STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN FISICA STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI Relatore: Correlatore: Dott. DAVIDE CASSI Dott.ssa RAFFAELLA BURIONI Candidato: DONETTI LUCA anno accademico

2 Introduzione In meccanica statistica generalmente ci si occupa di modelli su reticolo cristallino, un tipo di struttura costituita dalla ripetizione periodica di celle tutte identiche fra loro, attraverso la quale si possono riprodurre schematicamente le strutture di alcune classi di solidi, detti appunto cristallini. Esistono però vaste classi di materiali (vetri, plastica, legno, polimeri...) per cui una descrizione del genere non è possibile ed è invece necessario ricorrere a grafi, strutture più generali dei reticoli, che non possiedono la proprietà di invarianza per traslazione. Nonostante la grande importanza di questi materiali si sa ancora molto poco sulle transizioni di fase su grafi non invarianti per traslazione e i risultati rigorosi in questo campo sono limitati; questo perché su tali strutture non possono essere utilizzati alcuni fra i metodi più impiegati su reticolo che sfruttano pesantemente la proprietà di periodicità: la trasformata di Fourier ed il metodo delle matrici di trasferimento. Devono invece essere utilizzati metodi topologici e combinatori applicabili su strutture che possono essere le più generali possibili: questi metodi fanno capo alla teoria dei grafi e alle sue connessioni con la meccanica statistica. È importante riuscire a caratterizzare le transizioni di fase ed in particolare stabilire quali sono i parametri più adatti per descrivere il comportamento critico: capire da quale (o da quali) delle grandezze con cui si possono caratterizzare le proprietà geometriche e topologiche dei grafi in esame dipende la presenza o meno di una transizione e come i coefficienti critici dipendono da queste. Un passo in questa direzione è dato dalla risoluzione dei modelli che interessano, nel caso di questa tesi il modello di Ising, su alcuni grafi particolari la cui struttura permette di svolgere i conti; i risultati ottenuti in tal modo possono poi essere estesi 2

3 3 a classi più generali di grafi grazie alla cosiddetta universalità : esistono, infatti, grandezze (fra cui quelle che descrivono il comportamento critico) legate esclusivamente alla geometria su larga scala che non risentono dei dettagli microscopici della struttura in esame. In tal modo i risultati ottenuti in un caso particolare potranno poi essere estesi ad un intera classe di universalità individuata dai parametri che descrivono la geometria su larga scala del grafo studiato. Prima di studiare il modello di Ising su due particolari grafi frattali, il Gasket ed il Carpet di Sierpinski, esporremo per prima cosa gli strumenti necessari per la comprensione del seguito, cioè alcune nozioni di teoria dei grafi ed il metodo delle funzioni generatrici per la risoluzione delle ricorrenze, poi introdurremo il modello di Ising con le tecniche adatte per studiarne il comportamento critico su grafi generici.

4 Capitolo 1 Nozioni preliminari 1.1 Grafi: definizioni e terminologia Un grafo è un insieme costituito da due tipi di elementi, punti e linee, in cui è definita una relazione che associa a ogni linea una coppia non ordinata di punti (per questa e per le successive definizioni si veda [1]). Il numero di coordinazione (o valenza) di un punto p è il numero di linee delle quali p è un estremo ed è indicato con z p. Un grafo è chiuso se ogni punto ha numero di coordinazione pari. Se tutti i punti di un grafo G hanno la stessa valenza z, allora G è detto un grafo di valenza z. Un sottografo di un grafo G è un sottinsieme di G che è esso stesso un grafo. Un sottografo è massimale se contiene tutti i punti di G. Un dimero è un sottografo costituito da due punti connessi da una linea. Una disposizione di dimeri è un sottografo costituito da dimeri disgiunti; una disposizione contiene necessariamente un numero pari di punti. Un ricoprimento di dimeri di un grafo G è una disposizione di dimeri che è anche un sottografo massimale (contiene tutti i punti di G); condizione necessaria perché un grafo ammetta un ricoprimento è che abbia un numero pari di punti. Dato un grafo G è possibile costruire il cosiddetto grafo terminale (indicato con G T ) nel seguente modo (v. fig. 1): Ad ogni punto p di G si associa un (z p 1)-simplesso (indicato con k zp ), cioè un 4

5 1.2. Risoluzione delle ricorrenze 5 gruppo di z p punti detti terminali (uno per ogni linea che ha un estremo in p) ognuno dei quali è unito da una linea ad ogni altro; questi terminali sono i punti di G T. Due terminali di G T corrispondenti alla stessa linea ma appartenenti a simplessi differenti sono connessi da una linea esterna mentre le linee di ogni simplesso sono dette linee interne. Fig. 1: Esempio di grafo con relativo grafo terminale Dato un generico grafo G si definisce la matrice di adiacenza di G la matrice n n, (n è il numero di punti di G) così definita: { 0 se i punti p e q non sono collegati da linee A pq = k se i punti p e q sono collegati da k linee 1.2 Risoluzione delle ricorrenze Nel seguito si tratterà di alcuni particolari grafi frattali che possono essere costruiti con procedimenti ricorsivi; per questo motivo sarà semplice ottenere equazioni che definiscono delle successioni attraverso delle ricorrenze. Vediamo allora alcuni metodi per risolvere in forma chiusa tali successioni [2].

6 6 Capitolo 1. Nozioni preliminari Ricorrenze lineari Le ricorrenze lineari (cioè quelle in cui il termine n-esimo della successione dipende linearmente dai precedenti) si risolvono con un procedimento standard che utilizza le funzioni generatrici. Data una successione {a n } la corrispondente funzione generatrice A(z) è definita da: A(z) = a n z n n dove in genere non ci si preoccupa di questioni di convergenza (la si considera un espressione formale) e la somma su n può considerarsi estesa da a + assumendo che a 1 = a 2 = = 0. Una volta nota la funzione generatrice il termine a n può essere espresso come il coefficiente di z n all interno di A(z), in simboli: a n = [z n ]A(z) Il procedimento può essere schematizzato in quattro punti: 1. Si scrive una singola equazione che esprima a n in termini degli altri elementi della successione che comprende la ricorsione e le condizioni iniziali; assumendo che a 1 = a 2 = = 0 questa equazione deve valere per tutti gli interi n. 2. Si moltiplicano entrambi i membri dell equazione per z n e si somma su tutti gli n; questo procedimento fornisce a sinistra A(z) mentre il membro di destra deve essere manipolato il modo che diventi un altra espressione contenente A(z). 3. Risolvendo l equazione risultante otteniamo una forma chiusa per A(z) 4. Si sviluppa A(z) in serie di potenze: il coefficiente di z n è a n Se al punto 3 si ottiene un espressione razionale non agevolmente esprimibile come serie di potenze si può ricavare il termine a n in un altro modo. Infatti si può mostrare che se la funzione generatrice è della forma: A(z) = N(z) D(z)

7 1.2. Risoluzione delle ricorrenze 7 con D(z) = c(1 r 1 z) m 1+1 (1 r k z) m k+1 allora a n è della forma: a n = f 1 (n)r1 n + + f k (n)rk n con f i (n) polinomio di grado m i in n. In questa espressione le uniche quantità incognite sono i coefficienti dei polinomi f i (n) che possono essere determinati inserendo l espressione per a n nella ricorrenza e nelle condizioni iniziali. Questo metodo può essere conveniente soprattutto in quei casi più semplici in cui gli r k possono essere dedotti immediatamente dalla equazione iniziale. Esempio. Si consideri la ricorrenza: a 0 = 3 a n = 3a n 1 3 L equazione corrispondente al punto 1 sarà a n = 3a n 1 3[n > 0] + 3[n = 0] dove [espr ] vale 1 se espr è vero e 0 se espr è falso (si noti che questa equazione vale anche per n < 0 se si ammette a 1 = a 2 = = 0). da cui Seguendo le istruzioni al punto 2 si ottiene Da qui si ottiene immediatamente A(z) = 3zA(z) 3z 1 z (1 2z) A(z) = 1 3z 1 z ( ) ( ) = 3(1 2z) 3 k z k z k k=0 k=0 A(z) = 3(1 2z) z n n 3 k n=0 k=0 3 n+1 1 = 3(1 2z) z n n=0 2 (1)

8 8 Capitolo 1. Nozioni preliminari che porta a a n = 3 2 [ (3 n+1 1) 2(3 n 1) ] = 3 2 (3n + 1) Alternativamente, una volta arrivati all eq. (1), si sarebbe potuto scrivere che che sostituito nel sistema iniziale da: k 1 + k 2 = 3 k 1 3 n + k 2 = k 1 3 n + 3k 2 3 Da qui si ottiene immediatamente a n = k 1 3 n + k 2 (2) k 1 = k 2 = 3 2 che fornisce il risultato precedente. In questo caso, inoltre, si sarebbe potuta scrivere senza passaggi preliminari la eq. (2) perché se la ricorrenza è della forma a n = ba n 1 + c allora gli r k sono necessariamente 1 e b Successioni definite a partire da altre successioni Come esempi di applicazione del metodo illustrato calcoliamo alcuni tipi di ricorrenze che saranno utili nel seguito. Consideriamo la ricorrenza s n+1 = as n + f n in cui supponiamo noto s 0 e la successione {f n }. Scriviamo l equazione corrispondente al punto 1: s n+1 = as n + f n + s 0 [n = 1] Proseguendo il procedimento si ottiene S(t) = ats(t) + tf (t) + s 0

9 1.2. Risoluzione delle ricorrenze 9 da cui S(t) = 1 ( + ) ( + ) s 0 + f k t k = a k t (s + ) k 0 + f k t k 1 at k=0 k=0 k=0 Anche senza sviluppare esplicitamente in serie di potenze si possono riconoscere i coefficienti delle varie potenze di t. Consideriamo la ricorrenza s n = s 0 a n + n 1 k=0 s n+1 = (s n ) a f n a k f n k 1 in cui come in precedenza supponiamo noto s 0 e la successione {f n }. Questa non è lineare ma si riconduce al caso precedente definendo l n = log s n e prendendo il logaritmo di ambo i membri: l n+1 = al n + log f n Esponenziando il risultato precedente si ottiene: s n = s an 0 n 1 k=0 (f n k 1 ) ak = s an 0 f an 1 0 f an 2 1 f n 1 Un altra ricorrenza che tornerà utile è la seguente: s n+1 = a n s n + b n Il risultato è semplicemente una generalizzazione del primo caso: n 1 s n = s 0 k=0 a k + n 1 n 1 b j a k j=0 k=j+1

10 Capitolo 2 Modello di Ising e ricoprimenti con dimeri Il modello di Ising su un generico grafo finito G è un sistema che si ottiene associando ad ogni punto i ( sito ) di G una variabile σ i ( spin ) che può assumere i valori ±1, la cui energia è data da: E = J <i,j> σ i σ j + H i σ i dove con < i, j > si intende una coppia di primi vicini, cioè punti collegati da una linea di G. 2.1 Funzione di partizione Per calcolare la funzione di partizione [3] si può procedere attraverso il cosiddetto sviluppo di alta temperatura [1]. Nel caso H = 0 la funzione Z risulta: Z = exp( E/kT ) {σ i } = exp(kσ i σ j ) {σ i } <i,j> in cui K = J/kT. 10

11 2.1. Funzione di partizione 11 Siccome σ i σ j = ±1 si può scrivere: Sostituendo nell espressione per Z si ha: exp(kσ i σ j ) = cosh K + σ i σ j sinh K Z = (cosh K) L {σ i } <i,j> (1 + σ i σ j tanh K) in cui L è il numero di punti di G. Ora, espandendo il prodotto, si ottiene un espressione in cui una coppia di indici (corrispondenti ad una linea del grafo) appare una sola volta in ogni termine, ma lo stesso indice può apparire più volte, dando luogo ad una certa potenza di σ i. Siccome σ j =±1 Aσj n 2A se n è pari = 0 se n è dispari si avrà un contributo non nullo solo da quei termini in cui tutte le variabili σ i compaiono elevate ad una potenza pari e tale contributo sarà proprzionale a 2 N dove N è il numero di punti di G. Se si rappresenta ogni fattore σ i σ j in un termine con la linea del grafo che congiunge i punti i e j, allora i termini non nulli saranno rappregentati da sottografi in cui ogni punto è estremo di un numero pari di linee, cioè i sottografi chiusi. Si può quindi scrivere: Z = (cosh K) L 2 N n=0 N c n(tanh K) n dove N c n è il numero di modi in cui posso scegliere in G un sottografo chiuso di n linee. Se si definisce la funzione generatrice per circuiti chiusi Γ c (z) = n=0 N c nz n la (3) si può riscrivere: Z = (cosh K) L 2 N Γ c (tanh K) (3) Ora vediamo come il calcolo di Γ c (z) può essere ricondotto allo studio dei ricoprimenti con dimeri [1]. Nel caso di grafi con valenza pari è possibile mostrare che esiste una relazione fra i sottografi chiusi di G e i ricoprimenti di G T. Si consideri infatti un sottografo chiuso G 0 di G; alle linee di G 0 corrispondono linee esterne di G T

12 12 Capitolo 2. Modello di Ising e ricoprimenti con dimeri che insieme ai loro estremi formano una distribuzione di dimeri di G T (linee esterne distinte non hanno estremi in comune). Questa può essere estesa ad un ricoprimento aggiungendo i terminali rimanenti collegati arbitrariamente a coppie; tale estensione è sempre possibile perché il numero di terminali rimasti per simplesso è pari (= num di terminali num di linee esterne, entrambi pari) e questi sono connessi in ogni modo possibile. Inversamente è immediato ottenere un sottografo chiuso di G a partire da un ricoprimento di G T semplicemente contraendo ogni simplesso a un singolo punto. La limitazione ai soli grafi a valenza pari può essere eliminata se al posto di G T si considera il grafo ottenuto aggiungendo ad esso un terminale extra ad ogni simplesso relativo ad un punto di valenza dispari in modo da simulare valenza pari. La corrispondenza così ottenuta non è però biunivoca: nel passaggio da sottografi a ricoprimenti c è libertà di scelta in ogni simplesso in cui il numero di terminali da collegare è maggiore di 2. Nei casi che considereremo la valenza di un punto sarà al massimo 4, quindi si avrà questo problema solo nella corrispondenza fra punti isolati e le 3 configurazioni: che verranno indicate rispettivamente con (=), (ıı) e (x). Una volta corretto questo inconveniente (decidendo ad esempio di considerare possibile solo una delle tre configurazioni) Γ c (z) sarà data dalla funzione generatrice dei ricoprimenti di dimeri su G T se si assegna peso 1 alle linee interne e peso z alle linee esterne. Infatti la funzione generatrice può essere considerata come la somma di z n per ogni possibile sottografo chiuso con n linee; se quindi si assegna peso z ad ogni linea e si definisce peso di un sottografo il prodotto dei pesi delle sue linee Γ c (z) è data semplicemente dalla somma dei pesi di ogni sottografo chiuso. Attribuendo su G T peso 1 alle linee interne e z a quelle esterne la corrispondenza costruita associa sottografi a ricoprimenti con lo stesso peso, quindi la Γ c (z) può assere calcolata come somma dei pesi dei ricoprimenti.

13 2.2. Funzioni termodinamiche Funzioni termodinamiche Una volta nota la funzione di partizione Z le varie funzioni termodinamiche possono essere espresse in funzione di quest ultima: in particolare considereremo l energia libera, l energia interna ed il calore specifico a volume costante [3]. Essendo queste quantità estensive, per ottenere quantità finite nel limite termodinamico sarà necessario dividere per il numero di punti del grafo considerato. Cominciamo dall energia libera; essa è data semplicemente da: f = F N = kt N log Z Per quanto riguarda l energia interna, questa può essere calcolata come energia media del sistema, pertanto: U = < E > = {σ = i } E exp( βe) = {σ i } exp( βe) Z β = Z in cui, come al solito, β = 1 kt u = U N = kt 2 = 2 log Z = kt β T log Z. Quindi, dividendo per il numero di siti: N T Il calore specifico per sito sarà allora dato da: log Z = kt 2 T c v = u T ( f ) kt Uno degli aspetti interessanti nello studio del modello di Ising (e degli altri modelli di meccanica statistica) consiste nell individuare e caratterizzare le transizioni di fase. In un sistema fisico queste sono caratterizzate da qualche discontinuità o singolarità delle funzioni termodinamiche. Siccome tutte queste possono essere derivate dalla funzione di partizione o dall energia libera è sufficiente uno studio approfondito di una di queste funzioni per avere informazioni in proposito. Dal punto di vista matematico è infatti definito punto critico un punto in cui, nel limite termodinamico, l energia libera f non è analitica [4]. La necessità di studiare

14 14 Capitolo 2. Modello di Ising e ricoprimenti con dimeri il limite termodinamico è dovuta al fatto che, fino a che il numero di siti è finito, è finita la somma sulle configurazioni; pertanto Z è una somma di funzioni analitiche di T sempre maggiori di zero ed f sarà quindi anch essa una funzione analitica di T. Solo nel limite termodinamico, quando la somma sulle configurazioni diventa una serie, si possono avere punti di non analiticità ed in tal modo avere punti critici. 2.3 Magnetizzazione Un altro modo per verificare eventuali transizioni di fase è quello di studiare la magnetizzazione del sistema imponendo che i siti di bordo abbiano spin fissato (tutti +1) nel limite termodinamico. Se non si ha transizione di fase la magnetizzazione deve essere nulla per ogni temperatura diversa da zero, infatti i soli siti di bordo danno in tale limite un contributo nullo; una magnetizzazione residua non nulla a T 0 è quindi segnale di una fase ordinata [5]. La magnetizzazione del sistema è definita semplicemente come la media sui siti del valore di aspettazione dello spin: M = 1 σ i N i 1 = σ Z i exp(k σ k σ l ) N i {σ j } <k,l> con {σ j } che indica che non si somma sui σ relativi ai bordi (essendo questi fissati) e Z = <k,l> {σ j } exp(k σ k σ l ) Considerando per Z lo sviluppo di alta temperatura come nel caso precedente si nota che, non dovendo più sommare sugli stati possibili dei siti di bordo, si ha un contributo non nullo anche dai termini in cui uno di tali siti compare ad una potenza dispari: pertanto la funzione generatrice adatta sarà quella dei sottografi in cui i solo punti interni sono obbligati ad avere valenza pari. Graficamente questi sottografi sono costituiti da circuiti chiusi più, eventualmente, da una o più linee che partono e arrivano sul bordo (chiameremo questi sottografi di tipo 1).

15 2.3. Magnetizzazione 15 Fig. 2: Esempi di sottografi di tipo 1 e di tipo 2 Per quanto riguarda l espressione della magnetizzazione dalla somma sui siti si può separare la somma sui siti di bordo perché per questi < σ i >= 1. Per tutti gli altri siti si può applicare nuovamente lo sviluppo di alta temperatura: ora la presenza del fattore σ i fa si che per avere un termine con σ i elevato ad una potenza pari (in modo che non si annulli nella somma sulle configurazioni) la valenza del punto i nel sottografo corrispondente deve essere dispari. La funzione generatrice necessaria sarà pertanto quella dei sottografi come per Z con in più una linea che parte dal punto i e termina sul bordo. Dovendo poi sommare su tutti questi siti i interni bisogna considerare la funzione generatrice dei sottografi in cui una tale linea aggiunta può partire da uno qualsiasi dei punti interni (sottografi di tipo 2). La magnetizzazione allora sarà data da M = 1 ( ) N b + Γ2 (tanh K) N Γ 1 (tanh K) (4) = M b + M i (5) con N b numero di siti sul bordo (questo termine non da contributo nel limite termodinamico) e Γ 1 e Γ 2 funzioni generatrici dei due tipi di sottografi illustrati in precedenza; nella eq. (5) M b e M i indicano rispettivamente i termini della somma sul bordo e sui siti interni. Ora si possono ricondurre come in precedenza tali funzioni generatrici allo studio di disposizioni di dimeri su G T : sarà sufficiente considerare disposizioni che non comprendono uno dei terminali dei simplessi corrispondenti a punti che sono estremi di

16 16 Capitolo 2. Modello di Ising e ricoprimenti con dimeri una linea.

17 Capitolo 3 Gasket di Sierpinski Dopo aver introdotto i metodi per studiare il modello di Ising su grafi generici vediamo ora la loro applicazione ad un particolare grafo frattale: il Gasket di Sierpinski. Questo grafo può essere costruito attraverso un procedimento ricorsivo che permette di ottenere un nuovo stadio unendo tre copie di quello precedente; grazie a questa proprietà è possibile scrivere delle ricorrenze esatte che permettono di calcolare le grandezze termodinamiche che interessano. Il Gasket è stato scelto perché, avendo dimensione frattale compresa fra 1 e 2, darà informazioni relative a cosa succede nella regione intermedia fra il reticolo monodimensionale (in cui l unico punto critico è T = 0) e il reticolo bidimensionale (in cui esiste una transizione di fase ad una temperatura finita). 3.1 Gasket di Sierpinski Si consideri il seguente procedimento iterativo: si parte da un triangolo (G 0 ) e ad ogni passo (G n ) si costruisce un triangolo più grande unendo per i vertici tre dei precedenti (G n 1 ) (si veda figura 3). Il grafo che si ottiene iterando il procedimento all infinito è il Gasket di Sierpinski (fig 4). Il numero N n di punti di G n si ottiene osservando che se si considerano separatamente i punti dei G n 1 che lo costituiscono si contano due volte i tre vertici in comune; 17

18 18 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski G 0 G 1 G 2 Fig. 3: Prime iterazioni della costruzione del Gasket quindi siccome G 0 ha 3 punti si ottengono le equazioni: N 0 = 3 N n = 3N n 1 3 Questa ricorrenza è risolta da (v. esempio sulla soluzione delle ricorrenze): N n = 3 2 (3n + 1) (6) Il numero di linee di G n è invece pari a tre volte il numero di linee di G n 1 ed, essendo L 0 = 3, si ha immediatamente Il numero di punti sul perimetro esterno è: L n = 3 n+1 (7) P n = 3 2 n (8) 3.2 Ricoprimenti del Gasket terminale Per studiare il modello di Ising sul Gasket è ora necessario considerare i grafi terminali Gn T ; anche in questo caso è possibile procedere mediante un procedimento iterativo. Si parte da G0 T : questo grafo è costituito da tre 1-simplessi uniti da tre linee esterne, in tutto 6 punti e 6 linee (3 interne e 3 esterne). Passando a G1 T si osserva

19 3.2. Ricoprimenti del Gasket terminale 19 Fig. 4: Gasket di Sierpinski (ottenuto con 7 iterazioni)

20 20 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski Gn T Gn T G n T G T 0 G T 1 G T n+1 Fig. 5: Costruzione dei Gasket terminali come questo può essere costruito affiancando tre copie di G0 T e aggiungendo 4 linee interne per ognuno dei tre vertici in comune: collegando in questo modo coppie di 1-simplessi si ottengono 3-simplessi (relativi ai vertici interni di G 1 che hanno numero di coordinazione 4). In modo analogo si costruiscono i Gn T a partire da tre copie dei Gn 1 T unite da linee interne in modo che rimangano 1-simplessi in corrispondenza dei tre vertici (punti con coordinazione 2) e si formino 3-simplessi in corrispondenza di tutti gli altri punti (che hanno numero di coordinazione 4). Passiamo ora a contare i ricoprimenti di dimeri. Innanzi tutto si osserva che la condizione necessaria che Gn T abbia un numero pari di punti è verificata in quanto G n ha valenza pari. Su G0 T i ricoprimenti sono due: uno formato con le tre linee esterne e uno formato con quelle interne. Un modo possibile per costruire ricoprimenti di G1 T è quello di utilizzare tre ricoprimenti di G0 T ; in questo modo si ottiene sicuramente una disposizione di dimeri che contiene tutti i punti di G1 T cioè un ricoprimento, ma sicuramente non si ottengono tutti i possibili. Consideriamo infatti i tre diversi modi in cui i quattro punti che costituiscono un 3-simplesso possono appartenere a dimeri di un ricoprimento: 1. se ogni punto appartiene ad un dimero costituito da una linea esterna il ricopromento si può ottenere affiancando come visto tre ricoprimenti di G 0 2. se i quattro punti sono uniti a coppie da due dimeri siamo in presenza di una fra le tre configurazioni (=), (ıı) e (x) di cui solo una si può ottenere affiancando i ricoprimenti di G 0 : si risolve il problema della corrispondenza non biunivoca

21 3.2. Ricoprimenti del Gasket terminale 21 Fig. 6: Schema dei modi possibili per costruire ricoprimenti fra ricoprimenti e sottografi chiusi semplicemente non costruendo ricoprimenti che contengono due delle linee interne aggiunte in un vertice in comune 3. se due dei punti sono collegati mediante un dimero interno e i due rimanenti fanno parte di dimeri esterni il ricoprimento non può essere ottenuto col metodo precedente ed è necessaria un analisi supplementare. Quest ultimo caso porta a considerare su G0 T delle disposizioni di dimeri che contengono tutti i punti tranne uno di un 1-simplesso ma ci si accorge immediatamente che tali disposizioni non esistono perché una disposizione di dimeri non può contenere un numero dispari di punti; pertanto devono non essere compresi due punti. Siccome inoltre si vogliono costruire ricoprimenti di G1 T, l altro punto mancante deve appartenere all 1-simplesso di G0 T relativo all altro vertice in comune. In questo modo si vede che si possono ottenere tutti i ricoprimenti corrispondenti al terzo caso affiancando una di queste disposizioni per ogni G0 T componente e aggiungendo le linee interne relative alle coppie di punti mancanti. Questo metodo di costruzione si estende in modo identico alla costruzione dei ricoprimenti di Gn T e può essere schematizzato come in figura 6 dove i punti pieni rappresentano vertici in cui entrambi i terminali appartengono a dimeri mentre quelli vuoti rappresentano vertici in cui uno dei due terminali non fa parte di dimeri; le linee aggiunte in corrispondenza dei punti vuoti mostrano i dimeri interni da aggiungere per completare i ricoprimenti. Quindi se si denota con n il numero di ricoprimenti di dimeri di Gn T e con Λ n quello dei quasi-ricoprimenti cioè disposizioni di dimeri che non contengono un

22 22 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski Fig. 7: Schema dei modi possibili per costruire quasi-ricoprimenti punto degli 1-simplessi relativi a due vertici fissati di G n si ha: n+1 = 3 n + Λ 3 n (9) Ora è necessario trovare una ricorrenza per Λ n : questa si ottiene mostrando con ragionamenti analoghi ai precedenti che i possibili modi per ottenere n-quasi-ricoprimenti sono due: utilizzando tre (n 1)-quasi-ricoprimenti oppure due (n 1)-quasi-ricoprimenti e un (n 1)-ricoprimento come in figura 7. Perciò si ottiene: Λ n+1 = Λ 3 n + n Λ 2 n (10) Le equazioni (9) e (10) insieme alle condizioni iniziali (su G T 0 si hanno due quasiricoprimenti) danno 0 = 2 Λ 0 = 2 n = Λ n = (3n+1 1) 3.3 Funzione generatrice dei ricoprimenti Per calcolare le funzioni generatrici dei ricoprimenti e dei quasi-ricoprimenti su G n (rispettivamente Γ n (z) e Γ n (z)) bisogna assegnare peso 1 alle linee interne e peso z a quelle esterne e ripetere il procedimento ricorsivo precedente. Si può procedere esattamente allo stesso modo perché la funzione generatrice dei ricoprimenti su un grafo L unione di grafi disgiunti L 1... L n è proprio il prodotto delle

23 3.3. Funzione generatrice dei ricoprimenti 23 funzioni generatrici sui singoli L i : infatti i termini di questo prodotto corrispondono a ogni possibile combinazione di sottoricoprimenti sui L i (quindi ad ogni possibile ricoprimento di L) ed ognuno di essi è pari al peso del ricoprimento ottenuto (in quanto prodotto dei pesi dei componenti). Questo discorso potrebbe essere applicato direttamente nel nostro caso solo se gli n-ricoprimenti si potessero costruire solamente a partire da tre (n 1)-ricoprimenti. Ciononostante mediante lo stesso ragionamento è possibile identificare biunivocamente ogni termine di Γ n+1 (z) con uno di Γ 3 n(z) + Γ 3 n(z) e analogamente ogni termine di Γ n+1 (z) con uno di Γ 3 n(z) + Γ 2 n(z)γ n (z) perché le linee interne eventualmente aggiunte hanno peso 1 e non danno contributo. identiche alle (6) e (7) Γ n+1 (z) = (Γ n (z)) 3 + ( Γ n (z)) 3 Γ n+1 (z) = ( Γ n (z)) 3 + ( Γ n (z)) 2 Γ n (z) Si ottengono pertanto equazioni con le condizioni iniziali Γ 0 (z) = 1 + z 3 Γ 0 (z) = z + z 2 Se si introduce la variabile r n = Γ n / Γ n si ottiene: e l equazione per Γ n diventa r 0 = 1+z3 = z2 z+1 z+z 2 z r n+1 = rn 2 r n + 1 Γ n+1 = Γ 3 n ( r 3 n ). Prendendo il logaritmo di ambo i membri e definendo l n = log Γ n si ottiene (si veda sez ): e Γ n si ottiene da exp(l n ). l n = l 0 3 n + n 1 k=0 3 k log(1 + r 3 n k 1 )

24 24 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski 3.4 Funzioni termodinamiche Energia libera La prima quantità calcolabile di interesse fisico è l energia libera per sito nel limite termodinamico cioè kt f = n lim f n = n lim log(z n ) N n Utilizzando i risultati parziali ottenuti (eq. (3), eq. (6), eq. (7)) si ha: f n = kt ( log 2 + ) 2 2/3 log cosh(j/kt ) n 3 n + 1 log Γ n(tanh J/kT ) in cui l ultimo termine della parentesi può essere scritto come ( 2 3 con gli r n dati da: n ) [ log(1 + tanh 3 J/kT ) n 1 m=0 log(1 + r 3 m )3 m ] r 0 = z2 z + 1 = tanh2 J/kT tanh J/kT + 1 z tanh J/kT r n+1 = rn 2 r n + 1 = x(t ) Nel limite termodinamico: f(t ) kt = log log cosh(j/kt ) log(1 + tanh3 J/kT ) + 2 S(x(T )) 9 dove ( S(x) = log ) 3 n = g n=0 rn(x) 3 n (x) n=0 in cui si esplicita il fatto che i r n dipendono da r 0 = x. Ora x(t ) è analitica per T (0, + ) ed in questo intervallo è monotona crescente con valori in D = (1, + ), quindi è sufficiente mostrare che S(x) è di classe C k in D perché f lo sia in (0, + ).

25 3.4. Funzioni termodinamiche y=x 2 x+1 y=x Fig. 8: Risoluzione grafica della ricorrenza: esempio con r 0 = 1.3

26 26 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski Convergenza di S(x) Studiando graficamente la ricorsione per i r n si vede che per r 0 = 1 si ha la soluzione costante r n = 1 mentre per valori iniziali maggiori di uno si ha sempre che r n+1 > r n e che r n tende a per n che tende ad ; in ogni caso è sempre vero che r n 1 (si veda figura 8). Pertanto si ha per ogni x D con g n (x) = log(1 + rn 3 ) 3 n log 2 3 n def = k n k n = 3/2 log 2 < n=0 Quindi si ha convergenza uniforme per la serie dei g n (x) e S(x) è continua come limite uniforme di serie di funzioni continue. Derivate di S(x) r n def = r n 1/2 così da ottenere: Per semplificare la ricorsione si introducono le variabili r 0 = x 1 2 = y r n+1 = r 2 n In questo modo si ha immediatamente che, per costruzione, r n = 2 n k=0 a n,k y k r n = 1 2 n 2 + a n,k y k k=0 con i coefficienti a n,k sempre maggiori od uguali a zero (e diversi da zero solo per k pari quando n è maggiore di 1). Inoltre siccome y differisce da x solamente per una costante si ha che una derivata rispetto a x è uguale a una derivata rispetto a y Per la derivata delle g n si ha: d dx = d dy dy dx = d dy 3 n g n(x) = 3 r n (1 + rn) dr n 3 dy

27 3.4. Funzioni termodinamiche 27 con Quindi dr 2n n dy = k=1 dr n dy 2 n 2n k=1 ) n 2 ( 2 g n(x) 3 3 ky k 1 a n,k y k 1 a n,k 2n y r n 1 + rn 3 in cui si è utilizzato il fatto che y 1/2. Siccome k n = 9 < n=0 ( ) 1 2 n 2y 3 def = k n 3 si ha la convergenza uniforme della serie delle derivate che, unita alla continuità delle g n(x), prova che S è di classe C 1. Per la derivata seconda si ha; g n(x) = 3 1 n 1 + 4r3 n rn(1 2 + rn) 3 2 ( ) 2 drn dy 1 r n (1 + r 3 n) d 2 r n dy 2 Come in precedenza d 2 r n dy 2 2n = k=2 k(k 1)y k 2 a n,k d 2 r n dy 2 4n y r 2 n g n(x) 3 1 n 21 y 2 [ 1 + 4r 3 n 4 n (1 + rn) 3 2 ( ) 4 n rn 3 3 y 2 (1 + rn) 3 2 ( ) 4 n 3 7rn 3 3 y 2 rn 6 ( ) 4 n 1 3 y (1 + r 3 n) Ora gli r n sono funzioni crescenti di x quindi, se si pone r 3 n r n def = r n (x = 1 + ɛ) 4 n ] y 2

28 28 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski con ɛ > 0 fissato, si ha, per x > 1 + ɛ: ( ) 4 n g n(x) r n 3 def = k n La serie numerica dei {k n} converge per il criterio del rapporto k n+1 k n = 4 3 ( rn r n+1 ) 3 = 4 ( ) 3 r n 0 3 r n 2 r n + 1 pertanto si ha convergenza uniforme della serie delle g n(x) in (1 + ɛ, ) e quindi S(x) risulta C 2 in tale intervallo. Essendo tuttavia ɛ arbitrario si ha che S(x) è C 2 in D. Passando ora alle derivate successive si può vedere che, procedendo in modo analogo, si arriva ad una maggiorazione del tipo: g n (k) bn N(r n ) y k D(r n ) con b costante e N(r n ) e D(r n ) polinomi in r n di cui D è di grado maggiore. Allo strsso modo della derivata seconda si può quindi mostrare che la convergenza è uniforme e pertanto S(x) è di classe C k in D con k intero qualunque. Questo fatto dimostra che non si hanno transizioni di fase per T > Energia media e calore specifico Consideriamo ora l energia media ed il calore specifico (sempre divisi per il numero di punti del grafo e sempre nel limite termodinamico): u = kt 2 N T c v = u T Con alcuni passaggi si ottiene: log Z = kt 2 T ( f ) kt [ 2 tanh 2 (J/kT ) u = J 2 tanh(j/kt ) cosh 2 (J/kT ) 1 + tanh 3 (J/kT ) ] 1 9 S (x) sinh 2 (J/kT ) cosh 2 (J/kT )

29 3.4. Funzioni termodinamiche 29 c v = u T = (11) = J 2 [ 1 kt 2 cosh tanh(j/kt ) 2 tanh 3 (J/kT ) (J/kT ) cosh 2 (J/kT ) (1 + tanh 3 (J/kT )) 4 tanh3 (J/kT ) tanh 3 (J/kT ) tanh 2 (J/kT ) 9 S (x) tanh(j/kt ) sinh 2 (J/kT ) + 2 S ] (x) 9 sinh 4 (J/kT ) cosh 2 (J/kT ) in cui le derivate di S(x) si intendono calcolate per x = x(t ). In figura 9 si può vedere l andamento di queste grandezze in funzione della temperatura calcolato numericamente Esponente critico Dall equazione per il calore specifico è possibile ricavare per il punto T c =0 l esponente critico α definito da: c v t α per t 0 + con t (temperatura ridotta) definita nel caso di T c =0 da (si veda [6]): ( t = exp 2J ) kt Nonostante non si conoscano esattamente la funzione S(x) e le sue derivate si può però affermare che per t 0 c v t(log t) 2 se la quantità tra parentesi quadre nell equazione (11) tende ad un limite finito. Perché questo sia vero è sufficiente che ne S(x) ne le sue derivate divergano e, sebbene ciò non sia provato analiticamente per la derivata seconda, se ne ha evidenza dal calcolo numerico (si veda figura 10). Pertando l andamento critico è lo stesso del caso unidimensionale con esponente α = 1

30 30 Capitolo 3. Gasket di Sierpinski 0 Energia media u/j kt/j 0.8 Calore specifico c v k/j kt/j Fig. 9: Grafici di u(t ) e c v (T )

31 3.4. Funzioni termodinamiche 31 4 S 3 S S x Fig. 10: Grafici di S(x), S (x) e S (x).

32 Capitolo 4 Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski Passiamo ora allo studio della magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski per vedere se con un altro approccio si ottiene un risultato compatibile. Applicheremo questo metodo in due casi diversi: prima fissando solamente gli spin sui tre vertici esterni del Gasket, in seguito fissandoli su tutto il perimetro esterno. 4.1 Due lemmi preliminari Prima di applicare questo metodo vediamo due lemmi che ci serviranno per arrivare ai risultati finali. Lemma 1 Data la successione {a n } con a n 0 tale che la serie convergente, la successione {b n } definita da b n = n k=n 0 (1 + 1 ak ) tende ad un limite finito b e, per ogni n, b n b. n=n 0 1 a n = c < sia 32

33 4.1. Due lemmi preliminari 33 Lemma 2 Data la successione {a n } con a n 1 tale che la serie sia convergente, la successione {b n } definita da b n = n k=n 0 (1 1 ak ) tende ad un limite finito b 0 e, per ogni n, b n b. n=n 0 1 a n 1 = c < Dim. (lemma 1) La successione {b n } è evidentemente una successione monotona crescente, per cui basta mostrare che è superiormente limitata per essere sicuri che abbia un limite finito b e che b n b. Siccome ( a n ) e 1 an l n = se si definisce l n = log b n si ha n k=n 0 log (1 + 1 ) n 1 < c ak k=n 0 a k da cui b n = e ln < e c CVD. Dim. (lemma 2) La successione {b n } è monotona decrescente e, per ogni n, b n 0 quindi ha limite finito b e b n b. Per mostrare che b 0 introduciamo la successione {d n } definita da d n = 1 b n = n k=n a k n = k=n 0 a k a k 1 = n k=n 0 ( ) a k 1 A questo punto la successione degli {a n 1} soddisfa le ipotesi del lemma precedente, quindi d n d < per cui CVD. b n 1 d = b > 0

34 34 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski 4.2 I caso: spin fissati sui vertici Se si considerano fissati e pari a +1 gli spin posti sui tre vertici la funzione generatrice Γ 1 (v. sez. 2.3) sarà quella dei circuiti chiusi più quella dei sottografi che comprendono circuiti chiusi più una linea che connette due vertici; queste corrispondono a quelle dei ricopromenti e dei quasi-ricoprimenti su G T. Pertanto si ha Γ 1 n = c 0 n + 3 c 2 n con c 0 n e c 2 n coincidenti rispettivamente con Γ n e Γ n e quindi definiti da: c 0 n+1 = (c 0 n) 3 + (c 2 n) 3 c 2 n+1 = (c 2 n) 3 + (c 2 n) 2 c 0 n c 0 0 = 1 + z 3 c 2 0 = z + z 2 Per le disposizioni di dimeri corrispondenti a Γ 2, queste non devono contenere un punto interno più un numero dispari di terminali corrispondenti a vertici distinti: tale numero può solamente essere 1 o 3. Denotando con γ 1 e γ 3 le funzioni generatrici relative a questi casi si ha: Γ 2 n = 3 γn 1 + γn 3 Le condizioni iniziali sono: γ 1 0 = 0 γ 3 0 = 0 in quanto su G 0 non esistono punti interni. Per quanto riguarda le regole di ricorrenza si ha che il punto interno mancante o è ereditato dalla generazione precedente oppure si trova in un simplesso corrispondente ad un punto di congiunzione (i punti di mezzo dei lati). In ognuno di questi casi si dovrà tenere conto di molte possibilità: il punto interno mancante può essere contenuto in una qualunque delle tre parti di cui è costituito G n+1 o il vertice in cui si forma può essere uno qualunque dei tre ed inoltre bisogna sommare sui modi possibili di connettere le tre disposizioni (sempre tenendo conto del fatto che una disposizione

35 4.2. I caso: spin fissati sui vertici 35 di dimeri contiene un numero pari di punti). Tenendo conto di tutto ciò si ha: γ 1 n+1 = γ 1 n(c 0 n) 2 + γ 3 n(c 2 n) 2 + 2γ 1 n(c 2 n) 2 + 2γ 1 nc 0 nc 2 n+ +2(c 2 n) 3 + 2c 0 n(c 2 n) 2 + 2(c 0 n) 2 c 2 n γn+1 3 = 3γn(c 3 2 n) 2 + 3γn(c 1 2 n) 2 + 6(c 2 n) 3 Se si introducono le variabili r n def = c0 n c 2 n s n def = γ1 n c 2 n t n def = γ3 n c 2 n con semplici passaggi si ottiene: r n+1 = r 2 n r n + 1 s n+1 = 2 + 2s n + t n + r 2 n(2 + s n ) 1 + r n t n+1 = 3 s n + t n r n (12) In termini di queste variabili si ha: Temperatura nulla Γ 2 n Γ 1 n = 3s n + t n 3 + r n (13) Per avere una prima idea di come si comportano queste equazioni si è risolto innanzi tutto il caso in cui T = 0, cioè z = 1. In questo caso si ha: e quindi: c 0 0 = c 2 0 = 2 γ 1 0 = γ 3 0 = 0 r 0 = 1 s 0 = t 0 = 0 Da qui si mostra facilmente per induzione che r n = 1 s n = t n

36 36 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski e l equazione per questi ultimi si riduce a s n+1 = 3s n + 3 Dagli esempi sella sezione si ha immediatamente: Dalle equazioni (4), (6) e (13) si ha: M n = n 1 s n = 3 3 k = 3 2 (3n 1) k=0 ( ) 2 (3n + 1) 2 (3n 1) = 1 quindi, come ci si aspetta, se si fissano i tre spin ai vertici di un G n a T = 0 tutti gli altri spin si allineano ad essi dando una magnetizzazione M = Temperatura T > 0 La prima delle eq. (12) è la stessa equazione vista nel capitolo precedente ma ora serve uno studio più approfondito. Si può iniziare notando che, essendo r n 1, r n+1 = r 2 n r n + 1 r 2 n per cui per induzione r n r 2n 0 (14) D altra parte si ha anche r n r2 n da cui ( ) r0 2 n r n 2 (15) 2 Questa minorazione ha il difetto che il secondo membro tende a zero per n + se r 0 < 2; si può risolvere questo inconveniente notando che, qualunque sia r 0, per un k sufficientemente grande si avrà r k > 2, da cui si può ottenere r n 2 ( ) rk 2 n k 2 per ogni n k (16)

37 4.2. I caso: spin fissati sui vertici 37 con il secondo membro che ora tende a + per n +. Passando alla seconda e alla terza delle eq. (12) si può notare che queste si sem- def plificano introducendo la variabile s n = s n + 2 t n+1 = 3 s n + t n 1 + r n s n+1 = s n + t n 1 + r n + s n (1 + r n ) = 1 3 t n+1 + s n (1 + r n ) Ricavando t n+1 dalla seconda equazione si ottiene: che sostituito nella prima da: t n+1 = 3 ( s n+1 s n (1 + r n )) (17) ( s n+1 = s n 1 + r n + 4 ) 1 + r n 1 3 s n r n 1 + r n Non potendo risolvere tali ricorrenze si ricavano delle maggiorazioni e delle minorazioni delle quantità che interessano per avere una stima del risultato finale. Siccome s n 0 e r n 1 si ha ( s n+1 s n 1 + r n + 4 ) s n (r n + 3) per n r n Per induzione si vede che s n sarà minore od uguale al termine n-esimo di una successione definita da una ricorrenza così fatta con = al posto di, quindi: n 1 s n s 1 (r n + 3) k=1 = s 1 (r 1 + 3)(r 2 + 3) (r n 1 + 3) Ora dall equazione per t n (eq. (17)) si ricava immediatamente: t n 3 s n per n 1 Sostituendo nelle equazioni (4) e (13) si ottiene M i n 1 N n 6 s n r n

38 38 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski 6 N n s n r n 6 N n s 1 (r 1 + 3)(r 2 + 3) (r n 1 + 3) k=1 k=1 r n 6 n 1 s 1 n 1 r k (1 + 3 ) N n r n rk Ora la serie n=1 (3/r n ) è convergente per la disequazione (16) quindi sono verificate le ipotesi del lemma 1, quindi: M i n c N n r n c c n 1 k=1 n 1 N n k=1 n 1 N n k=1 r k r 2 k c n 1 1 N n r 1 k=1 c rk 2 r k + 1 ( ) r k 1 r 2 k r k+1 n 1 N n k=1 r k r k 1 in cui si inglobano in c le varie costanti che mano a mano appaiono. Si può nuovamente applicare il lemma 1, per cui Mn i cost. (18) N n Da questa disequazione segue che M 0 per n 0 quindi non si ha transizione di fase. Cercando ora una minorazione per gli s n cominciamo a mostrare che s n+1 s n. Infatti si ha che s 1 s 0 = 0, quindi s 1 s 0 e, supposto s n s n 1 ( s n+1 s n 1 + r n r ) n r n 1 + r n ( s n r n ) = s n k n 1 + r n Ora la quantità tra parentesi è sempre maggiore od uguale ad 1, quindi per induzione è sempre vero che s n+1 s n. Quindi si ha s n+1 s n k n per cui Mn i 1 3( s n 2) N n 3 + r n c s n 2 N n r n

39 4.3. II caso: spin fissati sul perimetro esterno 39 Tralasciando la costante sottratta a numeratore (il suo contributo è di ordine inferiore al resto) si ha c N n s 1 k 1 k 2 k n 1 c 1 N n r 1 n 1 r n rj 2 n 1 j=1 r j+1 j=1 c n 1 1 k j N n r 1 j=1 r j k j r j in cui nell ultimo passaggio si è utilizzato il fatto che r2 j r j+1 1. Ora si può mostrare che il prodotto rimanente soddisfa le ipotesi del lemma 2 per cui in definitiva si ha M i n = O(1) 1 N n M n = O(1) 1 N n = O(1) 3 n 4.3 II caso: spin fissati sul perimetro esterno In questo caso si fissano a +1 gli spin dei punti che si trovano sul perimetro esterno: ora il numero di tali siti non rimane finito come nel caso precedente ma cresce esponenzialmente pur essendo una frazione che tende a zero rispetto al numero totale di punti del Gasket. Per costruire Γ 1 bisognerà considerare tutte le disposizioni di dimeri sul Gasket terminale che contengano tutti i terminali tranne, al più, uno per ogni simplesso corrispondente ad un sito sul perimetro. Non è necessario imporre che vi sia un numero pari di tali punti per fare in modo che le linee partano ed arrivino sul perimetro perché ciò è garantito dal fatto che Gn T ha un numero pari di punti ed una qualsiasi disposizione di dimeri ne occupa un numero pari minore od uguale ad esso. Per costruire tali disposizioni su Gn T sarà necessario considerare separatamente disposizioni sui Gasket di ordine inferiore in cui un diverso numero di lati appartiene al perimetro esterno di Gn T. Si indicherà allora con a n la funzione generatrice delle disposizioni su G T n in cui due lati sono considerati esterni, b 1 n e b 0 n quelle in cui un lato è considerato

40 40 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski Fig. 11: Schema delle funzioni generatrici a, b 0 e b 1, c 0 e c 2 esterno mentre il vertice opposto può avere un terminale mancante o meno, c 0 n e c 2 n quelle già considerate in precedenza che comprendono tutti i terminali dei punti sui lati esclusi al più due vertici (si veda figura 11 in cui le linee piene appartengono al perimetro esterno e quelle tratteggiate sono interne). Le ricorrenze che definiscono tali funzioni generatrici e Γ 1 in funzione di queste si ottengono tenendo conto che, quando si formano i punti di mezzo dei lati unendo due vertici, se siamo sul perimetro esterno non importa come si accoppiano tali vertici: infatti se anche si uniscono due 1-simplessi di G T, uno occupato da dimeri e uno con un terminale libero, si ottiene su G una linea che parte da tale punto e necessariamente termina altrove lungo il perimetro (infatti una linea ha estremi in punti a cui corrispondono simplessi con un terminale non occupato da un dimero e questi si trovano per costruzione solamente sul bordo). Queste ricorrenze sono (v. figura 12): Γ 1 n+1 = a n 3 a n+1 = a n (b 0 n2 + b 1 n2 ) b 0 n+1 = b 0 n2 c 0 n + b 1 n2 c 2 n b 1 n+1 = 2b 0 nb 1 nc 2 n c 0 n+1 = c 0 n3 + c 2 3 n c 2 n+1 = c 2 n3 + c 2 n2 c 0 n

41 4.3. II caso: spin fissati sul perimetro esterno 41 Fig. 12: Schema delle ricorrenze per Γ 1, a, b 0 e b 1

42 42 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski con le condizioni iniziali: c 0 0 = 1 + z 3 c 2 0 = z + z 2 b 0 0 = 1 + z + z 2 + z 3 b 1 0 = 2(z + z 2 ) a 0 = (1 + z) 3 Per il calcolo di Γ 2 è necessario introdurre delle funzioni generatrici simili alle precedenti che però corrispondono a sottografi che contengono una linea supplementare che parte da un punto interno e che termina sul perimetro esterno. Ciò richiede che le disposizioni di dimeri non contengano un terminale in un solo punto interno e quindi automaticamente in un numero dispari di punti esterni. Analogamente alle funzioni generatrici precedenti chiamerò queste α, β 0, β 1, γ 1, γ 3. Questa volta per ottenere le ricorenze bisogna considerare il fatto che in una disposizione di dimeri su Gn T il terminale interno mancante può essere ereditato dalle disposizioni sui Gn 1 T oppure si può formare nell unione di due 1-simplessi spaiati purché questa non avvenga sul perimetro esterno. In figura 13 si vedono, ad esempio, i modi possibili per costruire α n a partire da funzioni generatrici all ordine n 1: i primi sei modi sono costruiti a partire da disposizioni in cui già manca un punto interno (rappresentate da triangoli con un bollo nero interno) mentre negli ultimi due tale punto si ottiene avvicinando vertici spaiati. Si ottiene allora: Γ 2 2 n+1 = 3α n a n α n+1 = α n (b 0 n2 + b 1 n2 ) + 2a n (b 0 nβn 0 + b 1 nβn 1 + b 0 nb 1 n) βn+1 0 = 2b 0 nβnc 0 0 n + 2b 1 nβnc 1 2 n + 2b 0 nb 1 n(γn 1 + c 0 n + c 2 n) βn+1 1 = 2c 2 n(b 0 nβn 1 + b 1 nβn) 0 + b 0 n2 (γn 1 + 2c 2 n) + b 1 n2 (γn 3 + 2c 2 n) γn+1 1 = c 0 n2 γn 1 + c 2 n2 γn 3 + 2c 2 n2 γn 1 + 2c 0 nc 2 nγn 1 + 2c 2 n3 + 2c 0 nc 2 n2 + 2c 0 n2 c 2 n γn+1 3 = 3c 2 n2 γn 3 + 3c 2 n2 γn 1 + 6c 2 3 n e, siccone su G 0 non esistono punti interni, le condizioni iniziali sono: α 0 = β 0 0 = β 1 0 = γ 1 0 = γ 3 0 = 0

43 4.3. II caso: spin fissati sul perimetro esterno 43 Fig. 13: Schema della ricorrenza per α Ora la quantità che interessa è solamente il rapporto fra Γ 2 e Γ 1 per cui si può scrivere: Γ 2 n+1 Γ 1 n+1 = 3α na n 2 e la ricorrenza per quest ultima quantità è: a n 3 = 3 α n a n α n+1 = α n + 2 b1 nβn 1 + b 0 nβn 0 + b 0 nb 1 n a n+1 a n b 0 n2 + b 1 2 (19) n A questo punto come in casi precedenti si può procedere introducendo nuove quantità dividendo quelle esistenti per una delle altre: b0 n = b0 n b 1 n Le relative ricorrenze sono β 0 n = β0 n b 1 n ( b0n r n + 1 b0n ) β 1 n = β1 n b 1 n b0 n+1 = 1 2 β 0 n+1 = β 0 nr n + β 1 n b0 n + r n + s n + 1 β 1 n+1 = β 1 n + b 0 n ( 1 + s n 2 ) + 1 b0 n ( β0 n + t n ) in cui r n, s n e t n sono le stesse della sezione precedente. La eq. (19) diventa allora (20) α n+1 = α n + 2 b 0 n + b 0 β n n 0 + β n 1 a n+1 a n 1 + b 0 2 (21) n

44 44 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski Temperatura nulla Studiamo innanzi tutto come in precedenza il caso a T = 0. Da quanto già fatto si sa che: Ora si hanno le condizioni iniziali r n = 1 s n = t n = 3 2 (3n 1) dalle quali si vede immediatamente che b0 0 = 1 β 0 0 = β 1 0 = 0 b0 n = 1 e per induzione si mostra che β 0 n = β 1 n def = β n La ricorrenza per quest ultima quantità risulta β n+1 = 2 β n n che risolta (si veda 1.2.2) fornisce: La eq.(21) diventa allora: che dà: n 1 ( 3 β n = 2 k k=0 2 3n k ) = n 2 n 1 2 α n+1 a n+1 = α n a n + 2 β n + 1 n 1 α n = a n k=0(2 β k 1) = 3 2 3n 2 2 n Dalle equazioni (4), (6), (8) e dalle precedenti risulta: M n = [ ( n (3n + 1) 2 3n n = 1 2)] cioè il Gasket è magnetizzato come ci si aspetta.

45 4.3. II caso: spin fissati sul perimetro esterno Temperatura T > 0 Si comincia studiando la successione dei b 0 n: dalla prima delle eq. (20) si ha immediatamente b0 n b 0 nr n (22) da cui b0 n b n r 0 r 1 r n 1 (23) Per trovare una maggiorazione si mostra innanzi tutto che b 0 n 1: infatti ciò è vero per n = 0 perché b0 0 = 1 ( z + 1 ) 1 per 0 z 1 2 z mentre per n > 0 la richiesta è che sia b0 n r n + 1 b0 n 2 e questo è vero perché b0 n 2 r n 2 b 0 n + 1 = ( b 0 n 1) 2 + b 0 n2 (r n 1) 0 Quindi se b 0 n 1 allora si ha e dalla prima delle eq. (20) si ottiene: 1 b0 n 1 b 0 n b 0 nr n b0 n b 0 n(r n + 1) b 0 nr n (24) Passiamo ora alle altre due delle eq. (20). Ricavando β 1 n dalla seconda si ottiene: β 1 n = b 0 n( β 0 n+1 β 0 nr n r n s n 1) (25) che sostituito nella terza dà β n+2 0 = ( β n+1 0 r n+1 + b 0 ) ( ) n + β 1 n 0 b0 r n n r n+1 + s n+1 + b0 n+1 b0 n b0 n+1 b0 n+1 b0 r n n 1 b0 n+1 2 s b0 n n + 1 b0 n+1 2 t 1 n + 1 b0 n b0 n+1 b0 n b0 n+1

46 46 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski Tenendo conto delle eq. (22) e (24) e che si ha β 0 n+2 β 0 n+1 Ora per la terza delle eq. (12) (r n rn ) 1 b0 n r n b0 n 0 + r n+1 + s n+1 + s n + t n + 2 r n β 0 n+1 β 0 n(r n + 2) + r n + s n + t n per n 1 per cui che β 0 n β 0 1 n 1 k=1 n 1 (r k + 2) + (r i + s i + t i ) i=1 n 1 k=i+1 (r k + 2) (26) = β 0 1(r 1 + 2) (r n 1 + 2) + (r 1 + s 1 + t 1 )(r 2 + 2) (r n 1 + 2) + +(r 2 + s 2 + t 2 )(r 3 + 2) (r n 1 + 2) (r n 1 + s n 1 + t n 1 ) Ottenuta questa maggiorazione per β 0 n, si può sfruttare la stessa per β 1 n se si mostra β 1 n b0 n c β 0 n con c costante opportuna. Questo è immediato per n = 0 per cui vale l = mentre per n generico si può scrivere (utilizzando le eq. (20)) c b 0 β n+1 n+1 0 β n+1 1 = ( = c b 0 n+1 β nr 0 n + β n 1 ) + r n + s n b0 n [ β n 1 + b ( 0 n 1 + s ) ( n + 1 b0 β0 2 n + t )] n n ) ( ) (c b 0n+1r n 1 b0n β n 0 + β n 1 c b 0 n b0 n [ + b 0 n+1 c(r n + s n + 1) b 0 ( n 1 + s ) n b0 n b0 n b0 n+1 ( tn )] Siccome β n 0 β n 1 e b 0 n+1 sono tutti 0 basta mostrare che anche le quantità contenute nelle parentesi lo sono; per le prime due è sufficiente che sia, rispettivamente, c 1 e

47 4.3. II caso: spin fissati sul perimetro esterno 47 c 2 mentre per la terza si ha: 3 a par. c + cr n + cs n 2 ( 1 + s ) n 1 ( 2 2 r n 2 b0 n r n = c 2 ( ) ) 2 + cr n + s n (c 1rn r n b0 n (c 10) + cr n + s n (c 4) 0 per c t n 2 ) t n 1 r n b0 n 2 dove si è utilizzato il fatto che per l equazione (17), t n 3(s n + 2) ed inoltre r n 1 e b 0 n 1. A questo punto si può trovare una maggiorazione per α n e quindi per la magnetizzazione; dall equazione (21) si ottiene: Da questa segue: α n+1 a n+1 α n α n a n c a n ( β n 0 + β n 1 ) + 1 b0 n + 2 b0 a n n α n + 2 b0 ( β0 a n (c + 1) + 1 ) n n n 1 k=0 β 0 k b0 k + 2 n 1 k=0 1 b0 k Se n la seconda sommatoria diventa una serie convergente (per l eq. (23)) la cui somma è una maggiorazione per le somme parziali. Per quanto riguarda la prima, i termini della somma risultano (per le eq. (26) e (23)): β k 0 [ 2k β 1 ( ) (1 + 2 ) ( b0 k b0 0 r 0 r1 r2 Ora per n > 1 vale + r 1 + s 1 + t 1 r 1 + r 2 + s 2 + t 2 r 1 r 2 r k 1 (1 + 2 ) ( r2 ) + ) r k 1 ) (1 + 2 ) ( r r k 1 + s k 1 + t k 1 r 1 r 2 r k 1 r k 1 s n + t n ( s n 2) + 3 s n 4 s n 4 s 1 (r 1 + 3)(r 2 + 3) (r n 1 + 3) ] + +

48 48 Capitolo 4. Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski quindi β k 0 ( 2k ) b0 k b0 0 r 0 r 1 ( β s 1 + t 1 ( ) r k s s s ) r 1 r 2 r 3 r k 1 r 1 r 1 r 2 r 1 r 2 r k 2 ) k 1 c2 k k (1 + 3rj j=1 r j j=1 Ora la sommatoria è limitata superiormente dalla somma della serie ed anche il prodotto è limitato per il lemma 1 quindi in definitiva β 0 k b0 k c2 k e α n a n c Per la magnetizzazione si ha: come ci si aspettava. M i n = n 1 k=0 3 N n α n 1 a n 1 2 k + c c2 n + c (27) c N n 2 n 0 per n Cerchiamo ora una minorazione per la magnetizzazione; dall equazione (21) si ottiene: α n+1 α n + 2 b 0 n + b 0 β n n 0 + β n 1 a n+1 a n 2 b 0 2 α n + β n 0 a n n b0 n Ora dalla seconda delle equazioni (20) si ha: quindi (partendo da n=1 perché β 0 0=0) β 0 n β 0 1 β 0 n+1 β 0 nr n n 1 k=1 Utilizzando questi risultati insieme all eq. (24) r k = β 0 1r 1 r 2 r n 1 α n a n n 1 k=0 β 0 n b0 n

49 4.4. Commenti 49 = n 1 k=1 β k r 1 r 2 r k 1 b0 0 (r 0 + 1)(r 1 + 1) (r k 1 + 1) ) k 1 ( rj β 1 0 n 1 b0 0 (1 + r 0 ) 2 k k=1 j=1 Se per il prodotto si utilizza nuovamente il lemma 1 si ottiene α n a n c(2 n 1) Questa insieme all eq. (27) permette di affermare α n a n = 2 n O(1) e quindi ( ) 2 n Mn i = O(1) 3 ( ) 2 n Mn i Mn b M n = O(1) Commenti In entrambi i casi (spin fissati sui vertici o su tutto il perimetro esterno) si vede come non esiste una magnetizzazione residua nel limite termodinamico per nessuna T > 0: questo porta a concludere che non esistono fasi ordinate pertanto, consistentemente con quanto stabilito per altre vie, non ci sono transizioni di fase. Un fatto interessante che si può notare è come nei due casi considerati il contributo alla magnetizzazione dovuto ai siti considerati interni decresce con la stessa velocità di quello relativo ai siti di bordi e cioè come la frazione di questi rispetto al totale.

50 Capitolo 5 Zeri della funzione di partizione 5.1 Caratterizzazione di Lee-Yang delle transizioni di fase Un altro approccio con cui si possono studiare le transizioni di fase è quello di Lee e Yang (si vedano [7, 8, 4]): analizzare come si distribuiscono nel piano complesso gli zeri della funzione di partizione ed in particolare se e come nel limite termodinamico si avvicinano e si addensano nei pressi dell asse reale. Quest idea nasce dal fatto che fino a che si ha a che fare con un volume finito la funzione di partizione Z può sempre essere espressa come polinomio in un opportuna funzione della temperatura (generalmente tanh j o j kt e kt ): questi polinomi sono quindi funzioni analitiche della temperatura sempre maggiori di zero (per la definizione di Z) e non si hanno pertanto zeri sul semiasse reale positivo. Pertanto l energia libera (proporzionale a log Z) è sicuramente una funzione analitica della temperatura e non si ha transizione di fase. Può però succedere che nel limite termodinamico gli zeri vengano a disporsi su linee, o più in generale in regioni del piano che toccano il semiasse reale positivo: in questo modo l energia libera rimane una funzione analitica solamente negli intervalli di temperatura privi di zeri, mentre ci possono essere discontinuità nelle funzioni termodinamiche nei punti corrispondenti agli zeri. 50

51 5.2. Calcolo degli zeri 51 In quest ottica Lee e Yang hanno dimostrato rigorosamente che la funzione di partizione è completemente determinata dalla distribuzione dei suoi zeri nel limite termodinamico, e che il comportamento critico è determinato solamente da quelli prossimi ai valori fisici della temperatura, cioè quelli reali positivi. Nel caso del Gasket dall assenza di transizioni di fase a temperatura finita si sa che gli zeri non si possono avvicinare all asse reale se non in corrispondenza di T = Calcolo degli zeri Per ottenere in gli zeri della funzione di partizione sarà comodo usare una variante della ricorrenza già studiata al capitolo terzo: Γ n+1 = Γ 3 n + Γ 3 n = = (Γ n + Γ n )(Γ 2 n Γ n Γn + Γ 2 n ) Γ n+1 = Γ 3 2 n + Γn Γn = = (Γ n + Γ 2 n ) Γ n con le condizioni iniziali Γ 0 = 1 + z 3 = (1 + z)(1 z + z 2 ) Γ 0 = z + z 2 = z(1 + z) in cui ( ) J z = tanh kt Si può notare che le due funzioni iniziali contengono entrambe il fattore 1 + z e che, siccome entrambe le ricorrenze sono date da polinomi omogenei di terzo grado, tale fattore sarà contenuto nei termini n-esimi elevato alla potenza 3 n. Inoltre, ad ogni n, si formano nuovi fattori comuni a Γ n+1 e Γ n+1 perché le due equazioni che li determinano hanno il fattore Γ n + Γ n in comune. Tenendo conto di tutto ciò si vede che Γ n e Γ n si possono fattorizzare come n Γ n = (p n+1 (z) z 2n ) (p k (z)) 3n k Γ n = z 2n n k=0 k=0 (p k (z)) 3n k

52 52 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione con i p n dati da p 0 = 1 + z p 1 = 1 + z 2 p n+1 = p 2 n 3p n z 2n 1 + 4z 2n per n 1 (il risultato si dimostra per induzione). In questo modo si vede che gli zeri della funzione di partizione alla n-esima generazione (Γ n ) sono dati dagli zeri dei polinomi p k fino all n-esimo più quelli di p n+1 z 2n ; si nota però che mentre i primi sono destinati a rimanere zeri delle generazioni successive (con molteplicità che crescono esponenzialmente) e quindi a dare un contributo nel limite termodinamico, i secondi sono quelli che sentono gli effetti di bordo e non verranno ripetuti in seguito. La tabella 1 riporta i primi polinomi p n con i relativi zeri. n p n zeri z z 2 i i 2 1 3z + 6z 2 3z 3 + z 4 3 i i i i i i i i Tab. 1: Zeri dei primi polinomi p n Partendo da queste considerazioni per studiare gli zeri definitivi si è prodotto un programma al calcolatore per calcolare i polinomi p n, trovarne gli zeri reali e visualizzare i risultati per mezzo di grafici: ciò che ci si aspetta è che gli zeri si addensino intorno all asse reale solo in prossimità di z = 1 (che corrisponde a T =0). Ciò che invece si vede dai grafici relativi alle prime generazioni di Gasket è che l avvicinamento all asse reale è molto lento e, per di più, gli zeri più vicini ad esso sono ancora molto

53 5.2. Calcolo degli zeri p 1 - p p 6 p Fig. 14: Zeri dei polinomi p n nel piano z = tanh J kt

54 54 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione lontani, tanto che se non si avessero i risultati precedenti si potrebbe pensare che ci sia una transizione a T finita (v. figura 14). Per risolvere tali dubbi e fornire informazioni supplementari riguardo alla transizione sarebbe necessario proseguire con i calcoli e trovare gli zeri dei polinomi relativi a n molto maggiori; essendo però tali polinomi di grado 2 n, i tempi di calcolo necessari per ottenere gli zeri con approssimazione sufficiente diventano presto proibitivi. Inoltre a mano a mano che si va avanti i nuovi zeri si scostano sempre meno dai precedenti rendendo quasi inutili le nuove informazioni che si hanno in tempi che crescono esponenzialmente. 5.3 Insieme degli zeri come Julia set Per ovviare a questo limite si è seguito un altro approccio che permette di ottenere gli zeri della funzione di partizione come il Julia set di una particolare funzione [9]. Per una trasformazione razionale il Julia set è l insieme dei punti del piano complesso che non appartengono a nessun bacino di attrazione; questi punti possono essere anche visti come gli attrattori della funzione inversa e possono perciò essere ottenuti attraverso la ripetizione indefinita di questa trasformazione inversa. Trovando una trasformazione di variabili che permette di passare dalla funzione di partizione della n-esima generazione a quella della (n + 1)-esima il corrispondente Julia set conterrà gli zeri del limite termodinamico; inoltre i punti ottenuti applicando la trasformazione inversa un numero finito di volte saranno gli zeri dei sistemi finiti corrispondenti. Per far ciò è però necessario ottenere la funzione di partizione in modo diverso da quello seguito fino ad ora. Su G 0 la funzione di partizione può essere vista come somma degli elementi di un tensore a tre indici (che corrispondono agli spin sui tre vertici) con Z 0 = σ 1,σ 2,σ 3 =±1 M σ 1σ 2 σ 3 0 M σ 1σ 2 σ 3 0 = exp[ βe(σ 1, σ 2, σ 3 )] In questo caso sono possibili solo due tipi di configurazioni con energia diversa:

55 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 55 se i tre spin sono uguali: E = 3J, M 0 = y 3 se due spin sono uguali ed il terzo è opposto E = J, M 0 = y 1 in cui si è utilizzata la variabile y def = e βj. Siccome ci sono 2 configurazioni corrispondenti al primo caso e 6 corrispondenti al secondo si ha Z 0 = 2y y Ora, passando a G 1, è nuovamente possibile scrivere Z 1 come somma degli elementi del tensore M σ 1σ 2 σ 3 1 = σ a,σ b,σ c=±1 M σ 1σ aσ b 0 M σaσ 2σ c 0 M σ bσ cσ 3 0 in cui σ 1, σ 2 e σ 3 sono i siti sui vertici, mentre σ a, σ b e σ c quelli sui lati. Tale tensore ha la stessa struttura di M 0 in quanto i valori possibili per M 1 sono due in corrispondenza dei casi già esaminati: o i tre spin sono uguali o ce ne sono due uguali fra loro ed il terzo è opposto. Si ha rispettivamente M 1 = 4y 3 + 3y + y 9 oppure M 1 = 3y 3 + 4y + y 5 Si può quindi ottenere M 1 da M 0 semplicemente con una trasformazione che cambi y 3 in 4y 3 + 3y + y 9 e y 1 in 3y 3 + 4y + y 5. Ciò si puo ottenere sostituendo a y la quantità e moltiplicando tutto per f(y) = ( y 8 y y ) 1 4 c(y) = y4 + 1 [ (y 4 + 3) 3 (y 8 y 4 + 4) ] 1 4 y 3 Riassumendo si ha Z 1 (y) = Z 0 (f(y)) c(y)

56 56 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione e, ragionando in maniera analoga, si ottiene la ricorsione valida per ogni n Ora si può mostrare che Z n+1 (y) = Z n (f(y)) [c(y)] 3n Z n (y) = 2 y 3n P n (y 4 ) dove P n (t) è un polinomio in t di grado 3 n con coefficiente di t 3n pari a 1. Per n = 0 questo è verificato con P 0 (t) = t + 3 mentre per n > 0 si verifica per induzione notando che sia f(y) che c(y) sono funzioni solo di y 4. A questo punto è comodo introdurre la variabile x def = y 4 per cui le funzioni che effettuano la trasformazione diventano e c(x) = (x + 1)x 3 4 f(x) = x2 x + 4 x + 3 [ (x + 3) 3 (x 2 x + 4) ] 1 4 Indicando allora con x i n gli zeri dei polinomi P n (x) si ha: Z n (x 1 4 ) = 2 x 3n /4 3 n i=1 (x x i n) e sostituendo questa espressione nella ricorrenza si ottiene, con pochi passaggi, 2x 3n n+1 i=1 (x x i n+1) = 2x 3n n i=1 { [(x 2 x + 4) x i n(x + 3)](x + 1) } Da questa equazione si vede come per ogni radice x i n di Z n si hanno come radici di Z n+1 il valore x = 1 e le due soluzioni dell equazione x i n = f(x i n+1) cioè le preimmagini di x i n sotto la trasformazione f. Così partendo dalla soluzione x 1 0 = 3

57 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 57 n zeri h( 3) 2 1 h( 1) h(h( 3)) 3 1 h( 1) h(h( 1)) h(h(h( 3))) n 1 h( 1)... h n 1 ( 1) h n ( 3) Tab. 2: Zeri della funzione di partizione si possono ottenere tutti gli zeri della funzione di partizione fino a qualsiasi n; indicando con h(x) l insieme delle preimmagini di x si ottengono i risultati mostrati in tabella 2 in cui bisogna tenere conto che h k (x) è un insieme di 2 k zeri. Analizzando questi primi casi si possono separare gli zeri transitori da quelli che permangono nel limite termodinamico: i primi sono gli zeri che discendono dalla soluzione -3 mentre gli altri sono quelli che discendono da -1. Inoltre siccome ogni zero genera la radice -1 questa sarà presente 3 n 1 volte fra gli zeri della n-esima generazione; gli zeri h( 1) saranno presenti tante volte quante -1 è presente nella generazione precedente e quindi 3 n 2 ed in generale i h j ( 1) saranno presenti 3 n j 1. Questo metodo ha il pregio di essere più veloce rispetto al precedente ed in poco tempo si riescono a riprodurre le immagini degli zeri già ottenute ma la crescita esponenziale degli zeri fa si che, volendoli calcolare tutti, in tempi ragionevoli si può andare avanti solo di poche generazioni. Il vero passo in avanti è dovuto al fatto che con questo metodo non è necessario calcolare tutti gli zeri della funzione di partizione ad una data generazione; è sufficiente conoscerne uno e da questo si può costruire una cascata di zeri delle generazioni successive. Un modo per ottenere zeri di generazioni molto grandi di Gasket (dell ordine di decine di migliaia) è quello di partire dal punto -1 (è da questo che derivano gli zeri permanenti ) ed ogni volta scegliere a caso una delle preimmagini del punto considerato. In questo modo non si ha una rappresentazione esatta di tutti gli zeri ma un campione rappresentativo che ha il pregio di contenere zeri di generazioni molto elevate. Purtroppo il vantaggio di questo modo di procedere è limitato in quanto anche per generazioni dell ordine suddetto la densità degli zeri nei pressi dell asse

58 58 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione reale è talmente bassa che campioni casuali come questi ne sono quasi privi (si veda figura 15 in cui gli zeri sono rappresentati nel piano della temperatutra) Fig. 15: zeri ottenuti col procedimento di scelta casuale L unico modo trovato per ottenere zeri nelle vicinanze di T = 0 è di forzare la scelta di una preimmagine rispetto all altra in modo da ottenere non una rappresentazione fedele degli zeri e della loro distribuzione ma un certo numeri di zeri nella zona che interessa. Se si considerano le due soluzioni dell equazione x = f(y) che sono: y = h 1 (x) = 1 + x x + x 2 2 y = h 2 (x) = 1 + x x + x 2 2

59 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 59 si ha che scegliendo con probabilità maggiore la seconda preimmagine, come in figura 16, gli zeri si avvicinano effettivamente al valore T =0. Questo andamento Fig. 16: zeri con probabilità 0.98 di scelta della preimmagine h 2 è confermato dalla figura 17 il cui si vede molto bene l andamento a potenza della parte immaginaria rispetto a quella reale nella variabile w = 1 x = e 4βJ. Analiticamente si può confermare questo andamento considerando la trasformazione relativa alla variabile w: g(w) = 1 f(x) x= 1 w = w(3w + 1) 4w 2 w + 1 Supponendo che I(w) = A R(w) b (dover indica la parte reale e I quella immaginaria), cioè w = t + iat b

60 60 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione Fig. 17: Grafico log log degli zeri nel primo quadrante nella variabile w = e 4βJ si può inserire tale forma nella trasformazione g per determinare il valore di b per il quale questa relazione è meglio conservata. Si ottiene: I(g(t + iat b )) = At b ( 1 + 8t + O(t min{3,2b 1} ) ) e A ( R(g(t + iat b )) ) b = At b ( 1 + 4bt + O(t min{3,2b 1} )) ) Pertanto si ha l uguaglianza dei coefficienti di t nella parentesi se si sceglie b = 2 Questo vuol dire che la curva w = t + iat 2

61 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 61 è quasi conservata dalla, trasformazione g, essendo I(g(w)) = A R(g(w)) 2 (1 + O(t 3 )) Densità degli zeri Ora, una volta visto che gli zeri vanno effettivamente a zero, per avere informazioni sull andamento critico è necessario calcolare che densità hanno questi zeri in prossimità di T =0; soprattutto ciò che conta è stabilire se tale densità (che da quanto visto fino ad ora è molto bassa) tende a zero o ad un valore finito seppur molto piccolo. Numericamente si è tentato di dare risposta semplicemente contando gli zeri trovati e normalizzando i conteggi rispetto a totale dei punti: questo è stato fatto sia raggruppando gli zeri con uguale parte reale e parte immaginaria minore di una determinata soglia sia dividendo il piano complesso i rettangoli uguali e contando gli zeri in essi contenuti. La figura 18 mostra la densità degli zeri con parte immaginaria minore di 0.5; da questa e dalle figure 19 e 20 si può intuire che la densità tende effettivamente a zero per T 0: infatti si può vedere come l aggiunta di una nuova generazione non porta cambiamenti apprezzabili dove già è presente una densità non nulla mentre allunga la coda verso T = 0 con valori in forte calo che sembrano tendere a zero. Questo fatto è inoltre confermato da una stima analitica che parte dall osservazione che gli zeri che più si avvicinano all origine sono quelli che derivano dall applicazione ripetuta della scelta della seconda preimmagine. Si può vedere in figura 21 come queste serie di zeri riportati nel piano x = e 4βJ si dispongono su linee parallele all asse reale di punti equidistanziati. Infatti si può vedere analiticamente che per x h 2 (x) = x x + O(x 2 ) che, separando la parte reale e quella immaginaria, diventa mentre h 2 (u + iv) = (u u ) + iv + O(u 2 ) h 1 (x) = O(1)

62 62 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione densita parte reale di T Fig. 18: Densità degli zeri in funzione della parte reale Ciò mostra che continuando ad applicare h 2 a punti con parti reali grandi si ottengono nuovi punti con parte immaginaria pressoché immutata e parte reale aumentata di circa 4 unità mentre applicando h 1 si ritorna nei pressi dell origine. Si può quindi stimare che approssimativamente la densità di zeri d(u, v) sia fattorizzabile in due contributi, uno dipendente solo da u e l altro da v: d(u, v) = d 1 (u)d 2 (v) Per quanto riguarda d 1 si può stimare che, da un certo valore di u in poi, ad ogni generazione gli zeri con parte reale u saranno quelli ottenuti scegliendo la seconda preimmagine le ultime u + c volte (la costante c serve per tener conto della compli- 4

63 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 63 Fig. 19: Densità degli zeri nel piano complesso (scala logaritmica)

64 64 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione Fig. 20: Zoom della densità (in basso si vede come questa cambi al crescere del Gasket)

65 5.3. Insieme degli zeri come Julia set Fig. 21: Zeri nel piano x = e 4βJ (procedimento random con probabilità 0.95)

66 d(t r, T i ) = kd 2 (v)e u/4 (u 2 + v 2 )(log 2 (u 2 + v 2 ) + 4 arctan 2 v u )2 Tr,T i 66 Capitolo 5. Zeri della funzione di partizione cazioni che si hanno vicino all origine). Quindi questa frazione di zeri sarà dato da 1 2 elevato a tale numero e quindi proporzionale a exp( u/4). Siccome la densità totale d 1 è data dalla somma pesata delle densità relative alle singole generazioni che hanno tutte lo stesso andamento si ha che anche d 1 (u) exp( u/4) Per quanto riguarda invece d 2 è sufficiente notare che è una funzione limitata che assume valori non nulli solamente in un intervallo v 0 < v < v 0 con v 0 che vale circa 10. Quella trovata ora è la densità degli zeri nel piano di x = e 4βJ mentre ciò che interessa è quella nel piano della temperatura: per ottenerla è sufficiente dividere per lo Jacobiano della trasformazione T = 4 log x che in termini di parte reale e parte immaginaria diventa log(u 2 + v 2 ) T r = 8 log 2 (u 2 + v 2 ) + 4 arctan 2 v u arctan v T i = 16 u log 2 (u 2 + v 2 ) + 4 arctan 2 v u dove T r e T i sono, rispettivamente, la pate reale e la parte immaginaria della temperatura. Lo Jacobiano di tale trasformazione risulta essere: 256 (u 2 + v 2 )(log 2 (u 2 + v 2 ) + 4 arctan 2 v u )2 e quindi Ora questa densità per T 0, cioè per u + tende a zero (d 2 è limitata) come si era supposto dai conti numerici.

67 5.3. Insieme degli zeri come Julia set 67 Il fatto che si abbia una densità che tende esponenzialmente a zero per T 0 è consistente col fatto che, come si è visto in precedenza, l esponente critico per il Gasket è lo stesso del caso unidimensionale e, come è noto, nel caso della retta gli zeri della funzione non si muovono all aumentare delle dimensioni del sistema e non toccano mai, quindi, l asse reale. La decrescita esponenziale nel caso del Gasket, infatti, fa in modo che gli zeri nei pressi dell asse reale non riescano a dare un contributo di non analiticità all energia libera.

68 Capitolo 6 Carpet di Sierpinski Dopo aver studiato il modello di Ising sul Gasket si sono utilizzati gli stessi metodi sul Carpet, un frattale per certi versi simile al primo, con dimensione frattale maggiore ma sempre compresa fra 1 e 2 e con topologia a larga scala nettamente diversa. Il Carpet è ancora ottenibile attraverso un procedimento ricorsivo che permette di costruire una nuova generazione affiancando più copie di quella precedente ma ha caratteristiche che lo rendono più simile ad un reticolo quadrato: mentre, infatti, nel caso del Gasket è sufficiente tagliare un numero finito di legami per sconnetterne una parte arbitrariamente grande, nel caso del Carpet tale numero cresce come una potenza delle dimensioni della parte che si vole sconnettere, proprio come su un reticolo bidimensionale. Il Carpet di Sierpinki può, come il Gasket, essere costruito ripetendo all infinito un procedimento iterativo: la figura di partenza è un quadrato (C 0 ) e il passo ricorsivo consiste nell affiancare otto C n per formare un quadrato con un buco, il C n+1 (si veda fig 22). Il risultato di 4 iterazioni è mostrato in figura Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri Per utilizzare il metodo dei dimeri nel calcolo della funzione di partizione e delle grandezze termodinamiche che ci interessano è necessario utilizzare una variante di 68

69 6.1. Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri 69 Fig. 22: Prime iterazioni del Carpet tale procedimento che sostituisce al quadrato pieno iniziale un quadrato ruotato di 45 0 in cui i siti che considereremo sono i quattro vertici (si veda figura 24). In questo modo C n viene ad avere lato l n = 3 n in unità di misura in cui C 0 ha diagonale lunga 1, numero di legami L n = 4 8 n e numero di siti dato dalla ricorrenza N 0 = 4 N n+1 = 8(N n l n ) che risolta fornisce N n = 4 5 (2 3n n ) Ora, dati questi valori, si ha per la funzione di partizione Z (si veda eq. (3)): e per l energia libera per sito: ( Z = (2 3n +3 8 n ) cosh J ) 4 8 n ( Γ n tanh J ) kt kt f kt log [ 3 log cosh J ] + 5 kt 12 8 n log ( [Γ n tanh J )] kt in cui Γ n (z) è la funzione generatrice dei ricoprimenti con dimeri di C T n.

70 70 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski Fig. 23: Carpet di Sierpinski (C 4 )

71 6.1. Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri 71 Fig. 24: Prime iterazioni del Carpet modificato Ricorrenza per Γ n Per trovare i ricoprimenti di dimeri di Cn T si possono ripercorrere gli stessi ragionamenti fatti a riguardo del Gasket con la sola fondamentale variante che ora gli 1-simplessi dei Cn T che si uniscono a formare 3-simplessi su Cn+1 T non sono 3 ma sono 8l n, cioè tutti quelli che corrispondono ai punti sui lati dei C n che vengono a contatto. Questo porta a considerare qualsiasi disposizione di dimeri sui Cn T che possa non contenere un terminale di un numero (pari) qualsiasi dei simplessi sul perimetro. Per denotare le funzioni generatrici relative a tutti questi casi si utilizza la convenzione di contrassegnare con uno 0 gli 1-simplessi pieni, cioè quelli in cui entrambi i terminali appartengono a dimeri, e con 1 gli altri, cioè quelli in cui un punto è mancante; in tal modo la configurazione di un lato di Cn T viene ad essere univocamente individuata dall intero (compreso fra 0 e 2 3n 1) che ha come rappresentazione binaria la sequenza di 1 e 0 ottenuta leggendo di seguito le cifre sul lato stesso (da sinistra a destra su quelli orizzontali e dall alto al basso su quelli verticali). Indicando con D n (c alto, c destra, c basso, c sinistra ) le funzioni generatrici delle disposizioni che hanno le configurazioni dei indicate dai c lato si ha che Γ n = D n (0, 0, 0, 0) Bisogna ora tenere conto del fatto che non a tutte le possibili quaterne di numeri

72 72 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski (c 1, c 2, c 3, c 4 ) è possibille associare delle disposizioni di dimeri: infatti c è il vincolo che il numero totale di terminali mancanti in una disposizione deve essere pari e quindi deve esserlo anche il numero totale di cifre 1 presenti nelle quattro configurazioni. Le funzioni generatrici relative ai restanti casi sono pertanto nulle. Per n = 0 si hanno quattro possibili tipi di disposizioni che hanno funzioni generatrici non nulle: i quattro lati hanno configurazione 0 (ricoprimenti); due lati opposti hanno configurazione 1; due lati consecutivi hanno configurazione 1; tutti i lati hanno configurazione 1. Le rispettive funzioni generatrici sono D 0 (0, 0, 0, 0) = 1 + z 4 D 0 (1, 0, 1, 0) = D 0 (0, 1, 0, 1) = 2z 2 D 0 (1, 1, 0, 0) = D 0 (0, 1, 1, 0) = D 0 (0, 0, 1, 1) = D 0 (1, 0, 0, 1) = z + z 3 D 0 (1, 1, 1, 1) = 2z 2 (28) Ora per costrure D n+1 (0,0,0,0) è necessario considerare D n che hanno 0 come configurazione relativa ai lati che su Cn T sono esterni e configurazioni a due a due uguali sui lati che vengono a contatto come mostrato in figura 25. Si ha allora: = D n+1 (0, 0, 0, 0) = 2 3n 1 s i =0 [D n (0, s 1, s 8, 0)D n (0, s 2, 0, s 1 )D n (0, 0, s 3, s 2 )D n (s 3, 0, s 4, 0) D n (s 4, 0, 0, s 5 )D n (0, s 5, 0, s 6 )D n (s 7, s 6, 0, 0)D n (s 8, 0, s 7, 0)] in cui, per le considerazioni fatte in precedenza, danno un contributo non nullo solo i termini in cui le configurazioni s 1... s 8 sono tutte pari o tutte dispari, dove si intende che una configurazione è pari o dispari a seconda che lo sia il numero di 1 contenuti in essa.

73 6.1. Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri 73 s 1 s 1 s 2 s 2 s 8 s 3 s 8 s 3 s 7 s 4 s 7 s 4 s 6 s 6 s 5 s 5 Fig. 25: Schema della ricorrenza per D n (0, 0, 0, 0) Per costruire le altre D n è necessario introdurre tre funzioni p 1, p 2 e p 3 che, data una configurazione di un lato di Cn+1 T restituiscono le tre configurazioni da cui è composta, cioè le configurazioni dei lati dei tre Cn T che lo formano affiancandosi; in tal modo le configurazioni che devono avere i D n per formare un D n+1 sono quelle mostrate in figura 26. La generalizzazione dell equazione precedente che permette di calcolare le funzioni generatrici a qualsiasi ordine è: = D n+1 (c 1, c 2, c 3, c 4 ) = (29) 2 3n 1 s i =0 [D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 ))D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 ))] in cui, ancora, i termini che danno un contributo non nullo sono quelli in cui le configurazioni s i hanno parità tali che tutti i D n siano non nulli. È possibile determinare quanti sono questi termini con un semplice ragionamento. Infatti data una qualsiasi configurazione s 1, la sua parità insieme a quella della configurazione del lato esterno determina quella che deve avere s 2 per dare un fattore non

74 74 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski p 1 (c 1 ) p 2 (c 1 ) p 3 (c 1 ) p 3 (c 4 ) s 1 s 1 s 2 s 2 p 3 (c 2 ) s 8 s 3 p 2 (c 4 ) s 8 s 7 s 3 s 4 p 2 (c 2 ) p 1 (c 4 ) s 7 s 6 s 6 s 5 s 5 s 4 p 1 (c 2 ) p 1 (c 3 ) p 2 (c 3 ) p 3 (c 3 ) Fig. 26: Schema della ricorrenza per D n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) nullo; a questo punto è determinata anche quella che deve essere la parità di s 3 e così via fino ad arrivare alla configurazione s 8. Ogni volta che una configurazione deve avere una parità determinata il numero di possibili scelte diminuisce di un fattore 2 e siccome di tali costrizioni ce ne sono 7 (da s 2 a s 8 ), solo una frazione di 2 7 termini della somma è non nulla Risoluzione della ricorrenza per T =0 Quando T =0, cioè z=1 questa ricorrenza formisce semplicemente il numero di ricoprimenti di dimeri di Cn T. In questo caso la ricorrenza è notevolmente semplificata poiché, per ogni n, D n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) è indipendente dai c i ; infatti per n=0 si ha dall equazione (28) D 0 = 2 e, supponendo uguali i D k, i D k+1 si ottengono da somme dello stesso numero di termini uguali e pertanto risultano identici.

75 6.1. Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri 75 L equazione (29) diventa allora ( 2 3 n) 8 D n+1 = 2 7 D n 8 = 2 8 3n 7 D n 8 (30) che, con i metodi della sezione 1.2.2, fornisce il risultato: Γ n = D n = (8n 3 n ) Caso generale T > 0 Nel caso generale non è possibile (come per il Gasket) risolvere la ricorrenza ed è molto più difficile estrarre informazioni utili su eventuali transizioni di fase. Le differenze tra i due casi sono molteplici; innanzi tutto nel caso del Gasket le funzioni generatrici da calcolare rimanevano un numero finito (due) per ogni n mentre ora al crescere di n crescono esponenzialmente e ciò è dovuto al fatto che il grado di ramificazione sul Carpet è infinito. Il fatto che ora le quantità da calcolare siano un numero non limitato impedisce di poterle trattare singolarmente, una alla volta, come è invece possibile sul Gasket. Un altra caratteristica che agevola i calcoli sul Gasket e che è assente sul Carpet è che i polinomi che esprimono la ricorrenza sono fattorizzabili con fattori comuni: ciò è importante perché ha permesso delle semplificazioni attraverso l uso dei rapporti fra funzioni generatrici : questo può essere dovuto sia al numero maggiore di componenti (8 rispetto a 3), al fatto che questi componenti non sono tutti equivalenti (i quattro C n 1 ai vertici del quadrato sono connessi diversamente dai quattro nei lati, mentre i tre G n 1 sono, da questo punto di vista, equivalenti) oppure ancora alle complicazioni dovute al grado di ramificazione infinito del Carpet Magnetizzazione sul Carpet Considerando ora fissati gli spin sui lati esterni si può procedere al calcolo della magnetizzazione come mostrato al capitolo 2. La funzione generatrice Γ 1 n è semplicemente data dalla somma sulle configurazioni

76 76 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski dei lati dei D n : Γ 1 n = D n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) c 1,c 2,c 3,c 4 mentre per Γ 2 n bisogna considerare funzioni generatrici relative a disposizioni di dimeri su Cn T con un punto interno mancante che verranno denotate con E n (c 1, c 2, c 3, c 4 ). Siccome C 0 non ha punti interni, tutti gli E n sono nulli E 0 (c 1, c 2, c 3, c 4 ) = 0 per c 1, c 2, c 3, c 4 = 0, 1 Per quanto riguarda la ricorrenza bisogna tener conto che il punto mancante su C T n può, come per il Gasket, essere ereditato da uno degli otto C T n 1 oppure rimanere in uno qualsiasi dei 3-simplessi nuovi ottenuti in corrispondenza dei punti di congiunzione; ora, inoltre, c è anche un altra possibilità e cioè che appartenga ad uno dei lati del buco centrale. Quindi, denotando con i n (c) la funzione che restituisce la configurazione che si ottiene dalla c invertendo l n-esima cifra binaria si ottiene l equazione (37) riportata in appendice; in questa equazione i primi otto termini sono prodotti in cui un D n è sostituito da un E n (il punto mancante è ereditato), gli otto seguenti corrispondono ad accoppiamenti mancati sugli otto lati di congiunzione mentre gli ultimi quattro corrispondono ai punti mancanti sul perimetro del buco interno. È inoltre necessario tener conto del fatto che questa volta E n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) è diverso da zero solo se la parità dell insieme delle quattro configurazioni è dispari (deve essere infatti dispari il numero di punti mancanti sui lati, essendocene già uno all interno). Anche da questa come dalla equazione (29) non è possibile trarre informazioni utili se non nel caso semplice T =0. In questo caso (z=1) si può mostrare per induzione l indipendenza degli E n dalle configurazioni sui lati, cioè E n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) = E n per c 1, c 2, c 3, c 4 = n 1 ed ottenere dall equazione (37) E n+1 = 2 8 3n 7 ( 8D n 7 E n n D n 8 )

77 6.2. Zeri della funzione di partizione 77 Ora, introducendo il rapporto e n = E n D n e tenendo conto dell equazione (30) si ottiene: e n+1 = 8e n n Risolvendo questa ricorrenza con e 0 = 0 si ha: Tenendo allora conto che ed analogamente per la magnetizzazione si ha come ci si aspetta. M n = 1 N n (4l n + e n ) e n = 12 5 (8n 3 n ) Γ 1 n = 2 4 3n 1 D n Γ 2 n = 2 4 3n 1 E n 5 = 4(2 3 n n ) = 1 [ 4 3 n + 12 ] 5 (8n 3 n ) 6.2 Zeri della funzione di partizione Nel caso del Carpet non è possibile trovare una fattorizzazione che permetta di semplificare il calcolo della funzione di partizione quindi per la ricerca degli zeri è necessario utilizzare la ricorrenza trovata in precedenza. Purtroppo i tempi di calcolo salgono in maniera vertiginosa in quanto per calcolare una funzione generatrice della n + 1-esima generazione è necessaria una somma di 2 8 3N 7 termini non nulli, e tutto questo deve essere ripetuto per ciascunna delle possibili 2 4 3n 1 configurazioni sui lati. Questo numero potrebbe essere ridotto tenendo conto delle simmetrie di rotazione e di riflessione esistenti sul Carpet ma anche facendo ciò il guadagno è di una fattore minore

78 78 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski di 16 (tenendo conto delle rotazioni di multipli di 90 o e delle riflessioni rispetto agli assi del quadrato): ad esempio per n=0 si hanno 4 casi invece di 8 e per n=1 607 casi distinti invece di Per questi motivi anche utilizzando il calcolatore si è potuti arrivare al calcolo degli zeri della funzione di partizione solamente fino a n=2: in figura 27 si vedono i risultati per n=1 ed n=2 (per n=0 si ha Γ 0 = 1 + z 4 e i quattro zeri sono le radici quarte di -1) riportati sul piano della temperatura nella stessa scala usata per il Gasket. Da questi risultati non è possibile trarre alcun dato certo sulla presenza o meno di una transizione di fase a temperatura finita perché gli zeri sono ancora troppo lontani dall asse reale. Per tentare di avere ugualmente qualche indicazione si è provato a rappresentare gli zeri in altre variablili correlate alla temperatura e si è visto che si hanno grafici abbastanza regolari nel piano β = 1 (si veda figura 28). Qui si vede abbastanza kt chiaramente che gli zeri che si avvicinano all asse reale sono quelli che nel piano della temperatura hanno parte reale maggiore di 1 e quindi, in linea di massima, l andamento iniziale è simile a quello che si ha per il Gasket. Dalla seconda delle fig. 28 si sarebbe portati a concludere che gli zeri possono toccare l asse reale a β finito (e quindi a T finita), però bisogna tenere conto che, a differenza del Gasket, gli zeri così trovati non sono definitivi ma si possono spostare da una generazione all altra. Quindi non è detto che i nuovi zeri proseguano lungo le linee secondo cui sono disposti i vecchi, come si vede ad esempio nel passaggio fra la prima e la seconda generazione. Purtroppo nel caso del Carpet non è possibile neppure un approccio come quello che ha permesso di vedere gli zeri come preimmagini di una determinata trasformazione perché ora non è più possibile suddividere tutte le possibili configurazioni dei punti di contatto in due sole classi di equivalenza.

79 6.2. Zeri della funzione di partizione Fig. 27: Zeri di Γ 1 e Γ 2 nel piano della temperatura.

80 80 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski Fig. 28: Zeri di Γ 1 e Γ 2 nel piano dell inverso della temperatura.

81 6.3. Approccio di Peierls-Griffiths alla transizione di fase sul Carpet 81 Fig. 29: Esempio di bordi relativi ad una configurazione su reticolo quadrato 6.3 Approccio di Peierls-Griffiths alla transizione di fase sul Carpet Accenneremo ora ad un metodo differente per lo studio delle transizioni di fase sul Carpet. Esso si basa sulla dimostrazione diretta della presenza di una magnetizzazione spontanea, e quindi di transizione di fase a temperatura finita, seguendo l approccio di Peierls (nella versione di Griffiths [10]) relativo al caso bidimensionale. Questa dimostrazione parte disegnando i bordi che, in ogni configurazione, separano gli spin con valore +1 da quelli con valore -1 con verso tale da tenere sempre sulla destra i - e a sinistra i + (figura 29); dove questo porta a due possibilità (cioè quando un bordo passa due volte per lo stesso punto) si fa in modo che il bordo pieghi a destra. Seguendo queste convenzioni si ha che due bordi non si incrociano mai (e nemmeno un bordo con se stesso). Se si impone che gli spin dei siti sul perimetro esterno siano tutti +, allora tutti i bordi che si disegnano sono curve chiuse. La magnetizzazione sarà semplicemente data da: M = N + N N = 1 2 N N Nel caso del reticolo quadrato il fatto che un bordo di lunghezza b possa racchi-

82 82 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski udere al più b 2 /16 siti permette, per ogni configurazione, di scrivere N b=4,6,8... dove m(b) è il numero di bordi possibili di lunghezza b e X (i) b è presente nella configurazione e 0 in caso contrario. m(b) b X (i) b (31) 16 i=1 vale 1 se l i-esimo bordo Per ottenere un limite superiore per m(b) si può scegliere un sito qualsiasi, scegliere uno dei quattro possibili lati e per altre 3 n 1 volte scegliere una delle tre possibilità restanti per proseguire il bordo; tenendo conto che si può ottenere lo stesso bordo partendo da b punti diversi si ha m(b) 4N3b 3b (32) Si consideri ora l i-esimo bordo di lunghezza b, indicato con B. La probabilità che tale bordo sia peresente, cioè il valore di aspettazione di X (i) b i e βe i X (i) b = i e βe i dov la somma al numeratore è ristretta alle configurazioni in cui è presente il bordo B. Se C è una di queste configurazioni e C è la corrispondente configurazione in cui tutti gli spin dentro al bordo B sono invertiti le loro energie sono in relazione: E C = E C + 2Jb Restringendo la somma al denominatore nell equazione (33) alle sole configurazioni C ottenute dalle configurazioni al numeratore invertendo gli spin all interno di B si ottiene un limite superiore è (33) X (i) b e 2Jb/kT (34) Prendendo ora il valore di aspettazione di ambo i membri dell equazione (31) si ottiene N N 12 b=4,6,8... b3 b e 2Jb/kT (35) Posto κ = 3e 2Jb/kT

83 6.3. Approccio di Peierls-Griffiths alla transizione di fase sul Carpet 83 la serie converge se κ < 1 ed in questo caso N Nκ4 6 2 κ 2 (1 κ 2 ) 2 In questo modo, per temperature sufficientemente basse si possono ottenere valori di aspettazione con magnetizzazione N N (T ) < N 2 M M(T ) > 0 Queste disuguaglianze sono indipendenti da N e quindi sono valide nel limite termodinamico. Per estendere questa dimostrazione al Carpet è innanzi tutto necessario tornare a considerare la versione originale e non quella modificata per il calcolo con i dimeri. Per evitare ambiguità nel disegnare i bordi è ora necessario introdurre una regola da seguire quando si incontra un buco; una possibile convenzione è quella di piegare sempre sulla destra (seguendo il verso dei bordi). Il ragionamento seguito nel caso del reticolo quadrato può essere ripetuto se si modificano opportunamente le disuguaglianze (32) e (34) ed il numero massimo di siti contenuti all interno di un bordo di lunghezza b. Per prima cosa si può notare che il limite dato dell equazione (34) può essere ancora considerato valido pur di non includere i confini dei buchi nella lunghezza b dei bordi: infatti i bordi che effettivamente contano sono quelli che separano spin di segno diverso e che danno quindi un contributo all energia. Il numero di siti racchiusi da un bordo di lunghezza b è ancora proporzionale ad una potenza di b ma l esponente non è più 2 ma 3: infatti i buchi diminuiscono il numero dei siti, ma se non si conta la parte di bordo che confina con i buchi anche la lunghezza del bordo è molto minore rispetto al caso del reticolo quadrato; nel caso limite la parte di bordo che interessa può ridursi ad un insieme di Cantor. L esponente 3 è allora dato dalla dimensione frattale del Carpet ( log 8 ) divisa per quella dell insieme log 3 di Cantor ( log 2 ). log 3 Ora, perché si abbia la convergenza della serie N cn b=2,3,4... b 3 e 2Jb/kT m(b) (36)

84 84 Capitolo 6. Carpet di Sierpinski Fig. 30: C 2 e grafo modificato per il conteggio dei cammini chiusi corrispondente alla (35) e necessario che m(b) non cresca più che esponenzialmente, cioè m(b) cost. k b con k costante. Per trovare un limite superiore per m(b) bisogna ora considerare un grafo così costruito: i punti sono i vertici dei siti del Carpet identificando tutti quelli che appartengono al perimtro di un buco, le linee sono i lati dei siti esclusi quelli che formano il perimetro dei buchi (v fig 30); m(b) è allora dato dal numero dei cammini chiusi su tale grafo che non passano più volte per la stessa linea. Indicando con A n la matrice di adiacenza del grafo modificato delativo a C n si ha che il numero di cammini chiusi di lunghezza b è dato dalla traccia di (A n ) b. Se si indicano con λ i n gli autovalori di A n si ha m(b) i (λ i n) b con i che va da 1 a (8 8 n 1)/7 (la dimensione di A n ) e la minorazione è dovuta al fatto che il secondo membro comprende anche i cammini che passano più volte dalla stessa linea. Non potendo calcolare gli autovalori relativi ad ogni n l unica cosa certa è che tutti sono minori od uguali a quello massimo, il quale, a sua volta, è minore od uguale al

85 6.3. Approccio di Peierls-Griffiths alla transizione di fase sul Carpet 85 numero di coordinazione massimo del grafo. Tale numero di coordinazione è quello relativo al punto corrispondente al buco centrale ed è pertanto pari a 4(3 n 1 + 1). Tenendo conto di tutto ciò la limitazione che si ottiene è m(b) 8 [ 7 8n 4(3 n 1 + 1) ] b che dipende da n e non è sufficiente a garantire la convergenza della serie (36).

86 Capitolo 7 Conclusioni Per quanto riguarda i metodi utilizzati si è visto come lo studio degli zeri della funzione di partizione contenga tutte le informazioni necessarie alla determinazione dell andamento critico; non solo, infatti, permette di determinare i punti critici, ma anche gli esponenti critici. Questo purchè non ci si limiti a considerare dove cadono gli zeri ma si studi anche la loro densità che, come nel caso del Gasket, può assumere un andamento fortemente irregolare. Uno studio approfondito richiede inoltre molta attenzione quando si tenta di estrarre informazioni sul limite termodinamico da sistemi finiti. Passando ai risultati ottenuti si ha che tutti i metodi utilizzati mostrano come il comportamento critico del modello di Ising sul Gasket è lo stesso del reticolo unidimensionale: esiste solo il punto critico T = 0 e il relativo esponente critico è α = 1. Questo è dovuto, con ogni probabilità, al grado di ramificazione finito: così come in una catena lineare è sufficiente eliminare due legami per isolare un numero qualsiasi di siti consecutivi, così sul Gasket è possibile, mediante l eliminazione di un numero finito di legami, sconnettere parti di dimensione arbitraria. Il fatto che la struttura sia più complessa rispetto alla retta (ad esempio sono presenti loop ad ogni scala) porta ad alcune complicazioni (non si riesce ad esprimere le grandezze termodinamiche in forma chiusa, gli zeri di Lee Yang si dispongono su un frattale con una densità irregolare) ma non altera in modo essenziale il comportamento critico. Diversamente, nel caso del Carpet, il grado di ramificazione infinito e le altre pecu- 86

87 87 liarità discusse in precedenza non hanno permesso, per ora, di giungere a conclusioni definitive sulla presenza o meno di transizioni di fase a T finita. Questo è un problema di grande importanza: se infatti non ci fosse transizione, con ogni probabilità il reticolo bidimensionale sarebbe la soglia fra i sistemi in cui questa è assente o presente e il parametro determinante sarebbe la dimensione; se, invece, ci fosse la transizione il parametro rilevante che la determina sarebbe probabilmente il grado di ramificazione infinito. Oltre a stabilire se sul Carpet è presente una transizione il prossimo passo necessario per arrivare ad una migliore comprensione delle transizioni di fase del modello di Ising su grafi è quello di stabilire con esattezza le classi di universalità a cui appartengono i grafi studiati e quindi l insieme di strutture su cui sono validi i relativi risultati.

88 Appendice A Ricorrenza per gli E n Si riporta ora l equazione che definisce la ricorrenza per gli E n non inserita nel testo per motivi di spazio. E n+1 (c 1, c 2, c 3, c 4 ) = (37) 2 3n 1 s i =0 {E n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 ))E n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) E n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) E n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) E n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) 88

89 89 D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) E n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) E n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) E n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) n m=1 [D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, i m (s 1 )) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, i m (s 2 )) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (i m (s 3 ), p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (i m (s 4 ), p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, i m (s 5 ), p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, i m (s 6 ), p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) +

90 90 Appendice A. Ricorrenza per gli E n D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, i m (s 7 ), p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, i m (s 8 ), p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, i m (0), s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, i m (0)) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (i m (0), s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, 0, s 7, p 2 (c 4 )) + D n (p 1 (c 1 ), s 1, s 8, p 1 (c 4 )) D n (p 2 (c 1 ), s 2, 0, s 1 ) D n (p 3 (c 1 ), p 1 (c 2 ), s 3, s 2 ) D n (s 3, p 2 (c 2 ), s 4, 0) D n (s 4, p 3 (c 2 ), p 3 (c 3 ), s 5 ) D n (0, s 5, p 2 (c 3 ), s 6 ) D n (s 7, s 6, p 1 (c 3 ), p 3 (c 4 )) D n (s 8, i m (0), s 7, p 2 (c 4 ))] }

91 Bibliografia [1] P.W. Kasteleyn, Graph Theory and Crystal Physics in F. Harary, Graph Theory and Theoretical Physics Academic Press, London, 1967 [2] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Matematica Discreta Hoepli, Milano [3] R. Fieschi, R. De Renzi, Struttura della materia La Nuova Italia Scientifica, 1995 [4] Thompson, Mathematical Statistical Mechanics Macmillan, New York, 1972 [5] G. Parisi, Statistical Field Theory Addison-Wesley, 1988 [6] R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics Academic Press, London, 1982 [7] C.N Yang and T.D. Lee, Phis. Rev. 87, 404 (1952) 91

92 92 BIBLIOGRAFIA [8] T.D. Lee and C.N Yang, Phis. Rev. 87, 410 (1952) [9] B. Derrida, L De Seze and C. Itzykson, J. Stat. Phys. 33, 559 (1983) [10] R.B. Griffiths, Phis. Rev A, A 437 (1964)

93 Indice Introduzione 2 1 Nozioni preliminari Grafi: definizioni e terminologia Risoluzione delle ricorrenze Ricorrenze lineari Successioni definite a partire da altre successioni Modello di Ising e ricoprimenti con dimeri Funzione di partizione Funzioni termodinamiche Magnetizzazione Gasket di Sierpinski Gasket di Sierpinski Ricoprimenti del Gasket terminale Funzione generatrice dei ricoprimenti Funzioni termodinamiche Energia libera Energia media e calore specifico Esponente critico Magnetizzazione sul Gasket di Sierpinski Due lemmi preliminari

94 94 INDICE 4.2 I caso: spin fissati sui vertici Temperatura nulla Temperatura T > II caso: spin fissati sul perimetro esterno Temperatura nulla Temperatura T > Commenti Zeri della funzione di partizione Caratterizzazione di Lee-Yang delle transizioni di fase Calcolo degli zeri Insieme degli zeri come Julia set Densità degli zeri Carpet di Sierpinski Modello di Ising sul Carpet: metodo dei dimeri Ricorrenza per Γ n Risoluzione della ricorrenza per T = Caso generale T > Magnetizzazione sul Carpet Zeri della funzione di partizione Approccio di Peierls-Griffiths alla transizione di fase sul Carpet Conclusioni 86 A Ricorrenza per gli E n 88 Bibliografia 91 Indice 93

95 Indice delle Tabelle 1 Zeri dei primi polinomi p n Zeri della funzione di partizione

96 Indice delle Figure 1 Esempio di grafo con relativo grafo terminale Esempi di sottografi di tipo 1 e di tipo Prime iterazioni della costruzione del Gasket Gasket di Sierpinski (ottenuto con 7 iterazioni) Costruzione dei Gasket terminali Schema dei modi possibili per costruire ricoprimenti Schema dei modi possibili per costruire quasi-ricoprimenti Risoluzione grafica della ricorrenza: esempio con r 0 = Grafici di u(t ) e c v (T ) Grafici di S(x), S (x) e S (x) Schema delle funzioni generatrici a, b 0 e b 1, c 0 e c Schema delle ricorrenze per Γ 1, a, b 0 e b Schema della ricorrenza per α Zeri dei polinomi p n nel piano z = tanh J kt zeri ottenuti col procedimento di scelta casuale zeri con probabilità 0.98 di scelta della preimmagine h Grafico log log degli zeri nel primo quadrante nella variabile w = e 4βJ Densità degli zeri in funzione della parte reale Densità degli zeri nel piano complesso (scala logaritmica) Zoom della densità (in basso si vede come questa cambi al crescere del Gasket) Zeri nel piano x = e 4βJ (procedimento random con probabilità 0.95) Prime iterazioni del Carpet

97 Indice delle figure Carpet di Sierpinski (C 4 ) Prime iterazioni del Carpet modificato Schema della ricorrenza per D n (0, 0, 0, 0) Schema della ricorrenza per D n (c 1, c 2, c 3, c 4 ) Zeri di Γ 1 e Γ 2 nel piano della temperatura Zeri di Γ 1 e Γ 2 nel piano dell inverso della temperatura Esempio di bordi relativi ad una configurazione su reticolo quadrato C 2 e grafo modificato per il conteggio dei cammini chiusi