Tutorato di Probabilità e Statistica

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Romolo Mele
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1 Università Ca Foscari di Venezia Dipartimento di informatica 20 aprile 2006

2 Variabili aleatorie... Example Giochiamo alla roulette per tre volte 1 milione sull uscita del numero 29. Qual è la probabilità che il nostro capitale sia cresciuto dopo le tre partite? In media il capitale sarà cresciuto o diminuito? X = ammontare del nostro capitale dopo le tre partite è una variabile aleatoria è una funzione da Ω in R infatti l ammontare del capitale dipende banalmente dal risultato delle tre partite le probabilità che ci interessano non sono relative a eventi (almeno non direttamente), ma sono relative ai possibili valori che può assumere la variabile aleatoria (ammontare di capitale)

X = ammontare del nostro capitale dopo le tre partite è una variabile aleatoria è una funzione da Ω in R infatti l ammontare del capitale dipende

3 ... Variabili aleatorie Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P) si dice variabile aleatoria un applicazione X : Ω R tale che per ogni t R l insieme {ω Ω : X (ω) t} A. {ω : X (ω) > a} = {ω : X (ω) a} C è un evento {ω : a < X (ω) b} = {ω : X (ω) b} {ω : X (ω) > a} è un evento {ω : X (ω) = x} = n=1 {ω : x 1 n < X (ω) x} è un evento {ω : X (ω) A} = x A {ω : X (ω) = x} è un evento

{ω : X (ω) > a} = {ω : X (ω) a} C è un evento {ω : a < X (ω) b} = {ω : X (ω) b} {ω : X (ω) >

4 V. a. discrete Definiamo v. a. discreta una v. a. che assume al più una infinità numerabile di valori. Sia X una v.a. discreta. Si chiama densità di probabilità di X la funzione p X : R [0, 1] data da p X (x) = P{X = x} Teorema Sia p X la densità di una v.a. discreta X. Allora vale 1 p X (x) = 0 per ogni x tranne una infinità numerabile (quelli assunti da X ) 2 x p X (x) = x P{X = x} = P ( x {X = x}) = P(Ω) = 1

Si chiama densità di probabilità di X la funzione p X : R [0, 1] data da p X (x) = P{X = x} Teorema Sia

5 Esempio di v.a. discreta Example Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e A A. Indichiamo con 1 A la funzione indicatrice di A, cioè la funzione che assume il valore 1 su A e 0 su A C. La sua densità p X è data da: { P{1 A = 1} = P(A), se x = 1 p X (x) = P{1 A = 0} = P(A C ), se x = 0

6 Distribuzione di probabilità... Sia X una v.a.. Si chiama distribuzione di probabilità di X (o funzione di ripartizione) la funzione F X : R [0, 1] definita da F X (x) = P{X x} Nel caso di v.a. discrete F X (x) = x x P{X = x }

7 ... Distribuzione di probabilità Teorema La distribuzione F X di una v.a. X ha le seguenti proprietá 1 è una funzione non decrescente 2 è una funzione continua a destra lim x x la distribuzione ha due asintoti F X (x) = F X (x 0 ) lim F X (x) = 1 x + lim F X (x) = 0 x Teorema Siano a < b due valori in R e X una v.a. con distribuzione F X ; allora P{a < X b} = F X (b) F X (a)

8 Legge Binomiale Definiamo B(n, p) legge binomiale di parametri n e p (con 0 p 1) la distribuzione individuata dalla seguente densità {( n ) p BIN (x) = x px (1 p) n x, x = 0, 1,..., n 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di ottenere k successi su n prove. B(1, p) è detta legge di Bernulli di parametro p Lancio una moneta 10 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 volte testa?

.., n 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di ottenere k

9 Legge Ipergeometrica Definiamo Ip(k, b, n) legge ipergeometrica di parametri k, b e n la distribuzione individuata dalla seguente densità ( x) ( b k x) n b, max[0, k (n b)] x min[n, b] p IP (x) = ( k) n 0, altrimenti Example Abbiamo un urna con n palline di cui b bianche e (n b) nere. Estraiamo contemporaneamente k palline. Qual è la probabilità di avere x palline bianche tra quelle estratte? La v.a. di questo problema segue una legge ipergeometrica di parametri k, b e n.

un urna con n palline di cui b bianche e (n b) nere. Estraiamo contemporaneamente k palline.

10 Legge Geometrica Definiamo legge geometrica di parametro p (con 0 p 1) la distribuzione individuata dalla seguente densità { p (1 p) k, k = 0, 1, 2,... p GEOM (x) = 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di dover fare k prove prima di ottenere un successo. Un dado viene lanciato più volte fino a che si ottiene 6. Qual è la probabilità che occorrano esattamente k lanci?

.. p GEOM (x) = 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di

11 Legge di Poisson Definiamo legge di Poisson di parametro λ (con λ > 0) la distribuzione individuata dalla seguente densità {e λ λx p λ (x) = x!, x = 1, 2,..., n 0, altrimenti Intuitivamente servono a calcolare la probabilità di ottenere k successi su un grande numero di prove fatte e con basse probabilità di successo. Una variabile di Poisson X si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n ) con n +

.., n 0, altrimenti Intuitivamente servono a calcolare la probabilità di ottenere k successi su un

12 Esercizi

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