità che un componente abbia una durata maggiore di. P X > } e x dx e x e La v.a. Y si distribuisce con legge binomiale di parametri e P X > }. ( ) P Y k} P X > } k ( P X > }) k k ( ) e k ( e ) k k Esercizio 7 a) Si determini la costante c, in modo che la funzione f X (x) (a x) a c, x a sia una densità. b) Calcolare il valore atteso. c) Per quale parametro a, il 9% della probabilità è compreso tra e a? d) Calcolare la varianza. [a) c ; b) a a ; c) nessun valore di a; d) 8 ]

32 b) E[X] c) f X (x) dx a x a (a x) a c dx a c c (a x) a dx ( a a ( a a (a x a x a) ) (a a c a x a x (a x) a dx.9 a x a x a ).9 ( ) a a a a) ( a a a c a ) a Per nessun valore di a possiamo avere che il 9% della probabilità sia compresa tra e a. d) a V ar[x] E[X ] E[X] x (a x) a dx a 9 ( a a x a x a) a 9 ( a a a ) a 9 a 8 6

33 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò maggio 6 Distribuzioni continue: uniforma, normale, gamma, esponenziale Esercizio Sia X N(, ). Dimostrare che: a) F X (x) F X ( x); b) q α q α ; c) P X q α } α. d) Dimostrare infine che se φ α è un quantile di ordine α di una v.a. con legge N(, ), allora il quantile di ordine α di una v.a. con legge N(µ, σ ) è uguale a q α σ φ α + µ Se X N(, ) sappiamo che anche X N(, ) grazie alla simmetria di N(, ). Utilizzando ciò dimostriamo quanto richiesto. a) F X (x) P X x} P X x} P X x} P X x} b) q α arg x (F X (x) α) arg x ( F X ( x) α) c) F X ( x) arg x (F X ( x) α) arg x (F X (x) α) q α P X q α } P q α X q α } P X q α } P X q α } α α α d) Sia Y σ X + µ una v.a. di legge N(µ, σ ), dove X N(, ) q α arg x (P Y x} α) arg x (P σ X + µ x} α) arg x (P X x µ } ) α µ + σ arg σ x (P X x} α) µ + σ φ α Esercizio Se Z N(, ), trovare le costanti a e b per cui P Z a}.9686 e P X b}.788.

34 Non è possibile calcolare analiticamente la f.r. di una normale, quindi ricorriamo alle tavole numeriche, che in generale troviamo in un qualunque testo di probabilità e statistica. Nelle tavole troviamo i quantili della distribuzione N(, ). Consultando le tavole troviamo che a q Per quanto riguarda b ci riportiamo alla definizione di quantile P X b} P X < b}.788 P X < b}.8 dopo di che troviamo il quantile corrispondente nella tavola numerica dove troviamo che b q.8.9. Esercizio Se X N(, ) calcolare P X 6}, P X }, P X }. [.69;.8;.888] Prima di tutto riportiamoci ad una normale N(, ) in modo da poter consultare le tavole numeriche. Sia Y N(, ). a µ P a X b} P a σ Y + µ b} P Y b µ } σ σ P Y b µ } P Y a µ } σ σ A questo punto possiamo calcolare le probabilità richieste. P X 6} P Y 6 } P Y } P Y } P Y } P X } P Y } P Y } P Y } ( P Y }) P P X } P Y } P Y } ( P Y }) ( P Y }) P Y }.6.8 Y } P Y } Esercizio Se X N(, ), calcolare la costante c per cui P X c}.9 [.9]

35 Prima di tutto riportiamoci ad una normale N(, ) in modo da poter consultare le tavole numeriche. Sia Y N(, ). P a X b} P Y b µ σ } P Y a µ } σ P X c} P c X + c} P Y c } P Y c } P Y c }.9 P Y c }.97 Consultando le tavole numeriche otteniamo c.96 da cui c.9 Esercizio Sia X N(µ, σ ). Determinare i valori della media e della varianza di X sapendo che P X.}. e P X.6}.6. [.;.8] Prima di tutto riportiamoci ad una normale N(, ) in modo da poter consultare le tavole numeriche. Sia Y N(, ). P X.} P Y. µ }. σ Poniamo a questo punto q. q.8. µ σ. P X.6} P X.6} P Y.6 µ }.6 σ P Y.6 µ }.9 σ Poniamo a questo punto q.9.6 µ σ.6 Ci troviamo a risolvere il seguente sistema di equazioni di variabili.. µ +. σ.6 µ.6 σ Il risultato è µ. e σ.769. La varianza è quindi σ.8. Esercizio 6 Il voto dell esame di Probabilità e Statistica segue una distribuzione normale di media µ ed è inoltre noto che il 7% degli studenti supera l esame. Stabilire quale voto viene superato dal % degli studenti. [.9]

36 Prima di tutto riportiamoci ad una normale N(, ) in modo da poter consultare le tavole numeriche. Sia Y N(, ). P X 8} P Y }. σ Poniamo a questo punto q. q.7 σ. da cui σ.86. P X > a} P X a} P Y a }..86 P Y a }.9.86 Poniamo a questo punto q.9 a.86.8 da cui a.9. Esercizio 7 Sia X una v.a. con distribuzione uniforme nell intervallo [, 6] e sia Y una v.a. esponenziale di media λ. Si determini il valore λ per cui P X } P Y }. [.79] P X } 6 P Y } e λ e λ λ ln ln. λ.79 Esercizio 8 La durata X di vita (in mesi) di una batteria segue una distribuzione esponenziale con f.r. F (x) e 7 x, x. Calcolare la probabilità che la batteria abbia una durata di mesi dato che è già durata un mese. Qual è la probabilità che su batterie meno di durino più di di mese? [e ;.897] Ricordiamo che per la distribuzione esponenziale vale la legge della mancanza della memoria. P X > X > } P X > } P X } e

37 Sia Y la v.a. che conta il numero di batterie che durano più di di mese. Questa è discreta e si distribuisce con legge binomiale di parametri e P X > } P X } e 7. P Y } i ( ) (e 7 )i ( e 7 ) i.897 i Esercizio 9 Un azienda può scegliere di acquistare da due fornitori, A e B, un pezzo meccanico che dev essere lungo cm. La lunghezza del pezzo del fornitore A segue una distribuzione uniforme tra a e + a cm, con a costante non nota; la lunghezza del pezzo del fornitore B segue invece una distribuzione normale con media cm e varianza cm. La probabilità di scegliere A è pari a. a) Calcolare, in funzione di a, la probabilità che un pezzo acquistato dall azienda sia al di fuori dell intervallo di specifica (9, ) cm. b) Calcolare per quale valore di a i due fornitori producono il pezzo con la stessa lunghezza media e la stessa varianza. ] [a).876 a ; b) a) Sia A l evento che venga scelto il fornitore A e B quello che venga scelto il fornitore B. Allora abbiamo che P (A) e P (B). P X / (9, ) A} P X (9, ) A} Sia Y N(, ) (P X A} P X 9 A}) ( a) a P X / (9, ) B} P X (9, ) B} + 9 ( a) a a (P X B} P X 9 B}) ( } P Y B P Y 9 }) B P Y } B + P Y } B P Y } B P X / (9, )} P X / (9, ) A} P (A) + P X / (9, ) B} P (B).876 a b) La lunghezza media è la stessa per i due fornitori indipendentemente da a infatti + a + a E[X A] E[X B]

38 Con la varianza invece possiamo trovare il valore da assegnare ad a. V ar[x A] ( + a ( a)) a a Esercizio Sia X U(, ). Trovare la densità di Y ln(x), sia con la formula di trasformazione, sia con il metodo della funzione di ripartizione. Calcolare il valore atteso di Y. [f Y (y) e y ; -] Per risolvere col primo metodo la trasformazione consideriamo la proprietà della densità su X dx ed effettuiamo un cambio di variabile ponendo y ln(x) da cui x e y da cui dx e y dy. Facciamo attenzione a traformare anche l intervallo dell integrale quindi diventa ln() +, e diventa ln(). Otteniamo quindi e y dy e y dy A questo punto abbiamo che la funzione di densità di Y è f(y) e y definita nell intervallo [, + ). Col metodo della funzione di ripartizione dobbiamo prima passare alla funzione di ripartizione di X F X (x) P X x} x, x A questo punto consideriamo la f.r. di Y e facciamo i seguenti passaggi F Y (y) P Y y} P ln X y} P X e y } P X e y } e y Anche qui dobbiamo aggiornare anche il dominio della funzione, e quindi passiamo da x a y < +. A questo punto passiamo alla densità di Y derivando F Y. f Y (y) F Y (y) e y Calcoliamo il valore atteso di Y. E[ Y ] E[Y ] y e y dy Esercizio Se X è una v.a. N(, σ ), dimostrare che X Γ (, ) σ. [X Γ (, ) σ ] 6

39 F X (x) P X x} P x X x} F X ( x) F X ( x) F X ( x) f X (x) F X (x) x f X ( x) x e π σ x σ x e π σ Come possiamo vedere la densità a cui siamo giunti assomiglia molto alla densità di una distribuzione gamma in cui λ σ e α. L unica cosa che resta da verificare è che Γ ( ) π. ( ) Γ x e x dx Ponendo y x da cui dy x dx abbiamo che Γ ( ) e y dy x σ A questo punto per calcolare l integrale che rimane, facciamo questa considerazione: la densità di una N(, ) è la seguente e in quanto densità deve valere che f(x) e x π π e x dx π e x dx Sappiamo però che è anche simmetrica quindi l integrale limitato ai soli valori deve dare, quindi π e x dx e x dx π Questo era esattamente l integrale che cercavamo e quindi ( ) Γ π Abbiamo quindi verificato che se X N(, σ ) allora X Γ (, σ ) 7

40 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò maggio 6 Densità e distribuzioni congiunte e condizionate. Convergenza e approssimazione Esercizio Uno studio dice che l investimento in titoli di stato, rappresentato dalla v.a. X, e quello in azioni Y, hanno una distribuzione congiunta data da: [ (x + ) e x ] [ (y + ) e y ], x, y F (X,Y ) (x, y), altrimenti Dopo aver verificato che la definizione è ben data, calcolare la densità congiunta. Qual è la probabilità che un generico portafoglio azionario abbia un inverstimento in titoli di stato almeno doppio rispetto all investimento azionario? Infine calcolare la densità marginale di X e discutere l eventuale indipendenza delle v.a.. [ 7 7 ; sono indipendenti] Per verificare che la definizione sia ben data, controlliamo che i due limiti a infinito siano e. lim x lim x + lim F (X,Y )(x, y) y lim F (X,Y )(x, y) y + Calcoliamoci velocemente le distribuzioni marginali F X (x) lim y F (X,Y )(x, y) (x + ) e x F Y (y) lim x F (X,Y )(x, y) (y + ) e y La densità congiunta è data dalla derivata rispetto ad x e y della funzione di ripartizione congiuta. f (X,Y ) (x, y) x y F (X,Y )(x, y) x F X(x) y F Y (y) ( e x + (x + ) e x ) ( e y + (y + ) e y ) x e x y e y per x e y.

41 Le due densità marginali sono date da f X (x) f Y (y) Da cui deduciamo che f (X,Y ) (x, y) dy x e x f (X,Y ) (x, y) dx y e y f (X,Y ) (x, y) f X (x) f Y (y) y e y dy x e x y e x dx y e y e quindi le due v.a. sono indipendenti. La probabilità che un generico portafoglio azionario abbia un investimento in titoli di stato almeno doppio rispetto all investimento azionario è P X Y } ovvero l insieme dei punti del piano nell insieme A (x, y) : x y}. P X Y } P (X, Y ) A} y f X (x) f Y (y) dx dy y e y ( + y) e y dy e y y ( + y) } } y f (X,Y ) (x, y) dx dy f Y (y) F X (x) y dy y ( + y) e y dy + y e y dy e y ( + y) e y dy } } + e y } } Esercizio Si consideri la seguente denistà bivariata k(x + y), x, y f (X,Y ) (x, y), altrimenti 7 7 definita a meno di una costante moltiplicativa k che si chiede di determinare. Qual è la probabilità che X sia maggiore di Y? Le due v.a. sono indipendenti? [k 8 ; ; no]

42 Per calcolare la costante facciamo in modo che la proprietà fondamentale di una densità sia soddisfatta Sia A (x, y) x > y}. k k P X > Y } P (X, Y ) A} 8 y (x + y) dx dy x dx dy k y dy 8 (x + y) dx dy 8 [ y + y + dy 8 y k k 8 f (X,Y ) (x, y) dx dy x + y x y dy y y ] + y + y 8 [ + + ] Calcoliamo ora le densità marginali di X e Y che sono uguali data la simmetria della funzione. f X (x) f Y (x) Verifichiamo ora l indipendenza f (X,Y ) (x, y) dy 8 x + y dy [ ] 8 x y + y 8 (x + ) (x + ) f X (x) f Y (y) 6 (x + ) (y + ) f (X,Y )(x, y) (x + y) 8 da cui deriviamo che le due v.a. sono dipendenti. Esercizio Si consideri il vettore aleatorio (X, Y ) dell esercizio precedente. Si determini la denistà condizionata di X rispetto a Y y. Si calcoli la corrispondente distribuzione condizionata. F X Y (x y) f X Y (x y) f (X,Y )(x, y) f Y (y) x f X Y (z y) dz 8 (y + ) (x + y) (y + ) x + y y + x z + y dz z x + y z x (y + ) x + xy ( + y)

43 Esercizio Si consideri il vettore aleatorio bivariato (X, Y ) con densità e (x+y), x y f (X,Y ) (x, y), altrimenti Dopo aver dimostrato la dipendenza tra i die componenti, si calcoli il valore atteso della v.a. Z XY. [ ] Calcoliamoci le densità marginali f X (x) f (X,Y ) (x, y) dy e (x+y) dy e x e y } } e x f Y (y) y f (X,Y ) (x, y) dx Verifichiamo ora la dipendenza y e (x+y) dx e y e x y } } e y f X (x) f Y (y) e (x+y) ( e y ) f (X,Y ) (x, y) e y ( e y ) E[XY ] y y e y y xy f (X,Y ) (x, y) dx dy x e x dx dy y e y dy y xy e (x+y) dx dy y e y [ x e x y e x y ] dy y e y ( y e y e y + ) dy y e y + y e y dy + Esercizio Dimostrare la convergenza in probabilità nella legge dei grandi numeri, ovvero se X n n (X X n ) con X i indipendenti, E[X i ] µ e V ar[x i ] σ, allora X n P µ. E[X n ] n V ar[x n ] n n i n E[X i ] µ i V ar[x i ] σ σ n

44 Applichiamo la disuguaglianza di Chebyshev. lim P X V ar[x n ] σ n E[X n ] > η} lim n n η lim n n η Esercizio 6 Sia X n } n una successione di v.a. indipendenti di Poisson di parametro λ e poniamo X n n (X X n ). a) Stimare con la disuguaglianza di Chebyshev la probabilità P X n λ η} b) Stimare la stessa quantità usando l approssimazione normale. c) Confrontare le due stime per λ, η, n. [c) ;.7] a) b) Sia P X n λ η} V ar[x n] η λ nη S n X n µ σ n che per il teorema del limite centrale converge in legge ad una normale standard. Ricordiamo che per una v.a. di Poisson µ λ e σ λ, da cui Approssimiamo ora la probabilità Sn X n λ λ n P X n λ η} P X n λ η} + P X n λ + η} P S n η + P S n η P S n λ n c) Confrontiamo le due stime λ n P X n λ η} λ nη Φ P X n λ η} Φ().8.7 η λ n ( η ) n λ Esercizio 7 Sia f : [, ] R una funzione limitata e sia X n } n una successione di v.a. indipendenti uniformi su [, ]. In che modo possiamo approssimare l integrale di f? [Metodo di Montecarlo]

45 Consideriamo Y n n n f(x i ) k Per la legge dei grandi numeri sappiamo che per n Y n q.c E[f(X )] Se sviluppiamo la formula della media otteniamo E[f(X )] f(x) dx Che è l integrale che volevamo approssimare. Esercizio 8 Marco e Giovanni hanno l abitudine di giocare a testa o croce a chi paga il caffè. Marco però ha l impressione che tocchi a lui un po troppo spesso e, poichè è sempre Giovanni che fornisce la moneta, comincia a tenere conto dei risultati. In effetti è toccato a lui 6 volte su, ma Giovanni ha liquidato le sue proteste dicendo che si tratta solo di sfortuna. Voi che ne pensate? Sia X n n con X i Ber(, ). Sappiamo che X 6. Utilizzando l approssimazione normale calcoliamoci, ricordando che V ar[x i ] p( p), P X 6. } P X 6. } 6. Φ n k X i Φ(.9) Quindi la probabilità di ottenere un numero di vittorie superiore a 6 su giocate è molto bassa, da cui deduciamo che la moneta sia truccata. Esercizio 9 Si lancia un dado volte e si sommano gli esiti. probabilità che la somma totale superi 7? [.] Qual è la Siano X i le v.a. discrete che danno l esito di un lancio. Hanno distribuzione uniforme sull insieme [, 6] con probabilità 6. E[X i ] 6 i i 6. 6

46 ( 6 ) i V ar[x i ] (.) i Utilizziamo il teorema del limite centrale P X X > 7} P X N 7} ( ) 7. Φ Φ(.7)

47 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò maggio 6 Catene di Markov. Introduzione statistica, stima puntuale. Esercizio Consideriamo la catena di Markov su E,,, } associata alla matrice di transizione..7 P..... a) Qual è la probabilità partendo da di essere in dopo passi? E partendo da? b) Qual è la probabilità di essere in partendo da dopo passi? a) Dobbiamo calcolarci p (), p (), ( P ) p,,h p h, h E Dobbiamo calcolarci p (), p (), ( P ), h E p,h p h, b) Per calcolarci p (), dovremmo fare un sacco di conti, ma possiamo fare alcune considerazioni sulla raggiungibilità degli stati. Se partiamo dallo stato, una volta lasciato non ci ritorniamo più. Quindi l unico modo per rimanere nello stato per passi, è iterando sull arco autoreferente che ha probabilità p,.. Quindi p (),. Esercizio Consideriamo una catena di Markov su E,,,, } associata alla matrice di transizione Determinare tutte le distribuzioni invarianti.

48 Le distribuzioni invarianti soddisfano la seguente condizione. π πp Per trovarle, risolviamo un sistema lineare con E + equazioni in E incognite. Le prime E equazioni derivano da (P T I)π l ultima deriva dalla proprietà delle distribuzioni ovvero π i i E La matrice M dei coefficienti e il vettore b dei termini noti che otteniamo sono..7. M b.7. Risolviamo il sistema lineare Mπ b ed otteniamo π (..6) Esercizio Consideriamo la catena di Markov sui vertici di un triangolo equilatero definita dalle regole seguenti: ad ogni istante essa si può spostare da un vertice a quello adiacente in senso antiorario con probabilità p e in senso orario con probabilità p, dove < p <. a) Mostrare che la catena è regolare e determinare la distribuzione stazionaria. b) Calcolare per n grande le probabilità P X n, X n+ } e P X n, X n+ }. p p p p p p La matrice di transizione è la seguente P p p p p p p La catena è regolare e possiamo verificarlo controllando che già in P tutti gli elementi della matrice sono >. Oppure in modo più veloce, basta controllare che ogni stato sia raggiungibile da ogni altro stato nel grafo rappresentato.

49 Per calcolare la distribuzione stazionaria risolviamo il sistema dato da ( ) P T I e T π e dove e è il vettore colonna formato da tutti, mentre e i è il vettore colonna con tutti tranne l i-esimo elemento che è. La soluzione al sistema è il vettore π ( ) b) Per il teorema di Markov sappiamo che Quindi per n lim n p(n) ij π j P X n, X n+ } P X n+ X n } P X n } p, π p P X n, X n+ } P X n+ X n } P X n } p, π p Esercizio Tre giocatori seguti attorno ad un tavolo giocano nel seguente modo: uno di essi comincia tirando tre volte una moneta. Se ottiene T vince la partita. Se ottiene T+C mantiene il gioco. Se ottiene C+T passa il gioco al giocatore alla sua destra. Se ottiene C passa il gioco al giocatore alla sua sinistra. Il giocatore a cui passa il gioco continua con le stesse regole. Il gioco termina non appena uno dei giocatori realizza T. Rappresentare il gioco con una catena di Markov. Calcoliamoci le probabilità di transizione: P T } P C} 8, P T + C} P C+T } 8. Abbiamo sei stati in totale: rappresentano i giocatori, e gli stati di vittoria di ciascun giocatore. Consideriamo E (G, G, G, V, V, V ) dove G i giocatore i, e V i vittoria giocatore i. Supponiamo inoltre che il giocatore siede alla destra del giocatore e a sinistra del giocatore. La matrice di transizione che otteniamo è la seguente P Esercizio Un urna contiene inizialmente palline R e palline N. Due giocatori, A e B, effettuano delle estrazioni successive con le seguenti regole. Se la pallina estratta è N, essa viene messa da parte. Se la pallina estratta è R essa viene rimessa nell urna insieme ad una nuova pallina N. A vince non appena nell urna ci sono palline N, B vince non appena nell urna non ci sono più palline N. a) Modellizzare il gioco con una catena di Markov. Qual è la probabilità che dopo estrazioni vi siano almeno N nell urna?

50 Calcoliamoci le probabilità di transizione: P RN RN} P RN RN} frac, P R RN}, P RN RN}, P RN RN}, P RN RN}. Gli stati sono E (RN, RN, RN, RN, R). La matrice di transizione che otteniamo è P a) Per trovare le probabilità ci interessa calcolare le proabilità p (),j in quanto sappiamo che partiamo dallo stato iniziale. Indichiamo con (P i ), la prima riga della matrice P i. Vogliamo trovare (P ),. (P ), (P ), P ( 9 6 ) (P ), (P ), P ( 9 6 A questo punto abbiamo le probabilità di raggiungere un qualunque stato iin passi. La probabilità che vi siano almeno N equivale alla somma delle probabilità di raggiungere in passi, RN, RN, RN, ovvero p (), + p(), + p (), )

51 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 6 Statistica Esercizio Sia X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ. Verificare che X n n i X i σ n i (X i µ) S n n i ( Xi X ) sono stimatori non distorti rispettivamente di media, varianza con media nota, e varianza. Per verificare che uno stimatore T di un parametro ψ(θ) non sia distorto deve valere che E θ [T ] ψ(θ) Verifichiamo lo stimatore della media E θ [X] n n E θ [X i ] n nµ µ i Verifichiamo lo stimatore della varianza con media nota E θ [σ ] n n [ E θ (X i µ) ] σ i Verifichiamo lo stimatore della varianza E θ [ S ] n n E θ [Xi ] E θ [X i n i X i } } nx ] + ne θ [X ] n A questo punto notiamo che dalla definizione di varianza E θ [X i ] V ar[x i ] + E θ [X i ] σ + µ } E θ [Xi ] ne θ [X ]

52 e sostituendo E θ [X ] V ar[x] + E θ [X] σ n + µ E θ [ S ] nσ σ } σ n Esercizio Sia X n } n una famiglia di v.a. di media µ. Dire se i seguenti stimatori della media sono distorti. a) T X, T X+Xn, T X X + X n. Nel caso in cui siano distorti trovare la costante di normalizzazione della distorsione. a) Non distorto b) Non distorto E θ [T ] E θ [X ] µ E θ [T ] (Eθ [X ] + E θ [X n ]) µ c) Distorto E θ [T ] E θ [X ] E θ [X ] + E θ [X n ] µ La costante di normalizzazione è. Esercizio Sia X, X un campione di numerosità estratto da una popolazione con distribuzione f X (x) x θ, con < x < θ. a) Calcolare media e varianza della popolazione. b) Calcolare media e varianza dei due stimatori di θ: T X + X, T X + X c) Quale dei due stimatori di θ è preferibile? a) E[X] θ x x θ dx θ x θ θ V ar[x] E[X ] E[X] b) θ x x θ dx 9 θ θ E[T ] E[X ] + E[X ] θ x V ar[t ] 9 V ar[t ] + 9 V ar[x ] 6 θ E[T ] E[X ] + E[X ] θ θ 9 θ θ 9 θ θ 8

53 V ar[t ] V ar[x ] + V ar[x ] θ 6 c) Entrambi sono stimatori non distori della media della popolazione, tuttavia la varianza di T è maggiore di quella di T, quindi è preferibile il secondo stimatore. Esercizio Sia X,..., X n un campione casuale semplice estratto da una v.a. N(µ, σ ), con µ e σ noti. Determinare la distribuzione della statistica T 6 [T N(µ, nσ /((n )))] X i + (n ) i Ricordiamo che una combinazione lineare di una v.a. normale è ancora una v.a. normale. Determiniamone quindi la media e la varianza E[T ] 6 E[X i ] + (n ) i n i X i n E[X i ] µ + µ µ i V ar[t ] 6 V ar[x i ] + (n ) i Quindi T N ( ) nσ µ, (n ). n V ar[x i ] σ + i (n ) σ nσ (n ) Esercizio La durata delle telefonate urbane segue una distribuzione normale di media µ minuti e scarto quadratico medio σ minuti. Selezionato un c.c.s. di telefonate, trovare la distribuzione della media campionaria e la probabilità che la durata media delle telefonate sia compresa fra 9. e. minuti. [N(,.),.7] Siccome le osservazioni X i seguono una legge normale, anche la media campionaria X lo fa. La media di X è µ, mentre la varianza è data da σ n, quindi X N(,.). Sia Z N(, ) 9. P 9. X.} P Z }. P.76 Z.7} Φ(.7) Φ(.76) Φ(.7) + Φ(.76)

54 Esercizio 6 La resistenza al carico dei sacchetti di plastica utilizzati per contenere generi alimentari segue una distribuzione normale di media. kg e scarto quadratico medio Kg. Quale proporzione di sacchetti ha una resistenza al carico tra i.8 e i. Kg? Se si selezionano molti c.c.s di numerosità, quale proporzione di medie campionarie ci si aspetta tra i.8 e i. Kg? [.8,.7] Sia X N(., ), la v.a. della resistenza al carico dei sacchetti di plastica. Sia inoltre Z N(.)..8. P.8 X.} P Z }.. P.8 Z.} Φ(.) Φ(.8) Φ(.) + Φ(.8) Posto Z X.. Questa per il teorema del limite centrale si approssima con una N(, )..8. P.8 X.} P Z }.. P.88 Z.99} Φ(.99) + Φ(.88) Esercizio 7 La durata in ore delle pile prodotte da una ditta segue una distribuzione normale di media µ ore e varianza σ ignota. Osservata una varianza campionaria pari a su un campione di n pile, quale valore verrà superato con una probabilità del 9% dalla media campionaria? [88.6] Posto Z X questa si distribuisce con legge t di Student con 9 gradi di libertà. P Z > t.9 } P X > t.9 + } P X > 88.6}.9 Quindi il valore 88.6 viene superato con probabilità del 9% dalla media campionaria. Esercizio 8 Si è estratto un campione di abbonati al telefono e di questi avevano la segreteria telefonica. Si vuole stimare qual è, fra tutta la popolazione, la percentuale di segreterie telefoniche installate con un livello di confidenza di.9. [(.8,.898)] La percentuale di abbonati con segreteria telefonica osservata è X. Sia µ la percentuale da stimare e n. Posto Z n X µ si distribuisce approssimativamente con legge N(, ). X( X)

55 P Z φ./ } P X φ.97 X( X) µ X + φ.97 Un intervallo di confidenza di livello.9 per µ è quindi dato da [.8,.898] X( X) Esercizio 9 Avendo osservato il campione (.,.,.6,.6) da una distribuzione normale con σ si trovi un intervallo di confidenza di livello.9 per la media µ della popolazione. Come cambia l intervallo se non si conoscesse la varianza della popolazione? [(-.,.6), (-.9, 6.)] Innanzitutto calcoliamoci la media campionaria X.7 e poniamo n. Un intervallo di confidenza di livello.9 per la media della popolazione è dato da [ X φ./ σ n, X + φ./ σ n ] [.99,.699] Se non si conoscesse la varianza, la stimiamo tramite S n n i (X i X).867. Dal momento che sono ignoti varianza e media, abbiamo il seguente intervallo di fiducia che fa uso della legge t di Student. [X t./ (n ) S n, X + t./ (n ) S n ] [.98, 6.9] Esercizio Una ditta che produce detersivi sostiene che le sue confezioni di detersivo hanno un peso di. Kg con una deviazione standard di.7 Kg. Un dettagliante estrae un campione casuale di scatole di detersivo e rileva che il peso medio è di. Kg. Verificare se l affermazione della ditta è da rifiutare ai livelli di significativitá del % e dell % supponendo che il peso sia una variabile normalemente distribuita. [rifiuto con., accettazione con.] L ipotesi è H : µ. contro A : µ <.. Posto Z X..7 questa si distribuisce con legge N(, ) per il teorema del limite centrale. La regione critica di livello α è data da Z <.68} α. Z < φ α } Z <.} α. Posto X., abbiamo che Z.. Questo valore cade nella regione critica di livello. ma non in quello di livello., quindi nel primo caso abbiamo il rifiuto dell ipotesi, mentre nel secondo l accettazione.

56 Esercizio Si sceglie un campione di allievi di una classe; si calcola l altezza media, che risulta di 7 cm, con uno scarto quadratico medio di cm. Si vuole verificare, a livello di significatività di., se l altezza media degli allievi di tutta la popolazione scolastica con la stessa età è di 6 cm, supponendo la variabile normalmente distribuita. [accettazione] L ipotesi da verificare è H : µ 6, contro A : µ 6. Calcoliamoci S nσ n 9 Posto Z 9 X 6 questa si distribuisce con legge t di Student con 9 gradi di libertà. La regione critica di livello. è data da Z t./ (9)} Z.99} Posto X 7 abbiamo che Z. cade fuori dalla regione critica e quindi l ipotesi è accettata. Esercizio Si lancia per volte un dado e risulta che la faccia 6 si è presentata volte. Si chiede di decidere se il dado è truccato o regolare, ad un livello di significatività di.. I lanci del dado seguono una legge bernoulliana di parametro p ignoto. L ipotesi da verificare è H : p 6, contro A : p 6. Poniamo Z p 6 6 ( 6 ) che segue approssimativamente legge N(, ). La regione critica di livello. è data da Z φ./ } Z.9996} Posto p abbiamo che Z.777 cade dentro la regione critica e quindi l ipotesi è rifiutata. Esercizio Siano X, X le medie di due c.c.s. di numerosità n estratti da una v.a. N(µ, σ ). Determinare per quale valore di n si ha una probabilità del % che le due medie differiscano fra loro di più di σ. [n6] Sia Y X X. Questa ha legge normale di parametri µ E[X X ] E[X ] E[X ] µ µ e σ V ar[x X ] V ar[x ] + V ar[x ] σ 6

57 Sia Z n Y µ σ allora abbiamo approssimativamente che Z N(, ) per il teorema del limite centrale. P Z φ./ } P } Y n σ φ.9 P Y φ.9 σ n } P Y σ}. Da cui φ.9 σ n σ n φ

58 Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 6 Prova di esame Esercizio Il livello di significatività α in una verifica d ipotesi indica: a) la probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando questa è falsa; b) la probabilità di accettare l ipotesi nulla quando questa è falsa; c) la probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando questa è vera. c) Esercizio Sia X una v.a. con distribuzione di Poisson con parametro λ. Allora P X < } è pari a: a).66; b).7698; c).97. P X < } P X i} i i i i! e.66 Esercizio Sia X una v.a. con distribuzione N(, 8) e Y una v.a. indipendente da X con distribuzione N(8, ). Allora la v.a. Z X +Y + ha distribuzione: a) X(, 6); b) N(9, 9); c) N(, 7). Una combinazione lineare di v.a. normali è ancora una v.a. normale. Calcoliamo quindi la media e la varianza di Z per scoprire i parametri µ e σ di Z. E[Z] E[X] + E[Y ] V ar[z] V ar[x] + V ar[y ] Da cui Z N(, 6). Esercizio Se ρ[x, Y ] allora: a) Y X ; b) Y g(x); c) Y a+bx con a R e b <. Ricordiamo la formula del coefficiente di correlazione che è ρ[x, Y ] Cov[X, Y ] V ar[x]v ar[y ]

59 e quello della covarianza Cov[X, Y ] E[XY ] E[X]E[Y ] Tralasciamo la prima ipotesi perchè Y non è definita nel punto X. Tralasciamo anche la seconda perchè c è di mezzo una funzione sconosciuta e concentriamoci sull ultima. Cov[X, a + bx] E[aX + bx ] E[X](a + be[x]) ae[x] + be[x ] ae[x] be[x] bv ar[x] V ar[x]v ar[a + bx] V ar[x]b V ar[x] b V ar[x] ρ[x, a + bx] bv ar[x] bv ar[x] b V ar[x] b V ar[x] b b Esercizio In un quartiere vi sono lavoratori autonomi e lavoratori dipendenti. Un lavoratore autonomo guadagna mediamente euro mensili, contro i di un lavoratore dipendente. Qual è il guadagno mensile medio di un lavoratore di quartiere? a) 6; b) 8.87; c) 9.6. Posto X il guadagno mensile medio X Esercizio 6 Se l errore quadratico medio di uno stimatore è pari a allora lo stimatore è : a) non distorto; b) non corretto; c) a varianza. L errore quadratico medio (MSE) di uno stimatore T di una quantità ψ(θ) corrisponde a MSE E[(T ψ(θ)) ] V ar[t ] + (E[T ] ψ(θ)) che è nullo se e soltanto se V ar[t ] e E[T ] ψ(θ). Quindi da un errore quadratico medio nullo di uno stimatore possiamo dedurre che lo stimatore è non distorto. Esercizio 7 Un intervallo di confidenza di livello.9 per la media µ di una popolazione normale e con varianza σ nota è, a parità di numerosità campionaria: a) più ampio dello stesso intervallo di livello.9; b) più ampio dello stesso intervallo di livello.99; c) il livello α non incide sull ampiezza dell intervallo perchè la varianza è nota. Un intervallo di confidenza di livello α per la media µ di una popolazione normale e con varianza σ nota è per esempio [X φ α/ σ n, X + φ α/ σ n ]

60 A parità di numerosità campionaria, le uniche variabili che possono modificare l ampiezza dell intervallo sono i quantili. Ma questi dipendono direttamente dal livello di confidenza. Quindi la risposta c) è sicuramente da scartare. Un intervallo di livello.9 è più ampio di un intervallo di livello.9 ma meno ampio di un intervallo di livello.99, quindi la risposta corretta è la a). Esercizio 8 Se X n } n è una catena di Markov su E,,, }, allora: P X n j X n i}, i, j E P X n+ j X n i} P X n i}, i, j E P X n j} k P X n j X k}p X k}, j E Le prime due risposte non corrispondono a proprietà delle catene di Markov. L ultima risposta invece è corretta in quanto non è altro che l applicazione del teorema delle probabilità totali. Esercizio 9 Sia X, X un campione di numerosità estratto da una popolazione con distribuzione f X (x) x θ, con < x < θ. a) Calcolare media e varianza della popolazione. b) Calcolare media e varianza dei due stimatori di θ: T X + X, T X + X c) Quale dei due stimatori di θ è preferibile? a) E[X] θ x x θ dx θ x θ θ V ar[x] E[X ] E[X] b) θ x x θ dx 9 θ θ E[T ] E[X ] + E[X ] θ x V ar[t ] 9 V ar[t ] + 9 V ar[x ] 6 θ E[T ] E[X ] + E[X ] θ θ 9 θ θ 9 θ θ 8 V ar[t ] V ar[x ] + V ar[x ] θ 6 c) Entrambi sono stimatori distori di θ e presentano la stessa distorsione, tuttavia la varianza di T è maggiore di quella di T, quindi è preferibile il secondo stimatore.

61 Esercizio Un urna contiene palline bianche e 6 nere. L esperimento è costituito da due fasi: nella prima fase si lancia una moneta che presenta testa con probabilità.6; nella seconda fase si estraggono dall urna palline con reinserimento, se nella prima fase si è presentata testa, oppure si estraggono dall urna pallin senza reinserimento, se nella prima fase si è presentata croce. Calcolare la probabilità che il numero di palline bianche estratte sia uguale a. Indichiamo con T evento è uscita testa, C evento è uscita croce. P (T ).6 P (C). Sia X una v.a. che conta il numero di palline bianche estratte dall urna su estrazioni con reinserimento. Questa si distribuisce con legge binomiale di parametri n e p 6 8. Calcoliamo la probabilità di estrarre bianche. ( ) P X } Sia Y una v.a. che conta il numero di palline bianche estratte dall urna su estrazioni senza reinserimento. Questa si distibuisce con legge ipergeometrica di parametri k, n 6, b. Calcoliamo la probabilitá di estrarre bianche. )( 6 ) P Y } ( ( 6 ).6 Sia Z la v.a. che conta il numero di palline bianche estratte nell esperimento. Allora abbiamo che P Z T } P X } P Z C} P Y } Utilizzando il teorema delle probabilità totali P Z } P Z T }P (T ) + P Z C}P (C) P X }P (T ) + P Y }P (C) Esercizio Sia dato il seguente campione proveniente da una popolazione con distribuzione normale: x(6.8, 6.89, 7.8, 8.,.,.68,.,., 8.,.9). a) Si sottoponga a test l ipotesi nulla µ contro l alternativa µ > con un livello di significatività pari a. ; b) Supponendo che la varianza della popolazione sia nota e pari a, si determini un intervallo di confidenza per la media µ di livello.9 ; c) Sulla base del risultato del punto b), si dica se i dati sono compatibili con un valore di µ 6. a) Calcoliamoci la media campionaria dell osservazione. X i x i.6

62 Calcoliamoci la varianza campionaria dell osservazione S 9 (x i X) 9.98 i Posto Z n X µ S, abbiamo che Z si distribuisce con legge t di Student con 9 gradi di libertà. La regione di rigetto relativa a Z di livello. è quindi Z > t.99 (9)} Z >.8} Verifichiamo ora se la media campionaria X relativa all osservazione x cade nella regione di rigetto. Calcoliamoci a tal fine Z. Z.6.8. Chiaramente non vi ricade, quindi accettiamo l ipotesi. b) Posto Z n X µ σ, abbiamo che si distribuisce con legge normale per il teorema del limite centrale. Un intervallo di confidenza per la media di livello α.9 è dato da } σ σ Z φ α/ } X φ α/ n µ X + φ α/ n µ }.6 µ.686} c) No, non sono compatibili dal momento che 6 non è compreso nell intervallo. Esercizio Siano X, Y due v.a. con funzione di densità congiunta k(x + y), y (, ) < x + y < f(x, y), altrove a) Si determini la costante di normalizzazione k. b) Si scrivano la densità marginale e la media di Y. c) X e Y sono indipendenti? d) Si calcoli la probabilità P ( ) X > a) Dobbiamo trovare la costante che soddisfa y k x + xy k k(x + y) dx dy y dy y dy k y y k

63 b) Calcoliamo la densità marginale di Y f Y (y) y Calcoliamo la media di Y E[Y ] x (x + y) dx xy + yf Y (y) dy y (y y ) dy c) Verifichiamo se per ogni (x, y) nel dominio di f (X,Y ) f (X,Y ) (x, y) f X (x)f Y (y) ( y ) y y 8 A tal fine ci calcoliamo la densità marginale di X facendo attenzione al dominio della funzione f X (x) x Ora verifichiamo l indipendenza (x + y) dy ( x ) f Y (y)f X (x) 9 ( y )( x ) (x + y) f (X,Y ) (x, y) Le due v.a. non sono indipendenti. d) P X > }. ( x ) dx x x.. 6