Titolo della lezione. Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza

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1 Titolo della lezione Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza

2 Introduzione Analisi univariata, bivariata, multivariata Analizzare le relazioni tra i caratteri, per cercare di prevedere il valore (sconosciuto) di una variabile a partire da quello (conosciuto) di un altra Distribuzioni doppie di frequenze (tabelle doppie) Associazione tra caratteri (dipendenza, indipendenza, ecc..) Il χ (Chi-quadrato)

3 Distribuzione doppia - 1 a) Distribuzione doppia di frequenze Maschi Femmine Totale Economia Statistica Matematica Totale n i. Totale di riga n.j Frequenza assoluta congiunta Totale di colonna n ij n..

4 Distribuzione doppia - a) Distribuzione doppia di frequenze Maschi Femmine Totale Economia Statistica Matematica Totale Distribuzione di Y condizionata a X 1 Distribuzione di X condizionata a Y 1 Distribuzione Marginale di X Distribuzione Marginale di Y

5 Dipendenza Analizzare le relazioni tra i caratteri, per cercare di prevedere il valore (sconosciuto) di una variabile a partire da quello (conosciuto) di un altra DIPENDENZA LOGICA: ha senso pensare che tra due caratteri esista una relazione di causa ed effetto. INDIPENDENZA LOGICA: non ha senso pensare che tra due caratteri esista una relazione di causa ed effetto.

6 DIPENDENZA INTERDIPENDENZA: si presuppone che tra i due caratteri non vi sia un legame unidirezionale (ossia, uno dei due dipende dall altro) ma bidirezionale (ossia, i due caratteri hanno lo stesso ruolo all interno dell analisi) ASSOCIAZIONE SPURIA: si verifica quando è possibile rilevare un legame statistico tra due caratteri che invece risultano indipendenti da un punto di vista logico

7 INDIPENDENZA di X da Y a) Frequenze assolute Carattere Y Y 1 Y Totale b) Frequenze relative del carattere X condizionato ad Y Carattere Y Y 1 Y Totale Carattere X X X X Carattere X X 1 0,167 0,167 0,167 X 0,333 0,333 0,333 X 3 0,500 0,500 0,500 Totale Totale 1,000 1,000 1,000 Il carattere X si dirà indipendente dal carattere Y se tutte le distribuzioni relative condizionate risultano uguali tra loro e uguali alla distribuzione marginale (e dunque, al variare della modalità Y la distribuzione relativa di X è la medesima).

8 INDIPENDENZA di Y da X a) Frequenze assolute Carattere Y Y 1 Y Totale b) Frequenze relative del carattere Y condizionato ad X Carattere Y Y 1 Y Totale Carattere X X X X Carattere X X 1 0,333 0,667 1,000 X 0,333 0,667 1,000 X 3 0,333 0,667 1,000 Totale Totale 0,333 0,667 1,000 Il carattere Y si dirà indipendente dal carattere X se tutte le distribuzioni relative condizionate risultano uguali tra loro e uguali alla distribuzione marginale (e dunque, al variare della modalità X la distribuzione relativa di Y è la medesima).

9 INDIPENDENZA E possibile dimostrare che se il carattere X è indipendente dal carattere Y, allora vale anche la relazione contraria: anche il carattere Y sarà indipendente dal carattere X. Pertanto: due caratteri X ed Y si diranno indipendenti se le distribuzioni relative condizionate di un carattere rispetto alle modalità dell altro sono uguali. n' ij n i. n n.j Frequenze teoriche di indipendenza

10 INDIPENDENZA a) Frequenze assolute Carattere X Carattere Y Y 1 Y Totale X X X Ogni volta che non troviamo questa situazione Totale n n n n' 11 n n n n' Dipendenza

11 Dipendenza perfetta di Y da X Un carattere Y dipende perfettamente da X se ad ogni modalità di X è associata una ed una sola modalità del carattere Y Carattere X Carattere Y Y 1 Y Totale X X X Totale Se X X 1 Y Y Se X X Y Y 1 Se X X 3 Y Y La relazione di dipendenza non è biunivoca!!!

12 Dipendenza perfetta di X da Y Un carattere X dipende perfettamente da Y se ad ogni modalità di Y è associata una ed una sola modalità del carattere X Carattere Y Y 1 Y Y 3 Y 4 Totale Carattere X X X X Totale Se Y Y 1 X X 1 Se Y Y X X Se Y Y 3 X X 3 Se Y Y 4 X X 3

13 Perfetta Interdipendenza L interdipendenza perfetta può essere raggiunta solo nel caso di tabella quadrata Carattere X Carattere Y Y 1 Y Y 3 Totale X X X Totale X X 1 Y Y 1 X X Y Y 3 X X 3 Y Y Interdipendenza (perfetta): ad ogni modalità del carattere X corrisponde una ed una sola modalità di Y e, simultaneamente, ad ogni modalità del carattere Y corrisponde una ed una sola modalità di X

14 Misurare la Dipendenza il χ χ K H i 1 j 1 ( n n' ) ij n' ij ij Indipendenza n ij n ij χ 0 Dipendenza n ij n ij χ > 0 Massima dipendenza χ max n min[ ( H 1 ); ( K 1) ]

15 Misurare la Dipendenza il χ V χ χ max V di Cramer Tale indice può variare tra zero ed uno, e sarà pari a zero nel caso di indipendenza, mentre assumerà valore 1 nel caso di massima dipendenza.

16 Esempio Abbiamo effettuato un indagine sugli studenti del nostro Ateneo al fine di rilevare il grado di associazione tra il voto da questi riportato nell esame di matematica e nell esame di statistica. I risultati sono riportati nella tabella seguente (in riga i voti di matematica, in colonna quelli di statistica): Si calcoli l associazione tra queste due variabili utilizzando l indice Chi-quadrato e la V di Cramer

17 Esempio Tot 40 15, , , , , , , , Tot Tot 0 14,8 15,) (30 8,4 14,4) (6 6,4 10,4) ( ,3 13,3) (6 14,4 1,6) (7 7,1 9,1) ( ,5 9,5) ( 6 9) (3 13,5 6,5) (0 18 Tot b) Frequenze teoriche c) Differenza (Frequenze effettive - Frequenze teoriche)

18 Esempio Tot d) Differenza (Frequenze effettive - Frequenze teoriche) ,5 7,1 18,5 50,41 14, ,36 7,5 7,3 56,5 53, ,4 40,96 8,4 70,56 14,8 19,04 Tot Tot e) Differenza (Frequenze effettive -Frequenze teoriche) diviso teoriche ,5 8,04 6,5 50,41 5,54 9,1 40,96 3,94 10, ,36 16,46 1,6 70,56 4,9 14,4 56,5 5,9 9,5 53,9 4,01 13,3 19,04 14,41 15, Tot 87,1

19 Esempio - 4 χ K H i 1 j 1 ( n n' ) ij n' ij ij 87,1 χ max n min [( H 1 ); ( K 1) ] 100 (3 1) V χ χ max 87,1 00 0,436 0,66

20 Esercizio Ad un gruppo di individui che hanno contratto una certa malattia viene somministrata una medicina con differenti dosaggi (in mg). La condizione dei pazienti in seguito al trattamento è stata riportata nella tabella sottostante: Peggiore Invariata Migliore Si calcoli l associazione tra dosaggio e condizione del paziente, utilizzando l indice Chi-quadrato e la V di Cramer.

21 Esercizio - a) Frequenze effettive Peggiore Invariata Migliore b) Frequenze teoriche Peggiore 6,40 5,76 11,84 4,00 Invariata 4,53 4,08 8,39 17,00 Migliore 9,07 8,16 16,77 34,00 0,00 18,00 37,00 75,00

22 Esercizio - 3 Differenza (Frequenze effettive -Frequenze teoriche) Peggiori 11,60-1,76-9,84 0,00 Invariate -,53 3,9-1,39 0,00 Migliori -9,07 -,16 11,3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 (18-6,40) 11,60 (7-8,39) -1,39 (6-8,16) -,16 Differenza (Frequenze effettive -Frequenze teoriche) Peggiori 134,56 3,09 96,8 Invariate 6,40 15,36 1,93 Migliori 8,6 4,66 16,11 (11,60) 134,56 (3,9) 15,36 (-9,84) 96,8

23 Esercizio - 4 Differenza (Frequenze effettive -Frequenze teoriche) diviso teoriche Peggiori 1,0 0,53 8,17 Invariate 1,41 3,76 0,3 Migliori 9,06 0,57 7,51 5,6 (134,56 : 6,40) 1,0 (1,93 : 8,39) 0,3 χ χ max K H i 1 j 1 ( n n' ) ij n' n min ij ij 5,6 [( H 1 ); ( K 1) ] 75 (3 1) Alta associazione V χ χ max 5, ,348 0,589

24 Alcune considerazioni finali Condizioni paziente - Dosaggio Peggiore Invariata Migliore V 0,589 test età del paziente Moderato Medio Alto χ 78,87 V 0,618

25 Il test Chi-quadrato Ad un gruppo di individui che hanno contratto una certa malattia viene somministrata una medicina con differenti dosaggi (in mg). La condizione dei pazienti in seguito al trattamento è stata riportata nella tabella sottostante: Peggiore Invariata Migliore Si calcoli l associazione tra dosaggio e condizione del paziente, utilizzando l indice Chi-quadrato e la V di Cramer. V χ χ max 5, ,348 0,589 Alta associazione

26 Il test Chi-quadrato - χ n i 1 (n ij n n ' ij ' ij ) 5,56 H 0 χ 0 (Indipendenza) H 1 χ 0 (Dipendenza) df ( r 1 ) ( 1) 4 c χ 4; 0,01 13,8 Regione di accettazione: H 0 Vera χ df, α 13,8 5,6 Rifiuto Ipotesi H 0 Regione di rifiuto: H 0 Falsa

27 Riferimenti sul testo di Triola M. M., Triola M. F. Statistica per le discipline biosanitarie, Pearson-Addison Wesley Paragrafi da leggere: 10.1, 10.. Esercizi alla fine dei paragrafi. Paragrafi da studiare: Esercizi alla fine dei paragrafi. Non fare test esatto di Fisher