Analisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it

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1 Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it

2 Introduzione : analisi delle relazioni tra due caratteristiche osservate sulle stesse unità statistiche studio del comportamento di due caratteri considerati congiuntamente misura del grado di associazione tra due caratteri qualitativi, quantitativi e misti fornisce indicazioni riguardo al legame esistente tra coppie di variabili il tipo di associazione dipende dalla natura dei caratteri

3 Tabelle di contingenza [1/4] Sono tabelle doppie di frequenze di dati (nominali o ordinali) Le modalità delle variabili di riga danno il nome alle righe Le modalità delle variabili di colonna danno il nome alle colonne

4 Tabelle di contingenza [2/4] Nella tabella sono riportate le frequenze assolute congiunte n ij : numero di unità che assumono la modalità x i e y j

5 Tabelle di contingenza [3/4]

6 Tabelle di contingenza [4/4]

7 Dipendenza, indipendenza e interdipendenza Una variabile è detta indipendente o esplicativa se spiega o influenza le variazioni di una variabile dipendente (o criterio) Analisi di dipendenza: descrive il modo in cui una variabile dipendente varia al variare della variabile indipendente (il legame tra le variabili è unidirezionale o asimmetrico) dipendenza logica: esiste una relazione di causa effetto tra due o più variabili indipendenza logica: non esiste alcuna relazione di causa effetto tra le variabili considerate Analisi di interdipendenza: descrive come le modalità di un carattere variano al variare di un altro carattere (legame bidirezionale o simmetrico) non è possibile stabilire una relazione di dipendenza non è possibile individuare un carattere dipendente

8 Misure di associazione tra due variabili nominali [1/3] Permettono di verificare se esiste dipendenza tra due variabili e di misurare l intensità della dipendenza Indice χ 2 (chi quadro): si basa sulla frequenza teorica o attesa ˆn ij : valore che assumerebbe la frequenza congiunta in caso di indipendenza vengono calcolate le contingenze o scarti tra frequenze osservate e teoriche: c ij = n ij ˆn ij r t c χ 2 ij 2 = ˆn ij i=1 j=1 dove r e t sono il numero di modalità dei caratteri X e Y. χ 2 è nullo se i caratteri sono indipendenti χ 2 è positivo se c è dipendenza tra i due caratteri

9 Misure di associazione tra due variabili nominali [2/3] Il valore di χ 2 aumenta all aumentare della numerosità del campione n Per avere una misura di distanza che non dipenda da n viene introdotto Φ 2 Indice di contingenza quadratica media Φ 2 (phi quadro) Φ 2 = χ2 n Φ 2 = 0 in caso di indipendenza Φ 2 min{(r 1), (t 1)} (r e t numero di modalità di X e Y )

10 Misure di associazione tra due variabili nominali [3/3] E possibile ottenere un indice di dipendenza che varia nell intervallo [0, 1] Indice V di Cramer: Φ V = 2 min{(r 1), (t 1)} V = 0 se i due caratteri sono indipendenti V < 0, 3 se c è una bassa dipendenza tra i caratteri V 0, 3 se c è una apprezzabile dipendenza tra i caratteri V = 1 se i due caratteri: sono perfettamente associati e r = t X dipende perfettamente da Y se r < t Y dipende perfettamente da X se r > t

11 Misure di associazione tra due variabili ordinali Le variabili ordinali contengono l ordine delle modalità delle variabili Per questo motivo possono esistere due tipi di relazione: Concordanza (relazione diretta) tra X e Y quando le modalità di ordine elevato di X si associano più frequentemente a modalità di ordine elevato di Y, e viceversa Discordanza (relazione inversa) tra X e Y quando le modalità di ordine elevato di X si associano più frequentemente a modalità di ordine basso di Y Indice γ (gamma) di Goodman e Kruskal: γ = C D C + D dove C e D rappresentano il numero di coppie concordanti e discordanti nei dati γ < 0 in caso di discordanza, γ > 0 in caso di concordanza γ 0, 6 se esiste una associazione forte

12 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [1/7] In questo ambito si parla di studio di correlazione: relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima variabile corrisponda con una certa regolarità un valore della seconda è diretta o positiva quando variando una variabile in un senso, la seconda varia nello stesso senso è indiretta o inversa quando variando una variabile in un senso, la seconda varia nel senso opposto due variabili sono associate positivamente quando i valori sopra la media di una tendono ad associarsi con valori sopra la media dell altra, e viceversa due variabili sono associate negativamente quando i valori sopra la media di una tendono ad associarsi con valori sotto la media dell altra, e viceversa

13 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [2/7] La correlazione può essere mostrata usando un diagramma a dispersione (scatter plot)

14 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [3/7] Covarianza: indice simmetrico per misurare la concordanza o discordanza tra due caratteri quantitativi Cov(x, y) = 1 n (x i x)(y i ȳ) n i=1 assume valori positivi se le due variabili co-variano in maniera diretta assume valori negativi se le due variabili co-variano in maniera inversa cresce (in valore assoluto) al crescere dell associazione esistente tra due variabili

15 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [4/7] Coefficiente lineare ρ (rho) di Pearson: misura relativa della correlazione lineare tra due variabili 1 n n i=1 ρ = (x i x)(y i ȳ) Cov(x, y) 1 n n i=1 (x = i x) 2 1 n n i=1 (y i ȳ) 2 σ x σ y ha lo stesso segno della covarianza misura l intensità della relazione lineare tra le variabili X e Y se la relazione lineare esiste ed è positiva, i punti si disporranno su una retta ascendente ρ = 1 se c è una perfetta correlazione lineare positiva se la relazione lineare esiste ed è negativa, i punti si disporranno su una retta discendente ρ = 1 se c è una perfetta correlazione lineare negativa la relazione lineare, diretta o inversa, è forte per ρ 0, 7

16 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [5/7]

17 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [6/7] Quando i due caratteri sono incorrelati, ρ = 0 (la covarianza è nulla) Esistono due tipi di incorrelazione: assenza di relazione lineare o relazione non lineare

18 Misure di associazione tra caratteri quantitativi [7/7] Esistono altri tipi di correlazione Correlazione spuria (nonsense correlation) se i due fenomeni non hanno alcun nesso causale Correlazione indiretta se due variabili X e Y sono correlate perché in realtà correlate entrambe a una variabile Z Guess the correlation

19 Regressione lineare semplice [1/2] Regressione lineare: descrive la relazione che unisce due variabili viene identificata una funzione matematica (retta) che esprime i valori assunti da un carattere come funzione dei valori assunti da un altro carattere si cerca di individuare la retta che rappresenti al meglio i punti empirici (dati) viene usato il metodo dei minimi quadrati che minimizza la somma degli scarti tra i valori osservati e quelli teorici (sulla retta) la retta di regressione migliora la previsione del carattere dipendente quando si conosce la modalità del carattere indipendente

20 Regressione lineare semplice [2/2] La linea indica la retta di regressione Come si inserisce la retta di regressione in Calc?

21 Dove studio questi argomenti? Capitoli 12 del libro!