Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

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1 a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Polinomio di Taylor Siano A un intervallo, f : A R, x 0 Å, n N. Supponiamo che f sia derivabile n volte in x 0. La funzione polinomiale P n (x) := n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x 0. Grado?

3 Casi particolari Il polinomio di Taylor di ordine 0 è P 0 (x) = f (x 0 ); il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 1 è P 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ); il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 2 è P 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 ; 2 se f (x 0 ) 0, il suo grafico è una parabola tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )) (parabola osculatrice).

4 Polinomio di Taylor di alcune funzioni elementari Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 P n (x) = 1 + x + x x 3 3! + x 4 4! x n n! Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 2n+1 (x) = P 2n+2 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! Funzione coseno: f (x) = cos(x), x 0 = 0 P 2n (x) = P 2n+1 (x) = 1 x x 4 4! x 6 x 2n ( 1)n 6! (2n)!

5 Funzione logaritmo: f (x) = ln(x), x 0 = 1 P n (x) = (x 1) (x 1)2 2 + (x 1)3 3 (x 1)4 4 Equivalentemente: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 P n (x) = x x x 3 3 x x n ( 1)n 1 n n 1 (x 1)n ( 1) n Guardiamo qualche grafico... vai

6 Introduciamo la funzione differenza T n (x) := f (x) P n (x) (x A) che si chiama resto di Taylor di ordine n e centro x 0. I grafici che abbiamo visto suggeriscono le seguenti proprietà: per ogni n fissato: T n (x) è uguale a zero in x 0, piccolo vicino a x 0, grande lontano da x 0. per x fissato (in R per exp, sin; in (0, 2) per ln): al crescere di n, T n (x) decresce e tende a zero.

7 Alcune proprietà della funzione resto T n Supponiamo f derivabile n volte in A. Allora: (a) T n è derivabile n volte in A; (b) T n e tutte le sue derivate fino all ordine n sono nulle in x 0 ; (c) T n (x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x x 0 ) n, cioè T n (x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Verifica... Osservazione (b) e (c) caratterizzano il polinomio di Taylor tra tutti i polinomi di centro x 0 e ordine n.

8 Utilizzando la notazione degli o piccolo, otteniamo: Formula di Taylor con il resto di Peano Siano A un intervallo, f derivabile n volte in A, x 0 Å. Allora: per ogni x A si ha f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! polinomio di Taylor (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ). resto di Peano Esempio Scrivere la formula di Taylor con il resto di Peano di centro x 0 = 0 e ordine n = 2 della funzione f (x) = (1 + x) α (α R \ N).

9 Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari (centro x 0 = 0) n e x x k = k! + o(x n ) sin(x) = cos(x) = ln(1 + x) = k=0 n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x 2n+2 ) n ( 1) k k=0 n ( 1) k 1 x k k=1 x 2k (2k)! + o(x 2n+1 ) k + o(x n ) Ritroviamo i limiti notevoli...

10 Applicazione: risoluzione di alcune forme di indecisione Supponiamo che il limite per x x 0 di una certa funzione f presenti una forma di indecisione; f sia ottenuta come combinazione di funzioni, almeno una delle quali non è di tipo polinomiale; tali funzioni non polinomiali siano derivabili un certo numero di volte nel punto x 0. Procediamo così: per ciascuna delle funzioni non polinomiali coinvolte nel limite, scriviamo lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano) con centro nel punto in cui calcoliamo il limite, troncato a un ordine opportunamente scelto; sostituiamo gli sviluppi nel limite e trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore.

11 Esempi lim x 0 lim x 0 e x 1 x x 2 sin(x 2 ) ln(1 + x 2 ) 3x 4 sin(x) x lim x 0 x 5 x ln(1 x) + tan(x 2 ) lim x 0 x(cos(2x) 1) lim x 1 arctan(ln(x)) x + 1 (x 1) 2 Esercizio Verificare che la serie di termine n 3 + n 1 converge.

12 Applicazione: interpretazione geometrica della derivata seconda Dalla formula di Taylor con il resto di Peano di ordine 2: [ ] f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + o((x x 0 ) 2 ) 2 Interpretazione: f (x 0 ) determina lo scostamento del grafico di f dalla retta tangente al grafico in x 0, nei punti vicini a x 0.

13 Formula di Taylor con il resto di Lagrange Siano A un intervallo, f derivabile n+1 volte in A, x 0 Å. Allora: per ogni x A esiste un punto c x, compreso tra x e x 0, tale che n f (k) (x 0 ) f (x) = (x x 0 ) k + f (n+1) (c x ) (x x 0 ) n+1. k! (n + 1)! k=0 polinomio di Taylor Per n = 0: teorema del valor medio di Lagrange. resto di Lagrange Applicazione: irrazionalità del numero di Nepero...

14 Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni Rileggiamo la formula di Taylor con il resto di Lagrange: f (x) = P n (x) + f (n+1) (c x ) (x x 0 ) n+1. (n + 1)! } {{ } } {{ } polinomio di Taylor resto di Lagrange valore incognito valore noto errore Casi particolari: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (c x ) (x x 0 ) 2 2 valore valore noto errore incognito f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + f (c x ) (x x 0 ) 3 2 3! valore valore noto errore incognito

15 Esempio Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 9 e ordine 3 della funzione f (x) = x per calcolare un valore approssimato di 11. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione e determinare un intervallo che contiene 11.

16 Serie di Taylor Sia f una funzione derivabile indefinitamente in A, intorno di x 0. Per ogni x A possiamo considerare la serie + n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n che chiamiamo serie di Taylor di f di centro x 0. Qual è la somma parziale n-esima della serie di Taylor? Per x = x 0, la serie di Taylor di f converge e la sua somma è f (x 0 ). Cosa possiamo dire per x x 0? Per quali x converge? Se converge in x, la somma è f (x)? (intervallo di convergenza) In generale: no! Diciamo che f è sviluppabile in serie di Taylor in A se per ogni x A la serie di Taylor di f converge in x e la somma è f (x).

17 Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari Le funzioni esponenziale, seno, coseno sono sviluppabili in serie di Taylor in R. Esplicitando, per ogni x R: e x = sin(x) = + n=0 + n=0 x n n! ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! cos(x) = + n=0 ( 1) n x 2n (2n)! verifichiamo questa... Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di precisione arbitrariamente fissato Determinare valori approssimati a meno di 10 4 di 1 sin(0.5), cos( 1), 5 e (Tenere presente la maggiorazione del resto prevista dal criterio di Leibniz.)

18 Teorema (integrazione termine a termine delle serie di potenze) Sia {c n } una successione e sia x 0 R. Se la serie di termine c n (x x 0 ) n converge nell intervallo A, allora per ogni x A (con la possibile inclusione degli estremi) si ha x + x 0 n=0 c n (t x 0 ) n dt = + x n=0 x 0 c n (t x 0 ) n dt estensione della proprietà di linearità dell integrale rispetto alla somma Applicazione: integrazione approssimata Quando non si riesce a determinare esplicitamente una primitiva di f, non si può utilizzare la FFCI per calcolare l integrale definito di f su un certo intervallo. Se si riesce a sviluppare in serie la funzione integranda, si può ricorrere al teorema di integrazione termine a termine e calcolare un valore approssimato dell integrale.

19 Procedimento: sviluppo in serie (di Taylor) della funzione integranda sviluppo in serie (numerica) dell integrale definito calcolo approssimato della somma della serie numerica Esempi Calcolare un valore approssimato dell integrale definito 1 0 e x2 dx con un errore inferiore a Approssimare l integrale definito inferiore a sin(x) x dx con un errore

20 Sviluppabilità in serie di Taylor della funzione logaritmo La funzione logaritmo naturale è sviluppabile in serie di Taylor in (0, 2]. Esplicitando, per ogni x ( 1, 1]: ln(1 + x) = + n=1 ( 1) n 1 x n n verifichiamo... Esempio Determinare valori approssimati a meno di 10 4 di ln(1.1), ln(0.7), ln(10).

21 Esercizio + Provare che arctan(x) = ( 1) n x 2n+1 2n + 1 n=0 per ogni x [ 1, 1]. [Procedere come nella verifica della sviluppabilità della funzione logaritmo, 1 esprimendo la funzione come somma di una serie di potenze.] 1 + x 2 Esercizio Utilizzare l esercizio precedente per determinare un valore approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10 2 ; specificare se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto.

22 A P P E N D I C E : G R A F I C I D I A L C U N I P O L I N O M I D I T A Y L O R

23 Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 1 P 0 (x) = 1

24 Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 1 P 1 (x) = 1 + x

25 Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 1 P 2 (x) = 1 + x + x 2 2

26 Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 1 P 3 (x) = 1 + x + x x 3 6

27 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 1 (x) = P 2 (x) = x

28 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 3 (x) = P 4 (x) = x x 3 6

29 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 7 (x) = P 8 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7!

30 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 17 (x) = P 18 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + x 17 17!

31 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 21 (x) = P 22 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + x 21 21!

32 Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 P 35 (x) = P 36 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + x 35 35!

33 Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = P 1 (x) = x