ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

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1 ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18 mesi, non si fa un asserzione certa, ma molto probabile. Se si afferma che una pecora di razza Sarda produce al picco di lattazione 15 Kg di latte al giorno, non si fa un asserzione errata, ma molto poco probabile (e si viene bocciati all esame di zootecnia...). 1 LA PROBABILITÀ La probabilità di un evento è la frequenza relativa con cui l evento si verifica in una lunga serie di prove (infinite) in condizioni simili. 2

2 ESAMINIAMO ORA DEI DATI NON CONTINUI Cioè Variabili che hanno solo due possibili risultati Se si realizza A non si realizza B o meglio Se si realizza A non si realizza non A N.B.: A e non A si escludono a vicenda. Es. La classica moneta lanciata e ripresa (testa o croce) 3 La PROBABILITÀ MATEMATICA di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli al suo verificarsi ed il numero dei casi possibili. osservazioni di un evento P = numero totale di osservazioni testa 1 P = = -- testa + croce 2 La probabilità di un evento coincide con la frequenza relativa con cui si verifica quell evento. Le frequenze possono essere: Assolute fi = numero di volte in cui si ripete lo stesso evento (il numeratore della precedente formula); Relative fi/n = proporzione della frequenza assoluta rispetto al totale (assume lo stesso valore di P ). 4

3 Il NUMERO ATTESO è la previsione del numero delle volte in cui si verificherà quel dato evento su N osservazioni. E = P*N Es. esaminando 500 cani di razza Labrador Retriver si rileva che 200 presentano 2 capezzoli soprannumerari (12 invece di 10). Assumendo che questa sia la mia popolazione di Labrador: La frequenza assoluta dei miei Labrador con capezzoli soprannumerari è: f = 200 La frequenza relativa (probabilità che, sorteggiando un labrador a caso nella mia popolazione, questo presenti i capezzoli soprannumerari) è: P(f/n) = 200/500 = 0,4 (= 40%). Se prendo 5 Labrador mi aspetto di trovarne E = (0,4*5) = 2 con capezzoli soprannumerari. 5 Eventi mutuamente esclusivi: quando il manifestarsi dell uno annulla la probabilità che si verifichino gli altri (si escludono, cioè, reciprocamente). La probabilità che si verifichino due o più eventi mutuamente esclusivi è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi: la probabilità può essere diversa per ciascun evento P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) La somma di tutti i possibili eventi mutuamente esclusivi è pari a 1. il lancio di un dado: ciascuna faccia P = 1/6 Es. nei bovini di razza Shorthorn la probabilità di estrarre: un soggetto rosso è pari a 0,64; un soggetto roano è pari a 0,32; 1-0,32=0,68 un soggetto bianco è pari a 0,04. La probabilità di estrarre un soggetto che non sia roano (cioè sia rosso o bianco) è: 0,64+0,04=0,68 esempio della statistica 6

4 Eventi indipendenti: quando il verificarsi dell uno non influisce sulle probabilità del verificarsi degli altri. La probabilità che si verifichino simultaneamente N eventi indipendenti è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi: P(A e B) = P(A) x P(B) L esempio della statistica classica è il lancio di 2 dadi Es. Ammesso che nello Shorthorn il colore del mantello sia indipendente dal sesso e che la probabilità che nasca un maschio o una femmina è: P(m)=0,5 - P(f)=0,5 La probabilità che una vacca partorisca un vitello maschio e rosso è: P(m)*P(RR)=0,5*0,64=0,32 Ricordando: P (RR) = soggetto rosso è pari a 0,64 7 la funzione di frequenza di Bernoulli o distribuzione binomiale Se: la probabilità dell evento A è p la probabilità dell evento non A è q (p+q=1) la probabilità che in n osservazioni l evento A si verifichi s volte e l evento non A si verifichi r volte (s + r = n) è: n! P(s di A e r di non A )= * p s * q r r! * s! N.B.: A e non A sono eventi mutuamente esclusivi. La parte n!/r! * s! indica le possibili combinazioni con identica probabilità; la parte p s x q r indica la probabilità di una di queste. 8

5 Es. Nella razza bovina Angus il colore del mantello nero domina sul rosso, supponiamo che: f(b) = f(b) = 0,5; mettendo insieme B e b quindi le possibilità sono 4: BB, Bb, bb, bb Definendo f(neri) = f(bb) + f(bb) = 1/4 + 2/4 = 0,25 + 0,50 (0,25+0,25) = 0,75 = p E definendo f(rossi) = f(bb) = 1/4 = 0,25 = q. La probabilità che, presi 3 bovini Angus, 1 sia nero e 2 siano rossi è: p*qq Se n=3 tutte le possibili combinazioni sono: (p+q) x (p+q) x (p+q) = (p+q) 3 = = ppp + ppq + pqp + qpp + pqq + qpq + qqp + qqq = p 3 + 3p 2 q +3pq 2 + q 3 9 Calcolo delle frequenze: Le frequenze definite dalla distribuzione binomiale in un campione di N osservazioni possono essere calcolate effettuando l espansione del binomio: (p+q) n Se n=3 tutte le possibili combinazioni sono: (p+q) x (p+q) x (p+q) = (p+q) 3 = = ppp + ppq + pqp + qpp + pqq + qpq + qqp + qqq = p 3 + 3p 2 q + 3pq 2 + q 3 n! P= * p s * qr r! * s! rivedi diapositiva 8 per significato simbologia 10

6 n! P(s di A e r di non A )= x p s x q r r!*s! 3 bovini Angus 3! x 0,75 1 x 0,25 2 = 2! x 1! 2 siano rossi 1 sia nero p(neri)=0,75 q(rossi)= 0,25 3*2*1 = x 0,75 x 0,0625 = 0, * Es.. Nel caso dei 3 bovini Angus (p = 0,75; q = 0,25) le possibili combinazioni e le relative probabilità sono: Combinazione p s *q r n!/s!*r! P 3 neri p 3 0, aaaaaaa 0, neri 1 rosso p 2 q 0,75 2 *0,25 3 0, nero 2 rossi pq 2 0,75*0, , rossi q 3 0, aaaa 0, Ricorda! 0! = 1 In questo caso il numero delle combinazioni può essere facilmente calcolato utilizzando il: 12

7 N Es. Se un cane partorisce 4 cuccioli il loro sesso sarà definito dalle seguenti probabilità (p = 0,5; q = 0,5): Combinazione p s *q r n!/s!*r! P 4 maschi p 4 0,5 4 1 aaaaaaa 0, maschi 1 femmina p 3 q 0,5 3 *0,5 4 0, maschi 2 femmine p 2 q 2 0,5 2 *0, , maschio 3 femmine q 3 p 0,5*0,5 3 4 aaaa0, femmine q 4 0,5 4 1 aaaaaaa 0,0625 1,0000 Es. qual è la probabilità di avere almeno un maschio? p = 0, ,2500+0,3750+0,2500 = 1-0,0625=0,

8 La distribuzione binomiale è tanto più asimmetrica quanto più i valori di p e q sono lontani da p=q=0,5. nell esempio del colore con: p=0,75 e q=0,25 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, neri 2 neri 1 rosso 1 nero 2 rossi 3 rossi 15 Nel caso del sesso dei cani p=q=0,5 la distribuzione è simmetrica 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, maschi 3 maschi 1 femmina 2 maschi 2 femmine 1 maschio 3 femmine 4 femmine 16

9 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, maschi 3 maschi 1 femmina 2 maschi 2 femmine 1 maschio 3 femmine 4 femmine 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, neri 2 neri 1 rosso 1 nero 2 rossi 3 rossi Qual è l evento che si verifica maggiormente (cioè quale è la media in una distribuzione binomiale)? Qual è la dispersione dei dati (cioè quale è la deviazione standard in una distribuzione binomiale)? 17 In una distribuzione binomiale la media si calcola come µ = np In una distribuzione binomiale la varianza si calcola come σ 2 = npq In una distribuzione binomiale la deviazione standard si calcola come σ = npq n = dimensione campione; p = proporzione attesa dell evento; q = proporzione attesa del non evento. 18

10 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, cuccioli p = 0,5 q = 0,5 4 maschi 3 maschi 1 femmina 2 maschi 2 femmine µ = np = 4*0,5 = 2 1 maschio 3 femmine σ 2 = npq = 4*0,5*0,5 = 1 4 femmine σ = npq = 4*0,5*0,5 = ,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0,0000 0,75 = p 0,25 = q 3 bovini 3 neri 2 neri 1 rosso 1 nero 2 rossi 3 rossi µ = np = 3*0,75 = 2,25 σ 2 = npq = 3*0,75*0,25 = 0,5625 σ = npq = 3*0,75*0,5 = 0,75 20

11 Es. Nel caso dei bovini Angus il colore del mantello nero ha una p = 0,75; il colore del mantello rosso ha una q = 0,25 supponiamo che: osserviamo 15 vitelli neri ed 1 rosso, La differenza riscontrata rispetto al valore atteso di 12 neri e 4 rossi (media) che probabilità aveva di verificarsi? Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P nero rosso 0,75 0,25 21 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P nero = s rosso = r TOTALE 1, Calcola la probabilità di tutti gli eventi oltre quella cercata 22

12 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P nero= s rosso= r p(nero)=0,75 e q(rosso)=0, , , , , , , , , , , ,125E , ,375E , ,583E , ,528E , ,092E , ,697E , ,658E , ,886E , ,286E , ,095E , ,985E , ,328E , totale = 1, probabilità cercata di 15 neri e 1 rosso 23 In statistica il limite del 5% viene considerato come la soglia al di sotto della quale l ipotesi deve essere rifiutata, pertanto, se il valore trovato è al di sotto le differenze rilevate non sono più da ritenere casuali, ma dovute ad un ipotesi non casuale, sono cioè SIGNIFICATIVE il limite del 1% viene considerato un ipotesi non casuale ALTAMENTE SIGNIFICATIVA. 24

13 Nel caso specifico, pertanto, la combinazione osservata, pur essendo piuttosto rara (5,35%), non consente di rifiutare l ipotesi che era: Nei nostri bovini Angus il colore del mantello nero ha p = 0,75 ed il colore del mantello rosso ha una q = 0,25 Per dimostrare che il valore trovato differisce da quello atteso dovrei aumentare il numero di osservazioni. Cioè dovrei esaminare più dei 16 vitelli! NON E POSSIBILE COMUNQUE DIMOSTRARE CHE IL VALORE TROVATO E UGUALE A QUELLO ATTESO TEORICO MA SOLO CHE TALE VALORE RICADE NEL RANGE ATTESO DI VARIAZIONE. 25 Es. Se un cane partorisce 8 cuccioli, tutti maschi, posso ipotizzare scientificamente l esistenza di un ipotetico fattore letale che causa la morte degli embrioni femminili o si tratta semplicemente di una causa (che si poteva verificare) probabile? il sesso era definito dalle seguenti probabilità: p = 0,5; q = 0,5: Tradotto in termini statistici l ipotesi scientifica da testare è se è vero che i maschi avevano una p = 0,5 e le femmine una q = 0,5. Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschio femmina 0,5 s x 0,5 r 26

14 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschio = s femmina = r 0,5 s x 0,5 r 8!/(s!*r!) TOTALE 1, Calcola (come esercizio) la probabilità di tutti gli eventi oltre quella cercata 27 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschio femmina p(maschio)=0,5 e p(femmina)=0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , TOTALE 1, Nel caso specifico la combinazione osservata è di 0,39%, cioè ALTAMENTE SIGNIFICATIVA perché si realizza in meno di 4 parti su 1.000! È lecito (e doveroso) ipotizzare un fattore che ha fatto variare la probabilità attesa (oltre l accettabile) 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Ricorda 0! =

15 Un test statistico non consente quindi di provare una ipotesi come fatto assolutamente certo, ma verifica semplicemente, su base probabilistica, in che modo i dati si accordano all ipotesi biologica iniziale. Sono i ricercatori che hanno definito dei limiti ARBITRARI oltre i quali i fenomeni osservati non devono essere più accettati come semplicemente casuali! 29 DATI NON CONTINUI SCONNESSE distribuzione binomiale NOMINALE ORDINALE Dati di misura QUANTITATIVE Distribuzione normale CONTINUE NUMERICHE 30

16 Es. Se un cane partorisce 8 cuccioli, tutti maschi, posso ipotizzare scientificamente l esistenza di un ipotetico fattore che causa la morte degli embrioni femminili o si tratta semplicemente di una causa probabile? il sesso era definito dalle seguenti probabilità: p = 0,5; q = 0,5: il calcolo corretto (vedi dia precedente) è quindi: Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschi femmine 0,5 0, , , µ = np = 8*0,5 = 4 σ = npq = 8*0,5*0,5 = 2 = 1, ,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 Per usare la distribuzione normale i dati devono essere continui quindi Pensiamo di connettere i cuccioli DATI NON CONTINUI SCONNESSI Testiamo su 8 cuccioli, 0 femmine Consideriamo il valore discreto 0 cuccioli come un intervallo cioè 0= -0,5 e +0,5. In tal modo il numero dei cuccioli risulta artificialmente connesso e continuo. Testiamo anche su 8 cuccioli, 3 femmine (o 3 maschi)* Consideriamo il valore discreto 3 cuccioli come un intervallo cioè 3= 2,5-3,5. In tal modo il numero dei cuccioli risulta artificialmente connesso e continuo. Poiché probabilità identica distribuzione simmetrica la è la 32è

17 ( µ) (2.5 4) da z = X = 1, 064 σ 1,41 (3,5 4) conoscere = 0,355 1,41 Vogliamo l area compresa tra le ordinate corrispondenti a z= 1,06 e z= 0,36 Da tabella Z 0,3554-0,1406 = 0,2148 Da conteggio corretto: Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschi femmine 0,5 0, , ,

18 ( µ) z = X σ ( 0,5 4) 1,41 (0,5 4) = 3,19 1,41 da = 2, 48 Vogliamo conoscere l area compresa tra le ordinate corrispondenti a z= 3,19 e z= 2,48 Da conteggio corretto: Da tabella Z 0,4993-0,4934 = 0,0059 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P maschi femmine 0,5 0, , ,

19 Testiamo anche su 8 cuccioli, 6 femmine (o 6 maschi)* ( µ) (6.5 4) da z = X = 1, 773 σ 1,41 conoscere (5,5 4) = 1,064 1,41 Vogliamo l area compresa tra le ordinate corrispondenti a z= 1,77 e z= 1,06 Da tabella Z 0,4616 0,3554 0,1062 Combinazione p s *q r n!/(s!*r!) P femmine maschi 0,5 0, , ,

20 Molte distribuzioni non normali possono essere adattate (approssimate) con una distribuzione normale Numerosità minima del campione di solito più di cuccioli I valori trovati sono vicini ai valori esatti ma la differenza è ancora eccessiva e non accettabile 8 >