Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

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1 a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 60

2 Successioni numeriche Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in un insieme del tipo {n N n n 0 }, con n 0 numero naturale. Esempio: la relazione f (x) = x 2, la relazione f (x) = x 2, x [0, + ), definisce una funzione; x N, definisce una successione. Parlando di successioni, solitamente denotiamo la variabile indipendente con n il valore che la successione assume in un numero naturale n con il simbolo a n (oppure b n, x n,... ), chiamato termine n-esimo della successione l immagine della successione con {a n } n N (oppure {a n }) Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati di coordinate (n, a n ), con n N, n n 0. 2 / 60

3 Esempi di successioni numeriche (1) a n = 1 n a_n n 1.2 (2) a n = n 1 n a_n n 3 / 60

4 1 (3) a n = ( 1)n n a_n n (4) a n = ( 1) n a_n n / 60

5 0 n (5) a n = n 2 a_n (6) a n = n! a_n n 5 / 60

6 Prolungamento di una successione Diciamo che una funzione f è un prolungamento della successione {a n } se f è definita nell intervallo [n 0, + ) e si ha f (n) = a n per ogni n n 0. Esempi La funzione f : [1, + ) R tale che f (x) = 1/x è il prolungamento naturale della successione a n = 1/n, ottenuto sostituendo la variabile discreta n con la variabile continua x a_n 0.6 f(x) n x La successione a n = ( 1) n non ammette prolungamento naturale (perché?) ma ammette prolungamento; per esempio, la funzione f : [1, + ) R tale che f (x) = cos(πx). 6 / 60

7 Successioni limitate Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni limitate inferiormente limitate superiormente limitate nonché di estremo inferiore ed estremo superiore minimo e massimo di una successione. Esempio Stabilire per ognuna delle successioni (1) (6) se è limitata e determinarne estremo inferiore e superiore, precisando se sono minimo e massimo. 7 / 60

8 Successioni monotone Rileggendo la definizione di funzione monotona nel caso di una successione otteniamo, per esempio, che una successione è crescente se per ogni m, n interi, con m < n, si ha a m a n. In realtà, per verificare se una successione è monotona basta confrontare tra loro termini consecutivi. Precisamente, una successione {a n } è crescente se e solo se a n a n+1 per ogni n strettamente crescente se e solo se a n < a n+1 per ogni n decrescente se e solo se a n a n+1 per ogni n strettamente decrescente se e solo se a n > a n+1 per ogni n Esempio Studiare la monotonia delle successioni (1) (6). 8 / 60

9 Osservazioni Se una funzione prolungamento di una successione è monotona, anche la successione lo è. Vale il viceversa? Si potrebbe erroneamente pensare che la presenza del termine oscillante ( 1) n implichi mancanza di monotonia; non è detto che sia così. Esempio: a n = n + ( 1)n n. Verificare... Per farsi un idea dell andamento di una successione è utile esplicitarne i primi termini; tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire che la successione sia monotona. Esempio: a n = 10n n! Vedi pagina seguente 9 / 60

10 n 10 n 10 n n n! n! (I valori di 10 n n! sono arrotondati alla seconda cifra decimale.) 10 / 60

11 Proprietà vere definitivamente Diciamo che una proprietà P n è vera definitivamente se P n è vera per tutti gli n sufficientemente grandi, cioè se esiste ν N tale che la proprietà P n sia vera per ogni n ν. Esempi I termini della successione {n 5} sono definitivamente positivi. I termini della successione {( 1) n } non sono definitivamente positivi. I termini della successione { } {n 2 } sono definitivamente maggiori di n La successione è definitivamente decrescente. n! Osservazione Se le proprietà P n e P n sono entrambe vere definitivamente, allora anche la proprietà P n P n è vera definitivamente. Spiegare / 60

12 Successioni infinitesime Una successione {a n } di numeri positivi si dice infinitesima se per ogni ε > 0 la disuguaglianza a n < ε è vera definitivamente. Esplicitare... Esempi La successione costante a n 0 è infinitesima. Se p > 0, la successione a n = 1 n p è infinitesima. { } 3n + 1 La successione non è infinitesima. 2n Una successione {a n } di numeri qualsiasi si dice infinitesima se la successione { a n } è infinitesima. Esplicitare... Esempio La successione { } ( 1) n n 2 è infinitesima. 12 / 60

13 Successioni convergenti La successione {a n } si dice convergente se esiste a R tale che la successione {a n a} sia infinitesima. Esplicitare... In tal caso diciamo che {a n } converge ad a. Esempi La successione costante a n a converge ad a. { } n 1 La successione converge a 1. n Osservazione Una successione non può convergere a due numeri distinti. Verifica... Osservazione Ogni successione infinitesima è convergente. A quale numero? 13 / 60

14 Interpretazione grafica Esplicitiamo ulteriormente la definizione della pagina precedente: {a n } converge ad a se per ogni ε > 0 esiste ν ε N tale che la disuguaglianza a ε < a n < a + ε sia vera per ogni n ν ε. Da un punto di vista grafico, la disuguaglianza significa che il punto (n, a n ) si trova nella striscia orizzontale S a,ε delimitata dalle rette di equazione y = a ε e y = a + ε. Pertanto, la successione {a n } converge ad a se e solo se, per ogni ε > 0, il suo grafico è racchiuso nella striscia S a,ε, a partire da un certo punto in poi a_n a_n ε = 0.3 ν ε = 4 ε = 0.15 ν ε = n n 14 / 60

15 Successioni divergenti Si dice che la successione {a n } diverge positivamente se per ogni M > 0 la disuguaglianza a n > M è vera definitivamente. Si dice che la successione {a n } diverge negativamente se per ogni M > 0 la disuguaglianza a n < M è vera definitivamente. Interpretazione grafica? Esempi { } n + 1 La successione non diverge positivamente. n Se p > 0, la successione {n p } diverge positivamente. La successione { ln ( 1 n)} diverge negativamente. 15 / 60

16 Successioni regolari e loro limiti Una successione si dice regolare se è convergente oppure divergente. Una successione non regolare si dice irregolare o indeterminata. Se la successione {a n } è regolare, diciamo che {a n } ha limite e scriviamo a se {a n } è convergente e converge ad a lim a n = + se {a n } diverge positivamente n + se {a n } diverge negativamente si legge: limite per n che tende a più infinito di a n Notazione alternativa: a n l (si legge: a n tende a l) Osservazione Il limite di una successione regolare è un elemento di R. Precisare / 60

17 Esempio (da ricordare) Sia q R. La successione {q n } n N si chiama progressione geometrica di ragione q. (Per q = 0 si pone il primo termine uguale a 1.) Se q 1, la progressione geometrica è irregolare. Se q > 1, la progressione geometrica è regolare e si ha 0 se 1 < q < 1 lim n + qn = 1 se q = 1 + se q > 1 Verifica / 60

18 Proposizione (Limiti e limitatezza) Sia {a n } una successione regolare. {a n } converge = {a n } è limitata {a n } diverge positivamente = {a n } è illimitata superiormente {a n } diverge negativamente = {a n } è illimitata inferiormente Dimostrazione: immediata Osservazione Le implicazioni precedenti non possono essere invertite, in quanto esistono successioni limitate che non convergono, esistono successioni illimitate superiormente che non divergono positivamente, esistono successioni illimitate inferiormente che non divergono negativamente. Esempi? 18 / 60

19 Teorema (Regolarità delle successioni monotone) Ogni successione monotona è regolare. Precisamente: (1) {a n } crescente = lim n + a n = sup a n (2) {a n } decrescente = lim n + a n = inf a n Dimostrazione di (1)... Corollario del teorema RSM Supponiamo che la successione {a n } sia monotona. Allora: {a n } converge {a n } è limitata {a n } diverge {a n } è illimitata Confrontare con la proposizione di pagina / 60

20 Osservazioni La monotonia è una condizione sufficiente ma non necessaria affinché una successione sia regolare. Esempio? Se una successione è definitivamente monotona, essa è regolare; non è detto però che il limite coincida con l estremo superiore [inferiore] se la successione è definitivamente crescente [decrescente]. Il teorema RSM e il suo corollario dipendono dalla proprietà dell estremo superiore e non valgono in Q. In particolare, non è detto che una successione monotona e limitata di numeri razionali abbia limite razionale. Esempi (vedere anche pagina 32) x 1 = 0.1 x 2 = x 3 = x 4 = ( lim ) n =: e n + n numero di Nepero 20 / 60

21 Limiti e operazioni algebriche Teorema (Operazioni con successioni convergenti) Supponiamo a n a R e b n b R. Allora: a n + b n a + b regola della somma a n b n a b regola della differenza λ a n λ a (λ R) regola del multiplo a n b n a b regola del prodotto 1 a n 1 a a n b n a b (a 0) regola del reciproco (b 0) regola del rapporto Dimostrazione della regola della somma e del prodotto / 60

22 Esempi Verificare che le seguenti successioni sono convergenti e determinarne i rispettivi limiti. a n = b n = ( ) n 1 n 4 n ( ) n n n c n = 3 n + 2n 3 n 22 / 60

23 Proposizione (Reciproco di una successione infinitesima) Sia {a n } una successione infinitesima. Allora: {a n } ha segno costante (definitivamente) {a n } non ha segno costante (definitivamente) Verifica... = = { 1 } diverge, a n positivamente o negativamente a seconda del segno di a n { 1 } non ha limite a n Esempi / 60

24 Teorema (Operazioni con successioni divergenti) Siano {a n } e {b n } successioni divergenti. Se le due successioni divergono con lo stesso segno, la successione somma {a n + b n } diverge con lo stesso segno. E la differenza? Se λ 0, la successione multiplo {λ a n } diverge, con lo stesso segno di {a n } se λ > 0, con segno opposto se λ < 0. La successione prodotto {a n b n } diverge, positivamente se le due successioni divergono con lo stesso segno, negativamente se le due successioni divergono con segni opposti. { 1 } La successione reciproco è infinitesima. E il rapporto? a n Verifica... Esempi Calcolare i limiti di {n n }, {n 3 2 n }, { 4n 3 }, { 1 } n n 24 / 60

25 Limiti e relazione d ordine Teorema (Permanenza del segno) Sia {a n } una successione, sia a R e si supponga a n a. (1) a > 0 = a n > 0 definitivamente a < 0 = a n < 0 definitivamente (2) a n 0 definitivamente = a 0 a n 0 definitivamente = a 0 Dimostrazione... Osservazioni Le implicazioni in (1) valgono anche se a = + e a =, rispettivamente. Le conclusioni in (2) sono le stesse anche se si suppone definitivamente a n > 0 e a n < 0, rispettivamente. Esempio? 25 / 60

26 Esercizio Dimostrare la seguente generalizzazione del teorema PS-(2): Siano {a n } e {b n } due successioni e siano a, b R. Allora: a n a b n b = a b. a n b n definitivamente Suggerimento: applicare il teorema PS e la regola della differenza alla successione c n := a n b n. 26 / 60

27 Teorema (Confronto, o convergenza obbligata, o dei Carabinieri) Siano {a n }, {b n }, {c n } tre successioni tali che a n b n c n definitivamente, {a n } e {c n } convergono a uno stesso limite a. Allora: anche {b n } converge ad a. Dimostrazione... Esempi Calcolare il limite delle successioni sin(n), n 3 + ( 1) n n 2, 2 ( 1)n n 2 n 3 Generalizzando: {a n } limitata, {b n } infinitesima = {a n b n } infinitesima { an } {a n } limitata, {b n } divergente = infinitesima b n Perché? 27 / 60

28 Teorema (Divergenza obbligata) Siano {a n } e {b n } successioni tali che a n b n definitivamente. Allora: {a n } diverge positivamente = {b n } diverge positivamente, {b n } diverge negativamente = {a n } diverge negativamente. Dimostrazione: immediata Esempi Calcolare il limite delle successioni n 3 + sin(n), ( 1) n n 4, (n 2 4) (2 + ( 1)n n ), 2n 3 5 cos(n) n Generalizzando: {a n } divergente, {b n } limitata = {a n ± b n } divergente {a n } divergente, {b n } convergente e non infinitesima = {a n b n }, {a n /b n } divergenti Perché? 28 / 60

29 Esempi Calcolare il limite delle successioni (n 3 + n)(2 + cos(n)), 2n 3 5 sin(n) 3 Generalizzando: {a n } divergente, {b n } lontana da 0 = {a n b n }, {a n /b n } divergenti Perché? Esempio Calcolare il limite della successione 2n3 + n 2 5 sin(n) 2 Generalizzando: {a n } divergente {b n } infinitesima con segno costante Perché? n 2 = { an b n } divergente 29 / 60

30 Forme di indecisione Né le regole algebriche né le loro generalizzazioni permettono di determinare a priori il limite nei seguenti casi, che chiamiamo forme di indecisione: differenza di successioni che divergono con lo stesso segno (forma + ) prodotto di una successione infinitesima per una divergente (forma 0 ) rapporto di due successioni divergenti (forma / ) rapporto di due successioni infinitesime (forma 0/0) Le forme di indecisione vengono in genere risolte manipolando algebricamente le espressioni assegnate per ricondursi a successioni alle quali sia possibile applicare le regole algebriche e le loro generalizzazioni. 30 / 60

31 Esempi Per ciascuno dei seguenti limiti, individuare e risolvere la forma di indecisione: ( lim 3n 4 2n 3 n ) arctan(n) ( lim n + n + n 4 n ) n (2n + 1)(n + 2) lim n + 3n 2 + 3n ( ) lim n + 1 n n + lim n + arctan(n) (n 4 n ) + 1 n n n lim n + n! + 3 n??? 31 / 60

32 Successioni definite per ricorrenza (1) Verificare che la successione {a n } definita ponendo a 1 = 1 a n+1 = a n + 1 a 2 n è strettamente crescente e diverge positivamente. (2) Verificare che la successione {a n } definita ponendo a 1 = 2 a n+1 = a n a n è limitata e strettamente decrescente. Determinarne il limite. 32 / 60

33 Serie numeriche Sia {a n } n N una successione di numeri reali. Definiamo la somma parziale (o ridotta) n-esima ponendo S 0 := a 0 S 1 := a 0 + a 1. S n := a 0 + a a n (= n a k ). k=0 In alternativa, per ricorrenza: S 0 := a 0 S n := S n 1 + a n n 1 La successione {S n } si chiama serie di termine a n. Nota Se la successione {a n } è definita solo per n n 0, conveniamo di porre a n = 0 per n < n 0. Ne segue che in quanto diremo non sarà restrittivo supporre che la successione {a n } sia sempre definita per ogni n N. 33 / 60

34 Per definizione, la serie di termine a n non è altro che la successione delle somme parziali S n costruite a partire da a n. Pertanto, la locuzione convergente divergente positivamente la serie di termine a n è divergente negativamente regolare indeterminata equivale alla locuzione convergente la successione delle divergente positivamente somme parziali S n è divergente negativamente costruite a partire da a n regolare indeterminata Se la serie è regolare, il limite della successione {S n } prende il nome di somma della serie e si denota con il simbolo + n=0 a n. Motivazione? 34 / 60

35 Terminologia e osservazioni generali Studiare il carattere di una serie significa stabilire se essa converge, diverge o è indeterminata. Se a n = b n definitivamente, le serie di termine a n e b n hanno lo stesso carattere. Tuttavia, se entrambe convergono, in genere le rispettive somme non sono uguali. Nella pratica si usano i simboli + a n, n=0 per denotare la serie di termine a n, indipendentemente dal fatto che essa sia regolare o no. n a n 35 / 60

36 !!! Attenzione a non confondere la convergenza della serie di termine a n con la convergenza della successione {a n }, la somma della serie con il limite della successione {a n }. Le due nozioni sono legate tramite la seguente Proposizione (Condizione necessaria per la convergenza di una serie) Se la serie di termine a n converge, allora la successione {a n } è infinitesima; l implicazione contraria è falsa. (In altre parole: la condizione a n 0 è necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie di termine a n.) Verifica... Esempi Le serie di termine ( 1) n e n 1 non convergono. n La serie di termine 1 potrebbe convergere; per stabilire se converge n oppure no, occorre indagare ulteriormente. 36 / 60

37 Serie telescopiche Una serie si dice telescopica se il suo termine può essere scritto nella forma a n = b n b n+1, oppure a n = b n+1 b n. In entrambi i casi, la somma parziale n-esima si ottiene facilmente: S n = (b 0 b 1 ) + (b 1 b 2 ) (b n b n+1 ) = b 0 b n+1, oppure S n = (b 1 b 0 ) + (b 2 b 1 ) (b n+1 b n ) = b n+1 b 0. Esempi La serie di termine a n = 1, detta serie di Mengoli, converge e n(n + 1) ha somma uguale a 1. ( La serie di termine a n = ln ) diverge positivamente. n Cf. la proposizione di pagina / 60

38 La serie geometrica Sia q R. Si chiama serie geometrica di ragione q la serie di termine a n = q n, con n 0. (Per q = 0 si pone il primo termine uguale a 1.) Proposizione La serie geometrica di ragione q è indeterminata per q 1; diverge positivamente per q 1; converge per 1 < q < 1 e la sua somma è q ( 1, 1) = Verifica... + n=0 q n = 1 1 q. 1 ; in simboli: 1 q Esempi: studiare il carattere delle serie n ( 1) n ( 3) n n=0 n=1 n=0 4 n + n=2 ( 3) n 4 n 38 / 60

39 Operazioni con le serie Dai teoremi sulle operazioni algebriche per successioni si deducono le seguenti proprietà: Somma di serie Se la serie di termine a n converge e ha somma A e la serie di termine b n converge e ha somma B, la serie di termine a n + b n converge e ha somma A + B. Se la serie di termine a n diverge positivamente e la serie di termine b n converge o diverge positivamente, la serie di termine a n + b n diverge positivamente. Multiplo di serie Se la serie di termine a n converge e ha somma A e λ è una costante, la serie di termine λ a n converge e ha somma λ A. Se la serie di termine a n diverge e λ 0 è una costante, la serie di termine λ a n diverge, positivamente o negativamente a seconda del modo in cui la serie di termine a n diverge e del segno di λ. 39 / 60

40 Esempi La serie La serie La serie + n=1 + n=1 + n=1 ( ( ln ) ) + 2 n n ( ( ) 1 n(n + 1) 3n+1 2 n ) 1 n(n + 1) + 2n 3 n+1 diverge positivamente. diverge negativamente. converge e ha somma 5 3. Nota Sotto opportune condizioni, si può definire il prodotto di due serie (che non è la serie di termine a n b n ); non ce ne occuperemo. 40 / 60

41 Cosa sono i criteri di convergenza e a che servono? Siano S n := n k=1 1 k e T n := n k=1 1 k 2. La seguente tabella mostra i valori (troncati e arrotondati alla quinta cifra decimale) di S n e T n per alcuni valori di n: n S n T n Si intuisce che le serie di termini n e 1 hanno caratteri diversi; n2 per verificarlo attraverso la definizione, occorre determinare l espressione esplicita di S n e T n. Ma come si fa? 41 / 60

42 Problema generale: se non si riesce a scrivere esplicitamente la somma parziale n-esima costruita a partire da una successione a n, non si può applicare la definizione di serie convergente, divergente, indeterminata per stabilire il carattere della serie di termine a n ; ammesso che la serie sia convergente, non è possibile determinarne la somma. Soluzione: si stabilisce il carattere della serie attraverso un argomento indiretto ( criterio ); stabilito che la serie è convergente, si calcola un valore approssimato della somma (mediante una stima del resto ). 42 / 60

43 Resto n-esimo di una serie Supponiamo che la serie di termine a n converga. Siano S n e S, rispettivamente, la somma parziale n-esima e la somma della serie. Definiamo il resto n-esimo: R n := S S n ( = an+1 + a n ) Esso rappresenta l errore che si commette sostituendo alla somma S la somma parziale S n. Osservazione Il resto n-esimo di una serie convergente tende a 0 per n. Esempio Sia q < 1. Il resto n-esimo della serie geometrica di ragione q è + n R n := q n q k = 1 1 q 1 qn+1 = qn+1 1 q 1 q. n=0 k=0 43 / 60

44 Stima del resto n-esimo In generale non siamo in grado di scrivere esplicitamente il resto n-esimo di una serie convergente. In alcuni casi riusciamo però a stimarlo in termini di una quantità nota; ciò è sufficiente ad approssimare la somma della serie convergente commettendo un errore controllato. Precisamente: se per un certo intero N si ha R N α, allora S S N α, ossia S N α S S N + α. Dato che S N è esplicitamente calcolabile, ( ) fornisce un intervallo al quale la somma S, incognita, appartiene. Se riusciamo a stabilire in qualche modo che S N approssima S per difetto [per eccesso], otteniamo una approssimazione migliore di S, cioè un intervallo di ampiezza minore al quale S appartiene: S N S S N + α [S N α S S N ] ( ) 44 / 60

45 Serie a termini positivi La serie di termine a n si dice a termini positivi se a n 0 per ogni n; si dice a termini strettamente positivi se a n > 0 per ogni n. Esempi? Osservazione Sia S n la somma parziale n-esima costruita a partire da una successione a n 0. Risulta: S n = S n 1 + a n S n 1, cioè la successione delle somme parziali {S n } è monotona crescente. Conseguenze: una serie a termini positivi può solo convergere oppure divergere positivamente; (teorema RSM) se la serie converge, la somma parziale S n approssima per difetto la somma S e il resto R n è positivo. 45 / 60

46 Proposizione La serie (a termini positivi) + n=1 1 n p ( ) converge se e solo se p > 1; in tal caso si ha 1 0 R n (p 1)n p 1. Lo dimostreremo in seguito, nel capitolo sul calcolo integrale. Per p = 1 la serie ( ) si chiama serie armonica; per p 1 si chiama serie armonica generalizzata di esponente p. 46 / 60

47 Esercizio Per ciascuna delle seguenti serie, stabilire se essa converge. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione del resto n-esimo e utilizzarla per determinare un intero N tale che approssimando la somma della serie con la somma parziale S N si commetta un errore inferiore a (a) + n=1 1 n (c) + n=1 1 n 2 n (b) + n=1 1 n n (d) + n=1 1 n 5 47 / 60

48 Soluzione dell esercizio precedente p carattere stima del resto minimo N S N della serie e condizione per cui vale da imporre la condizione 1 diverge 3/2 converge R n 2 n 1/2 < N = S /2 converge R n 2 3n 3/2 < N = 17 S converge R n 1 4n 4 < N = 3 S / 60

49 Confronto tra gli esercizi (c) e (d): velocità di convergenza 1 n 5/2 1 n 5 n S n stima di R n S n stima di R n / 60

50 Teorema (Criterio del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni tali che 0 a n b n per ogni n ν. Vedremo anche il criterio del confronto asintotico Se la serie di termine b n converge, anche la serie di termine a n converge e si ha + + a n b n ; n=ν n=ν inoltre, detti R n e R n il resto n-esimo della serie di termine a n e b n, rispettivamente, risulta 0 R n R n. Se la serie di termine a n diverge, anche la serie di termine b n diverge. 50 / 60

51 Esempi Stabilire se la serie assegnata converge. In caso affermativo, scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per calcolare un valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a (a) + n=1 n + ln(n) 2 n n (d) + n=1 ( ) 1 n sin n 4 sin(t) t per ogni t R (b) + n=1 n n (e) + n=1 3 n 2 n n (c) + n=1 n sin(n) 2 5n (f) + n=1 2 n 5 n / 60

52 Digressione: serie numeriche e rappresentazione decimale Ricordiamo che un numero decimale è un espressione della forma ± c 0. c 1 c 2 c 3... ( ) dove c 0 è un intero naturale e c 1, c 2,... {0, 1, 2,..., 8, 9}. Se il numero decimale è infinito, ( ) va intesa come ( ± c 0 + c c c ) ; l espressione tra parentesi è la somma della serie numerica di termine a n := c n 10 n. Questa serie converge? Se il numero decimale è periodico, la somma è un numero razionale? Quale? Verifichiamo (e saldiamo un debito in sospeso, vedi L insieme dei numeri reali ) / 60

53 Serie a segni alterni Teorema (Criterio di Leibniz) Supponiamo che la serie di termine a n sia a segni alterni, cioè che con b n 0. a n = ( 1) n b n, oppure a n = ( 1) n 1 b n = ( 1) n+1 b n, Se la successione {b n } è decrescente e infinitesima, allora la serie di termine a n è convergente. Inoltre, detto R n il resto n-esimo della serie, si ha Idea della dimostrazione... R n b n / 60

54 Esempio (da ricordare!) La serie armonica alternata + ( 1) n 1 1 n = converge. n=1 Esempio Stabilire in base al criterio di Leibniz che la serie + ( 1) n+1 2 n + 1 n=0 converge. Scrivere una maggiorazione per il resto n-esimo e utilizzarla per determinare un intero N tale che la somma parziale S N approssimi la somma S a meno di Stabilire se S N è una approssimazione per eccesso o per difetto di S. Scrivere un intervallo al quale S appartiene. 54 / 60

55 Osservazioni sulle ipotesi del criterio di Leibniz Se le ipotesi b n 0 e b n+1 b n sono soddisfatte definitivamente, ossia per n ν, si può ancora concludere che la serie di termine ( 1) n b n converge. Inoltre, la stima del resto è valida per n ν. Se i termini b n non sono (definitivamente) positivi, oppure la successione {b n } non è (definitivamente) decrescente, il criterio non è applicabile e la serie va studiata con altri strumenti. Se {b n } non è infinitesima, neppure {a n } lo è (perché?) e quindi si può concludere che la serie di termine a n non converge. Per provare la monotonia di {b n } non basta guardare i primi termini! Possibili strategie: ricorrere alla definizione, cioè verificare che la disuguaglianza b n+1 b n è vera (definitivamente), oppure applicare il test di monotonia a una funzione prolungamento di {b n }. lo vedremo in seguito 55 / 60

56 Convergenza assoluta Si dice che la serie di termine a n converge assolutamente se la serie di termine a n converge. Osservazione Per le serie a termini di segno costante la nozione di convergenza assoluta coincide con quella di convergenza. Teorema (Legame tra convergenza e convergenza assoluta) Se la serie di termine a n è convergente, anche la serie di termine a n lo è e si ha + + disuguaglianza triangolare a n a n con infiniti addendi n=0 n=0 Il viceversa non è vero, cioè esistono serie che convergono ma non convergono assolutamente. Esse si chiamano condizionalmente convergenti. Dimostrazione / 60

57 Esempi Stabilire se le serie assegnate sono assolutamente convergenti, condizionalmente convergenti, non convergenti. + n=1 sin(n) n n=1 ( 1) n 1 n Osservazione Per studiare la assoluta convergenza della serie di termine a n possiamo applicare alla serie di termine a n i criteri per le serie a termini positivi (del confronto, già visto; del confronto asintotico e dell integrale, che vedremo). Se, in base a questi criteri, la serie di termine a n non converge, la serie di termine a n potrebbe convergere o meno; ciò va stabilito caso per caso tramite opportune considerazioni. In alcuni casi il carattere della serie può essere determinato tramite il criterio del rapporto. Vedere pagina seguente / 60

58 Teorema (Criterio del rapporto) Sia a n 0 definitivamente e supponiamo che esista (finito o infinito) a n+1 lim =: L. n + a n Se L [0, 1), la serie di termine a n converge assolutamente. Se L (1, + ) {+ }, la serie di termine a n non converge. Dimostrazione... Esempio Studiare la convergenza delle serie + n=1 ( 2) n 3 n + n + n=1 ( 3) n 2 n + n 58 / 60

59 Osservazione Il criterio del rapporto può ovviamente essere applicato anche alle serie a termini positivi. In questo caso, le conclusioni diventano: se L [0, 1), la serie di termine a n converge; se L (1, + ) {+ }, la serie di termine a n diverge positivamente. Esempio: studiare la convergenza delle serie + n=1 2 n e n n + n=1 2 n n 2 + n Osservazione (Caso di indecisione nel criterio del rapporto) Se nel criterio del rapporto è L = 1, non si può concludere nulla sul carattere della serie. Per esempio, per la serie armonica generalizzata 1 si ha L = 1 np indipendentemente da p ; tuttavia, per alcuni valori di p essa converge e per altri diverge. 59 / 60

60 Un criterio per determinare se una successione è infinitesima Corollario del criterio del rapporto Sia {a n } una successione tale che a n 0 definitivamente. Se a n+1 lim < 1, n + a n allora la successione {a n } è infinitesima. Esempi (da ricordare) Le seguenti successioni sono infinitesime: { n p } { a n } a n (p R, a > 1) n! { n p a n} { n p } (p R, a < 1) n! (a R) (p R) { n! n n } Risolviamo la forma di indecisione in sospeso di pagina / 60