ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

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1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine di voto. Si assuma che nessuno studente ottenga lo stesso voto di un altro. : Quante differenti graduatorie sono possibili? 2: Supponiamo ora che i risultati vengano esposti in due graduatorie differenti, una per i ragazzi e l altra per le ragazze. Quante graduatorie sono possibili? Esercizio 0.2. Marco ha 0 libri da posizionare su uno scaffale. Fra questi libri ce ne sono 4 di matematica, 3 di chimica, 2 di storia e di inglese. Marco vuole posizionare i suoi libri in modo che tutti quelli relativi ad uno stesso argomento siano fra loro adiacenti. Quanti modi diversi ha Marco di posizionare i suoi libri sullo scaffale? Esercizio 0.3. Quanti anagrammi distinti della parola P EP P ER esistono? Esercizio 0.4. Si consideri la griglia seguente: B A Per andare dal punto A al punto B si può andare verso l alto o verso destra ad ogni passo. Quanti percorsi esistono per raggiungere B partendo dal punto A? Suggerimento: Ogni possibile percorso sarà costituito da 3 passi verso l alto e 4 passi verso destra. Esercizio 0.5. Si consideri la griglia seguente: B C A Per andare dal punto A al punto B si può andare verso l alto o verso destra ad ogni passo. Quanti percorsi esistono per raggiungere il punto B partendo dal punto A e passando per il punto C? Esercizio 0.6. Nel Dipartimento di Matematica ci sono n professori, fra i quali si devono scegliere k persone (k n) per formare una commissione di laurea, indicando inoltre un presidente per tale commissione (scelto fra i k professori selezionati). Quante possibili commissioni si possono formare?

2 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ : Rispondere alla domanda scegliendo prima i membri della commissione e successivamente un presidente fra di essi. 2: Rispondere alla domanda scegliendo prima i k membri della commissione diversi dal presidente e successivamente il presidente fra i restanti professori. 3: Rispondere alla domanda scegliendo prima il presidente della commissione fra tutti i professori e successivamente il resto della commissione. 4: Concludere dai punti precedenti che vale la seguente catena di uguaglianze: ( ) ( ) ( ) n n n k = (n k + ) = n k k k 5: Verificare la precedente catena di uguaglianze usando la definizione del coefficiente binomiale ( ) m m! = h h!(m h)! Esercizio 0.7. La seguente uguaglianza è nota come l identità combinatoria di Fermat: ( ) n n ( ) i = (n k) k k i=k Dimostrare l identità precedente utilizzando un ragionamento combinatorio (senza fare conti!) Suggerimento: Si consideri l insieme di numeri {,..., n}. Quanti sono i sottoinsiemi formati da k elementi che hanno massimo pari a i? Esercizio 0.8. Si consideri la seguente identità combinatoria: n ( ) n k = n2 n k k= Dimostrare la precedente identità con un ragionamento combinatorio (senza fare conti!), considerando un insieme di n professori e determinando, in due modi, il numero di possibili commissioni di laurea formate da un numero qualunque di professori con un presidente scelto fra quelli selezionati. Suggerimento: : Quante possibili commissioni formate da k professori ci sono? 2: In quanti modi si possono scegliere un presidente e i restanti membri della commissione? Esercizio 0.9. Si consideri la seguente identità combinatoria: n ( ) n k 2 = 2 n 2 n(n + ) k k= Dimostrare la precedente identità con un ragionamento combinatorio (senza fare conti!), considerando un insieme di n professori e determinando, in due modi, il numero di possibili commissioni di laurea formate da un numero qualunque di professori con un presidente ed un segretario scelti fra i professori selezionati (si assuma che un professore possa svolgere allo stesso tempo il ruolo di presidente e quello di segretario). Suggerimento: : Quante possibili commissioni formate da k professori ci sono? 2: Quante possibili commissioni con il presidente uguale al segretario ci sono? 2: Quante possibili commissioni con il presidente diverso dal segretario ci sono? Esercizio 0.0. Si consideri la seguente identità combinatoria: n ( ) n k 3 = 2 n 3 n(n + 3) k k= Sfruttando quanto visto negli esercizi precedenti dimostrare con un ragionamento combinatorio (senza fare conti!) la precedente identità. Esercizio 0.. Da un insieme di 0 coppie sposate si vuole selezionare un gruppo di 6 persone in modo che non contenga una coppia sposata.

3 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 3 : In quanti modi si può selezionare un tale gruppo di persone? 2: In quanti modi si può selezionare un tale gruppo se in più si richiede che questo sia formato da 3 uomini e 3 donne?

4 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 9/03/205 Secondo foglio di esercizi Esercizio 0.. Vengono lanciati due dadi. Si calcoli la probabilità che la somma dei risultati sia 7. Esercizio 0.2. Tre palline vengono pescate a caso da un urna contenente 6 palline bianche e 5 palline nere. Si calcoli la probabilità che una delle palline estratte sia bianca e le altre due siano nere. Esercizio 0.3. Da un gruppo di 6 uomini e 9 donne viene estratta a caso una commissione di 5 persone. Si calcoli la probabilità che la commissione consista di 3 uomini e 2 donne. Esercizio 0.4. Un urna contiene n palline, una delle quali è speciale. Se k palline vengono estratte una alla volta, senza essere reinserite, qual è la probabilità che venga estratta la pallina speciale? Esercizio 0.5. Vogliamo allineare n+m palline, di cui n rosse ed m blu. Supponiamo che ognuno degli (n + m)! allineamenti possibili abbia uguale probabilità di essere realizzato. Supponiamo inoltre di non poter distinguere fra loro due palline dello stesso colore, cosicché non tutti gli (n + m)! allineamenti possibili risultano effettivamente distinguibili. Mostrare che i possibili allineamenti distinguibili hanno ancora uguale probabilità si essere realizzati. Esercizio 0.6. Una mano di poker consiste di 5 carte. Una mano di poker si dice scala se le 5 carte hanno valori distinti e consecutivi, ma non sono tutte dello stesso seme. Si calcoli la probabilità di avere una scala. Si ricordi che un mazzo di carte è costituito da 52 carte suddivise in 4 semi. Esercizio 0.7. Una mano di poker consiste di 5 carte. Una mano di poker si dice full se fra le 5 carte ci una coppia ed un tris, ovvero 2 carte di valore uguale e le altre 3 carte di valore uguale fra loro. Si calcoli la probabilità di avere un full. Si ricordi che un mazzo di carte è costituito da 52 carte suddivise in 4 semi. Esercizio 0.8. Nel gioco del bridge l intero mazzo di 52 carte viene distribuito fra i 4 giocatori. : Si calcoli la probabilità che uno dei giocatori riceva tutte le 3 carte di cuori. 2: Si calcoli la probabilità che ogni giocatore riceva esattamente un asso. Esercizio 0.9. In una stanza ci sono n persone. : Qual è la probabilità che non ci siano due persone che festeggiano il compleanno lo stesso giorno? (Si assuma che nessuno è nato il 29 Febbraio). 2: Quanto deve essere grande n affinché tale probabilità sia minore di 2? Esercizio 0.0. Da un mazzo di 52 carte da gioco estraiamo una carta alla volta, finché non esce un asso. E più probabile che la carta successiva sia un asso di quadri o un due di picche? Esercizio 0.. Una squadra di football è composta da 20 giocatori offensivi e 20 giocatori difensivi. Per determinare i compagni di stanza è necessario dividere i giocatori in 20 coppie. : Qual è la probabilità che non ci siano coppie formate da un giocatore offensivo ed uno difensivo? 2: Fissato i {,..., 0}, si calcoli la probabilità che ci siano esattamente 2i coppie formate da un giocatore offensivo ed uno difensivo.

5 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ Esercizio 0.2. In un club sportivo ci sono 36 giocatori di tennis, 28 giocatori di minigolf e 8 giocatori di calcetto. Inoltre, 22 membri del club giocano sia a tennis che a minigolf, 2 giocano sia a tennis che a calcetto e 9 giocano sia a minigolf che a calcetto. Infine ci sono 4 membri che giocano a tutti a tutti e tre gli sport. Quanti sono i membri del club che praticano almeno uno di questi 3 sport? Esercizio 0.3. Ad una festa ci sono n uomini che lanciano al centro della sala il proprio cappello. Supponiamo che gli uomini raccolgano un cappello in modo casuale. : Si calcoli la probabilità che nessuno degli uomini raccolga il proprio cappello. 2: Si calcoli la probabilità che esattamente k uomini raccolgano il proprio cappello, k n. Esercizio 0.4. Ad un tavolo rotondo sono sedute 0 coppie sposate. Si calcoli la probabilità che nessuna delle mogli sia seduta vicino al proprio marito.

6 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 26/03/205 Terzo foglio di esercizi Esercizio 0.. Ad una festa ci sono n uomini che lanciano al centro della sala il proprio cappello. Supponiamo che gli uomini raccolgano un cappello in modo casuale. Utilizzando la probabilità condizionata, si calcoli la probabilità che esattamente k uomini raccolgano il proprio cappello, k n. Suggerimento. Si ricordi che la probabilità che nessuno fra di essi riprenda il proprio cappello è P n = n ( ) i i!. Inoltre, fissato un insieme di k persone, si ponga: i=0 E = {ognuna delle k persone fissate riprende il suo cappello} G = {ognuna delle n k persone restanti prende un cappello diverso dal suo}. Esercizio 0.2. Nel gioco del bridge l intero mazzo di 52 carte viene distribuito fra i 4 giocatori. Utilizzando la probabilità condizionata, si calcoli la probabilità che ognuno dei giocatori riceva esattamente un asso. Esercizio 0.3. Il compito di un esame è formato da varie domande a risposta multipla. Per ognuna delle domande c è un unica risposta corretta fra le m risposte totali (m 2). Marco conosce la risposta ad una domanda con probabilità p, mentre risponde tirando ad indovinare con probabilità ( p). Supponiamo di sapere che Marco ha risposto correttamente ad una domanda, qual è la probabilità che Marco conoscesse effettivamente la risposta? (Si assuma che la probabilità di rispondere correttamente alla domanda tirando ad indovinare sia m ). Esercizio 0.4. Durante un indagine investigativa, l ispettore è convinto al 60% della colpevolezza di un sospettato. Ad un certo punto si scopre che il colpevole deve essere mancino e che in effetti l uomo sospettato dall investigatore è mancino. Sapendo che il 20% della popolazione è mancina, quale percentuale di certezza ha ora l investigatore riguardo la colpevolezza del sospettato? Esercizio 0.5. L urna A contiene inizialmente n palline rosse, mentre l urna B contiene n palline blu. Le palline vengono rimosse dall urna A nella maniera seguente: dopo ogni rimozione viene spostata una pallina blu dall urna B nell urna A. Il processo continua finché tutte le palline non vengono rimosse. : Si calcoli la probabilità che l ultima pallina rimossa dall urna A sia rossa. 2: Si ripeta l esperimento assumendo che l urna A abbia inizialmente r A palline rosse e b A palline blu e che l urna B abbia inizialmente r B palline rosse e b B palline blu. Si calcoli nuovamente la probabilità che l ultima pallina rimossa dall urna A sia rossa. Esercizio 0.6 (Problema di Monty Hall). Un gioco televisivo funziona nel modo seguente. Il concorrente si trova di fronte a tre porte, dietro ognuna delle quali si nasconde un premio. Una porta nasconde una macchina nuova, mentre le altre due nascondono una capra. Il concorrente sceglie una porta che però non viene aperta. A questo punto il presentatore apre una delle restanti due porte svelando una capra ed offre al concorrente la possibilità di cambiare la sua scelta con l altra porta rimasta chiusa. Più precisamente: se il concorrente ha scelto una porta che nasconde una capra il presentatore aprirà l altra porta che nasconde una capra, mentre se il concorrente ha scelto la porta che nasconde la macchina il presentatore aprirà a caso una delle restanti due porte. : Si calcoli la probabilità di vincere la macchina se si sceglie di cambiare la porta.

7 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2: Supponiamo ora che, nel caso in cui la porta scelta inizialmente dal concorrente nasconda la macchina, il presentatore scelga di aprire la porta più a sinistra fra le due che restano (anziché scegliere a caso una delle due porte). Si calcoli la probabilità di vincere la macchina se si sceglie di cambiare la porta. Esercizio 0.7. Abbiamo n urne. L i-esima urna contiene (i ) palline rosse e (n i) palline blu. Scegliamo un urna a caso e rimuoviamo due palline senza reinserimento. Si calcoli la probabilità che: : la seconda pallina sia blu, 2: la seconda pallina sia blu sapendo che la prima pallina estratta è blu. Esercizio 0.8. Siano E ed F due eventi indipendenti. Mostrare che allora E c ed F sono indipendenti. Dedurne che anche E c ed F c sono indipendenti.

8 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 09/04/205 Quarto foglio di esercizi Esercizio 0.. Una comunità scolastica è costituita da m famiglie, di cui n i hanno i figli, k i {,..., k}, n i = m. Si considerino i seguenti due metodi per selezionare uno dei figli: i= : selezionare dapprima una delle m famiglie e successivamente un figlio dalla famiglia selezionata, k 2: selezionare casualmente uno degli in i figli. i= Mostrare che la probabilità di selezionare un primogenito è più alta utilizzando il metodo piuttosto che il metodo 2. Suggerimento. Iniziare mostrando la disuguaglianza: k k n j k k in i j n i n j. i= j= A tale scopo, moltiplicare le somme e verificare che il coefficiente del termine n i n j nel membro di sinistra è maggiore o uguale di quello nel membro di destra per ogni coppia i, j k. Esercizio 0.2. In una stanza ci sono n scatole. Una pallina si trova nella i-esima scatola con probabilità p i, i n. Se la pallina si trova nella i-esima scatola, in seguito ad una ricerca in tale scatola la pallina verrà scoperta con probabilità α i. Mostrare che la probabilità condizionata che la pallina sia nella scatola j-esima, sapendo che in seguito ad una ricerca nella scatola i-esima non è stata trovata, è pari a p j α i p i se i j i= j= ( α i )p i α i p i se i = j. Esercizio 0.3. Un urna contiene n palline bianche ed m palline nere. Le palline vengono pescate una alla volta, finché non restano solo palline di un unico colore. Si mostri che le palline restanti n sono tutte bianche con probabilità n+m. Suggerimento. Immaginate che le estrazioni continuino finché tutte le palline non vengono rimosse dall urna e si consideri la probabilità che l ultima pallina estratta sia bianca. Esercizio 0.4. Uno stagno contiene 3 specie distinte di pesci: pesci rossi, pesci verdi e pesci blu. Ci sono r pesci rossi, b pesci blu e v pesci verdi. Supponiamo che venga pescato un pesce alla volta (scelto casualmente) dallo stagno. Qual è la probabilità che i pesci rossi siano i primi ad estinguersi? Suggerimento. Si scriva P(R) = P(RBV ) + P(RV B), dove: R = {Pesci rossi prima specie estinta} RBV = {Ordine di estinzione: rossi, blu, verdi} RV B = {Ordine di estinzione: rossi, verdi, blu}. Si calcolino P(RBV ) e P(RV B) condizionando sull ultima specie che viene estinta. Esercizio 0.5. Siano A, B e C eventi relativi al lancio di due dadi. Si assuma che: P(A C) > P(B C) e P(A C c ) > P(B C c ). Si dimostri che P(A) > P(B) o si fornisca un controesempio fornendo eventi A, B e C per cui l ultima proprietà non sia verificata.

9 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ Esercizio 0.6. Siano A, B e C eventi relativi al lancio di due dadi. Si assuma che: P(A C) > P(A C c ) e P(B C) > P(B C c ). Si dimostri che P(A B C) > P(A B C c ) o si fornisca un controesempio fornendo eventi A, B e C per cui l ultima proprietà non sia verificata. Suggerimento. Sia C l evento che la somma dei risultati dei dadi sia 0, sia A l evento che il risultato del primo dado sia 6 e sia B l evento che il risultato del secondo dado sia 6. Esercizio 0.7. Una moneta truccata restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). La moneta viene lanciata ripetutamente finché non esce r volte testa. Mostrare che la probabilità che esattamente n lanci siano necessari è ( n r ) p r ( p) n r. Suggerimento. Quante volte è uscita testa dopo (n ) lanci? Esercizio 0.8. Elena e Marco giocano al lancio di una moneta truccata. La moneta restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). Il lancio della moneta viene ripetuto finché non esce n volte testa (nel qual caso la vittoria viene assegnata ad Elena) o m volte croce (assegnando invece la vittoria a Marco). Si calcoli la probabilità che vinca Elena. Esercizio 0.9. Una moneta truccata restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). Sia P n la probabilità che su n lanci della moneta esca un numero pari di volte testa (0 è un numero pari). : Mostrare che P n = p( P n ) + ( p)p n n. 2: Utilizzare la formula precedente per mostrare (per induzione) che + ( 2p)n P n = n. 2 Esercizio 0.0. Su un tavolo ci sono (k + ) monete truccate. La i-esima moneta restituisce testa con probabilità i k, i {0,..., k}. Viene selezionata una moneta in modo casuale e poi viene lanciata ripetutamente. I primi n risultati sono tutti testa. Qual è la probabilità condizionata che esca testa anche al lancio (n + )-esimo?

10 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 3/04/205 Quinto foglio di esercizi Esercizio 0. (dal Foglio 2). Un urna contiene n palline, una delle quali è speciale. Se k palline vengono estratte una alla volta, senza essere reinserite, qual è la probabilità che venga estratta la pallina speciale? Esercizio 0.2 (dal Foglio 2). Una mano di poker consiste di 5 carte. Una mano di poker si dice full se fra le 5 carte ci una coppia ed un tris, ovvero 2 carte di valore uguale e le altre 3 carte di valore uguale fra loro. Si calcoli la probabilità di avere un full. Si ricordi che un mazzo di carte è costituito da 52 carte suddivise in 4 semi. Esercizio 0.3 (dal Foglio 2). Nel gioco del bridge l intero mazzo di 52 carte viene distribuito fra i 4 giocatori. : Si calcoli la probabilità che uno dei giocatori riceva tutte le 3 carte di cuori. 2: Si calcoli la probabilità che ogni giocatore riceva esattamente un asso. Esercizio 0.4 (dal Foglio 2). Una squadra di football è composta da 20 giocatori offensivi e 20 giocatori difensivi. Per determinare i compagni di stanza è necessario dividere i giocatori in 20 coppie. : Qual è la probabilità che non ci siano coppie formate da un giocatore offensivo ed uno difensivo? 2: Fissato i {,..., 0}, si calcoli la probabilità che ci siano esattamente 2i coppie formate da un giocatore offensivo ed uno difensivo. Esercizio 0.5 (dal Foglio 2). Ad un tavolo rotondo sono sedute 0 coppie sposate. Si calcoli la probabilità che nessuna delle mogli sia seduta vicino al proprio marito. Esercizio 0.6 (dal Foglio 3). Durante un indagine investigativa, l ispettore è convinto al 60% della colpevolezza di un sospettato. Ad un certo punto si scopre che il colpevole deve essere mancino e che in effetti l uomo sospettato dall investigatore è mancino. Sapendo che il 20% della popolazione è mancina, quale percentuale di certezza ha ora l investigatore riguardo la colpevolezza del sospettato? Esercizio 0.7 (Problema di Monty Hall, dal Foglio 3). Un gioco televisivo funziona nel modo seguente. Il concorrente si trova di fronte a tre porte, dietro ognuna delle quali si nasconde un premio. Una porta nasconde una macchina nuova, mentre le altre due nascondono una capra. Il concorrente sceglie una porta che però non viene aperta. A questo punto il presentatore apre una delle restanti due porte svelando una capra ed offre al concorrente la possibilità di cambiare la sua scelta con l altra porta rimasta chiusa. Più precisamente: se il concorrente ha scelto una porta che nasconde una capra il presentatore aprirà l altra porta che nasconde una capra, mentre se il concorrente ha scelto la porta che nasconde la macchina il presentatore aprirà a caso una delle restanti due porte. : Si calcoli la probabilità di vincere la macchina se si sceglie di cambiare la porta. 2: Supponiamo ora che, nel caso in cui la porta scelta inizialmente dal concorrente nasconda la macchina, il presentatore scelga di aprire la porta più a sinistra fra le due che restano (anziché scegliere a caso una delle due porte). Si calcoli la probabilità di vincere la macchina se si sceglie di cambiare la porta. Esercizio 0.8 (dal Foglio 3). Abbiamo n urne. L i-esima urna contiene (i ) palline rosse e (n i) palline blu. Scegliamo un urna a caso e rimuoviamo due palline senza reinserimento. Si calcoli la probabilità che:

11 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ : la seconda pallina sia blu, 2: la seconda pallina sia blu sapendo che la prima pallina estratta è blu. Esercizio 0.9 (dal Foglio 3). Siano E ed F due eventi indipendenti. Mostrare che allora E c ed F sono indipendenti. Dedurne che anche E c ed F c sono indipendenti. Esercizio 0.0. [dal Foglio 4] Una moneta truccata restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). La moneta viene lanciata ripetutamente finché non esce r volte testa. Mostrare che la probabilità che esattamente n lanci siano necessari è ( n r ) p r ( p) n r. Suggerimento. Quante volte è uscita testa dopo (n ) lanci? Esercizio 0. (dal Foglio 4). Elena e Marco giocano al lancio di una moneta truccata. La moneta restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). Il lancio della moneta viene ripetuto finché non esce n volte testa (nel qual caso la vittoria viene assegnata ad Elena) o m volte croce (assegnando invece la vittoria a Marco). Si calcoli la probabilità che vinca Elena. Suggerimento. Si sfrutti il risultato ottenuto nell esercizio 0.0. Esercizio 0.2 (dal Foglio 4). Su un tavolo ci sono (k + ) monete truccate. La i-esima moneta restituisce testa con probabilità i k, i {0,..., k}. Viene selezionata una moneta in modo casuale e poi viene lanciata ripetutamente. I primi n risultati sono tutti testa. Qual è la probabilità condizionata che esca testa anche al lancio (n + )-esimo?

12 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 30/04/205 Settimo foglio di esercizi Esercizio 0.. Un urna contiene 20 palline numerate da a 20. Vengono estratte (senza reinserimento) tre palline dall urna. Se scommettiamo che almeno una delle palline estratte ha un numero maggiore o uguale a 7, con quale probabilità vinceremo la scommessa? Esercizio 0.2. Una moneta viene lanciata ripetutamente. La moneta restituisce testa con probabilità p e croce con probabilità ( p). L esperimento si arresta quando esce testa per la prima volta, oppure quando il totale dei lanci effettuati raggiunge n. Sia X la variabile aleatoria che restituisce il numero di lanci effettuati. Si descrivano i possibili valori assunti da X e le rispettive probabilità. Esercizio 0.3. Siano f e g densità di probabilità e sia λ [0, ]. Mostrare che λf + ( λ)g è una densità di probabilità. Esercizio 0.4. Quali delle seguenti sono funzioni di densità? Trovare c R e le corrispondenti distribuzioni di probabilità. { cx d x > : f(x) = 0 x 2: f(x) = ce x ( + e x ) 2, x R. Esercizio 0.5. Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro, ovvero la sua densità di probabilità è f X (x) = e x χ [0,+ ) (x) dove { x 0 χ [0,+ ) (x) = 0 x < 0 Calcolare la densità di probabilità di X 2. Esercizio 0.6. Una moneta viene lanciata ripetutamente (un numero infinito di volte). Definiamo { al k-esimo lancio esce testa X k = 0 al k-esimo lancio esce croce Si consideri inoltre la variabile aleatoria X = k 2 k X k. Si mostri che, per ogni 0 a b si ha: P(X [a, b]) = b a. Suggerimento. Si considerino a e b della forma a = h 2 e b = l n 2 per qualche scelta di n, h, l N n tali che h l 2 n. Esercizio 0.7. Cosa accade se si ripete l esperimento dell esercizio 0.6 con una moneta non equilibrata?

13 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 07/05/205 Ottavo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una moneta viene lanciata ripetutamente (un numero infinito di volte). Definiamo { al k-esimo lancio esce testa X k = 0 al k-esimo lancio esce croce Si consideri inoltre la variabile aleatoria X = k 2 k X k. Si mostri che, per ogni 0 a b si ha: P(X [a, b]) = b a. Suggerimento. Si considerino a e b della forma a = h 2 e b = l n 2 per qualche scelta di n, h, l N n tali che h l 2 n. Esercizio 0.2. Un venditore ha programmato due appuntamenti per cercare di vendere enciclopedie. Il primo appuntamento porterà ad una vendita con probabilità 3 0. Il secondo porterà (indipendentemente dal primo) ad una vendita con probabilità 6 0. In entrambi i casi verrà venduto con uguale probabilità uno fra i modelli standard (500$) o deluxe (000$). Sia X la variabile aleatoria che restituisce l incasso della giornata. Calcolare la densità di probabilità f X. Esercizio 0.3. Andrea, Barbara, Carlo, Dario ed Elena giocano al gioco seguente. Ad ognuno viene assegnato casualmente un numero da a 5 (ognuno ha un numero diverso dagli altri). Il gioco consiste in quattro incontri successivi. Nel primo turno, fra Andrea e Barbara vince chi ha il numero più alto. Il vincitore gioca con Carlo e di nuovo vince chi ha il numero più alto. Il terzo incontro mette a confronto il numero di Dario con quello del vincitore del secondo incontro. Lo scontro finale è con Elena. Sia X la variabile aleatoria che restituisce il numero di vittorie di Andrea. Calcolare P(X = i) per ogni i {0,..., 4}. Esercizio 0.4. Un album per figurine è composto da m caselle numerate. Quando si acquista una figurina, si trova quella associata alla casella i con probabilità p i, i =,..., m e p +...+p m =. Si acquista una figurina alla volta, fino a quando non si completa l album. Sia X il numero di figurine acquistato, e per k =,..., m sia Y k il numero di figurine acquistate al momento in cui si trova per la prima volta la figurina associata alla casella k. Calcolare (a) La legge di Y k. (b) La probabilità che la N-esima figurina non sia un doppione. (c) La legge di X. (d) La legge di X nel caso gli p i siano tutti uguali. Definiamo un ordine parziale sulle scelte di p = (p, p 2,..., p m ). Diremo che p < p se P(X N) P (X N), dove P e P sono le probabilità costruite con p e p. (e) Chi è l elemento minimale nello spazio (simplesso) degli p? Dare una motivazione euristica. Esercizio 0.5 (Il problema di Banach). Banach è seduto al bancone di un bar con due bottiglie di vodka, una vicino alla sua mano destra ed una vicino alla sua mano sinistra. Banach sceglie con uguale probabilità se bere un sorso da una bottiglia o dall altra. Assumiamo che ognuna delle due bottiglie sia costituita da N sorsi. Nel momento in cui Banach si accorge di aver finito una bottiglia, qual è la probabilità che nell altra rimangano esattamente k sorsi? (0 k N).

14 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ Esercizio 0.6. Risolvere l esercizio 0.5 nel caso in cui Banach sceglie di bere un sorso dalla bottiglia di destra con probabilità p e da quella di sinistra con probabilità ( p). Esercizio 0.7. Sia n N fissato. Determinare k N tale che ( n k) ( = max n ) 0 k n k.

15 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 4/05/205 Nono foglio di esercizi Esercizio 0. (Dal Foglio 8). Un album per figurine è composto da m caselle numerate. Quando si acquista una figurina, si trova quella associata alla casella i con probabilità p i, i =,..., m e p p m =. Si acquista una figurina alla volta, fino a quando non si completa l album. Sia X il numero di figurine acquistato, e per k =,..., m sia Y k il numero di figurine acquistate al momento in cui si trova per la prima volta la figurina associata alla casella k. Calcolare (a) La legge di Y k. (b) La probabilità che la N-esima figurina non sia un doppione. (c) La legge di X. (d) La legge di X nel caso gli p i siano tutti uguali. Definiamo un ordine parziale sulle scelte di p = (p, p 2,..., p m ). Diremo che p < p se P(X N) P (X N), dove P e P sono le probabilità costruite con p e p. (e) Chi è l elemento minimale nello spazio (simplesso) degli p? Dare una motivazione euristica. Esercizio 0.2. Sia X una variabile aleatoria geometrica. : Mostrare che P(X = n + k X > n) = P(X = k) per ogni k, n. 2: Perché si chiama la proprietà della perdita di memoria? 3: Esiste qualche altra distribuzione sugli interi positivi con tale proprietà? Esercizio 0.3. Siano bin(n, p) e bin(m, p) due variabili aleatorie binomiali indipendenti. Mostrare che la loro somma è data da bin(m + n, p). Esercizio 0.4. Sia N il numero totale di teste uscite in n lanci di una moneta truccata. : Si scriva la densità di probabilità di N in funzione di p = P({al primo lancio esce testa}). 2: Dimostrare ed utilizzare l identità ( ) n x 2i y n 2i = 2i 2 [(x + y)n + (y x) n ] i per calcolare la probabilità che N sia pari. Esercizio 0.5 (distribuzione ipergeometrica). Un urna contiene N palline, b delle quali sono blu e r = N b sono rosse. Vengono estratte (senza reinserimento) n palline dall urna. : Mostrare che il numero B di palline blu fra quelle estratte ha la seguente densità di probabilità: ( b N b ) k)( P(B = k) = (questa è detta distribuzione ipergeometrica di parametri N, b, n). 2: Mostrare che se N e b tendono a + in modo che b N p e r N ( p) si ha: ( ) n P(B = k) p k ( p) n k. k Esercizio 0.6. Siano X e Y variabili aleatorie binomiali indipendenti bin(n, p). Definiamo Z = X + Y. Mostrare che la distribuzione condizionata di X dato Z = N è la distribuzione ipergeometrica dell Esercizio 0.5. n k ( N n)

16 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 28/05/205 Undicesimo foglio di esercizi Esercizio 0.. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti N(0, ), sia Z = X + Y. Si trovi densità e distribuzione di Z dato che X > 0 e Y > 0. Si mostri che: 2 E(Z {X > 0} {Y > 0}) = 2 π. Esercizio 0.2. ] Sia U una variabile aleatoria uniforme su [0, ] e 0 < q <. Mostrare che X = + ha una distribuzione geometrica (le parentesi indicano la parte intera). [ log(u) log(q) Esercizio 0.3. Sia X una variabile aleatoria a valori interi non negativi. Definiamo h(r) = P(X = r X r). Siano poi {U i } i 0 indipendenti e uniformi in [0, ]. Mostrare che la variabile aleatoria Z = min{n U n h(n)} ha la stessa distribuzione di X. Esercizio 0.4. Sia X una variabile aleatoria continua con funzione di densità f X (x) = C(x x 2 ), dove α < x < β e C > 0. : Quali sono i possibili valori di α e β? 2: Quanto vale C? Esercizio 0.5. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità continua F X. Mostrare che : F X (X) = F X X è uniformemente distribuita in [0, ], 2: log(f X (X)) = log F X X è esponenzialmente distribuita in [0, ]. } il cerchio di raggio 2 centrato nel punto Esercizio 0.6. Sia C = { (x, y) R 2 x 2 + ( y 2) = ( 4 0, 2). Consideriamo una retta passante per Q = (0, ) che incontra l asse delle ascisse nel punto R = (r, 0). Detto O = (0, 0), assumiamo che la variabile aleatoria X = ÔQR sia uniformemente distribuita in [ π 2, ] π 2. Mostrare che allora la variabile aleatoria Y = r è distribuita secondo Cauchy. Esercizio 0.7. Siano X e Y variabili aleatorie di Poisson con parametri rispettivamente λ e µ. Mostrare che X è stocasticamente maggiore di Y se λ µ.