Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

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1 Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento suscettibile di più risultati possibili Il risultato non può essere predetto con certezza Esempi: Lancio di una moneta Lancio di un dado Calcio di rigore Misura della resistenza di un resistore 2 1

2 Spazio campione È l insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale e si indica con S Esempi: Lancio di una moneta: S = {testa, croce} = {T, C}, S = 2 Lancio di un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = 6 Calcio di rigore: S = {gol, parata, palo, traversa, fuori} Misura della resistenza: In questo caso, si parla di spazio campione continuo 3 Evento Ogni sottoinsieme dello spazio campione è detto evento Esempi: Lancio di una moneta: l evento è uscito testa è indicato con {testa} o {T} Lancio di un dado: l evento uscita di un numero dispari è E = {1, 3, 5} Calcio di rigore: l'evento no gol è N = {parata, palo, traversa, fuori}. 4 2

3 Probabilità di un evento Ad ogni evento si associa una probabilità, valore reale in [0, 1], assegnato in modo da soddisfare i seguenti assiomi: Assioma I: Assioma II: Assioma III: se A e B sono incompatibili (1) ( ) (1) Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è vuota. 5 Corollari La probabilità dell evento impossibile è La probabilità che non si verifichi l evento A è Siano A e B due eventi qualsiasi: 6 3

4 Probabilità congiunta L evento corrisponde all occorrenza congiunta degli eventi A e B. Esempio: lancio del dado. A = {è uscito un numero pari} B = {è uscito un numero 3} Allora l evento congiunto A B è {2} La probabilità congiunta dei due eventi si indica con 7 Eventi statisticamente indipendenti Quando il verificarsi dell evento A non influisce sul verificarsi dell evento B, si dice che i due eventi sono statisticamente indipendenti. In questo caso, vale il seguente risultato: 8 4

5 Probabilità condizionata È la probabilità dell evento A condizionata al verificarsi dell evento B. È definita nel seguente modo: Se A e B sono statisticamente indipendenti: 9 Probabilità condizionata Esempio (lancio di un dado). Qual è la probabilità che esca un numero minore o uguale a 3, dato che è uscito un numero dispari? A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} P{ A, B} P{1,3} 2 / 6 P{ A B} = = = = P{ B} P{1,3,5} 3/

6 Teorema della probabilità totale Sia A 1,, A N una partizione dello spazio campione La probabilità di un qualsiasi evento B vale: 11 Teorema di Bayes Vale la seguente relazione: Se A e B sono eventi statisticamente indipendenti, allora è immediato verificare che 12 6

7 Esperimento di Bernoulli È un esperimento causale avente due possibili risultati, successo (S) e insuccesso (I). È caratterizzato dalla probabilità di successo p. La probabilità di insuccesso vale quindi 1 p. 13 Esercizio 1 Un giocatore di basket deve eseguire 3 tiri liberi. La probabilità che centri il canestro è p = Calcolare la probabilità che il giocatore segni 3 punti. 2. Calcolare la probabilità che il giocatore segni 2 punti nei primi 2 tiri e non segni nell ultimo tiro. 3. Calcolare la probabilità che il giocatore segni 2 punti su

8 Esercizio 1 (1.1 cont.) L esperimento può essere considerato come l esecuzione ripetuta di 3 esperimenti di Bernoulli statisticamente indipendenti con probabilità di successo p = 0.8. Lo spazio campione è costituito dalle 8 possibili combinazioni di successo (1) e insuccesso (0) S = {000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111} 15 Esercizio 1 (1.1 cont.) L evento A={canestro al primo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {100, 110, 101, 111} e la probabilità che A si verifichi è p = 0.8. L evento B = {canestro al secondo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {010, 011, 110, 111} e la probabilità che B si verifichi è p = 0.8. L evento C = {canestro al terzo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {001, 011, 101, 111} e la probabilità che C si verifichi è p =

9 Esercizio 1 (1.1 cont.) L evento D = {tre canestri} equivale al verificarsi congiunto degli eventi A, B e C, quindi D = A B C Considerando i tre eventi A, B e C statisticamente indipendenti, allora P{D} = P{A, B, C} = P{A} P{B} P{C} P{D} = p 3 = Esercizio 1 (1.2) L evento A={canestro al primo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {100, 110, 101, 111} e la probabilità che A si verifichi è p = 0.8. L evento B = {canestro al secondo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {010, 011, 110, 111} e la probabilità che B si verifichi è p = 0.8. L evento E = {no canestro al terzo tiro} è costituito da tutti i possibili risultati {000, 010, 100, 110} e la probabilità che C si verifichi è 1- p =

10 Esercizio 1 (1.2) L evento F = {due canestri nei primi 2 tiri e nessun canestro nell ultimo tiro} equivale al verificarsi congiunto degli eventi A, B e E, quindi F = A B E Considerando i tre eventi A, B e E statisticamente indipendenti, allora P{F} = P{A, B, E} = P{A} P{B} P{E} P{F} = p 2 (1-p) = Esercizio 1 (cont.) La probabilità che il giocatore segni due punti può essere ottenuta come la somma di 3 termini P 2 = P P P 110 dove P 011 = (1 p) p 2 è la probabilità che il giocatore sbagli il primo tiro ed esegua correttamente gli altri due. Analogamente, P 101 = p (1 p) p = P 011 e P 110 = p 2 (1 p) = P 011 Si ottiene P 2 = 3 (1 p) p 2 =

11 Esercizio 2 1. Calcolare la probabilità che, alla prossima estrazione del lotto, esca il numero 53 sulla ruota del lotto di Venezia. Suggerimento: P{esce il 53} = 1 P{non esce il 53} 2. Calcolare la probabilità che, alla prossima estrazione del lotto, esca il numero 53 su almeno una delle ruote del lotto. 21 Esercizio 2 (2.1) Assumendo che le estrazioni sulle varie ruote siano statisticamente indipendenti, per la domanda 2.1 si può limitare lo spazio campione alla sola ruota di Venezia

12 Esercizio 2 (2.1 cont) Considerando una sola ruota, lo spazio campione S consiste di tutte le possibili quintuple non ordinate di valori interi compresi tra 1 e 90: Il numero di quintuple non contenenti il numero 53 è Quindi, assumendo che i possibili risultati siano equiprobabili, la probabilità che non esca il 53 è 23 Esercizio 2 (2.1 cont.) Infine, la probabilità che esca il 53 sulla ruota Venezia è 24 12

13 Esercizio 2 (2.2) La probabilità che non esca il 53 su alcuna delle 10 ruote vale Quindi la probabilità che il 53 venga estratto su almeno una ruota vale 25 Esercizio 3 In una biblioteca sono contenuti n I = 5 libri in italiano, n F = 7 in francese e n E = 10 in inglese. Calcolare la probabilità che, estraendo due libri a caso, siano in due lingue diverse. Suggerimento: 26 13

14 Esercizio 3 (cont.) Lo spazio campione S è costituito da tutte le possibili coppie di libri. Assumiamo che la probabilità associata a ciascuno dei possibili risultati sia uguale (uniforme). 27 Esercizio 3 (cont.) Di tutte le possibili coppie di libri contengono entrambi i libri in italiano contengono entrambi i libri in francese contengono entrambi i libri in inglese

15 Esercizio 3 (cont.) La probabilità di scegliere due libri scritti nella stessa lingua vale dunque Infine: 29 Esercizio 4 In un gruppo di r persone, qual è la probabilità che almeno due persone festeggino il compleanno lo stesso giorno? Assumere che tutti gli anni siano di 365 giorni

16 Esercizio 4 (cont.) Lo spazio campione è costituito da 365 r possibili risultati. La probabilità che tutte le r persone compiano gli anni in giorni diversi è 365 r! r P{ D} = r Infatti, ci sono r modi di scegliere r elementi diversi da un insieme di 365, e per ognuna di queste scelte ci sono r! possibili modi di riordinare (permutare) gli r elementi. 31 Esercizio 4 (cont.) Infine, la probabilità che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno è 1 P{ D} 32 16

17 Una sequenza di n simboli binari (bit) è trasmessa su un canale. Per ogni bit trasmesso, il canale commette errore con probabilità p. Gli eventi {errore sul bit i-esimo} e {errore sul bit j-esimo} sono statisticamente indipendenti se i j. X Esercizio 5 1 p p p 1 p Tale modello è chiamato canale binario simmetrico (Binary Symmetric Channel, BSC). 0 Y 33 Esercizio 5 (cont.) Analiticamente, si descrive il canale nel seguente modo Calcolare la probabilità che il canale introduca k o più errori (k < n) nella trasmissione degli n bit

18 Esercizio 5 (cont.) La trasmissione di n bit equivale all esecuzione ripetuta di n esperimenti casuali di Bernoulli statisticamente indipendenti con probabilità di successo 1 p. La probabilità di avere esattamente i errori vale dove è il numero di sequenze binarie con esattamente i errori e p i (1-p) n-i è la probabilità che si verifichi una qualsiasi sequenza con i errori. 35 Esercizio 5 (cont.) Poiché, se i j, si ha { i errori} { j errori}= La probabilità di avere k o più errori vale quindi 36 18

19 Esercizio 6 Un codice a ripetizione di rate 1/3 consiste nel ripetere ciascun bit d informazione 3 volte. Ogni blocco di 3 bit viene trasmesso su un canale binario simmetrico con probabilità di errore p = Il decodificatore, nel caso in cui i tre bit non siano tutti uguali, decide a maggioranza. Calcolare la probabilità di errore del sistema di trasmissione. 37 Esercizio 6 (cont.) Si ha errore quando, in un blocco di 3 bit, 2 bit sono errati, oppure tutti i bit sono errati: 38 19