PROBABILITA MISURARE L INCERTEZZA Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere?

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1 Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Abbiamo visto nella lezione precedente che lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω, vale a dire l insieme di tutte le coppie ordinate. Si osserva che la somma dei punteggi può variare da un punteggio minimo 2 ad un punteggio massimo 12.

2 Rappresentando nel piano cartesiano le coppie possibili si osserva che il punteggio 7 è il più probabile in quanto proviene da 6 coppie (1,6), (2,5) (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), dunque la probabilità di ottenere 7 è 6/36 = 1/6 (tutti gli altri punteggi hanno un numero inferiore di coppie da cui provengono, perché?) Generalizzando. Lanci due dadi ad n facce, su quale punteggio ti conviene scommettere?

3 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Ragionando in termini di equiprobabilità, possiamo immaginare che ci sia simmetria tra i due casi possibili (trascuriamo il caso degli ermafroditi), perché a priori non c è motivo di ritenere il contrario, e valutare quindi P(M) =1/2

4 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Basandoci su un modello genetico: da una coppia di genitori XX-XY sono possibili le seguenti combinazioni per i cromosomi del nascituro: XX, XY,XX,XY. Seguendo la legge di disgiunzione di Mendel: le possibili trasmissioni di alleli da genitori a figli sono tutte equiprobabili, la probabilità di ciascuna è quindi 1/4, dunque P(M) = 2/4 = 1/2

5 Vogliamo valutare la probabilità che un nascituro sia di sesso maschile (evento M). Basandoci su di una valutazione statistica o frequentista: assumiamo come valutazione di P(M) la frequenza relativa delle nascite maschili osservate in un certo periodo, otteniamo P(M) = 0.515

6 Ripetiamo un esperimento un numero n di volte, che cosa si intende per frequenza assoluta di un evento? Il numero di volte che l evento si verifica nelle n ripetizioni dell esperimento (numero dei successi ) Che cosa si intende per frequenza relativa dell evento? Il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero n delle ripetizioni dell esperimento ESEMPIO: si è lanciato 1000 volte una moneta ottenendo 479 volte T. La frequenza assoluta di T è 479, la frequenza relativa è 479/1000 = 0.479

7 In generale, secondo una valutazione statistica, indicando con f n la frequenza relativa del numero di volte che si è osservato il verificarsi dell evento A su n (n grande) osservazioni del fenomeno compiute in un certo periodo, pensando che il fenomeno si ripeta analogamente anche nel futuro, si valuta la probabilità p(a) = f n Con diverse impostazioni o, meglio, utilizzando modelli e informazioni diverse, si può arrivare, dunque, a valutazioni diverse.

8 Diversa è la situazione, tipica della statistica, in cui vogliamo usare frequenze relative, misurate su un campione, per valutare un altra probabilità: in base a ipotesi teoriche abbiamo dedotto una certa distribuzione di probabilità sugli eventi possibili e vogliamo utilizzare le frequenze relative per verificare se questa distribuzione è giusta.

9 Ad esempio, in un incrocio tra monoibridi, abbiamo ipotizzato la validità della legge di disgiunzione di Mendel e vogliamo verificare attraverso le frequenze (assolute o relative) dei due fenotipi se esse sono in accordo a quelle predette dalla legge. Fenotipo A: osservati 740 Fenotipo a : osservati 260 Rapporti attesi: 3/4, 1/4 Vale la legge di Mendel?

10 Altra situazione tipica della statistica: vogliamo usare frequenze relative, misurate su un campione, per valutare un altra probabilità quella dell intera popolazione. Non possiamo studiare un certo fenomeno sull intera popolazione, ma solo su un sottoinsieme di essa, vale a dire su di un campione (possibilmente ampio) della popolazione.

11 Naturalmente il campione deve presentare le stesse caratteristiche dell intera popolazione, campione significativo. Deve essere possibile ripetere l esperimento nelle stesse condizioni un numero elevato di volte. Ciascun esperimento deve essere indipendente dagli altri. Esempio: in un sondaggio pre-elettorale, dove si deve decidere tra due candidati A, B, furono intervistate 1000 persone rappresentative della popolazione elettorale e di queste 572 si dichiararono a favore di A. Cosa possiamo dire della percentuale effettiva p dei votanti per A?