ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

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1 ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5)

2 INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI DELLE DISTRIBUZIONI. INDICI DI VARIABILITA 4. DISTRIBUZIONI BIVARIATE 4 5. PROVE INTERMEDIE DI ANNI ACCADEMICI PRECEDENTI 49 APPENDICE Tavola A: Funzione di ripartizione della normale standardizzata 67 Tavola B: Quantili della normale standardizzata 68

3 PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Esercizio. Data la seguente serie, relativa ad una variabile discreta X rilevata su individui, determinare la distribuzione espressa mediante frequenze relative e rappresentarla graficamente. La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. ass. freq. rel.,5 4, 6, 4 7,5 totale, Una rappresentazione grafica adeguata per una variabile quantitativa discreta è il diagramma per ordinate che nel caso esaminato assume la forma riportata nella figura successiva. quote,5,,5,,5,,5 4 Esercizio. La seguente serie è relativa ad una variabile continua X rilevata su individui:,,5,,,8,,6 4, 5,9 6,8 sintetizzare i dati in una distribuzione costituita dalle classi -, - 4 e 4-7 e disegnarne l istogramma corrispondente. La distribuzione espressa in termini di frequenze relative assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. ass. freq. rel. ampiezza classe densità -,, - 4 4,4, 4-7,, totale,

4 L istogramma assume la forma seguente, densità,, Esercizio. Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile X qualitativa sconnessa, X freq. ass. cum. a 5 b 75 c 95 d calcolare le frequenze relative e rappresentare graficamente la distribuzione così ottenuta mediante un grafico a nastri. La distribuzione espressa in termini di frequenze relative è la seguente X freq. rel. a,5 b,5 c, d,5 totale, Il grafico a nastri corrispondente assume la forma modalità d c a b,,,,4,5 quote Da notare come le modalità della variabile siano state elencate sulla base dei valori assunti dalle frequenze relative associate. 4

5 Esercizio.4 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. -,5,4,,,5 totale, Determinare inoltre l espressione formale della funzione di ripartizione corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile compreso nell intervallo (, ]. La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma quote,4,5,,5,,5,, L espressione formale della funzione di ripartizione risulta -,5 -,65 F(),85,95 La quota di individui con un valore della variabile compreso nell intervallo (, ] è dato da F() F() =,95,65 =,. Esercizio.5 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. cum.,55 4,75 6, rappresentarla graficamente, determinare l espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. 5

6 La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma quote,6,5,4,,, L espressione formale della funzione di ripartizione risulta,55 4 F(), e la rappresentazione grafica corrispondente è data da F(),9,8,7,6,5,4,,, Esercizio.6 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X freq. rel. cum. - 4,5 4-6,8 6 -, disegnarne l istogramma corrispondente. Sulla base dei risultati riportati nella nella tabella successiva X freq. rel. ampiezza classe densità - 4,5,5 4-6,,5 6 -, 4,5 totale, 6

7 l istogramma assume la forma seguente densità,5,4,,, Esercizio.7 Data la seguente serie di valori relativa ad una variabile discreta X 4 determinare la distribuzione di frequenza della variabile espressa mediante le frequenze relative cumulate. Rappresentare graficamente la funzione di ripartizione corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a. La distribuzione è la seguente X freq. ass. freq. rel. freq. rel. cum,, 4,4,6,,9 4,, totale, Il grafico della funzione di ripartizione assume la forma F(),9,8,7,6,5,4,,, La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a è data da F() =,9. 7

8 Esercizio.8 La seguente serie è relativa ad una variabile discreta X rilevata su individui: 4, 45, 44, 48, 47, 4, 48, 44, 46, 4. Scrivere l espressione analitica della funzione di ripartizione corrispondente e disegnarne il grafico. Determinare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 4. L espressione analitica della funzione di ripartizione è data da,,5 F(),6,7, ed il grafico corrispondente assume la forma F(),9,8,7,6,5,4,,, La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 4 è data da F(4) =,. Esercizio.9 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X freq. rel. 8 -,6-5, 5 -, - 6,54 totale, calcolare la quota di individui con un valore della variabile: inferiore a 9, b) superiore a, c) compreso fra 4 e 5. 8

9 L espressione analitica della funzione di ripartizione è data da,,6 F(),6,46-8, -,6-5, per cui le quote richieste sono: a) F(9) =,, b) F() = (,6+,) =,9, c) F(5)F(4) =,46+,8(,46+,8) =,8. Esercizio. Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X densità -,5 -, - 4, calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore a 5, b) superiore a, c) compreso fra e 5. Sulla base delle informazioni riportate nella tabella seguente le quote richieste risultano X freq. rel. freq. rel. cum. -,, -,,4-4,6, totale, a) F(5) =,5(5) =,75, b) F() = [,4+,()] =,, c) F(5)F() =,+,(5), =,. Esercizio. Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su individui 8, 6,4 7,8 7,4 7,6 7,8 7, 6,4 8,4 8,8 costruire la distribuzione di frequenza nelle classi 6-7, 7-8 e 8-9. Disegnare i grafici sovrapposti delle funzioni di ripartizione della serie originaria e della distribuzione in classi. La distribuzione in classi è data da X freq. rel. freq. rel. cum. 6-7,, 7-8,5,8 8-9,, totale, 9

10 Pertanto i grafici sovrapposti delle due funzioni di ripartizione assumono la forma riportata nel grafico seguente F(),9,8,7,6,5,4,,, 5 5, 5,4 5,6 5,8 6 6, 6,4 6,6 6,8 7 7, 7,4 7,6 7,8 8 8, 8,4 8,6 8,8 9 9, 9,4 9,6 9,8 Esercizio. Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui,6,,,,,4 determinare l espressione analitica della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. Determinare la quota di individui con un valore della variabile superiore a,5. La serie ordinata è,,,,,4,6 L espressione analitica della funzione di ripartizione è data da,,5 F(),6,8,,,,,,,4,4,6,6 ed il grafico corrispondente assume la forma F(),9,8,7,6,5,4,,,,8,9,,,,4,5,6,7,8,9 La quota di persone con un valore di X maggiore di,5 è data da F(,5),8,6.

11 Esercizio. Data la seguente serie relativa al numero di figli rilevati su una collettività di famiglie, 4 4 costruire la distribuzione di frequenza e farne la rappresentazione grafica corrispondente. La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva. X freq. rel.,,4, 4, totale, Una rappresentazione grafica adeguata è il diagramma per ordinate,4 quote, 4 Esercizio.4 Date le frequenze cumulate relative alle ore di funzionamento di un componente elettronico, determinare le frequenze relative associate a ciascuna classe e le frequenze assolute corrispondenti sapendo che la numerosità complessiva è pari a. ore freq. rel. cum.. -.,. - 5., , , , , Le frequenze richieste sono riportate nella tabella successiva. ore freq. relative freq. assolute. -.,. - 5., , , , , totale,

12 Esercizio.5 La seguente serie di dati si riferisce alle altezze (in centimetri) di 5 piantine 7,4,4,, 8,4 8,6 8,6 5, 6,5 8, 6, 8,,8 5,5 8, Sintetizzare la serie con un raggruppamento nelle classi - 6, 6-8, 8- e disegnare l istogramma ed il grafico della funzione di ripartizione corrispondente. Dalla serie originaria si ottengono i dati contenuti nella tabella successiva altezze freq. ass. freq. rel. ampiezza intervallo densità freq. rel. cum - 6, 5,4, 6-8 6,4,,6 8-6,4 4,, totale 5, L istogramma assume la forma seguente,,5 densità,, ed il grafico della funzione di ripartizione risulta F(),8,6,4, Esercizio.6 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. ass totale 5 determinare l espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico.

13 Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. freq. rel. cum. densità - 4,56,56,8 4 -,4,8,4 -,,, totale, Pertanto l espressione formale della funzione di ripartizione risulta,8 F(),56,8,4 4, 4 4 ed il grafico corrispondente assume la forma F(),8,6,4, Esercizio.7 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. rel. cum. 5 -,6 -,8-5,95 5-4, determinare l espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. amp. classe densità 5 -,6 5,4 -,, - 5,5 5, 5-4,5 5, totale, Pertanto l espressione formale della funzione di ripartizione risulta

14 ,4 5,6, F(),8,,95, ed il grafico corrispondente assume la forma F(),8,6,4, Esercizio.8 Data una variabile discreta X la cui funzione di ripartizione è data da,4 F(),6,9 disegnare il grafico corrispondente, determinare la distribuzione della variabile X e farne il grafico. Il grafico della funzione di ripartizione è,8 F(),6,4, - 4 4

15 La distribuzione di frequenza e il grafico corrispondente sono X freq. rel.,4,,, totale, quote,4,,, Esercizio.9 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da, 5,, 7 F(),5,,8, determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e disegnare l istogramma. La distribuzione di frequenza è data da X densità ampiezza intervallo freq. rel. 5-7,, 7 -,, -,, - 4,, totale, per cui l istogramma assume la forma seguente densità,,8,6,4,

16 Esercizio. Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri = e =, determinare la quota di individui che presentano un intensità di X: a) inferiore a 8, b) superiore a, c) compresa fra 9 e. Xμ Bisogna ricorrere alla variabile standardizzata U per poter utilizzare le tavole della σ distribuzione normale standard. In questo modo le soluzioni sono 8 a) F(8), 59 b) c) F(),5, 67 9 F() F(9),5, 8 Esercizio. Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri =5 e =6, determinare la quota di individui che presentano un intensità di X: a) superiore a 8, b) compresa fra 4 e 6. Una volta effettuata la standardizzazione le quote richieste risultano a) 85 F(8) 6,5, b) F(6) F(4),7, 4 Esercizio. Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico F() determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente. Data la funzione di ripartizione, la funzione di densità corrispondente si ottiene effettuando df la derivata. Risulta, per cui la funzione di densità di frequenza è data da d f() altrove 6

17 Esercizio. Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico f() altrove si determini la funzione di ripartizione corrispondente Data la precedente funzione di densità, la funzione di ripartizione si ottiene effettuando l integrale t t dt t dt per cui risulta F() Esercizio.4 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico f() 6 altrove si determini la funzione di ripartizione corrispondente La funzione di ripartizione si ottiene effettuando l integrale da a della funzione di densità. Dato che t dt 6 6 t t dt t 6 la funzione di ripartizione assume la forma F() Esercizio.5 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico f() altrove si determini la funzione di ripartizione corrispondente 7

18 Dato che t 5 -t dt t t t -t dt la funzione di ripartizione assume la forma F() Esercizio.6 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico F() 6 5 determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente. Risulta f() 5 df d per cui la funzione di densità di frequenza è data da altrove Esercizio.7 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico - f() altrove si determini la funzione di ripartizione corrispondente Dato che t 8 t -tdt t la funzione di ripartizione assume la forma - F() - 8

19 Esercizio.8 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da,, F(),,5,4, - - disegnarne il grafico corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) minore di, b) superiore a, c) maggiore di 5. I valori delle frequenze relative cumulate in corrispondenza degli estremi delle classi si ottengono dalle espressioni formali della funzione di ripartizione e risultano quelli riportati nella tabella seguente X freq. rel. cum. - -, -,8 -, per cui il grafico della funzione di ripartizione assume la forma,8 F(),6,4, Le quote richieste si ottengono dalle diverse espressioni formali e risultano: a) F() =, b) F() = (,+,5) =,45 c) F(5) = - = Esercizio.9 Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da, F(),4,

20 disegnarne il grafico corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) minore di, b) superiore a, c) compresa nell intervallo (, ], d) maggiore di 5. Disegnare inoltre il grafico a barre corrispondente alla distribuzione di frequenza corrispondente. I valori delle frequenze relative cumulate sono riportati nella seconda colonna della tabella seguente, X freq. rel. cum. freq. rel.,,,4,,8,4 4,, Totale, per cui il grafico della funzione di ripartizione assume la forma F(),8,6,4, Le quote richieste si ottengono dalle diverse espressioni formali e risultano: a) F() = b) F() = (,4) =,6 c) F()F() =,8, =,7 d) F(5) = Il grafico a barre è,4, quote,, 4 5

21 . VALORI CARATTERISTICI DELLE DISTRIBUZIONI Esercizio. Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui,6,,,,,4 determinare il valore dei tre quartili della variabile Si consideri innanzitutto la serie ordinata,,,,,4,6 Non c è nessuna intensità della variabile in corrispondenza della quale la funzione di ripartizione assume il valore,5, pertanto come primo quartile si prende quella intensità in corrispondenza della quale per la prima volta la F() assume un valore maggiore di,5. Si ha quindi,5=, perchè F(,),. Lo stesso discorso vale per il terzo quartile che risulta,75=,4. Per quanto riguarda la mediana, c è tutto un intervallo di valori in corrispondenza del quale la F() vale,5. Come mediana si prende la semisomma degli estremi di questo intervallo,5,,,5. Esercizio. Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su individui 6, 6,4,,,8 7, 4,5 8, 5, 9,8,9, determinare il valore dei tre quartili della variabile La serie ordinata è 4,5 5, 6, 6,4 7, 8, 9,8,,,,9,8 Risulta quindi,5,5,75 66,4 6,, 8, 9,8 8,95,,,. Esercizio. Data la seguente serie ordinata di valori di una variabile continua X rilevata su 4 individui,,,7,9, 4, 5, 5, 6, 6,4 7, 8, 9, 9, determinare il valore dei tre quartili

22 Per evitare errori dovuti ad arrotondamento delle cifre decimali conviene considerare le frequenze relative sotto forma di frazioni e calcolare di conseguenza le frequenze relative cumulate, cosicché in corrispondenza del settimo termine della serie ordinata (pari a 5,) la frequenza relativa cumulata sia esattamente pari a 7/4=,5. I tre quartili risultano,5,9,,5 5, 5, 5,5,,75 7,. Esercizio.4 Sulla base della seguente distribuzione di frequenza X freq. rel. 5-7, 7 -, -, - 4, totale, determinare il valore dei tre quartili della variabile Data una distribuzione in classi, il valore del quantile p di ordine p, che supponiamo contenuto nella classe i-esima, si ottiene ponendo p i p F( i f () i ) dove i- rappresenta l estremo inferiore della i-esima classe, F(i-) è il corrisposndente valore della funzione di ripartizione in tale estremo e fi() è la densità della i-esima classe. Pertanto, date le frequenze relative cumulate riportate nella tabella seguente, X freq. rel. cum. 5-7, 7 -,5 -,8-4, il primo quartile corrisponde a,5,5, 7 7,5, La mediana si ottiene direttamente dai dati della tabella e risulta pari a, ed il terzo quartile è,75,75,5 8,,

23 Esercizio.5 Sulla base della seguente distribuzione di frequenza X densità 5-9,5 9-5, 5-5, determinare il valore dei primi due decili e la quota di individui con un valore della variabile inferiore o uguale a. Sulla base dei dati si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. freq. rel. cum. 5-9,, 9-5,6,7 5-5,, totale, dalle quali risulta, = 9,,, 9, F() =,+, =,. Esercizio.6 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. cum. -,5,65,85,95, determinare la quota di individui con un valore di X maggiore di, la moda e la media aritmetica. La quota di individui con un valore di X maggiore di è data da F() =,85 =,5. Ottenuta la distribuzione espressa mediante le frequenze relative X freq. rel. -,5,4,,,5 totale, risulta che la moda è pari a, mentre la media è E(X) = -,5 +, +, +,5 =,.

24 Esercizio.7 Sulla base della seguente funzione di ripartizione, F(),6,8 4 4 determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e calcolare il valore della media aritmetica della variabile. Sulla base della funzione di ripartizione si ottiene la distribuzione riportata nella tabella successiva. X freq. rel. cum freq. rel.,,,6,4,8, 4,, totale, Pertanto la media della variabile risulta E(X)=,4. Esercizio.8 Sulla base della seguente funzione di ripartizione,- F(),,5 4,8, calcolare il valore della media aritmetica della variabile. Si ottiene la distribuzione riportata nella tabella successiva. X freq. rel. cum freq. rel. -,, - 4,8,5 4-8,, totale, Pertanto la media della variabile risulta E(X) =,5, +,5 + 6, =,5. 4

25 Esercizio.9 Date le seguenti informazioni relative ai prezzi unitari ed alle quantità di un certo bene acquistato in 4 diversi esercizi, calcolare la media dei prezzi ponderata con le quantità. prezzo (in euro) quantità,5 7, 6,,5 5 La media dei prezzi ponderata con le quantità risulta,57,6,,55 EX,. 765 Esercizio. Date le seguenti informazioni relative al prezzo al quintale ed alle quantità di un certo bene acquistato in 5 diverse occasioni, calcolare il prezzo medio al quintale. prezzo (al quintale) quantità (in quintali) 4, 5 4, 45 4,5 5 4, 4, La media dei prezzi ponderata con le quantità risulta E 8 4 X 4,. Esercizio. Data la seguente distribuzione in classi relativa ad una variabile continua X rilevata su una collettività di 5 individui X freq. ass totale 5 determinare l espressione formale della funzione di ripartizione, calcolare la mediana e la quota di individui con un valore della variabile maggiore di. 5

26 Dai dati si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva X freq. rel. freq. rel. cum. densità - 5,,,6 5-8,4,56,8 8-5,8,84,4 5-4,6,,64 totale, L espressione formale della funzione di ripartizione risulta quindi,6, F(),56,84,8 5,4 8, La mediana è contenuta nella seconda classe e risulta,5,5, 5 7,5,8. La quota di individui con un valore di X maggiore di corrisponde a F() = [,56+,4(8)] =,6. Esercizio. Data la seguente serie di osservazioni relativa ad una variabile continua,8,7 4,8,5,9,7, 5,7 7,, individuare i tre quartili. Costruire inoltre la distribuzione sintetica nelle classi di valori -, - 4, 4-8 e individuare la classe modale. Una volta ordinata la serie, risulta,5 =,5,5,7,6,75 = 4,8 La classe modale è la prima classe, -, dato che è questa la classe con la maggiore densità di frequenza (pari a,). Esercizio. Sulla base della seguente distribuzione di frequenza X freq. rel. cum. 5 -,5 -,55-5,8 5-4, costruire l istogramma, determinare la classe modale e la media aritmetica. 6

27 Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le seguenti informazioni X freq. rel. densità val. centrale 5 -,5,,5 -,4,4 5, - 5,5,5,5 5-4,,4 7,5 totale, L istogramma assume la forma seguente,5,4 densità,,, La classe modale è - 5. La media è E(X)=,5,5+5,4+,5,5+7,5,=7,5. Esercizio.4 Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 8 individui 5,,,,4 4,9 5, 4, 4, calcolare il terzo decile, la mediana, la media e il secondo momento dall origine. Data la serie ordinata risulta,=,,5 44, 4,5 La media della variabile è E(X)=4 ed infine la media dei quadrati è E(X )=6,95 Esercizio.5 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. ass totale 5 calcolare la media e il secondo momento centrale della variabile. 7

28 Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le seguenti frequenze relative X freq. rel. - 4,56 4 -,4 -, totale, per cui E(X) = 6,6. La media dei quadrati è E(X ) = 6,8 e il secondo momento centrale è quindi E[(Xm) ] = E(X ) [E(X)] = 6,8 (6,6) =,54 Esercizio.6 Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva. X freq. ass totale 5 calcolare: a) la classe modale, b) la media aritmetica, c) il secondo momento centrale. a) La classe modale è 5-8 perchè a questo intervallo è associata la massima densità di frequenza, pari a,46. b) E(X) =,5,6 + 6,5,44 +, = 6,. c) E[(Xm) ] = 5,5456 dato che E(X ) = 4. Esercizio.7 Sulla base della distribuzione espressa mediante le densità di frequenza X densità 5-5,8 5-5,6 5-5, calcolare la media della variabile X, il primo quartile e la quota di individui con un valore della variabile compreso fra e. Una volta ottenute le frequenze relative a partire dalle densità di frequenza si ha E(X) =,8 + 5, + 4,5, = 4,55,,5,5 5,5789,,8 F()F() =,8+,6(5) [,8(5)] =,4. 8

29 Esercizio.8 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico f() altrove calcolare la media e la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore o uguale a,5; b) superiore a,5. La media della variabile X risulta E() d 4 d Per calcolare le quote richieste è opportuno determinare la forma della funzione di ripartizione della variabile, che si ottiene effettuando l integrale t dt t t dt. per cui la funzione di ripartizione assume la forma F() La quota di individui con un valore della variabile inferiore o uguale a,5 è data da F(,5),5, 475, mentre la quota di individui con un valore della variabile superiore a,5 corrisponde a F(,5),5 475,. Esercizio.9 Determinare il valore modale di una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico F() Per trovare la moda occorre individuare il punto di massimo della funzione di densità 4 f() altrove Derivando la funzione e uguagliandola a zero si ottiene l equazione 6 48+= 9

30 che ammette le due soluzioni 4 6 di cui la soluzione =/ è il punto di massimo, come risulta dal segno della derivata seconda calcolata in corrispondenza di questo valore. Esercizio. Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico F() calcolare la mediana, la media e il secondo momento centrale. Il generico quantile di ordine p della variabile X, p, si ottiene uguagliando il valore della funzione di ripartizione a p e determinando il valore della variabile X che soddisfa l uguaglianza. Per quanto riguarda la mediana si ha quindi (,5) =,5 da cui si ottiene.,5,5,797 Per calcolare la media e la varianza è necessario determinare la funzione di densità della variabile, che si ottiene effettuando la derivata rispetto ad della funzione di ripartizione. Risulta f() altrove per cui la media è data da 4 E X d 4, la media dei quadrati è 5 4 d, 6 E X 5 per cui il secondo momento centrale risulta E[(Xm) ] =,6,75 =, ,, Esercizio. Data una variabile X la cui funzione di densità è approssimata dal seguente modello teorico,5 f() altrove calcolare la media e il secondo momento dall origine.

31 La media è pari a d 6 8 4, E X -,5 d e la media dei quadrati è -, ,5 d -,5 d, 6 E X 8,. Esercizio. Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello F() calcolare la mediana e la media. Per quanto riguarda la mediana si pone,5 4, 5 da cui si ottiene l unica soluzione accettabile,5,44 Per calcolare la media è necessario determinare la funzione di densità della variabile - f() altrove per cui la media è data da EX d, Esercizio. Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una normale di parametri =8 e =4, determinare: a) il primo decile, b) la mediana, c) la quota di individui che presentano un intensità di X compresa fra 6 e. a),= + u, = 8 + 4(-,8) =,87 b),5= F() F(6),5 4 4 c), 8

32 Esercizio.4 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da un modello normale di parametri =4 e =,5, determinarne il primo quartile. Calcolare inoltre la quota di individui che presentano un intensità di X: a) inferiore a 9, b) compresa fra 9 e 4, c) maggiore di 4. Il primo quartile,5= 4 +,5(-.674) = 9,66 94 F(9),5 a),977, ,5,5 b) F4 F(9), ,5 c) F4,

33 . INDICI DI VARIABILITA Esercizio. Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. assolute 4 4 totale calcolare la media e la varianza. E(X) =,4 +, +, + 4, = E(X ) =,4 +, +, + 4, = 5 V(X) = 5 =. Esercizio. Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X X freq. rel. cum.,5 4,75 6, calcolare la media e lo scarto quadratico medio. E(X) =,5 + 4,5 + 6,5 = 4 E(X ) = 4,5 + 6,5 + 6,5 = 8 V(X) = S =,44. Esercizio. Date le seguenti intensità relative ad una variabile discreta X rilevata su individui calcolare media e varianza. La distribuzione di frequenza risulta X freq. rel.,4, 5, 6, totale,

34 Gli indici richiesti assumono i valori seguenti E(X) =, E(X ) =,9 V(X) =,. Esercizio.4 Date le seguenti intensità relative ad una variabile discreta X rilevata su individui calcolare il coefficiente di variazione s/m. La distribuzione di frequenza risulta X freq. rel.,4,,, totale, E(X) =, E(X ) =, V(X) =,9 s m,9,949, Esercizio.5 Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X calcolare il coefficiente di variazione X densità 5-6,45 6-8,5 8 -,65 La distribuzione espressa mediante le frequenze relative risulta X val. centr. freq. rel ,5, ,, 8 -,,5 totale, Gli indici richiesti assumono i valori seguenti E(X) = 7,75 E(X ) = 5,5 V(X) =,56875 s,56875,55 m 7,75 4

35 Esercizio.6 Data una variabile X con una media pari a 5 ed una varianza pari a, si determini media e varianza della variabile trasformata Y=X5. In base alle proprietà della media e varianza di una trasformazione lineare risulta E(Y) = E(X)5 = 55 =4, V(Y) = V(X) = 9=8. Esercizio.7 Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente X freq. rel. cum.,4,7,9 4, calcolare la media e la varianza della variabile. Data inoltre la variabile Y=+4X, se ne determini media e varianza. Una volta ottenute le frequenze relative, risulta E(X) = E(X ) = 5 V(X) = E(X ) [E(X)] = 5 4 =. In base alle proprietà della media e varianza di una trasformazione lineare risulta E(Y) = +4E(X) = +4 =, V(Y) = 4 V(X) = 6 = 6. Esercizio.8 Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva. X freq. ass. cum calcolare il coefficiente di variazione della variabile X. Risulta E(X) =,5 E(X ) =,75 V(X) =,6475 s m,6475,7664,5. 5

36 Esercizio.9 Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva. X freq. rel. - 4,5 4-6, 6 -, totale, calcolare il coefficiente di variazione della variabile X. Risulta E(X) = 4,85 E(X ) = 6,45 V(X) =,95 s m,95,5 4,85. Esercizio. Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva. X freq. rel. cum. 5-7, 7-5,4 5-5,8 5-8, calcolare il coefficiente di variazione della variabile Y=4X. Una volta calcolate le frequenze relative si ottiene E(X) = 5,4 E(X ) = 95,5 V(X) = 5,99 da cui risulta E(Y) =,6 V(Y) = 4.895,84 s m 4.895,84,6887,6. Esercizio. Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X X freq. rel. -,5-8,5 8 -,5 totale, disegnare l istogramma e determinare il valore dell indice di asimmetria a. 6

37 Sulla base della forma dell istogramma densità,5,,75,5, si nota che la distribuzione è simmetrica, per cui l indice di asimmetria è pari a zero. Esercizio. Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri = e =, determinare: a) il primo quartile, b) la media e lo scarto quadratico medio della variabile trasformata Y= 5+4. a),5 = + u,5 = + (-,674) =, b) E(Y) = 5E(X)+4 = 5()+4 = 9 c) V(Y) = 5V(X) = 5 per cui 5 5 s y Esercizio. Data la seguente funzione di ripartizione relativa ad una variabile X determinare la distribuzione di frequenza corrispondente, la media e la varianza., F(), La distribuzione di frequenza è X freq. rel., 5,5 8, totale, E(X) = 5 E(X ) = 8 V(X) = 7

38 Esercizio.4 Data la variabile definita nel precedente esercizio si determini il coefficiente di variazione della variabile Y = X4. E(Y) = 54 = V(Y) = 9 = 7 sy 7,474. m y Esercizio.5 Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di parametri = e =4, determinare: a) il primo decile, b) il secondo decile, c) la media e la varianza di X, d) la quota di individui con un valore della variabile compreso fra e. a), = + u, = + 4(-,8) = 6,8 b), = + 4(-,84) = 4,68 c) E(X) ; V(X) = = 4 = 6 d) F()F() = (,5)(,5) =,9 Esercizio.6 Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile continua X, se ne calcoli media e varianza. 8 f(),5 altrove 8 -d8 8,5,5,,5, E X,5,5, d8 8,6565,5,5,,796 E X 8 V X, 4,5 Esercizio.7 Dato il seguente modello teorico che approssima la funzione di ripartizione di una variabile continua X 8

39 F() - se ne calcoli media e varianza. Dall espressione precedente si ottiene la seguente funzione di densità f() e quindi risulta E X altrove 4 4 d d VX E X Esercizio.8 Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile X f() altrove se ne calcoli il terzo ed il quarto momento dall origine. 5 4 d, 4 E X d, E X Esercizio.9 Dato il modello teorico dell esercizio.7 si calcoli l espressione del generico momento dall origine di ordine r. E X r r r d r r 9

40 Esercizio. Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile X f() altrove si determini l espressione generica del momento dall origine di ordine r e si calcoli il terzo e il quarto momento dall origine. Il generico momento di ordine r è dato da r E X - per cui si ha r X E 6 6 r d r X, 486 E Esercizio. Dato il seguente modello teorico che approssima la funzione di ripartizione di una variabile continua X -5 F() se ne calcoli media e varianza. Dall espressione precedente si ottiene la seguente funzione di densità f() 5 e quindi risulta 5 5 altrove d 7, 5 E X d 58, E X X 5 5 V,

41 4. DISTRIBUZIONI BIVARIATE (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono ai capitoli 5-6 delle dispense) Esercizio 4. Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y rilevate su individui, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) costruire la distribuzione di frequenza corrispondente espressa mediante le frequenze relative. Calcolare inoltre le distribuzioni della variabile Y condizionata a X. La tabella a doppia entrata assume la forma seguente Y totale X,,,4,5,,,,5 totale,,,4, Le distribuzioni di Y sono Y totale X,,,8,,6,4,, Esercizio 4. Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) di una variabile discreta X e di una variabile continua Y rilevate su individui, (;,4) (;,8) (;,) (4;,6) (4;,9) (; ) (4; 4,8) (,,6) (;,) (;,6) costruire la distribuzione di frequenza corrispondente considerando le classi -, -, - 5 per la variabile Y. Calcolare inoltre le distribuzioni della variabile X condizionata a Y. La tabella a doppia entrata assume la forma seguente Y totale X,,,,,,,,4 4,,,, totale,,,4, Le distribuzioni di X y sono Y X,66,,,,66,5 4,,,75 totale,,, 4

42 Esercizio 4. Completare la seguente tabella sotto ipotesi di indipendenza assoluta fra le due variabili Y a b c totale X,,,5 totale,,5,, Y a b c totale X,6,5,9,,4,,6,,,5,5,5 totale,,5,, Esercizio 4.4 Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y rilevate su individui, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) costruire la distribuzione di frequenza espressa mediante le frequenze relative. Calcolare il valore dell indice /n e indicare il valore minimo e massimo che può assumere l indice per la tabella. La tabella a doppia entrata assume la forma seguente Y totale X,,,5,4,,5 totale,6,4, La formula più semplice per calcolare l indice richiesto assume la forma fij n i j fi. f.j e nel caso esaminato si ottiene,,,4,,6 n,5,6,5,4,5,6,5,4 I valori estremi dell indice sono min n, ma min(,) n dato che il valore minimo è sempre pari a zero ed il massimo corrisponde al minore fra il numero di righe e di colonne della tabella diminutio di.. 4

43 Esercizio 4.5 Data la seguente distribuzione doppia calcolare le frequenze interne sotto ipotesi di indipendenza assoluta fra le due variabili e determinare il valore del /n. Y totale X,,,4,,,4 4,,, totale,,7, La tabella sotto ipotesi di indipendenza assoluta fra le due variabili è Y totale X,,8,4,,8,4 4,6,4, totale,,7, n,,,,,,6,,4,7,4,,4,7,4,7, Esercizio 4.6 Data la seguente distribuzione doppia calcolare il valore del /n ed indicare il suo valore minimo e massimo per la tabella in esame. Y 4 totale X,,5,,,9,5,6,,8,,,6 totale,,5,, Dalla tabella si nota che le due variabili sono indipendenti in senso assoluto, dato che f f ij f i..j min n, pertanto risulta n, ma min(, ) n Esercizio 4.7 Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y rilevate su 6 individui, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) disegnare lo scatter e calcolare la covarianza fra le due variabili. 4

44 Y 4 4 X E(X) = E(Y) =, E(XY) = 4, 6 sy= E(XY) E(X)E(Y) = Esercizio 4.8 Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y rilevate su 8 individui, costruire la distribuzione doppia e calcolare il primo momento misto dall origine (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) La distribuzione doppia assume la forma Y totale X,75,,75,5,,5,5,5,5 totale,75,5, E(XY) =,75 Esercizio 4.9 Date due variabili X ed Y per le quali le varianze sono rispettivamente V(X)= e V(Y)=5 e la cui covarianza è Cov(X,Y)=4, calcolare la varianza delle variabili: a) S=X+Y, b) D=X-Y. V(S) = V(X)+ V(Y)+Cov(X,Y) = = V(D) = V(X)+ V(Y)Cov(X,Y) = = 7 Esercizio 4. Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y rilevate su 4 individui, (, 5) (, ) (, ) (, ) calcolare il coefficiente di correlazione lineare fra le due variabili. 44

45 E(X) =,5 E(X ) =,5 V(X) =,5 E(Y) =,5 E(Y ) = 9 V(Y) =,75 E(XY) = sy=,75 r,75,949,75,5. Esercizio 4. Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y, calcolare la covarianza fra le due variabili (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Sistemate le osservazioni in una tabella a doppia entrata Y totale X,,,,,,,,4,,,, totale,4,4,, si ottiene facilmente E(X) = E(Y) =,8 E(XY) =, sy = E(XY) E(X)E(Y) =,5. Esercizio 4. Sulla base dei dati dell esercizio precedente, determinare l equazione della retta di regressione della Y sulla X. Il modello di regressione assume la forma Y* = a + b in cui a = my bm s b s y. Sulla base dei risultati dell esercizio precedente e della varianza della X E(X ) =,6 V(X) =,6 si ottiene quindi,5 b,8,6 a,8,8,6 Y*,6,8. 45

46 Esercizio 4. Data la seguente distribuzione doppia calcolare la covarianza fra le due variabili Y totale X,5-,5,,5,5,,5-,5,,,,5,5-,5,,,, totale,,5,5, Y 5 totale X,,5,5,,,,,5,,,, totale,,5,5, E(X) =,9 E(Y) = 5,5 E(XY) = 7,75 sy = E(XY) E(X)E(Y) =,5. Esercizio 4.4 Data la seguente distribuzione doppia calcolare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e stimare il valore teorico di Y per = e = Y totale X,,,,,,,,4 4,,,, totale,,4,4, E(X) =, E(X ) = 6,4 V(X) =,4 E(Y) =, E(XY) =,4 sy = E(XY) E(X)E(Y) =. I paramentri della retta di regressione sono quindi b,46,4 a,,46,6 Dato il modello di regressione Y*,6,46 i valori stimati della variabile dipendente assumono i valori: per = Y*,6,46,78 per = Y*,6,46,66 46

47 Esercizio 4.5 Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y (, 4) (, ) (, ) (, ) (, 6) disegnare lo scatter e calcolare il primo momento misto dall origine. Y X E(X) = E(Y) =,6 E(XY) = 6, Esercizio 4.6 Sulla base dei dati dell esercizio precedente calcolare l equazione della retta di regressione della Y sulla X e stimare il valore teorico di Y per =. sy = E(XY) E(X)E(Y) = 6, E(X ) =, V(X) =, I parametri della retta di regressione sono quindi pari a 6, b,975, a,6,975,6 Dato il modello di regressione lineare Y*,6,975 il valore stimato della Y è per = y*,6 Esercizio 4.7 Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) delle variabili X e Y (, 5) (, ) (, ) (, ) (4, ) calcolare il coefficiente di determinazione lineare. 47

48 E(X) =,6 E(X ) = 7,8 V(X) =,4 E(Y) = E(Y ) = 7,8 V(Y) = 6,8 E(XY) = sy =,6 r s s y s y,6,9559,46,8 Esercizio 4.8 Data la seguente distribuzione doppia calcolare la covarianza fra le due variabili Y totale X,5,.,,5,.5,5 4,,8,, totale,5,4,, Le variabili risultano indipendenti in senso assoluto, pertanto la loro covarianza è pari a zero. Esercizio 4.9 Data la seguente distribuzione doppia calcolare il coefficiente di determinazione lineare fra le due variabili Y totale X,5-,5 4 4,5-, ,5-,5 6 8 totale 4 6 Y totale X,,,,,,,,4,,,,4 totale,,,5, E(X) =, E(X ) =,6 V(X) =,56 E(Y) =, E(Y ) =, V(Y) =,6 E(XY) =,7 sy =,44 r s s y s y,44,5667,56,6 48

49 5. PROVE INTERMEDIE DI ANNI ACCADEMICI PRECEDENTI Prova ) Date le seguenti osservazioni relative alla variabile X voto rilevata su esami universitari sostenuti da due studenti (A e B) e ai rispettivi crediti formativi (CFU), calcolare la media aritmetica dei voti ponderata con i crediti e verificare quale studente ha la media più elevata A X CFU B X CFU ) Data la seguente serie di valori relativi a una variabile continua determinare l espressione analitica della funzione di ripartizione, disegnarne il grafico e calcolare il primo decile e il primo quartile.,4,,6 7,,4 4,5 5, 5, ) Data una variabile X la cui distribuzione può essere approssimata da una normale di parametri =6 e =6, determinare: a) il terzo decile; b) la quota di individui con un valore della variabile superiore a 4; c) la quota di individui con un valore della variabile compreso nell intervallo (5, 8]. 4) Data la seguente distribuzione bivariata relativa alle variabili X e Y calcolare la media e la varianza delle due variabili. Calcolare anche la media e la varianza delle variabili S=X+Y e D=X-Y. Y - totale X --,,5,5, -,5,,,8 totale,5,5,5, 5) Sulla base dei dati del precedente esercizio determinare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e stimare i valori teorici della Y per =. ) La votazione media più elevata è dello studente B che ha 6,848 contro la media di A pari a 6,475 ) La serie ordinata è,6,4,,4 4,5 5, 5, 7,. I quantili richiesti sono, =,6,5 =,4,,75 L espressione analitica della funzione di ripartizione è 49

50 , 5,5,75 F(),5,65,75,875,6,6,4,4,,,4,4 4,5 4,5 5, 5, 5, 5, 7, 7, ed il grafico corrispondente assume la forma F(),8,6,4, ) a) 6 6 * (,54), 84 b), 4 6 F(4),,, 6 c) F(8) F(5),,6, ) E(X) =,6 E(X ) =, V(X) =,64 E(Y) =,5 E(Y ) =,75 V(Y) =,6875 E(XY) =,8 Cov(X,Y) =,4 E(S) = E(X) + E(Y) =,5 V(S) = V(X) + V(Y) + Cov(X,Y) =,575 E(D) = E(X) E(Y) =,85 V(D) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) =,75 5) sy b,65 a = my bm =,75 s per cui, per =, il valore teorico della variabile dipendente è y* =,5. 5

51 Prova ) Date le seguenti osservazioni rilevate su individui, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 4, 8,,. determinare la distribuzione di frequenza nelle classi 4-6, 6- e -. Calcolare i tre quartili sia sulla serie originaria, sia sulla distribuzione in classi. ) Sulla base della serie dell esercizio precedente scrivere l espressione analitica della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. Calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) superiore a 8; b) compreso nell intervallo (5, ]. ) Data una variabile X la cui distribuzione può essere approssimata da una normale di media 5 e varianza 4, determinare il terzo quartile e la quota di individui con un valore della variabile: a) superiore a ; b) compreso nell intervallo (, 8]. 4) Date le seguenti coppie di valori (i, yi) delle variabili X e Y rilevati su 5 individui (; ) (; ) (; ) (4; ) (6; -) costruire lo scatter e calcolare la media e la varianza delle variabili. Calcolare anche la media e la varianza delle variabili S=X+Y e D=X-Y. 5) Sulla base dei dati del precedente esercizio determinare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e stimare i valori teorici della Y per =. ) La serie ordinata in modo non decrescente è costituita dai seguenti valori 4, 4, 6, 7, 7,, 5, 8, 8, ed i tre quartili corrispondenti sono,5 = 6,,5 = 7,,75 = 5, La distribuzione in classi assume la forma seguente X quote densità 4-6,,5 6-,4, -,, totale, ed i corrispondenti quartili sono,5 =,5 =,75 =,5 4,5 5,6,5, 6 8,,75,7,6, 5

52 )L espressione analitica della funzione di ripartizione è 4,, 4, 6,, 6, 7, F(),6 7,,,7, 5,,8 5, 8, 8, e le quote richieste sono: a) F(8) =,6 =,4; b) F()F(5)=,7, =,5. ) Dai dati del problema è noto che X ha parametri =5 e =, per cui a), 75 5,674 6,48 b) F(),5,5, 994 c) 774 F(8) F(),5, 4) Lo scatter assume la forma seguente Y X mentre gli indici richiesti assumono i seguenti valori E(X) =, E(X ) = 4, V(X) =,76 E(Y) = E(Y ) = V(Y) = E(S) = 4, V(S) =,56 E(D) =, V(D) =,96 5) Sulla base dei dati riportati nel testo dell esercizio 4) si ha E(XY) =,6 Cov(X,Y) =,6 sy,6 b,695 s,76 a = my bm =,8 y* =,8,695 per cui, per =, il valore teorico della variabile dipendente è y* =,898. 5

53 Prova ) Data la seguente funzione di ripartizione relativa ad una variabile X,6( - ) F(),6,9( ),7,7( 7) 7 7 determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e fare l istogramma. Determinare la classe modale e calcolare il sesto decile. ) Data la seguente distribuzione espressa mediante le frequenze relative cumulate X Freq. cum -,5,75,9, scrivere l espressione formale della funzione di ripartizione e farne il grafico. Calcolare il coefficiente di variazione s/m della variabile trasformata Y=X+. ) Data una variabile X che si distribuisce come una variabile normale di parametri 5 e =4, determinare: a) il quarto decile, b) la quota di individui con un valore della variabile maggiore di, c) la media e la varianza della variabile trasformata Y= 4 X9. 4) Data la seguente distribuzione doppia, calcolare l indice di dipendenza assoluta /n. Determinare inoltre le distribuzioni della variabile Y condizionata ad X (Y ) e le frequenze interne in caso di indipendenza assoluta fra le variabili X Y totale,,,4,,,5 4,,, totale,5,5, 5) Sulla base della tabella dell esercizio precedente, calcolare l equazione della retta di regressione della variabile Y sulla X e il coefficiente di determinazione lineare. ) La distribuzione di frequenza è riportata nella tabella successiva X Freq. rel.cum quote Densità -,6,6,6-7,7,6,9 7-,,8,7 totale, La classe modale è la prima: -,6,6,6 = 5, 6,9 5

54 e l istogramma assume la forma successiva,4, densità,, ) L espressione formale della funzione di ripartizione ed il suo grafico sono,5 F(),75,9,8 F(),6,4, La media, il secondo momento dall origine e la varianza di X sono E(X) =,5 E(X ) =,5 V(X) =,75 per cui la media e la varianza di Y sono E(Y) = 9,7 V(Y) = 4, e il suo coefficiente di variazione è s m y y 4,,9 9,7 ) Per la variabile X che si distribuisce in modo normale risulta a), 4 5 4,5 6, b) F( ),5,69, 9 c) E(Y) E(X) 9 7, 75 V(Y) V(X)

55 4) L indice di connessione è pari a n,,,...,,,4,5,4,5,5 mentre le distribuzioni di Y sono riportate nella tabella successiva X Y totale,75,5,,4,6, 4,,, La tabella seguente è quella che si avrebbe in caso di indipendenza assoluta fra X e Y Y totale X,,,4,5,5,5 4,5,5, totale,5,5, 5) Dalla tabella riportata nel testo dell esercizio 4) si ottiene E(X) =,4 E(X ) =,6 V(X) =,64 E(Y) = E(Y ) = 4 V(Y) = 4 E(XY) =, Cov(X,Y) =, s b s y,77 a = my bm,49 per cui la retta di regressione è y* =,49,77 Infine, il coefficiente di determinazione lineare è dato da r s s y s y,95 55

56 Prova 4 ) Data la seguente funzione di ripartizione relativa ad una variabile X determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e farne il grafico.,5,5 F(),9, Calcolare moda, media e varianza di X. ) Data la seguente distribuzione X quote - -, - 4, 4-6,5 determinare l espressione analitica della funzione di ripartizione e farne il grafico. Calcolare i primi due quartili e la quota di individui con un valore della variabile compreso fra e 5. ) Data una distribuzione normale di media pari a e scarto quadratico medio pari a 6, determinare il primo quartile, la quota di individui con un valore della variabile: a) superiore a, b) compreso fra 8,5 e. Calcolare infine la media e la varianza della variabile trasformata Y= 8 X 8. 4) Date le seguenti coppie di osservazioni ( i, y i ) relative alle variabili X e Y rilevate su individui, costruire la distribuzione doppia in cui le classi della Y sono -, - e - 8. (-;,) (; 6,5) (;,) (-;,) (;,9) (; 5,7) (;,) (; 6,5) (; 7,) (; 4,5) Determinare le distribuzioni della variabile Y condizionata ad e calcolare il valore del /n. Indicare il valore minimo e massimo che tale indice può assumere per la tabella ottenuta. 5) Sulla base della tabella originaria ottenuta nell esercizio precedente, calcolare il coefficiente di determinazione lineare fra le due variabili. ) La distribuzione di frequenza è riportata nella tabella successiva X Freq. rel.cum quote,5,5,5, 5,9,65 6,95,5 8,,5 Totale, ed il grafico corrispondente assume la forma riportata nella figura seguente 56

57 quote,5,,5,,5,, Risulta inoltre E(X) = 4, E(X ) =,8 V(X) =,. La moda corrisponde all intensità 5. ) L espressione formale della funzione di ripartizione ed il suo grafico sono, F(),,75,5, ,8,6 F(),4, I primi due quartili corrispondono ai valori,5 =,5, 6,6,75,5 = 4 e la quota di individui con un valore della variabile compreso fra e 5 è F(5)F() =,5,55 4,,75, 4 ) Per la variabile X che si distribuisce in modo normale risulta a), ,674 b) F(),75, 77 c) F() F(8,5) 5,65,9,56, 56, d) E(Y) E(X) 8 6, 75 V(Y) V(X)

58 4) La distribuzione bivariata assume la forma seguente Y totale X,,,,,,,,4,,,,4 totale,,,5, Le distribuzioni di Y sono Y totale X,,,,,,5,5,,,5,75, Si ha inoltre n con,,...,6,,4,5,4 n 5) Sulla base dei valori della tabella ottenuta nel precedente esercizio si ha E(X) =, E(X ) =,6 V(X) =,56 E(Y) =,45 E(Y ) = 6,75 V(Y) = 4,475 E(XY) =,75 s y =,6 Il coefficiente di determinazione lineare è dato da r s s y s y,

59 Prova 5 ) Data la seguente serie di valori relativi a una variabile discreta rilevata su individui, 4 4 determinare la distribuzione di frequenza corrispondente, farne la rappresentazione grafica e determinare il valore modale. Scrivere inoltre l espressione formale della funzione di ripartizione e calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore o uguale a, b) superiore a. ) Data la seguente distribuzione, determinare il valore dei primi tre decili della variabile e il coefficiente di variazione s/m. X freq. rel. -, - 4,4 4-6,5 ) Data una distribuzione normale di media pari a 4 e varianza pari a 5, determinare il primo e il terzo quartile e la quota di individui con un valore della variabile: a) superiore a 7,5, b) compreso fra 8 e 4. 4) Date le seguenti coppie di osservazioni (i, yi) relative alle variabili X e Y rilevate su 9 individui (, 4) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, ) (4, ) disegnare lo scatter corrispondente e calcolare media e varianza delle due variabili. Calcolare anche media e varianza della variabile S pari alla somma X+Y. 5) Sulla base dei dati del precedente esercizio, determinare il valore dei parametri della retta di regressione della Y sulla X e stimare il valore teorico di Y in corrispondenza di =. ) La distribuzione di frequenza è X freq. rel.,5,4,5 4, totale, ed il grafico corrispondente assume la forma quote,5,4,,, 4 5 L espressione analitica della funzione di ripartizione è 59

60 ,5 F(),65,9 4 4 da cui si ricavano le quote richieste: a) F() =,65 b) F() =,9 =,. ) I primi tre decili sono,,,,,,4,5 Risulta inoltre E(X) = 4, E(X ) = 7,8 V(X) =,99 per cui il coefficiente di variazione è uguale a s m,99 4,,47,,,,4,5 ) Per quanto riguarda la variabile X che si distribuisce in modo normale si ha 4 5,674 6,, 5 a) b) 6, ,674 7,5 4 F(7,5),5,5, 5 F(4) F(8),4, 4) Lo scatter assume la forma seguente 69 4,7 Y X Si ha inoltre E(X) = E(X ) = 6, V(X) =, E(Y) = E(Y ) = 5 V(Y) = 4 Per quanto riguarda la media e la varianza della variabile S=X+Y si ha E(S) = E(X)+E(Y) V(S) = V(X)+V(Y)+Cov(X,Y) 6

61 quindi, essendo E(X,Y) = Cov(X,Y) = si ottiene E(S) = V(S) =,8,8 4, 4,8, 5) Dai risultati ottenuti nell esercizio precedente si ottengono immediatamente i valori dei parametri della retta di regressione della Y sulla X s b s y,8,, a = my bm =,6 per cui la retta di regressione è y* =,6, ed il valore di Y* stimato in corrispondenza di = è pari a y* =,. Prova 6 ) Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile X continua,9, -,5,8,8, 4,4 5, 8,8 6, determinare il valore dei tre quartili e calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) maggiore di zero, b) compreso nell intervallo (, 5]. ) Sulla base dei dati del precedente esercizio, determinare la distribuzione nelle classi -, - 5 e 5-, disegnare l istogramma e individuare la classe modale. Scrivere l espressione formale della funzione di ripartizione corrispondente e farne il grafico. ) Sulla base della distribuzione in classi costruita nell esercizio ) calcolare: a) il valore della mediana; b) la quota di individui con un valore della variabile compreso nell intervallo (, 5]; c) la media aritmetica. 4) Si consideri una variabile normale X di media 4 e scarto quadratico medio e si determini il quarto decile e la quota di individui con un valore della variabile compreso fra 4 e 7. Data un altra ed una variabile normale Y di media e varianza 9 determinare media e varianza delle variabili: a) T=X+Y; b) D=XY; c) Z=8X sapendo che la covarianza fra X ed Y è pari a. 5) Data la seguente distribuzione bivariata, calcolare il valore del /n e del coefficiente di correlazione lineare r. Indicare anche il campo di variazione dei due indici nel caso esaminato Y totale X -,5,,,8-6,,,, totale,5,4,, 6

62 ) La serie ordinata è costituita dai dieci valori: -,5,8,9,,8 4,4 5, 6, 8,8, per cui i quantili richiesti sono:, 5,9, 5,8 4,4 e le quote risultano pari a a) F() =,9 b) F(5)F() =,7, =,5. 4,, 75 6, ) La distribuzione assume la forma seguente X quote densità -,4, - 5,,5 5-,,6 totale, e l istogramma corrispondente è riportato nella figura successiva,,5 densità,, La classe modale, quella a cui è associata la massima densità di frequenza, è - 5. L espressione formale della funzione di ripartizione ed il suo grafico sono -, - F(),4,5 5,7,

63 ,8,6 F(),4, ) Sulla base dei dati riportati nell esercizio precedente risulta a), 5,5,4,5 b) F(5)F() = c) E(X) =,85 4) Si ottiene, 4 4 (,5),6 5,7, ( ),,494 F(7)F(4) = (,5) (4) =,9, =,9. a) E(T) = E(X)+E(Y) = 4 = V(T) = V(X)+V(Y)+Cov(X,Y) = 4+94 = 9 b) E(D) = E(X)E(Y) = 4 = 6 V(D) = V(X)+V(Y)Cov(X,Y) = 4+94 = 7 c) E(Z) = 8 E(X) = 8 4 = V(Z) = 64 V(X) = 64 4 = 56 5) Per la tabella data l indice di connessione è pari a n,5 con n Si ha inoltre E(X) =,6 E(X ) = 4 V(X) =,44 E(Y) =, E(Y ) =,7 V(Y) = 7,9 E(XY) = 5,7 Cov(X,Y) =,4 per cui r y sy s s y,7 con r y. 6

64 Prova 7 ) Data la seguente funzione di ripartizione relativa ad una variabile X farne il grafico, determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e individuare il valore modale., F(),7, ) Date la seguenti osservazioni rilevate su individui, determinare la distribuzione di frequenza nelle classi -, - e - 6. Disegnare l istogramma e calcolare i primi due momenti dall origine,,,8,5,,,9, 4,9 5,8 ) Sulla base dei dati dell esercizio precedente determinare il valore dei primi due quartili sia sulla serie originaria dei valori, sia sulla distribuzione in classi. 4) Date le seguenti coppie di osservazioni ( i, y i ) relative alle variabili X e Y rilevate su 5 individui (; 4) (; ) (; ) (, ) (, ) disegnarne lo scatter e calcolare il coefficiente di determinazione lineare fra le due variabili. Calcolare anche la varianza della variabile trasformata D=XY. 5) Data la seguente distribuzione bivariata determinare l equazione della retta di regressione della Y sulla X e stimare il valore teorico di Y per = e =4 Y 5 totale X,5-,5,,,,,5-,5,,8,,,5-6,5,4,,,6 totale,4,5,, ) La rappresentazione grafica della funzione di ripartizione assume la forma seguente,8 F(),6,4,

65 La distribuzione di frequenza corrispondente è X quote 4,,5,, totale, e la moda corrisponde all intensità. ) La distribuzione assume la forma seguente X quote densità -,,5 -,5,5-6,,5 totale, e l istogramma corrispondente è riportato nella figura successiva,,5, densità,5,, ) La serie ordinata è,8,,,5,,,9, 4,9 5,8 I primi due quartili calcolati sulla serie sono,5 =,,,,5 =, 5 Sulla distribuzione in classi gli stessi due quartili sono invece uguali a, 5,5,5, 5,5,,5,8, 65

66 4) Lo scatter assume la forma seguente 5 Y X Si ha inoltre E(X) = E(X ) =,4 V(X) =,4 E(Y) =,4 E(Y ) = 5,5 V(Y) =,44 E(XY) = 4,6 s y =,8 r s s y -,8 s y,465,4,44 Per quanto riguarda la varianza della variabile D=XY si ha V(D) = V(X)+V(Y)Cov(X,Y) = 5,44. 5) Per la tabella data risulta E(X) = 4 E(X ) = 7,8 V(X) =,8 E(Y) =,5 E(XY) = 4,4 Cov(X,Y) =,58 per cui s b s y,58,8,87 a m Data l equazione della retta di regressione Y* 5,,87 si ottiene Y*,5 per = Y*,5 per =4 y bm 5, 66

67 Tavola A Funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata u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

68 Tavola B Quantili della variabile casuale normale standardizzata p up, -,9,5 -,576, -,6,5 -,96,5 -,645, -,8,5 -,6, -,84,5 -,674, -,54,5 -,85,4 -,5,45 -,6,5,,55,6,6,5,65,85,7,54,75,674,8,84,85,6,9,8,95,645,975,96,99,6,995,576,999,9 68